calculo funciones

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE CALKIN EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE CALKIN EN EL ESTADO DE CAMPECHE

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

QUINTO SEMESTRE

MATEMTICAS V (ACM-0407)ING. JULIO CSAR PECH SALAZAR

Subtema 5.6 SERIE DE FOURIER DE FUNCIONES PARES E IMPARES (DESARROLLO COSENOIDAL O SENOIDAL)

Material de apoyo

MATEMTICAS V

INGENIERA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

Clave de la asignatura: ACM-0407UNIDADNOMBRETEMAS Y SUBTEMAS

VSeries De Fourier5.6 Serie de fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)

5.6 serie de fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)FUNCIONES PARES E IMPARES

Definicin. Una funcin

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/eq0086M.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/eq0086P.gif" \* MERGEFORMATINET


INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET se llama funcin par en el intervalo





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET si cumple que





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET ,





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET .

Graficamente, una funcin es par si es simtrica respecto al eje





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET . As, una grfica tpica de una funcin par, se ve como sigue:

Algunos ejemplos clsicos de funciones pares son:

1.





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin par en cualquier intervalo






2.





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin par en el intervalo






El nombre de funcin par es debido a que todas las funciones de la forma





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , donde k es un nmero natural par, son funciones pares.

De la propiedad geomtrica de las funciones pares, es claro que si calculamos





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , estamos calculando el area bajo la curva, y puesto que la funcin es simtrica respecto al eje y, entonces esta integral equivale a dos veces el valor de






Una prueba formal de este resultado se da en los cursos de Clculo.

LEMA. Si





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin par en el intervalo





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET entonces:






Pasemos ahora a las funciones impares.

Definicin. Una funcin





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET se llama funcin impar en el intervalo





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET si cumple que











Graficamente, una funcin





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es impar si es simtrica respecto al origen. As, una grfica tpica de una funcin impar, se ve como sigue:

Algunos ejemplos clsicos de funciones impares son:

1.





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin impar en cualquier intervalo






2.





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin impar en el intervalo






El nombre de funcin impar es debido a que todas las funciones de la forma





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , donde k es un nmero natural impar, son funciones impares.

De la propiedad geomtrica de las funciones impares, vemos que el valor de





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET y el valor de





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET difieren por un signo y por lo tanto el valor total de





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET se anula. Una prueba formal se da en los cursos de Clculo.

LEMA. Si





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin impar en el intervalo





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET entonces:






Al combinar bajo productos funciones pares e impares, stas se comportan como cuando multiplicamos nmeros positivos y negativos, siguiendo las leyes de los signos.

Informalmente hablando, tenemos las siguientes propiedades:

(par)(par) = par (par)(impar) = impar (impar)(impar) = par

La demostracin de estas propiedades es muy simple. Pongamos por ejemplo, que






es una funcin par y





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin impar. De aqu tenemos que:





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET lo que demuestra que





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin impar.

Pasemos a ver el resultado que nos indica qu sucede con los coeficientes y la serie de Fourier de funciones pares e impares.

TEOREMA. Sea





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET integrable en el intervalo





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET . Entonces:

i) Si





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin par, entonces la serie de Fourier de





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET en





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es:





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET donde:















INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET ii) Si





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es una funcin impar, entonces la serie de Fourier de















INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET donde:










INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET Demostracin. i) Supongamos que





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es par. Entonces por las propiedades de las funciones pares e impares,





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es par,





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , y por uno de los lemas anteriores, se sigue que:










INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET Tambin,





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es impar,





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , y por el otro lema se sigue que,





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET ii) Es completamente anlogo al inciso (i).

Ejemplo 3.

Calcular la serie de Fourier para la funcin





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , en el intervalo






Solucin. Sabemos que





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET es par, y por lo tanto, solamente calculamos los coeficientes





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET y





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET . Tenemos que:
















Por lo tanto, la serie de Fourier de
















Ejemplo 4.

Calcular la serie de Fourier de la funcin definida como:





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET Solucin. De la grfica de la funcin,

vemos que se trata de una funcin impar. Por lo tanto, para calcular su serie de Fourier, nicamente calculamos los coeficientes





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET :






Por lo tanto la serie de Fourier de















INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET De hecho, observamos que si










INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET entonces





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET , mientras que si










INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET entonces





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET . Por lo tanto, la serie de Fourier se puede escribir como:





INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/Series_files/empty.gif" \* MERGEFORMATINET SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS Funciones pares e impares Propiedades de las funciones pares e impares Series de Fourier de cosenos y de. senos Sucesin de sumas parciales Fenmeno de Gibbs Desarrollos en mitad de intervaloFunciones pares e impares El lector recordar que se dice que una funcin es

EJEMPLO 1 Funciones pares e impares

Como se ilustra en las figuras 10.3 y 10.4, la grfica de una funcin par es simtrica con respecto al eje y y la de una funcin impar lo es con respecto al origen.EJEMPLO 2Funciones pares e imparesComo cos (x) = cos x y sen(x) = sen x, el coseno y el seno son funcin par e impar, respectivamente.Propiedades de las funciones pares e impares El teorema que sigue menciona algunas propiedades de las funciones pares e impares.TEOREMA 10.2 Propiedades de las funciones pares e imparesa) El producto d dos funciones pares es par.b) El producto de dos funciones impares es par. c) El producto de una funcin impar y una funcin par es impar. d) La suma o diferencia de dos funciones pares es par. e) La suma o diferencia de dos funciones impares es impar:

DEMOSTRACIN DE b) Supongamos que y g son funciones impares. En ese caso tendremosque, Si definimos el producto de entonces

Esto demuestra que el producto F de dos funciones impares es una funcin par. Las demostraciones de las dems propiedades se dejan como ejercicios. (Problemas 45 a 49 de los ejercicios 10.3.)Series de senos y de cosenos Si es una funcin paren (-p, p), entonces, en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9), (10) y (11) de la definicin mencionada en la seccin 10.2 se transforman en

En forma parecida, cuando es impar en el intervalo (-p, p),

Resumiremos los resultados en la definicin siguiente.DEFINICIN 10.6 Series de Fourier de cosenos y serie de senosi) La serie de Fourier de una, funcin par en el intervalo (-p, p) es la serie de cosenosen que (1) (2) (3)ii) La serie de Fourier de una funcin impar en el intervalo (-p, p) es la serie de senosen donde (4) (5) EJEMPLO 3 Desarrollo en una serie de senosDesarrolle (x) = x, 2 < x < 2 en forma de una serie de Fourier.SOLUCINDesarrollaremos f como una serie de senos porque al ver la figura 10.5 advertiremos que la funcin es impar en el intervalo (2, 2).Hacemos que 2p = 4, o p = 2, y podemos escribir la ecuacin (5) como sigue:

Integramos por partes para obtenerPor consiguiente, (6)

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