DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Prof. Luis Martínez Catalán 2008.
Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas.
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Calculo de Limite de Funciones
Limites de funciones
Algebraicas
Propiedades de las funciones
1.-si “c” es una constante, el limite de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “c”.
Ejemplo:
2.- el limite de “x” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “a”.
Ejemplo:
Lim c = cX 2
Lim 5 = 5
X2
Lim x = aX a
Lim x = 3
X3
Demostración
Propiedades
3.- si “c” es una constante y “f” es una función, el limite del producto constante por función cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de la constante por el limite de la función.
Lim c f(x) = c Lim f(x)X a X a
Lim 4x = 4 Lim x = (4)(2) = 8
X2 X2
Demostración
4.-si “f” y “g” son funciones, el limite de un producto de funciones cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de los limites de las funciones.
Lim f(x) g(x) = Lim f(x) Lim g(x)X a X a x a
Propiedades
Demostración
5.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de una suma o diferencia cuando “x” a “a”, es igual a la suma o diferencia de los limites de las funciones.
Lim [ f(x) ± g (x) = Lim f(x) ± Lim g (x)] xa xaEJEMPLO:
Lim (3x²+2x) = Lim 3x² + Lim 2x x5 x5 x5 =3 Lim x²+ 2 Lim x= 3(5)²+ 2(5) = 75+10=85
Propiedades
Demostración
6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero.
Propiedades
Lim f(x) = xa g(x) Lim g(x)
Lim f(x)
Xa
Sí Lim g(x) ≠ 0Xa
Demostración
Casos del calculo de limites de funciones
Caso I.- Si la función dada, esta totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando lugar al limite buscado.
EJEMPLOS:
1. Calcular el limite de la función y = x +2x-1 cuando x2
Lim f(x) = Lim (x + 2x -1)= (2) +2(2) -1 =4+4-1= 7.
2. Calcular el limite de la función y = cuando x1/2
X + 5x4x - 6
3
Demostración
FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0/0)
Al calcular el cociente se observa que:a).- si el numerador y el denominador tienen el limite distinto de cero, el limite del
cociente es igual al cociente de los limites (propiedad 6).
b).- si el limite del numerador es cero y el denominador es diferente de cero , el limite del cociente es igual a cero.
C).- si el limite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero, el cociente no tiene limite y se establece que tiende a mas o menos infinito, según el caso.
D) si los limites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma (0/0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que multiplicado por el divisor da lugar al dividendo.
Ir a propiedad 6
Caso II
A veces es necesario simplificar la expresión dada antes de sustituir el valor de la variable, si no se hace da la forma indeterminada (0/0).
Se factoriza el numerados y el denominador de ser necesario.
Ejemplos:
y = x + x – 6 cuando x2x -4
2
2 Lim = x + x – 6 cuando x2x -4
2
2
= Lim (x+3) (x+2) = Lim x+3 x+3= 2+3 = 5
X 2 (x+2)(x-2) X 2 x+2 2+2 4
Mas ejemplos
Caso III
Para calcular el limite de una función dada, es necesario simplificar mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente, de no hacerlo se dará la forma (0/0).
Ejemplo:
Calcular el limite de f(x) cuando x 0x
X + 1 -1
Mas ejemplos
Infinito en limites Lim f(x) = ∞
Xa
Positivo Negativo
Lim f(x) = ∞Xa
Lim f(x) = -∞Xa
Lim f x² = ∞X0
1Lim f ‾ x² = - ∞X0
1
Lim f c = ∞X0 x
Lim f x = 0X0 c
Lim f cx = 0X0
Lim f c = 0X∞ x
Lim f x = ∞X∞ c
Lim f cx = ∞X∞
Se establece:
0 = ∞c
c = 00
∞ = 0c
c = ∞∞
C(0) = 0
C(∞) = ∞
Lim f(x) = AX∞
Indeterminadas del tipo ∞
Sí el numerador y el denominador son iguales a ∞:
Se elimina dividiendo ambos entre la variable de máxima potencia.
Ejemplo:
Limite de la función y = 49x³-5x²+6
∞
7x-3x²+9x³
Solucionar
Caso IV
Cuando se desea obtener el cociente de polinomios y si la variable independiente tiende al infinito, en este caso es necesario dividir el numerador y el denominador por la variable de mayor exponente, antes de sustituir el valor al que tiende la variable.
EJEMPLO: 1.-Calcular el Lim 2- 5x² Y
4x + 8x²X∞
Lim 3t +2xt²+x²t³4-3xt-2x³t³T∞
Solucionar
Limites de funciones
Trascendentales
Teorema
Si “c” es un numero real en el dominio de una función trigonométrica indicada, se cumple las siguientes propiedades.
Lim sen (x) = sen (c)X c
Lim cos (x) = cos (c)X c
Lim tan (x) = tan (c)X c Demostración
Propiedad de SENO
Ejemplos:
Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:
Lim senx = 1X 0 x
Lim sen 3xX 0 x
sen 3x
X 0
= Lim 3 3x
sen 3x
X 0
= 3 Lim 3x
= 3 * 1 = 3
Demostración
Limite de funciones circulares trigonométricas inversas
Limites Trascendentales Inversos
Son los limites con funciones trigonométricas inversas:
Teorema: si “c” es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades…
Lim cot (x) = cot (c)X c
Lim sec (x) = sec (c)X c
Lim csc (x) = csc (c)X c
Demostración
Recuerda las siguientes identidades trigonométricas
En muchas veces para resolver los limites trigonométricos tendremos que utilizar el simplificado de términos, formulas de ángulos dobles, medio ángulo, suma y resta de ángulos.
1) tan (x) = sen (x) cos (x)
2) cot (x) = cos (x)
sen (x)
3) csc (x) = 1
sen (x)
4) sec (x) = 1
cos (x)
2) sen² (x) + cos² (x) = 1
;o; cot (x) =1
tan (x)
Limites de funciones exponenciales y algorítmicas
La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece a demás en muchas ecuaciones de la física. Se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función es igual al valor de la propia función. A demás es la inversa del logaritmo natural, esta función se denota equivalentemente como:
X е ó x exp(x).
Donde “е” es la base de los logaritmos naturales.
En términos generales una función real f(x) es de tipo exponencial si tiene la forma:
f(x) = K * a
siendo a, “a”, K Є R números reales.
x
Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama función exponencial la función definida sobre los reales por x ℮ .
La exponencial es la única función que es igual a su derivada.
x
Relación adición-multiplicación
℮ = ℮ * ℮a+b a b
℮ =-a1℮a
℮ =a-b
℮b
a℮
Sus limites son: Lim ℮ = 0X -∞
x
Lim ℮ = ∞X +∞
x
Inversa del logaritmo: y = exp x
X = ln y (y > 0)
Demostración
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación:
Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler:
℮ = cos t + i * sen ti*t
℮ = ℮ * (cos b + i sen b)a+bi a
Demostración
Fin
Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero.
Propiedades
Lim f(x) = xa g(x) Lim g(x)
Lim f(x)
Xa
Sí Lim g(x) ≠ 0Xa
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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Demostración
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X + 5x4x - 6
3
1.-
2.- X + 2x - 3X + 1
Y= Cuando x ½
Y= Cuando x 1