7/24/2019 calfeb05_06 EXAMEN CALCULO

1/5

T1 T2 T3 T4 T5 T6 EC TOTAL

CALCULO INFINITESIMALFEBRERO 3-2-2006

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIASEl examen se compone de dos partes. En la primera se realizara la TEORIA en un tiempo maximo

de 1h.30min. Se ha de indicar al grupo al que se pertenece.No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante la

primera hora. No se admiten calculadoras.

PRIMERA PARTE TEORIA

Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

T1. Si z es un numero complejo de modulo |z| = 3 y argumento Arg(z) =23

y w es un

numero complejo de modulo |w| = 2 y argumento Arg(w) = 4

entonces

(a) z

w=

3 +

3

2 i

3 +

3

2

. (2 puntos)

(b) z6 w2 = 54i. (2 puntos)

T2. La serien=0

(1)n(2n+ 1)!(ln 3)n

es convergente. (3 puntos)

T3. La funcion f(x) = x

1 + |x| no es derivable en x= 0. (4 puntos)

T4. Sea P(x) = 1 x+ 2x2 el polinomio de Taylor de orden 2 de g(x) centrado en a= 0 y sea funa funcion derivable en 0. Entonces para h(x) = f(x+ g(x) g(0)) se tiene que h(0) = 0.(3 puntos)

T5. Sea f(x) =

|x| 1 x 1

1 1 < x 2 . Entonces F(x) = x1

f(t) dt es una primitiva de f en el

intervalo (1, 2) siendo F(x) =x x (1, 2). (4 puntos)

T6. Si p >1 entonces +1

1

xpdx =

1

p 1 . (3 puntos)

7/24/2019 calfeb05_06 EXAMEN CALCULO

2/5

P1 P2 P3

CALCULO INFINITESIMALFINAL FEBRERO 3-2-06

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIASEn esta segunda parte se realizaran los PROBLEMAS en un tiempo maximo de 2h.,estos se

entregaran en hojas separadas. No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer enella al menos durante la primera hora. No se admiten calculadoras.

PROBLEMAS

P1. Sea f(x) = x|x|1 |x|

(a) Calcular las asntotas de f.

(b) Estudiar crecimiento, decrecimiento y extremos.

(7 puntos)

P2. Hallar el punto a del intervalo [0, 1] tal que el triangulo formado por la recta tangente ay= x2 en el punto de abscisa a, el eje OXy la recta x= 1 tenga area maxima. Hallar dicha area.

(7 puntos)

P3.

(a) Calcular +5

xex/5 dx.

(b) Probar que el area del recinto plano acotado por y = 2

a2x 1

a3x2 y el eje de abcisas es

independiente del valor de a.

(7 puntos)

7/24/2019 calfeb05_06 EXAMEN CALCULO

3/5

PRIMERA PARTE TEORIA

T1. FAlSO (a), VERDADERO (b)Si z=

3 2

3

, w=

2 4

entonces

(a) z w =

3 23

24

=

6

cos

2

3 +

4

+ i sen

2

3 +

4

=3 +

3

2 +i

3 32

=

3 + 32

i 3 + 32

(b) z6 w2 =

3 23

6 24

2= 274 2

2= 544+

2= 54i

T2. VERDADERO

C.N. lmn+

(1)n(2n+ 1)!(ln 3)n

= 0 puede converger, estudiamos la serie en valor absoluto

n=0

(1)n

(2n+ 1)!(ln 3)n

=n=0

1

(2n + 1)!(ln 3)n aplicamos el criterio del cociente

lmn+

1

(2(n+1)+1)!(ln3)n+1

1(2n+1)!(ln3)n

= lmn+

(2n + 1)!(ln 3)n

(2n+ 3)!(ln 3)n+1 = lmn+ 1(2n + 3)(2n+ 2) ln 3= 0< 1

la serie en valor absoluto es convergente, luego la serie es absolutamente convergente.

T3. FALSO

f(0) = lmh0

f(0 + h) f(0)h

= lmh0

h1+|h|

0h

= lmh0

h

h(1 + |h|)= lmh01

1 + |h| = 1

T4. VERDADEROSi P(x) = 1 x + 2x2 es el polinomio de Taylor de grado 2 de g(x) centrado en a= 0 =g(0) =P(0) = 1, g

(0) =P

(0) = 1, como h(x) =f(x + g(x) g(0)) entoncesh(x) =f(x + g(x) g(0))(1 + g(x)) sustituyendo enx= 0h(0) =f(0 + g(0) g(0))(1 + g(0)) =f(0)(1 + (1)) = 0

T5. VERDADEROPor ser fcontinua en [1, 2],Fes primitiva de fy ademas

F(x) = x

1

f(t) dt=

x1

(t) dt= 1 x2

2 1 x 1 = +1

1

xpdx= lm

M+

M1

1

xpdx = lm

M+

xp+1

p + 1

M1

=

= lmM+

Mp+1

p + 1

1

p+ 1

=

1

p

1

7/24/2019 calfeb05_06 EXAMEN CALCULO

4/5

PROBLEMAS

P1. f(x) = x|x|1 |x| =

x2

1 x x [0, 1)

(1, +)

x21 + x

x (, 1)(1, 0)es una funcion impar, por tanto simetrica respecto del origen.

(a) Asntotas verticales: cuando 1 |x| = 0 = x= 1, x= 1 son asntotas ya que

lmx1

x|x|1 |x| = lmx1

x|x|1 |x| =

Asntotas no verticales: y= mx + n siendo

m= lmx

x|x|1|x|

x = lm

x

|x|1 |x| = 1, n= lmx

x|x|1 |x| (x)

= lm

x

x

1 |x| =

=

lmx+x

1 x = 1 asntota no vertical hacia + y= x 1

lmx

x

1 (x) = 1 asntota no vertical hacia y= x + 1

(b) f(x) = x|x|1 |x| = f

(x) =

x(2 x)(1 x)2 x (0, 1)

(1, +) Posibles extremos

x= 2, x= 0, x= 2x(2 + x)

(1 + x)2 x (, 1)(1, 0)

Six

(0, 1)(1, +), f >0

2

x >0

x 0 2 + x > 0 x >2 = f crece en(2, 1)(1, 0), f decrece en (, 2), por tanto x= 2 es mnimo local de f.Por tanto, x= 0 no es extremo de f.

P2. La recta tangente a y= x2 en el punto de abscisa aesy a2 = 2a(x a)La interseccion con el eje OX y= 0 es x= a

2= B = 1 a

2La interseccion con la recta x= 1 es y= 2a a2 = H= 2a a2

El area del triangulo formado por la recta tangente a y= x2 en

el punto de abscisa a, el eje OXy la recta x= 1 es A=BH

2

A(a) =

1 a

2

(2a a2)2

=(2 a)(2a a2)

4 =

a3 4a2 + 4a4

= A(a) =3a2 8a + 4

4

A = 0 = a= 2, a= 23

como a [0, 1] = a= 23

, A(a) = 6a 8

4

a=2/3

= 1< 0 = el valor

calculado hace maximo el valor del area y Area=A 2

3=

8

27

u2

7/24/2019 calfeb05_06 EXAMEN CALCULO

5/5

P3.

(a) +5

xex/5 dx= lmM+

M5

xex/5 dx=

u= x du= dx

dv= ex/5 dx v = 5ex/5

=

= lmM+

5xex/5

M

5 M

55ex/5 dx

= lm

M+

5M eM/5 + 25e1

25ex/5

M

5

=

= lmM+

5M eM/5 + 25e1

25eM/5 25e1

= 50e1

ya que se verifica

lmM+

5MeM/5

= 0, lmM+

25eM/5 = 0

(b) La interseccion de y= 2

a2x 1

a3x2 y el eje de abcisas es

x= 0, = 2a.

Si a >0 el area es

Area= 2a

0

2a2

x 1a3

x2

dx=

x2

a2 x3

3a3

2a0

=(2a)2

a2 (2a)3

3a3 =4

3u2

Si a < 0 la figura es simetrica respecto del origen de la anterior, por tanto el valor del areacoincide.