Camiones, encomiendas, y teoría de...

Camiones, encomiendas, y teorıa de grafos

Flavia Bonomo

Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires

Semana de la Matematica 2010

Flavia Bonomo · Semana de la Matematica 2010, FCEyN, UBA Camiones, encomiendas, y teorıa de grafos

¿Que es un grafo?

Un grafo esta formado por un conjunto de vertices y unconjunto de aristas que unen pares de vertices.

Es un objeto matematico abstracto pero se usa para modelarproblemas reales.

Grafos en la vida real

Red de subtes

Rutas entre ciudades

Moleculas

Draw de un torneo de tenis (los grafos de este tipo se llamanarboles)

Relaciones sociales o redes tipo facebook

Pintando mapas

Todos alguna vez pintamos un mapa. La regla es que provinciasque limitan en mas de un punto tienen que tener colores distintos.

Pintando mapas

Si ponemos un vertice por cada provincia y unimos dos vertices sila respectivas provincias limitan, nos queda definido un grafo.Vamos a decir entonces que un coloreo de un grafo es unaasignacion de colores a los vertices de manera tal que verticesadyacentes reciban colores distintos.

Pintando mapas

El grafo que queda no es cualquier grafo. Se puede dibujar sin quelas aristas se crucen (salvo en los vertices). Ese tipo de grafos sellaman planares.Algunos grafos que no son planares son estos:

Una cosa que podemos preguntarnos es, ¿Cuantos coloresnecesitamos para pintar un mapa?

Pintando mapas

El Teorema de los 4 colores

Teorema

Todo mapa puede ser coloreado sin que dos regiones limtrofestengan el mismo color, y usando 4 o menos colores.

Teorema

Todo grafo planar puede ser coloreado usando 4 o menos colores.

Como se trabaja en matematica aplicada?

Otra clase de grafos particular: grafos de permutacion

Tenemos dos rectas paralelas, sobre una de ellas los numeros de 1a n y en la otra una permutacion de ellos. Unimos cada par denumeros iguales con un segmento. El grafo de permutacioncorrespondiente tiene n vertices numerados de 1 a n, y dos verticesi y j son adyacentes si los segmentos correspondientes se cruzan.

El problema de las encomiendas

Tenemos un cambion que tiene que buscar encomiendas en unaciudad en un cierto orden prefijado y entregarlas en otra ciudad enotro orden prefijado tambien.

k stacks (tıpicamente k = 3)

maximo t cajas por stack (tıpicamente t = 11)

no se pueden reacomodar las cajas durante la entrega

¿en que stack debo poner cada caja?

Restriccion: Si dos cajas se retiran en el mismo orden en que sereparten, no pueden ir en el mismo stack.

Modelo matematico: coloreo de grafos!

Dos vertices son adyacentes si sus correspondientes cajas se retiranen el mismo orden en que se reparten.

Cada stack es un color. Tenemos k colores disponibles....

Modelo matematico

El grafo que se genera, es un grafo cualquiera?

Por suerte, sabemos resolver coloreo de grafos de permutacion!(gracias a M. Golumbic)

Modelo matematico

¿y las capacidades?

Hay que introducir la variante de coloreo capacitado, donde hayuna cantidad maxima de vertices de cada color.

Resulto que ya estaba estudiado porque surge de otros problemasaplicados tambien.

Se sabıa que si la capacidad es chiquita pero la cantidad de colorespuede ser arbitrariamente grande, el problema es difıcil aun engrafos de permutacion.

Junto con un grupo de colegas italianos (S. Mattia y G. Oriolo),encontramos un algoritmo eficiente para coloreo capacitado engrafos de permutacion para cuando la cantidad de colores eschiquita pero la capacidad puede ser arbitrariamente grande. Y elproblema de las encomiendas cuadra en ese caso.

Modelo matematico

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