1. CURVAS HORIZONTALES

DEFINICION:

Las curvas horizontales son segmentos de circunferencia. Cada curva horizontal se singulariza por su radio de curvatura o simplemente radio, que es constante a todo lo largo de la curva, por su Angulo en el centro, que usualmente se designa por ∆, por la ubicación del punto de intersección de las tangentes en ambos extremos de la curva, que se designa por PI( punto de intersección) y por la ubicación de los puntos de inicio y final de la curva. El punto de inicio de una curva circular se denomina PC (principio de curva) y el punto final PT. (principio de tangente).

1.1. Curva Horizontal Simple

las curvas circulares simples son el tipo de curva horizontal más usado. Se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos de una vía.

1.2. Curva Horizontal Compuesta

Llamamos curva horizontal compuesta a la combinación de dos o más curvas simple. La medida de colocar una curva compuesta se toma cuando la distancia de separación entre dos curvas consecutivas es menor que la establecida por las normas según la velocidad directriz entonces se anula la distancia recta entre las curvas y el punto final de la primera curva se pone a coincidir con el punto de comienzo de la segunda curva, formando así una sola curva, la cual se conoce como curva compuesta.

2. TRAZADO EN PLANTA

La planta de las carreteras está formada por rectas y curvas. Al realizar el proyecto, se procura que la longitud de las alineaciones rectas forme un conjunto armónico con el resto del trazado.

La recta es un elemento de trazado indicado en carreteras de calzada única con dos

carriles para obtener suficientes oportunidades de adelantamiento y en cualquier tipo

de carreteras para adaptarse a condicionamientos externos obligados (infraestructuras

preexistentes, condiciones urbanísticas, etc.). En carreteras de calzadas separadas se

emplean alineaciones rectas en tramos singulares que así lo justifiquen, y en particular

en terrenos llanos, en valles de configuración recta, por conveniencia de adaptación a

otras infraestructuras lineales, o en las proximidades de cruces, zonas de detención

obligatoria, etc.

Página 1

Grandes rectas producen sensación de monotonía, resultan molestas para la

conducción, especialmente durante la noche por el deslumbramiento de los faros y

son propicias para que por ellas se circule con exceso de velocidad.

Alternancia de curvas y rectas para la adaptación al terreno.

Por tanto, el trazado en planta está formado por la sucesión de alineaciones rectas

enlazadas entre sí por alineaciones curvas. Vemos las características de un tramo de

carretera en recta y en curva:

En un TRAMO DE RECTA no existe fuerza centrífuga y la sección transversal tipo

de la carretera es la siguiente:

La pendiente transversal de la calzada es del 2%, llamada pendiente de bombeo y

cuya finalidad es evacuar las aguas de lluvia.

En un TRAMO DE CURVA existe una fuerza centrífuga que tiende a desplazar el

vehículo en sentido radial y hacia fuera de la curva. Además existe una aceleración

centrípeta, producida por el cambio de dirección del vector velocidad:

Página 2

La fuerza centrífuga tiende a desequilibrar las condiciones de la marcha, especialmente

cuando tiene una magnitud importante (radios pequeños). Para minimizar su efecto se

opta por peraltar la curva. Con la inclinación del plano transversal de la calzada el

esquema de las fuerzas que actúan sobre el vehículo sería el siguiente:

El peralte de una curva depende de la fuerza centrífuga (función del radio y de la velocidad) y del coeficiente de rozamiento transversal. Esos parámetros quedan relacionados por la siguiente fórmula:

V 2=127⋅R⋅( f t+p

100) ¿ {V=velocidad (Km/h) ¿ {R = radio en m ¿ { f t=coeficiente de rozamiento ¿ ¿¿

El peralte, en función del radio de la curva, se calcula aplicando los siguientes criterios:

CARRETERAS DEL GRUPO I

AUTOPISTAS, AUTOVÍAS

VÍAS RÁPIDAS Y CARRETERAS C-100

CARRETERAS DEL GRUPO II

CARRETERAS C-80, C-60 Y C-40

250 ≤ R ≤ 700 p = 8 % 50 ≤ R ≤ 350 p = 7 %

700 ≤ R ≤ 5000 p = 8 – 7,3 · (1 – 700/r)1,3 %

350 ≤ R ≤ 2500 p = 7 – 6,08 · (1 – 350/r)1,3

%

5000 ≤ R ≤ 7500

p = 2 % 2500 ≤ R ≤ 3500

p = 2 %

7500 ≤ R Bombeo 3500 ≤ R Bombeo

El radio está condicionado por la velocidad específica de la curva: es la máxima

velocidad que puede mantenerse en condiciones de seguridad cuando las únicas

limitaciones vienen determinadas por las características geométricas de la curva. Se

Página 3

calcula en función de las condiciones topográficas y ambientales, de la homogeneidad del

trayecto y de las condiciones económicas.

Se procurará mantener la velocidad de proyecto de cada tipo de carretera: autopistas y autovías, 120, 100 u 80, vías rápidas 100 u 80 y carreteras 100, 80, 60 ó 40.

En las siguientes tablas se muestra la relación velocidad específica - radio - peralte para las carreteras del grupo I y del grupo II:

CARRETERAS GRUPO I CARRETERAS GRUPO II

VelocidadEspecífica

(Km/h)

Radio(m)

Peralte(%)

VelocidadEspecífica

(Km/h)

Radio(m)

Peralte(%)

80 250 8,00 40 50 7,00

85 300 8,00 45 65 7,00

90 350 8,00 50 85 7,00

95 400 8,00 55 105 7,00

100 450 8,00 60 130 7,00

105 500 8,00 65 155 7,00

110 550 8,00 70 190 7,00

115 600 8,00 75 225 7,00

120 700 8,00 80 265 7,00

125 800 7,51 85 305 7,00

130 900 6,97 90 350 7,00

135 1050 6,25 95 410 6,50

140 1250 5,49 100 485 5,85

145 1475 4,84 105 570 5,24

150 1725 4,29 110 670 4,67

Por tanto, son dos las características distintivas de un tramo en recta y de un

tramo en curva: la sección transversal y la ausencia y presencia de una fuerza centrífuga.

Para enlazar una recta con una curva, se utiliza una curva de radio variable (la clotoide)

para que el tránsito se haga gradualmente.

Página 4

2.1. LOS TRAZADOS MÁS HABITUALES

En los proyectos de carreteras son:

Unión de clotoides para curvas en S (radios de curvatura en sentido contrario)

Unión de alineaciones rectas mediante curva circular sin curvas de acuerdo.

Página 5

3. UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE (CCS) ESTÁ COMPUESTA DE LOS SIGUIENTES ELEMENTOS:

A: Angulo de la curva.

Cc: Es el punto medio del arco circular.

Ángulo de deflexión (Δ): El que se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según

Página 6

si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (Δ).

Tangente (T): Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre de tangentes, si se trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia- hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).

Radio (R): El de la circunferencia que describe el arco de la curva.

Cuerda larga (CL): Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT).

Externa (E): Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco.

Ordenada Media (M) (o flecha (F): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.

Grado de curvatura (G): Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver más adelante para mayor información.

Longitud de la curva (LC): Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. Ver más adelante para mayor información.

Página 7

4. ELEMENTOS DE UNA CURVA HORIZONTAL

Página 8

5. GRADO DE UNA CURVA CIRCULAR

En la práctica europea y en la mayor parte de los trabajos de construcción de carretera en EE.UU. las curvas circulares se designan por su radio; por ejemplo: “curva 1500 metros de radio” o “curva de 1000 pie de radio.” Y anteriormente en la construcción de carreteras, el grado especifico de una curva se define como el ángulo en el centro de un arco circular subtendido por una cuerda especifica de 20 m. o bien, de 100 pies.

5.1. Usando arcos unidad:

En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene:

5.2. Usando cuerdas unidad:Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: Se pueden medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía. ¿cómo?).

Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura, de donde:

Página 9

5.3. Longitud de la curva

A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se tiene:

Usando arcos unidad:

Usando cuerdas unidad:

La longitud de una cuerda unidad, o de un arco unidad, se toma comúnmente como 5 m, 10 m , ó 20 m .

5.4. Grado máximo de curvatura.- el valor máximo del grado de curvatura correspondiente a cada velocidad de proyecto, estará dado por la expresión:

Gmax ¿146000μ+SmaxV 2

Página 10

En donde:

Gmax = Grado máximo de curvatura

μ= Coeficiente de fricción lateral

Smax = Sobreelevación máxima de la curva en m/m

V = Velocidad de proyecto en Km/h

 

En la siguiente tabla se indican los valores máximos de curvatura para cada velocidad de proyecto.

 

Velocidad de

proyecto

Km/h

Coeficiente de fricción

lateral

Sobreelevación máxima

m/m

Grado máximo de curvatura

calculado

grados

Grado máximo de curvatura

para proyecto

Grados

30 0.280 0.10 61.6444 60

40 0.230 0.10 30.1125 30

50 0.190 0.10 16.9360 17

60 0.165 0.10 10.7472 11

70 0.150 0.10 7.4489 7.5

80 0.140 0.10 5.4750 5.5

90 0.135 0.10 4.2358 4.25

100 0.130 0.10 3.3580 3.25

110 0.125 0.10 2.7149 2.75

6. REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES

Página 11

6.1. MÉTODO DE REPLANTEO POR DEFLEXIONES.

Definición: se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (Δ).

FORMULAS QUE SE USAS PARA UN REPLANTEO CON EL METODO DE DEFLEXION.

E=R[ 1

cos(α2 )−1]

T=R×tg(α2 )

Página 12

LC=R×π α

1800

PT = PC + LC

EJERCICIO

1. Calcular los elementos y realizar el estacado con los siguientes datos:R = 50 m.α = 420 20’PC = 8 + 8.50

SOLUCIÓN: Calculando los elementos de la curva.

E=R[ 1

cos(α2 )−1]=3.618m

T=R×tg(α2 )=19.360m

LC=R×π α

1800=36.943m

Calculando el estacado de curva (método de ángulo de deflexión).

PC = 8 + 8.50PT = PC + LC

Página 13

8+8.503+6.943

11+15.44312+5.443

Calculando el ángulo de deflexión para cada longitud de arco de radio de cada son:

LC=R×π α

1800

α= LC×1800

R×π

(α2 )'

=LC ×1800

2 R×π

(α2 )'

=1.50×1800

2(50)×π

(α2 )'

=00 51'34 ' '

(α2 )' '

=10×1800

2 (50 )×π=50 43' 46.5' '

(α2 )' ' '

=5.443×1800

2 (50 )×π=30 07' 07' '

ESTACA 9: 00 51’ 34’’ + 5 0 43’ 46.5’’ ESTACA 10: 60 35’ 20.5’’ + 5 0 43’ 46.5’’ ESTACA 11: 120 19’ 07’’ +

5 0 43’ 46.5’’ ESTACA 12: 180 2’ 53.5’’ + 3 0 07’ 07’’

Página 14

PT: 210 10’ 0.5’’

210 10'0.5 ' '=α2

Despejando el α

210 10’ 0.5’’ × 2 = α

α = 420 20’ 1’’

6.2. POR ABSCISAS Y ORDENADAS SOBRE LA TANGENTE

Es un método de replanteo interno puesto que se realiza desde la tangente. Por tanto este punto debe haber sido previamente replanteado.

En la siguiente figura se muestran la abscisa y ordenada sobre la tangente para un punto P de la curva:

Cálculos:

- Determinar el valor del ángulo central en función del desarrollo lineal.

- Determinar el valor de la abscisa y de la ordenada:

Abscisa: X P=TH=QP=R⋅sen δ

Ordenada: Y P=HP=TQ=TO−QO=R−R⋅cos δ

Pasos para replantear P (con goniómetro o con cinta):

Página 15

- Desde T, marcar H en la dirección TV a distancia igual a XP

- Desde H, marcar P en la dirección perpendicular a TV y a una distancia igual a YP

Relación entre la abscisa y la ordenada:

Triángulo OPQ (rectángulo en Q):

OP2=OQ2+QP2

R2=(R−Y )2+X2 ; R2=R2+Y 2−2⋅R⋅Y +X2

Y <X⇒Y 2 << X2 (despreciable) ⇒ 0=-2⋅R⋅Y +X 2

Y≈X2

2⋅R

Ventajas del método: el replanteo se realiza por la zona convexa de la curva. Puede utilizarse cuando en la zona cóncava existan obstáculos.

6.3. POR CUERDAS Y FLECHAS

Es también un método de replanteo interno que consiste en ir marcando puntos de la curva que son las sucesivas bisectrices.

Cálculos:

- Determinar el valor de las cuerdas y flechas:

Página 16

Cuerda 1: C1=TT '=2 R sen

α2 ; Flecha 1:

F1=B1M 1=R−R cosα2

Cuerda 2: C2=TB1=2 R sen

α4 ; Flecha 2:

F2=B2M 2=R−R cosα4

Pasos para replantear P (con goniómetro o con cinta):

- Replantear previamente las tangentes T y T’

- Desde T, marcar M1 en la dirección TT’ a una distancia igual a la mitad de la cuerda

(C1/2)

Desde C1, marcar B1 en la dirección perpendicular a TT’ y a una distancia igual a la flecha

F1

- Desde T, marcar M2 en la dirección TB1 a una distancia igual a la mitad de la cuerda

(C2/2)

Desde C2, marcar B2 en la dirección perpendicular a TB1 y a una distancia igual a la flecha

F2

Relación entre cuerdas y flechas:

Triángulo TM1O (rectángulo en M1):

TO2=TM12+M1O

2

R2=(C1

2)2+(R−F1)

2 ; R2=C

12

4+R2+F

12−2⋅R⋅F1

F1<C1⇒ F12<<C

12 (despreciable ) ⇒ 0=C

12

4−2⋅R⋅F1

F1≈C

12

8⋅R ; de forma general F≈C

2

8⋅R

Segunda cuerda y segunda flecha:

Aproximadamente la segunda cuerda es la mitad de la primera. Así:

Página 17

C2≈C1

2 ; F2=

C22

8⋅R=

(C1

2)2

8⋅R=C

12

4⋅8⋅R=F1

4 ; F3=

F2

4

Cada flecha es aproximadamente la cuarta parte de la flecha anterior (es el método de los cuartos de flecha).

Utilidad del método:

Sirve para densificar puntos de la curva de forma sencilla, pudiendo realizarse el replanteo con cinta.

6.4. POR INTERSECCIÓN ANGULAR DESDE LAS TANGENTES

En este método es necesario replantear previamente las tangentes de entrada y salida.

Cálculos:

- Determinar el valor del ángulo central en función del desarrollo:

4002πR

= δd

; δ=400⋅d2πR

Página 18

Pasos para replantear P (con goniómetro):

- Orientando al vértice: el punto P está en la intersección de las direcciones trazadas desde T y T’ en las que se tienen las siguientes lecturas horizontales:

LTP=LT

V+ δ2

; LT 'P =LT '

V −α−δ2

- Orientando a las tangentes: el punto P está en la intersección de las direcciones trazadas desde T y T’ en las que se tienen las siguientes lecturas horizontales:

LTP=LT

T '−α−δ2

; LT 'P =LT '

T + δ2

6.5. POR COORDENADAS POLARES

Uso de coordenadas de referencia al diseño

El uso de coordenadas de referencia en el levantamiento topográfico del terreno resulta obligatorio para obtener un cómputo preciso de un alineamiento del eje de una carretera. Las coordenadas pueden ser geográficas si se tienen una referencia cercana, para enlazar el proyecto al sistema geográfico.Pero cuando el proyecto es pequeño y no se tiene referencias cercanas se puede establecer un sistema arbitrario de coordenadas ortogonales Norte-Sur. La referencia a un sistema de coordenadas debidamente monumentadas, según la importancia y/o características del proyecto, es necesaria, cualquiera sea el tipo de coordenadas a utilizarse. Las referencias coordenadas de los PI, PC y PT, así como el azimut de la tangente, permiten alcanzar precisión en el diseño y en los replanteos del proyecto, sobre el terreno y evita acumulación de errores por mínimos que sean.

Página 19

6.5.1. DESDE EL CENTRO

Cálculos:- Determinar el valor del ángulo central en función del desarrollo:

4002πR

= δd

; δ=400⋅d2πR

Página 20

Modo de replantar P:- Estacionar en O y orientar a la tangente de entrada.- Replantear el punto P con los siguientes datos:

LOP=LO

T +δ ; OP=R

6.5.2. DESDE LAS TANGENTES

V

Cálculos:

- Determinar el valor del ángulo central en función del desarrollo.

Modo de replantar P:- Estacionar en T y orientar al vértice V. Marcar el punto P con los siguientes datos:

LTP=LT

V+ δ2

; TP=2⋅R⋅senδ2(es una cuerda correspondiente a un ángulo central δ )

6.5.3. DESDE LAS BASES DE REPLANTEO

En este método el replanteo se lleva a cabo desde puntos exteriores al proyecto (las bases de replanteo):

Página 21

7. CAUSAS DE ERRORES:

Algunas causas de errores en el trazo de curvas son:

Errores en el emplazamiento, nivelación y lectura de los instrumentos. Estación total, teodolito o transito desajustado. Brújula circular desajustada en el estadal prismático usado para estacar con una

estación total. Intersección deficientes entre las líneas trazadas con cinta y líneas de visual

(como cuando ambas son casi paralelas). En curvas muy tendidas. Usos de cintas de longitud completa menor a los 30 m. (100 pie). En curvas definidas

por arco.

8. EQUIVOCACIONES COMUNES.En algunas equivocaciones que ocurren al trazar una curva en el campo son:

No efectuar el mismo número de medición directas i inversas del ángulo de deflexión.

Sumar la distancia tangente a la estación PI para determinar la estación del PT.

Usar cuerdas de 100 pie (20 m). para trazar curvas definidas por algo que tengan una gradiente mayor de 20

Medir con cinta subcuerda de longitud de nominal en curva definida por cuerda que tenga una gradiente mayor de 50.

No revisar los puntos de la curva estacado usando una estación total y el método de cuerda total o de coordenadas.

Equivocación en la lectura hacia atrás al estacar con el método de coordenadas.

No estacar el PT en forma independiente midiendo la distancia a la tangente hacia adelante desde el PI

Página 22

CONCLUSIÓN

Las curvas horizontales es la representación gráfica del terreno, de sus accidentes, de carreteras, y de las instalaciones y edificaciones existentes, puestas por el hombre. El levantamiento topográfico muestra las distancias horizontales y las diferentes cotas o elevaciones de los elementos representados en el plano mediante curvas de nivel a escalas convenientes para la interpretación del plano por el ingeniero y para la adecuada representación de la carretera y de las diversas estructuras que lo componen.

Página 23

En las curvas horizontales el método de deflexión es los más utilizados en el trazo y replanteo de curvas horizontales.

BIBLIOGRAFIA

Fundamentos de topografía *Milton o Schmidt*Editorial: continental MéxicoEdición: 1ra edición - 1983Página: 607 – 635

Carreteras ferrocarriles canales *Cesar Guerra Bustamante*Editorial: AméricaEdición: 3ra edición febrero de 1997Página: 11 - 80

Página 24