Cálculo de Una variable - George Thomas - Doceava Edicion

PEARSON----PEARSON -----

http://gratislibrospdf.com/

-FRMULAS BSICAS DE LGEBRA

Operaciones aritmticas

aib + e) = ab + ae, a e aebd = bdaf b a dcid = bc!!: + S = ad + beb d bd'

leyes de los signos

-( -a) = a, -a a ab b-b

Cero La divisin entre cero no est definida.

Si a =j:. O: ~ = O, aO = 1, o- = O

Para cualquier nmero a: a O = O a = O

leyes de los exponentes

Sia =j:. O,

-11I _ 1a - amo

El teorema del binomio Para cualquier entero positivo n,

n(n - 1)(a + b)" = a" + na"-1b + a"-2b212

nin - l)(n - 2) '3+ a"-~b +1 23

+ nab"-I + b".

Por ejemplo,

(a + b? = a2 + 2ab + b2,

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(a - b)2 = a2 - 2ab + j2

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Factorizacin de una diferencia de potencias iguales de enteros, n > 1a" - b" = (a - b)(a"-1 + a"-2b + a"-3b2 + ... + ab"-2 + b"-I)

Por ejemplo,

a2 - b2 = (a - b)(a + b),a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2),a4 - b4 = (a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3).

Cmo completar un cuadrado Si a =j:. O,

ax2 + bx + e = au2 + e (u = x + (bI2a), e = e - !:)la frmula cuadrtica Si a =j:. OYax: + bx + e = O, entonces

-b Vb2 - 4ae2ax=

FRMULAS BSICAS DE LGEBRA

Operaciones aritmticas

Leyes de los signos

a(b + e) = ab + ae,

!!: + .f. = ad + be b d bd '

a e ae /Y"71 = bd a/ b a d c/ d = /y"c

-(-a ) =a, -a a a b b-b Cero La divisin entre cero no est definida.

Si a =1= O: ~ = O, aO = 1, oa = O Para cualquier nmero a: a" O = O" a = O

Leyes de los exponentes

(ab)1II = alllbm, Sia =1= O,

- m _ 1 a - am .

EL teorema del binomio Para cualquier entero positivo n, n(n - 1) (a + b)" = a" + na,,- Ib + a"- 2b2

1 " 2 n(n - l )(n - 2)

+ a" - 3b3 + 1" 2" 3

Por ejemplo,

+ nab"- I + b" .

(a + b? = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + i} (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Factorizacin de una diferencia de potencias iguales de enteros, n > 1 a" - b" = (a - b )(a"- I. + a,, - 2b + a',-3b2 + .. . + ab,,-2 + b"- I)

Por ejemplo, a2 - b2 = (a - b )(a + b), a3 - b3 = (a - b )(a2 + ab + b2), a4 - b4 = (a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3 ).

Cmo completar un cuadrado Si a =1= O,

ax2 + bx + e = au 2 + e (u = x + (b/ 2a), e = e - !:)

La frmula cuadrtica Si a =1= O Y ax2 + bx + e = O, entonces -b Vb2 - 4ae

x = 2a


TROMAS~

CALCULOUNA VARIABLE Decimosegunda edicin

George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisada por

Mauriee D. WeirNaval Postgraduate Sehool

Joel HassUniversity of California, Davis

Traduccin

Vctor Hugo Ibarra MercadoEscuela de Actuara

Universidad Anhuac - Mxico Norte

Revisin tcnica

Carlos Bosch GiralCsar Luis Garca GarcaClaudia Gmez WulschnerDepartamento de Matemticas

Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

Manuel Robles BernalInstituto Politcnico Nacional

Addison-Wesley

Mxico > Argentina Brasil Colombia Costa Rica' Chile EcuadorEspaa> Guatemala> Panam> Per > Puerto Rico > Uruguay> Venezuela

TROMAS ~

CALCULO UNA VARIABLE Decimosegunda edicin

George B. Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology

Revisada por

Maurice D. Weir N aval Postgraduate School

J oel Hass University of California, Davis

Traduccin

Vctor Rugo !barra Mercado Escuela de Actuara

Universidad Anhuac - Mxico Norte

Revisin tcnica

Carlos Bosch Giral Csar Luis Garca Garca

Claudia Gmez Wulschner Departamento de Matemticas

Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

Manuel Robles Bernal Instituto Politcnico Nacional

Addison-Wesley

M xico' Argentina' Brasil, Colombia Costa Rica' Chile ' Ecuador Espaa' Guatemala' Panam ' Per' Puerto Rico' Uruguay ' Venezuela


/ Datos de catalogacin bibliogrfica

TROMAS

Clculo una variableDecimosegunda edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010

ISBN: 978-607-32-0164-3rea: Matemticas

Formato: 21.5 X 27.5 cm Pginas: 800

Authorizeded translation from the English language editions, entitled THOMAS' CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12th Edition by GEORGE THOMAS;MAURICE WEI; OEL HASS, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010. All rights reserved.ISBN 9780321637420

Edicin en inglsEditor-in-Chief: Deirdre LynchSenior Acquisitions Editor: William HoffmanSenior Project Editor: Rachel S. ReeveAssociate Editor: Caroline CelanoAssociate Project Editor: Leah GoldbergSenior Managing Editor: Karen WernholmSenior Production Supervisor: Sheila SpinneySenior Design Supervisor: Andrea NixDigital Assets Manager: Marianne GrothMedia Producer: Lin Mahoney

Software Development: Mary Durnwald and Bob CarrollExecutive Marketing Manager: Jeff WeidenaarMarketing Assistant: Kendra BassiSenior Author Support/Technology Specialist: [oe VetereSenior Prepress Supervisor: Caroline FellManufacturing Manager: Evelyn BeatonProduction Coordinator: Kathy DiamondComposition: Nesbitt Craphics, Inc.Illustrations: Karen Heyt, IllustraTechCover Design: Rokusek Design

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12" ed. Por GEORGE THOMAS; MAURICE WEI; OEL HASS,publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Rubn Fuerte Rivera

e-mail: [email protected] de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Carduo

DECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010

D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de ev.Atlacomulco 500-50. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de [urez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.

Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de ev.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse,registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqu-mico, magntico o clectroptico. por fotocopia,grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0164-3ISBN E-BOOK: 978-607-32-0165-0ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0166-7

DJUL

1 23456789 O - 13 12 11 10

LlTOGRFICA INGRAMEX, S.A.CENTENO No. 162-1COL. GRANJAS ESMERALDA09810 MXICO, D.F.

Addison-Wesleyes una marca de

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

PEARSON-----2010

D

/ Datos de catalogacin bibliogrfica

THOMAS

Clculo una variable Decimosegunda edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010 ISBN: 978-607-32-0164-3 rea: Matemticas

Formato: 21.5 X 27.5 cm Pginas: 800

Authorizeded translation from the English language editions, entitled THOMAS' CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12th Edition by GEORGE THOMAS; MAURICE WEI; OEL HASS, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010. AH rights reserved. ISBN 9780321637420

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, CALCULUS, SINGLE VARIABLE, 12" ed. Por GEORGE THOMAS; MAURICE WEI; OEL HASS, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaftol es la nica autorizada.

Edicin en ingls Editor-in-Chief: Deirdre Lynch Senior Acquisitions Editor: William Hoffman Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Associate Editor: Caroline Celano Associate Project Editor: Leah Goldberg Senior Managing Editor: Karen Wernholm Senior Production Supervisor: Sheila Spinney Senior Design Supervisor: Andrea Nix Digital Assets Manager: Marianne Groth Media Producer: Lin Mahoney

Edicin en espaol Editor: Rubn Fuerte Rivera

e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernndez Carrasco Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Gardufto

DECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010 D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de ev.

Atlacomulco 500-50. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.

Software Development: Mary Durnwald and Bob Carroll Executive Marketing Manager: Jeff Weidenaar Marketing Assistant: Kendra Bassi Senior Author Support/Technology Specialist: Joe Vetere Senior Prepress Supervisor: Caroline Fell Manufacturing Manager: Evelyn Beaton Production Coordinator: Kathy Diamond Composition: Nesbitt Graphics, Ine. Illustrations: Karen Heyt, IllustraTech Cover Design: Rokusek Design

Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de ev.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqu-mico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0164-3 ISBN E-BOOK: 978-607-32-0165-0 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0166-7

Addison-Wesley es una marca de

PEARSON -----

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

123456789 O -1312 1110

D JUL

LITOGRFICA INGRAMEX, S.A. CENTENO No. 162-1 COL. GRANJAS ESMERALDA 09810 MXICO, D.F. 2010

D


REVISIN TCNICA

Adelia CopasEnrique SantillnES/ME, Zacatenco-Instituto Politcnico Nacional

Javier Mosqueda LafargaInstituto Tecnolgico de Culiacn

Elio Csar RamosInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Aguascalientes

Mara Guadalupe Lomel PlascenciaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Guadalajara

Daniel Flores BarrigaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Morelia

Eduardo Soberanes LugoInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Sinaloa

Roberto NezInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente

Enrique Fernndez DazGabriel Martnez ChvezInstituto Tecnolgico de Hermosillo

Cutberto Romero MelndezUniversidad Autnoma Metropolitana- Unidad Azcapotzalco

Socorro del Rivero JimnezInstituto Tecnolgico Superior de Cajeme

Mario MesinoUniversidad Autnoma de Guadalajara

Luca Gonzlez RendnUniversidad de Guadalajara

REVISIN TCNICA

Adelia Copas Enrique Santilln ES/ME, Zacatenco-Instituto Politcnico Nacional

Javier Mosqueda Lafarga Instituto Tecnolgico de Culiacn

Elio Csar Ramos Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Aguascalientes

Mara Guadalupe Lomel Plascencia Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Guadalajara

Daniel Flores Barriga Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Morelia

Eduardo Soberanes Lugo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Sinaloa

Roberto Nez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente

Enrique Fernndez Daz Gabriel Martnez Chvez Instituto Tecnolgico de Hermosillo

Socorro del Rivero Jimnez Instituto Tecnolgico Superior de Cajeme

Mario Mesino Universidad Autnoma de Guadalajara

Cutberto Romero Melndez Universidad Autnoma Metropolitana- Unidad Azcapotzalco

Luca Gonzlez Rendn Universidad de Guadalajara


ChileJuan DuarteUniversidad de Antofagasta

AGRADECIMIENTOS

Pearson Educacin agradece a los centros de estudio y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentacin,elemento fundamental para esta nueva edicin de Clculo, una variable,

ArgentinaEmilio SurezInstituto Tecnolgico de Buenos Aires

Elena ArlauskasGabriela RighettiUniversidad Tecnolgica Nacional Regional Avellaneda

Haydee CastellettiSilvia Adriana MamoneUniversidad de Belgrano

ColombiaBernardo Aldana GmezNstor Ral PachnEscuela Colombiana de Ingeniera-Bogot

Viviana NiselmanUniversidad de Buenos Aires Elas Cardona

ICESIGladis Beatriz AstargoHoracio DayUniversidad Nacional de Cuyo

Isabel WeinbergUniversidad Nacional de la Matanza

Antonio MerchnFernando NovoaGerardo ToleHctor LinaresIrina ReyesIsmael GarcaJaime GmezJuan Carlos QuinteroLiliana BarretoMoiss ArandaNazly Esmeralda SalasRafael CastroPontificia Universidad Javeriana

ngela MaldonadoAugusto MelgarejoDelicia TiseraDiego VallejoJos SurezLaura LangoniMara Ins OteguiMara Teresa GuardarucciMariel LavaaMercedes TrpoliMiguel SanservinoNstor BucariUniversidad Nacional de la Plata

Laureano ValenciaOswaldo Rodrguez DazUniversidad Autnoma de Occidente-Cali

Mario BravoUniversidad de San Buenaventura-Cali

Anglica ArnulfoBeatriz IntrocasoEmilio SastreJos BottoMara Susana MontelarMnica CaseroUniversidad Nacional de Rosario

Jos VilladaUniversidad Distrital Francisco Jos de Caldas

AGRADECIMIENTOS

Pearson Educacin agradece a los centros de estudio y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentacin, elemento fundamental para esta nueva edicin de Clculo, una variable.

Argentina Emilio Surez Instituto Tecnolgico de Buenos Aires

Haydee Castelletti Silvia Adriana Mamone Universidad de Belgrano

Viviana Niselman Universidad de Buenos Aires

Gladis Beatriz Astargo Horacio Day Universidad Nacional de Cuyo

Isabel Weiriberg Universidad Nacional de la Matanza

ngela Maldonado Augusto Melgarejo Delicia Tisera Diego Vallejo Jos Surez Laura Langoni Mara Ins Otegui Mara Teresa Guardarucci Mariel Lavaa Mercedes Trpoli Miguel Sanservino Nstor Bucari Universidad Nacional de la Plata

Anglica Arnulfo Beatriz Introcaso Emilio Sastre Jos Botto Mara Susana Montelar Mnica Casero Universidad Nacional de Rosario

Elena Arlauskas Gabriela Righetti Universidad Tecnolgica Nacional Regional Avellaneda

Colombia Bernardo Aldana Gmez Nstor Ral Pachn Escuela Colombiana de Ingeniera-Bogot

Elas Cardona ICESI

Antonio Merchn Fernando Novoa Gerardo Tole Hctor Linares Irina Reyes Ismael Garca Jaime Gmez Juan Carlos Quintero Liliana Barreto Moiss Aranda Nazly Esmeralda Salas Rafael Castro Pontificia Universidad Javeriana

Laureano Valencia Oswaldo Rodrguez Daz Universidad Autnoma de Occidente-Cali

Mario Bravo Universidad de San Buenaventura-Cali

Jos Villada Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Chile Juan Duarte Universidad de Antofagasta


Clarita BalbontnUniversidad de los Andes

Mauro Ernesto Espinoza GarcaUniversidad Cristbal Coln - Jiracruz

Julio Hugo RamrezUniversidad de Via del Mar

Ana Mara Gonzlez PiaJavier BarrnKarla Violeta Martnez FacundoMaribel Fuentes DvilaPatricia GonzlezUniversidad de Monterrey

EcuadorEduardo AlbaUniversidad San Francisco de Quito

EspaaPatricia Barral RodioUniversidad de Santiago de Compostela

Alma Rosa Griselda Zetina VlezMartn Cruz CuevasMiriam LemusRoberto Bautista AtengenesSandra Chimal GarmaUniversidad La Salle

MxicoAlicia Ordez SeguraCelerino Federico Navarrete CruzFernando Arenas GarcaIsidro Rodrguez MontoroJess Solano RoanoJorge Almanza PrezJos Luis Almanza PrezJulio Ernesto Hoyos OchoaSalvador Hoyos OchoaInstituto Tecnolgico de EstudiosSuperiores de Jalapa

Dolores Vera DectorFelipe Hernndez HernndezRicardo Victoria CarreraUniversidad Veracruzana

PerLuis Daz BazurcoWilber Ramos LovnUniversidad Catlica de Santa Mara-Arequipa

Miguel Hernndez de la TorreOrnar Olmos LpezInstituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey - Campus Toluca

Jos Cuevas GonzlezUniversidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Mauricio Cirilo Mndez CansecaRal ChvezUniversidad Anhuac - Mxico Sur

VenezuelaElvira SabalMilagros BosquettiUniversidad Catlica Andrs Bello

Anglica Tovar GmezBertha Alicia Arellano SilvaElvia Loera HernndezJavier Cant RodrguezKarla Guajardo CosoUniversidad Autnoma de Nuevo Len

Jess HernndezJos Luis QuinterosMara de ArmasMara Luisa VonnaMarienma SnchezUniversidad Central de Venezuela

Ramiro Garza MolinaUniversidad Autnoma de Tamaulipas

David Elizarraraz MartnezJaime Grabinsky SteiderJos Ventura Becerril EspinosaJudith Omaa PulidoMarina Salazar AntunezUniversidad Autnoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco

CIarita Balbontn Universidad de los Andes

Julio Hugo Ramrez Universidad de Via del Mar

Ecuador Eduardo Alba Universidad San Francisco de Quito

Espaa Patricia Barral Rodillo Universidad de Santiago de Compostela

Mxico Alicia Ordez Segura Celerino Federico Navarrete Cruz Fernando Arenas Garca Isidro Rodrguez Montoro Jess Solano Roano Jorge Almanza Prez Jos Luis Almanza Prez Julio Ernesto Hoyos Ochoa Salvador Hoyos Ocho a Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Jalapa

Miguel Hernndez de la Torre Ornar Olmos Lpez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus Toluca

Mauricio Cirilo Mndez Canseca Ral Chvez Universidad Anhuac - Mxico Sur

Anglica Tovar Gmez Bertha Alicia Arellano Silva Elvia Loera Hernndez Javier Cant Rodrguez Karla Guajardo Coso Universidad Autnoma de Nuevo Len

Ramiro Garza Molina Universidad Autnoma de Tamaulipas

David Elizarraraz Martnez Jaime Grabinsky Steider Jos Ventura Becerril Espinosa Judith Omaa Pulido Marina Salazar Antunez Universidad Autnoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco

Mauro Ernesto Espinoza Garca Universidad Cristbal Coln - Veracruz

Ana Mara Gonzlez Pia Javier Barrn Karla Violeta Martnez Facundo Maribel Fuentes Dvila Patricia Gonzlez Universidad de Monterrey

Alma Rosa Griselda Zetina V lez Martn Cruz Cuevas Miriam Lemus Roberto Bautista Atengenes Sandra Chimal Garma Universidad La Salle

Dolores Vera Dector Felipe Hernndez Hernndez Ricardo Victoria Carrera Universidad Veracruzana

Per Luis Daz Bazurco Wilber Ramos Lovn Universidad Catlica de Santa Mara-Arequipa

Jos Cuevas Gonzlez Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Venezuela Elvira Sabal Milagros Bosquetti Universidad Catlica Andrs Bello

Jess Hernndez Jos Luis Quinteros Mara de Armas Mara Luisa Vonna Marienma Snchez Universidad Central de Venezuela


CONTENIDO

Prefacio

VOLUMEN 1

1 Funciones 1

xiii

1.11.21.31.4

Las funciones y sus grficas 1Combinacin de funciones; traslacin y cambio de tamao de funcionesFunciones trigonomtricas 22Graficacin por medio de calculadoras y computadora 30PREGUNTAS DE REPASO 34EJERCICIOS DE PRCTICA 35EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 37

14

2 Limites y continuidad 39

3 Derivadas102

2.1 Tasas de cambio y tangentes a curvas 392.2 Lmite de una funcin y leyes de los lmites 462.3 La definicin formal de lmite 572.4 Lmites laterales 662.5 Continuidad 732.6 Lmites que incluyen al infinito; asntotas de grficas 84

PREGUNTAS DE REPASO 96EJERCICIOS DE PRCTICA 97EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 98

102

3.13.23.33.43.53.6

Tangentes y la derivada en un puntoLa derivada como una funcin 106Reglas de derivacin 115La derivada como una tasa de cambioDerivadas de funciones trigonomtricasLa regla de la cadena 142

124135

vii

CONTENIDO

Prefacio

VOLUMEN 1

1 Funciones 1.1 1.2 1.3 1.4

Las funciones y sus grficas 1 Combinacin de funciones ; traslacin y cambio de tamao de funciones Funciones trigonomtricas 22 Graficacin por medio de calculadoras y computadora 30 PREGUNTAS DE REPASO 34 EJERCICIOS DE PRCTICA 35 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 37

2 Limites y continuidad 2.1 Tasas de cambio y tangentes a curvas 39 2.2 Lmite de una funcin y leyes de los lmites 46 2.3 La definicin formal de lmite 57 2.4 Lmites laterales 66 2.5 Continuidad 73 2.6 Lmites que incluyen al infinito; asntotas de grficas 84

P REGUNTAS DE REPASO 96 EJERCICIOS DE PRCTICA 97 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 98

3 Derivadas 3.1 Tangentes y la derivada en un punto 102 3.2 La derivada como una funcin 106 3.3 Reglas de derivacin 115 3.4 La derivada como una tasa de cambio 124 3.5 Derivadas de funciones trigonomtricas 135 3.6 La regla de la cadena 142

xiii

1

14

39

102

vii http://gratislibrospdf.com/

viii Contenido

3.7 Derivacin implcita 1493.8 Tasas relacionadas 1553.9 Linealizacin y diferenciales 164


4 Aplicaciones de Lasderivadas 1844,1 Valores extremos de funciones 1844,2 El teorema del valor medio 1924.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 1984.4 Concavidad y trazado de curvas 2034.5 Optimizacin aplicada 2144.6 Mtodo de Newton 2254.7 Antiderivadas 230


5 Integracin 2465.1 rea y su estimacin mediante sumas finitas 2465.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 2565.3 La integral definida 2625.4 El teorema fundamental del clculo 2745.5 Integrales indefinidas y el mtodo de sustitucin 2845.6 Sustitucin y rea entre curvas 291

PREGUNTAS DE REPASO 300EJERCICIOS DE PRCTICA 301EJERCICIOS ADICIO ALES y AVANZADOS 304

6 ApLicaciones de Las integraLes definidas. 3086.16.26.36.46.56.6

Clculo de volmenes por medio de secciones transversalesClculo de volmenes por medio de cascarones cilndricosLongitud de arco 326reas de superficies de revolucin 332Trabajo y fuerza de fluidos 337Momentos y centros de masa 346PREGUNTAS DE REPASO 357EJERCICIOS DE PRCTICA 357EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 359

308319

viii Contenido

3.7 Derivacin implcita 149 3.8 Tasas relacionadas 155 3.9 Linealizacin y diferenciales 164

PREGUNTAS DE REPASO 175 EJERCICIOS DE PRCTICA 176 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 180

4 Aplicaciones de las derivadas 184 4,1 Valores extremos de funciones 184 4,2 El teorema del valor medio 192 4.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 198 4.4 Concavidad y trazado de curvas 203 4.5 Optimizacin aplicada 214 4.6 Mtodo de Newton 225 4.7 Antiderivadas 230


5 Integracin 246 5.1 rea y su estimacin mediante sumas finitas 246 5.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 256 5.3 La integral definida 262 5.4 El teorema fundamental del clculo 274 5.5 Integrales indefinidas y el mtodo de sustitucin 284 5.6 Sustitucin y rea entre curvas 291

PREGUNTAS DE REPASO 300 EJERCICIOS DE PRCTICA 301 EJERCICIOS ADICIO ALES y AVANZADOS 304

6 Aplicaciones de las integrales definidas . 308 6.1 Clculo de volmenes por medio de secciones transversales 308 6.2 Clculo de volmenes por medio de cascarones cilndricos 319 6.3 Longitud de arco 326 6.4 reas de superficies de revolucin 332 6.5 Trabajo y fuerza de fluidos 337 6.6 Momentos y centros de masa 346



Contenido ix

7 Funciones trascendentes 3617.1 Funciones inversas y sus derivadas 3617.2 Logaritmos naturales 3697.3 Funciones exponenciales 3777A Cambio exponencial y ecuaciones diferenciales con variables separables 3877.5 Formas indeterminadas y la regla de L'Hpital 3967.6 Funciones trigonomtricas inversas 4047.7 Funciones hiperblicas 4167.8 Razones relativas de crecimiento 424


8 Tcnicas de integracin 4358.1 Integracin por partes 4368.2 Integrales trigonomtricas 4448.3 Sustituciones trigonomtricas 4498A Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 4538.5 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 4638.6 Integracin numrica 4688.7 Integrales impropias 478


9 Ecuaciones diferenciaLes de primer orden 4969.1 Soluciones, campos direccionales y el mtodo de Euler 4969.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 5049.3 Aplicaciones 5109A Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 5169.5 Sistemas de ecuaciones y planos fase 523


10 Sucesiones y series infinitas 53210.1 Sucesiones 53210.2 Series infinitas 54410.3 Criterio de la integral 553lOA Criterios de comparacin 55810.5 Criterios de la raz y de la razn 563

/

Contenido ix

7 Funciones trascendentes 361 7.1 Funciones inversas y sus derivadas 361 7.2 Logaritmos naturales 369 7.3 Funciones exponenciales 377 7A Cambio exponencial y ecuaciones diferenciales con variables separables 387 7.5 Formas indeterminadas y la regla de I.:H6pital 396 7.6 Funciones trigonomtricas inversas 404 7.7 Funciones hiperblicas 416 7.8 Razones relativas de crecimiento 424


8 Tcnicas de integracin 435 8.1 Integracin por partes 436 8.2 Integrales trigonomtricas 444 8.3 Sustituciones trigonomtricas 449 8A Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 453 8.5 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 463 8.6 Integracin numrica 468 8.7 Integrales impropias 478


9 Ecuaciones diferenciaLes de primer orden 496 9.1 Soluciones, campos direccionales y el mtodo de Euler 496 9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 504 9.3 Aplicaciones 510 9A Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 516 9.5 Sistemas de ecuaciones y planos fase 523


10 Sucesiones y series infinitas 532 10.1 Sucesiones 532 10.2 Series infinitas 544 10.3 Criterio de la integral 553 lOA Criterios de comparacin 558 10.5 Criterios de la raz y de la razn 563

/


-~-------~-------------------------------------------~-

X Contenido

10.610.710.810.910.10

Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicionalSeries de potencias 575Series de Taylor y de Maclaurin 584Convergencia de series de Taylor 589La serie binomial y aplicaciones de las series de Taylor 596PREGUNTAS DE REPASO 605EJERCICIOS DE PRCTICA 605EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 607

568

13 Funciones con vaLores vectoriaLes y movimiento en eL espacio 707

11 Ecuaciones paramtricas y coordenadas poLares 61011.1 Parametrizacin de curvas planas 61011.2 Clculo con curvas paramtricas 61811.3 Coordenadas polares 62711,4 Grficas en coordenadas polares 63111.5 reas y longitudes en coordenadas polares 63511.6 Secciones cnicas 63911.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 648


VOLUMEN 11

12 Los vectores y Lageometra deL espacio 66012.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 66012.2 Vectores 66512.3 El producto punto 67412,4 El producto cruz ~68212.5 Rectas y planos en el espacio 68812.6 Cilindros y superficies cudricas 696


13.1 Curvas en el espacio y sus tangentes 70713.2 Integrales de funciones vectoriales; movimiento de proyectiles 715l3.3 Longitud de arco en el espacio 72413,4 Curvatura y vectores normales de una curva 728l3.5 Componentes tangencial y normal de la aceleracin 734l3.6 Velocidad y aceleracin en coordenadas polares 739


X Contenido

10.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 568 10.7 Series de potencias 575 10.8 Series de Taylor y de Maclaurin 584 10.9 Convergencia de series de Taylor 589 10.10 La serie binomial y aplicaciones de las series de Taylor 596


11 Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 610 1l.l Parametrizacin de curvas planas 610 11.2 Clculo con curvas paramtricas 618 1l.3 Coordenadas polares 627 11.4 Grficas en coordenadas polares 631 11.5 reas y longitudes en coordenadas polares 635 1l.6 Secciones cnicas 639 11.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 648


VOLUMEN 11

12 Los vectores y la geometra del espacio 660 12.l Sistemas de coordenadas tridimensionales 660 12.2 Vectores 665 12.3 El producto punto 674 12.4 El producto cruz 682 12.5 Rectas y planos en el espacio 688 12.6 Cilindros y superficies cudricas 696


13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 707 13.1 Curvas en el espacio y sus tangentes 707 13.2 Integrales de funciones vectoriales; movimiento de proyectiles 715 l3.3 Longitud de arco en el espacio 724 13.4 Curvatura y vectores normales de una curva 728 l3.5 Componentes tangencial y normal de la aceleracin 734 l3.6 Velocidad y aceleracin en coordenadas polares 739



Contenido xi

14 Derivadas parciales 74714.1 Funciones de varias variables 74714.2 Limites y continuidad en dimensiones superiores 75514.3 Derivadas parciales 76414.4 Regla de la cadena 77514.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 78414.6 Planos tangentes y diferenciales 79114.7 Valores extremos y puntos de silla 80214.8 Multiplicadores de Lagrange 81114.9 Frmula de Taylor para dos variables 82014.10 Derivadas parciales con variables restringidas 824


15 Integrales mltiples 83615.1 Integrales dobles e iteradas sobre rectngulos 83615.2 Integrales dobles sobre regiones generales 84115.3 reas por doble integracin 85015.4 Integrales dobles en forma polar 85315.5 Integrales triples en coordenadas rectangulares 85915.6 Momentos y centros de masa 86815.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 87515.8 Sustitucin en integrales mltiples 887


16 Integracin en campos vectoriales 90116.1 Integrales de lnea 90116.2 Campos vectoriales e integrales de lnea: Trabajo, circulacin y flujo 90716.3 Independencia de la trayectoria, campos conservativos y funciones

potenciales 92016.4 Teorema de Green en el plano 93116.5 Superficies y reas 94316.6 Integrales de superficie 953 /16.7 Teorema de Stokes 96216.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 972


Contenido xi

14 Derivadas parciales 747 14.1 Funciones de varias variables 747 14.2 Lmites y continuidad en dimensiones superiores 755 14.3 Derivadas parciales 764 14.4 Regla de la cadena 775 14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 784 14.6 Planos tangentes y diferenciales 791 14.7 Valores extremos y plmtos de silla 802 14.8 Multiplicadores de Lagrange 81 1 14.9 Frmula de Taylor para dos variables 820 14.10 Derivadas parciales con variables restringidas 824


15 Integrales mltiples 836 15.1 Integrales dobles e iteradas sobre rectngulos 836 15 .2 Integrales dobles sobre regiones generales 841 15.3 reas por doble integracin 850 15.4 Integrales dobles en forma polar 853 15.5 Integrales triples en coordenadas rectangulares 859 15.6 Momentos y centros de masa 868 15.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 875 15.8 Sustitucin en integrales mltiples 887


16 Integracin en campos vectoriales 901 16.1 Integrales de lnea 901 16.2 Campos vectoriales e integrales de lnea: Trabajo, circulacin y flujo 907 16.3 Independencia de la trayectoria, campos conservativos y funciones

potenciales 920 16.4 Teorema de Oreen en el plano 931 16.5 Superficies y reas 943 16.6 Integrales de superficie 953 16.7 Teorema de Stokes 962 16.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 972



-- -----------------------------------------------------~-

17 Ecuaciones diferenciaLes de segundo orden 989xii Contenido

1-1

17.1 Ecuaciones lineales de segundo orden 98917.2 Ecuaciones lineales no homogneas 99617.3 Aplicaciones 100517.4 Ecuaciones de Euler 101117.5 Soluciones en series de potencias 1014

Apndices AP-1

Breve tabla de integrales T-1

A.1 Los nmeros reales y las rectas reales AP-lA.2 Induccin matemtica AP-6A.3 Rectas, circunferencias y parbolas AP-10A.4 Demostraciones de los teoremas de lmites AP-18A.5 Lmites que aparecen con frecuencia AP-21A.6 Teora de los nmeros reales AP-23A.7 Nmeros complejos AP-25A.8 La ley distributiva para el producto vectorial cruz AP-35A.9 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-36

Respuestas a los ejercicios con nmero impar

ndice

A-1

Crditos C-1

xii Contenido

17 Ecuaciones diferenciaLes de segundo orden

Apndices

17.1 17.2 17.3 17.4

Ecuaciones lineales de segundo orden Ecuaciones lineales no homogneas Aplicaciones 1005 Ecuaciones de Euler 1011

989 996

17.5 Soluciones en series de potencias 1014

A.1 Los nmeros reales y las rectas reales AP-l A.2 Induccin matemtica AP-6 A.3 Rectas, circunferencias y parbolas AP-10 A.4 Demostraciones de los teoremas de lmites AP-18 A.5 Lmites que aparecen con frecuencia AP-21 A.6 Teora de los nmeros reales AP-23 A.7 Nmeros complejos AP-25 A.8 La ley distributiva para el producto vectorial cruz AP-35 A.9 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-36

Respuestas a Los ejercicios con nmero impar ndice Crditos

Breve tabLa de integraLes

989

AP-1

A-1

1-1

C-1 T-1


PREFACIO

Revisamos exhaustivamente esta edicin de Clculo de Thomas con la finalidad de cubrir lasnecesidades de los profesores y los estudiantes actuales. El resultado es un libro con ms ejem-plos, ms ejercicios de nivel medio, mayor cantidad de figuras y mejor flujo conceptual, ademsde mayores claridad y precisin. Al igual que las ediciones anteriores, esta nueva edicin ofreceuna introduccin moderna al clculo que apoya la comprensin conceptual, pero conserva loselementos esenciales de un curso tradicional. Tales mejoras se relacionan estrechamente con unaversin ampliada del texto de MyMathLab (al que nos referiremos ms adelante), el cual brin-da apoyo adicional a los estudiantes y flexibilidad a los profesores.

Muchos de nuestros alumnos estuvieron expuestos a la terminologa y los aspectos compu-tacionales del clculo durante el bachillerato. A pesar de la familiaridad con el lgebra y la tri-gonometra, sus habilidades en estas materias con frecuencia son insuficientes para alcanzar elxito en el clculo universitario. Con este texto buscamos equilibrar la escasa experiencia delos estudiantes con el clculo y el desarrollo de habilidades algebraicas que podran necesitar,todo sin socavar o minar su confianza. Adems, hemos tenido cuidado de presentar suficientematerial, soluciones detalladas paso a paso y ejercicios que apoyen una comprensin completapara alumnos de todos los niveles.

Animamos a los estudiantes a ir ms all de la memorizacin de las frmulas para genera-lizar conceptos conforme stos se presenten. Nuestro deseo es que despus de cursar clculo,ellos tengan confianza en sus habilidades para razonar y resolver problemas. El dominio de untema maravilloso con aplicaciones prcticas al mundo ser su recompensa, pero el verdaderoregalo ser la habilidad para pensar y generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo yapoyo para ambas cosas.

Cambios en Ladecimosegunda edicin

CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos conservado la estructura bsica de la ta-bla de contenido de la edicin anterior. Hemos puesto atencin a las peticiones de los usuariosy los revisores de posponer la introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus de expli-car las coordenadas polares, y de presentar el tema de la regla de L'Hpital despus de las fun-ciones trascendentes. Realizamos numerosas revisiones a la mayora de los captulos, como sedetalla a continuacin.

Funciones Condensamos este captulo an ms para centramos en la revisin de los con-ceptos sobre funciones. El material de requisito que cubre nmeros reales, intervalos, incre-mentos, lneas rectas, distancias, circunferencias y parbolas se presenta en los apndices1 a 3.

Lmites Para mejorar la continuidad en este captulo, combinamos las ideas de lmites queincluyen infinito y su relacin con las asntotas en las grficas de las funciones, colocn-dolas juntas al final de la ltima seccin del captulo.

Derivadas Aunque utilizamos tasas de cambio y tangentes a curvas como motivacin para elestudio del concepto de lmite, ahora presentamos el concepto de derivada en un solo cap-tulo. Reorganizamos e incrementamos el nmero de ejemplos de tasas relacionadas y agre-gamos nuevos ejemplos y ejercicios sobre graficacin de funciones racionales.

xiii

PREFACIO

Revisamos exhaustivamente esta edicin de Clculo de Thomas con la finalidad de cubrir las necesidades de los profesores y los estudiantes actuales. El resultado es un libro con ms ejem-plos, ms ejercicios de nivel medio, mayor cantidad de figuras y mejor flujo conceptual, adems de mayores claridad y precisin. Al igual que las ediciones anteriores, esta nueva edicin ofrece una introduccin moderna al clculo que apoya la comprensin conceptual, pero conserva los elementos esenciales de un curso tradicional. Tales mejoras se relacionan estrechamente con una versin ampliada del texto de MyMathLab (al que nos referiremos ms adelante), el cual brin-da apoyo adicional a los estudiantes y flexibilidad a los profesores.

Muchos de nuestros alumnos estuvieron expuestos a la terminologa y los aspectos compu-tacionales del clculo durante el bachillerato. A pesar de la familiaridad con el lgebra y la tri-gonometra, sus habilidades en estas materias con frecuencia son insuficientes para alcanzar el xito en el clculo universitario. Con este texto buscamos equilibrar la escasa experiencia de los estudiantes con el clculo y el desarrollo de habilidades algebraicas que podran necesitar, todo sin socavar o minar su confianza. Adems, hemos tenido cuidado de presentar suficiente material, soluciones detalladas paso a paso y ejercicios que apoyen una comprensin completa para alumnos de todos los niveles.

Animamos a los estudiantes a ir ms all de la memorizacin de las frmulas para genera-lizar conceptos conforme stos se presenten. Nuestro deseo es que despus de cursar clculo, ellos tengan confianza en sus habilidades para razonar y resolver problemas. El dominio de un tema maravilloso con aplicaciones prcticas al mundo ser su recompensa, pero el verdadero regalo ser la habilidad para pensar y generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo y apoyo para ambas cosas.

Cambios en La decimosegunda edicin CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos conservado la estructura bsica de la ta-bla de contenido de la edicin anterior. Hemos puesto atencin a las peticiones de los usuarios y los revisores de posponer la introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus de expli-car las coordenadas polares, y de presentar el tema de la regla de I:Hopital despus de las fun-ciones trascendentes. Realizamos numerosas revisiones a la mayora de los captulos, como se detalla a continuacin.

Funciones Condensamos este captulo an ms para centrarnos en la revisin de los con-ceptos sobre funciones. El material de requisito que cubre nmeros reales, intervalos, incre-mentos, lneas rectas, distancias, circunferencias y parbolas se presenta en los apndices 1 a 3.

Lmites Para mejorar la continuidad en este captulo, combinamos las ideas de lmites que incluyen infinito y su relacin con las asntotas en las grficas de las funciones, colocn-dolas juntas al final de la ltima seccin del captulo.

Derivadas Aunque utilizamos tasas de cambio y tangentes a curvas como motivacin para el estudio del concepto de lmite, ahora presentamos el concepto de derivada en un solo cap-tulo. Reorganizamos e incrementamos el nmero de ejemplos de tasas relacionadas y agre-gamos nuevos ejemplos y ejercicios sobre graficacin de funciones racionales.

xiii http://gratislibrospdf.com/

~~--~-------------------------------------------..",-----

Antiderivadas e integracin Conservamos la organizacin de la decimoprimera edicin alcolocar las antiderivadas como el ltimo tema referente a las aplicaciones de las derivadas.Nuestro objetivo es exponer "la forma de recuperar una funcin a partir de su derivada",como la solucin del tipo ms sencillo de una ecuacin diferencial de primer orden. Lasintegrales, como "lmites de sumas de Riemann", estudiadas sobre todo a la luz del pro-blema de determinar reas de regiones generales con fronteras curvas, son un nuevo temaque forma la parte sustancial del captulo 5. Despus de un cuidadoso desarrollo del con-cepto de integral, pusimos nuestra atencin en su evaluacin y su relacin con las anti-derivadas, relacin que se plasma en el teorema fundamental del clculo. Las aplicacionescorrespondientes definen diversas ideas geomtricas de rea, volumen, longitudes de tra-yectorias y centroides, todas como lmites de sumas de Riemann que dan lugar a integralesdefinidas que pueden evaluarse determinando una antiderivada del integrando. Posterior-mente, regresamos al tema de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden ms com-plicadas; despus de ello, definimos y establecemos las funciones trascendentes y suspropiedades.Ecuaciones diferenciales Algunas universidades prefieren que este tema se incluya en uncurso aparte de clculo. Aunque nosotros tratamos las soluciones de ecuaciones diferencia-les con variables separables, cuando tratamos las aplicaciones de crecimiento y decaimientoexponenciales en el captulo de funciones trascendentes, organizamos todo nuestro materialen dos captulos (que pueden omitirse para seguir la secuencia de clculo). En el captulo 9damos un tratamiento introductorio a las ecuaciones diferenciales de primer orden. El cap-tulo incluye una nueva seccin sobre sistemas y planos fase, con aplicaciones a modelosque incluyen presas y depredadores. En el captulo 17 presentamos una introduccin a ecua-ciones diferenciales de segundo orden, que se incluye en MyMathLab, as como en el sitioWeb del texto, www.pearsoneducacion.net/thomas.Series Conservamos la estructura organizacional de la decimoprimera edicin para los temasde sucesiones y series. Agregamos nuevas figuras y nuevos ejercicios a diversas secciones,pero adems revisamos algunas de las demostraciones relacionadas con la convergencia deseries de potencia para mejorar la accesibilidad del material a los estudiantes. Uno de losusuarios del texto nos dijo que cualquier modificacin que hiciramos "para que este ma-terial resultara ms sencillo para los estudiantes" sera bienvenida en su facultad; ese co-mentario nos gui para hacer las revisiones de este captulo.Ecuaciones paramtricas Varios usuarios pidieron incluir este tema en el captulo 11, don-de tambin se tratan coordenadas polares y secciones cnicas. Lo hicimos luego de com-prender que muchos departamentos eligen cubrir tales temas al inicio de Clculo III, comopreparacin para tratar el clculo con vectores y de varias variables.Funciones de variables vectoriales Redujimos los temas de este captulo para dar mayornfasis a los conceptos que fundamentan el material sobre derivadas parciales, el vector gra-diente y las integrales de lnea. Compactamos el anlisis del marco de Frenet y las tres leyesde Kepler acerca del movimiento de los planetas.Clculo de varias variables En estos tres captulos resaltamos el diseo, adems de aadirmuchas figuras, ejemplos y ejercicios nuevos. Reorganizamos el material inicial sobre inte-grales dobles. Combinamos en una sola seccin las aplicaciones de integrales dobles y tri-pies a masas y momentos; se presentan casos tanto de dos como de tres dimensiones. Dichareorganizacin permite una mejor exposicin de los conceptos clave, junto con sus propie-dades y sus aspectos computacionales. Al igual que en la edicin anterior, en sta conti-nuamos haciendo las conexiones de las ideas de varias variables con sus anlogos de unavariable que se estudian antes en el texto.Campos vectoriales Dedicamos un considerable esfuerzo para mejorar la claridad y pre-cisin matemtica de nuestro estudio de clculo integral vectorial, incluyendo ejemplos,figuras y ejercicios adicionales. Los teoremas y los resultados importantes se enuncian conmayor claridad y en forma completa; se incluyen explicaciones amplias de sus hiptesisy consecuencias matemticas. El rea de una superficie ahora se organiza en una sola sec-cin, mientras las superficies definidas, explcita o implcitamente, se tratan como casosespeciales de la representacin paramtrica ms general. Las integrales de superficie y susaplicaciones se estudian en una seccin separada. El teorema de Stokes y el teorema dela divergencia se siguen presentando como generalizaciones del teorema de Green a tresdimensiones.

xiv Prefacioxiv Prefacio

Antiderivadas e integracin Conservamos la organizacin de la decimoprimera edicin al colocar las antiderivadas como el ltimo tema referente a las aplicaciones de las derivadas. Nuestro objetivo es exponer "la forma de recuperar una funcin a partir de su derivada", como la solucin del tipo ms sencillo de una ecuacin diferencial de primer orden. Las integrales, como "lmites de sumas de Riemann", estudiadas sobre todo a la luz del pro-blema de determinar reas de regiones generales con fronteras curvas, son un nuevo tema que forma la parte sustancial del captulo 5. Despus de un cuidadoso desarrollo del con-cepto de integral, pusimos nuestra atencin en su evaluacin y su relacin con las anti-derivadas, relacin que se plasma en el teorema fundamental del clculo. Las aplicaciones correspondientes definen diversas ideas geomtricas de rea, volumen, longitudes de tra-yectorias y centroides, todas como lmites de sumas de Riemann que dan lugar a integrales definidas que pueden evaluarse determinando una antiderivada del integrando. Posterior-mente, regresamos al tema de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden ms com-plicadas; despus de ello, definimos y establecemos las funciones trascendentes y sus propiedades. Ecuaciones diferenciales Algunas universidades prefieren que este tema se incluya en un curso aparte de clculo. Aunque nosotros tratamos las soluciones de ecuaciones diferencia-les con variables separables, cuando tratamos las aplicaciones de crecimiento y decaimiento exponenciales en el captulo de funciones trascendentes, organizamos todo nuestro material en dos captulos (que pueden omitirse para seguir la secuencia de clculo). En el captulo 9 damos un tratamiento introductorio a las ecuaciones diferenciales de primer orden. El cap-tulo incluye una nueva seccin sobre sistemas y planos fase, con aplicaciones a modelos que incluyen presas y depredadores . En el captulo 17 presentamos una introduccin a ecua-ciones diferenciales de segundo orden, que se incluye en MyMathLab, as como en el sitio Web del texto, www.pearsoneducacion.net/thomas. Series Conservamos la estructura organizacional de la decimoprimera edicin para los temas de sucesiones y series. Agregamos nuevas figuras y nuevos ejercicios a diversas secciones, pero adems revisamos algunas de las demostraciones relacionadas con la convergencia de series de potencia para mejorar la accesibilidad del material a los estudiantes. Uno de los usuarios del texto nos dijo que cualquier modificacin que hiciramos "para que este ma-terial resultara ms sencillo para los estudiantes" sera bienvenida en su facultad; ese co-mentario nos gui para hacer las revisiones de este captulo.

Ecuaciones paramtricas Varios usuarios pidieron incluir este tema en el captulo 11, don-de tambin se tratan coordenadas polares y secciones cnicas. Lo hicimos luego de com-prender que muchos departamentos eligen cubrir tales temas al inicio de Clculo IIl, como preparacin para tratar el clculo con vectores y de varias variables. Funciones de variables vectoriales Redujimos los temas de este captulo para dar mayor nfasis a los conceptos que fundamentan el material sobre derivadas parciales, el vector gra-diente y las integrales de lnea. Compactamos el anlisis del marco de Frenet y las tres leyes de Kepler acerca del movimiento de los planetas. Clculo de varias variables En estos tres captulos resaltamos el diseo, adems de aadir muchas figuras, ejemplos y ejercicios nuevos. Reorganizamos el material inicial sobre inte-grales dobles. Combinamos en una sola seccin las aplicaciones de integrales dobles y tri-ples a masas y momentos; se presentan casos tanto de dos como de tres dimensiones. Dicha reorganizacin permite una mejor exposicin de los conceptos clave, junto con sus propie-dades y sus aspectos computacionales. Al igual que en la edicin anterior, en sta conti-nuamos haciendo las conexiones de las ideas de varias variables con sus anlogos de una variable que se estudian antes en el texto. Campos vectoriales Dedicamos un considerable esfuerzo para mejorar la claridad y pre-cisin matemtica de nuestro estudio de clculo integral vectorial, incluyendo ejemplos, figuras y ejercicios adicionales. Los teoremas y los resultados importantes se enuncian con mayor claridad y en forma completa; se incluyen explicaciones amplias de sus hiptesis y consecuencias matemticas. El rea de una superficie ahora se organiza en una sola sec-cin, mientras las superficies definidas, explcita o implcitamente, se tratan como casos especiales de la representacin paramtrica ms general. Las integrales de superficie y sus aplicaciones se estudian en una seccin separada. El teorema de Stokes y el teorema de la divergencia se siguen presentando como generalizaciones del teorema de Green a tres dimensiones.


Prefacio XV

EJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos que los ejercicios y los ejemplos son componentes funda-mentales en el aprendizaje del clculo. En virtud de tal importancia, actualizamos, mejoramosy ampliamos el nmero de ejercicios en casi todas las secciones del libro. En la presente edicinincluimos ms de 700 nuevos ejercicios. Continuamos nuestra organizacin y la agrupacin deejercicios por tema, como en las ediciones anteriores, pasando de problemas computacionales aproblemas aplicados y tericos. Los ejercicios que requieren del uso de sistemas de cmputo(como Maple o Mathematica) se colocaron al final de cada seccin de ejercicios con el t-tulo Exploraciones con computadora. La mayora de los ejercicios aplicados tienen un sub-ttulo para indicar la clase de aplicacin adecuada del problema.

Muchas secciones incluyen ejemplos nuevos para clarificar y profundizar en el significadodel tema que se estudia, as como para ayudar a los estudiantes a comprender las consecuenciasmatemticas o las aplicaciones a la ciencia y la ingeniera. Al mismo tiempo, eliminamos ejem-plos que repetan material presentado con anterioridad.

DISEO Por su importancia en el aprendizaje del clculo, continuamos con la mejora de figurasexistentes en este texto e incluimos un nmero significativo de nuevas figuras. Continuamoscon el uso del color de manera consistente y pedaggica para resaltar la idea conceptual quese ilustra. Tambin revisamos todas las leyendas de las figuras, poniendo mucha atencin a laclaridad y precisin en los enunciados cortos.

y=1

No importa quy nmero positivo sea ,

~

a grfica se encuentraen esta banda en x = EYah permanece.

1y = r-~~~~~~.

Si,nimportar qU~ -numero positivosea e, la grficase encuentra enesta banda en x = -y ah permanece.

FIGURA 2.50 La geometra dentro delargumento del ejemplo 1.

...---FIGURA 16.9 Una superficie, como unared o un paracadas, en un campo vectorialque representa los vectores velocidad delflujo de agua o aire. Las flechas muestran ladireccin y sus longitudes indican la rapidez.

MYMATHlAB Y MATHXl El aumento en el uso y la demanda de sistemas de tareas en lneaha llevado a cambios en MyMathLab y MathXL para el texto. El curso MyMathLab ahoraincluye muchos ms ejercicios de todo tipo. Los nuevos applets Java se agregan a la ya sig-nificativa coleccin, para ayudar a los estudiantes a visualizar los conceptos y generalizar elmaterial.

Otras caractersticas destacadasRIGOR El nivel de formalidad es consistente con el de las ediciones anteriores. Seguimos dis-tinguiendo entre anlisis formal e informal, y sealamos sus diferencias. Consideramos queiniciar con una idea ms intuitiva y menos formal ayuda a los estudiantes a comprender un con-cepto nuevo y dificil, de manera que luego ellos puedan apreciar cabalmente su precisinmatemtica y los resultados. Ponemos atencin en definir las ideas de una manera detallada

Prefacio XV

EJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos que los ejercicios y los ejemplos son componentes funda-mentales en el aprendizaje del clculo. En virtud de tal importancia, actualizamos, mejoramos y ampliamos el nmero de ejercicios en casi todas las secciones del libro. En la presente edicin incluimos ms de 700 nuevos ejercicios. Continuamos nuestra organizacin y la agrupacin de ejercicios por tema, como en las ediciones anteriores, pasando de problemas computacionales a problemas aplicados y tericos . Los ejercicios que requieren del uso de sistemas de cmputo (como Maple o Mathematica) se colocaron al final de cada seccin de ejercicios con el t -tulo Exploraciones con computadora. La mayora de los ejercicios aplicados tienen un sub-ttulo para indicar la clase de aplicacin adecuada del problema.

Muchas secciones incluyen ejemplos nuevos para clarificar y profundizar en el significado del tema que se estudia, as como para ayudar a los estudiantes a comprender las consecuencias matemticas o las aplicaciones a la ciencia y la ingeniera. Al mismo tiempo, eliminamos ejem-plos que repetan material presentado con anterioridad.

DISEO Por su importancia en el aprendizaje del clculo, continuamos con la mejora de figuras existentes en este texto e incluimos un nmero significativo de nuevas figuras. Continuamos con el uso del color de manera consistente y pedaggica para resaltar la idea conceptual que se ilustra. Tambin revisamos todas las leyendas de las figuras , poniendo mucha atencin a la claridad y precisin en los enunciados cortos.

y=1

No importa qu y nmero positivo sea ,

~a grfica se encuentra en esta banda en x = E Y ah permanece. 1 y = r-~~--~----~ FIGURA 2.50 La geometra dentro del argumento del ejemplo 1.

...---

FIGURA 16.9 Una superficie, como una red o un paracadas, en un campo vectorial que representa los vectores velocidad del flujo de agua o aire. Las flechas muestran la direccin y sus longitudes indican la rapidez.

MYMATHlAB Y MATHXl El aumento en el uso y la demanda de sistemas de tareas en lnea ha llevado a cambios en MyMathLab y MathXL para el texto. El curso MyMathLab ahora incluye muchos ms ejercicios de todo tipo. Los nuevos applets Java se agregan a la ya sig-nificativa coleccin, para ayudar a los estudiantes a visualizar los conceptos y generalizar el material.

Otras caractersticas destacadas RIGOR El nivel de formalidad es consistente con el de las ediciones anteriores. Seguimos dis-tinguiendo entre anlisis formal e informal, y sealamos sus diferencias. Consideramos que iniciar con una idea ms intuitiva y menos formal ayuda a los estudiantes a comprender un con-cepto nuevo y dificil, de manera que luego ellos puedan apreciar cabalmente su precisin matemtica y los resultados. Ponemos atencin en definir las ideas de una manera detallada


TECNOLOGA En un curso que utilice e! texto, la tecnologa puede incorporarse de acuer-do con e! criterio de cada profesor. Cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso detecnologa; si es pertinente el uso de una calculadora o una computadora, se incluye un sm-bolo D en los ejercicios, o bien, stos se agrupan bajo el ttulo Exploraciones con compu-tadora si se requiere del uso de un sistema algebraico computacional (SAC, como Maple oMathematica). .

xvi Prefacio

y en probar los teoremas adecuados para estudiantes de clculo, aunque mencionamos temasms profundos o sutiles que ellos estudiarn en un curso ms avanzado. Nuestra organizaciny las distinciones entre tratamiento informal y formal dan al profesor un considerable grado deflexibilidad en la cantidad y la profundidad de cobertura de los diferentes temas. Por ejemplo,no demostramos el teorema del valor intermedio ni el teorema del valor extremo para funcionescontinuas en a :S x :S b, pero enunciamos dichos teoremas de manera muy precisa, ilustramossu significado en numerosos ejemplos y los utilizamos para demostrar otros resultados impor-tantes. Adems, para aquellos profesores que deseen una mayor profundidad, en e! apndice 6estudiamos la validez de tales teoremas con base en la completez de los nmeros reales.

EJERCICIOS DE ESCRITURA Los ejercicios de escritura colocados en todo el texto piden a losestudiantes explicar una variedad de conceptos y variaciones del clculo. Adems, al final decada captulo se incluye una lista de preguntas para que revisen y sinteticen lo que aprendieron.Muchos de estos ejercicios son buenas tareas de redaccin.

MANUALES DE RECURSOSTECNOLGICOSMaple Manual de James Stapleton, North Carolina State UniversityMathematica Manual de Marie Vanisko, Carroll CollegeTI-Graphing Calculator Manual de Elaine McDonald-Newman, Sonoma State UniversityEstos manuales cubren Maple 13, Mathematica 7 y las TI-83 PlusrrI-84 Plus y TI-89, respec-tivamente. Cada manual ofrece una gua detallada para integrar un paquete especfico o unacalculadora graficadora a lo largo de todo e! curso, incluyendo sintaxis y comandos. Los ma-nuales estn disponibles para profesores calificados a travs del Centro de Recursos para elProfesor de Pearson, www.pearsonhighered/irc y MyMathLab.

REPASO Y PROYECTOS DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen encada seccin, cada captulo termina con preguntas de repaso, ejercicios de prctica que cubrentodo el captulo, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados que sirven para incluir pro-blemas ms desafiantes o que sintetizan e! conocimiento. La mayora de los captulos tambinincluyen descripciones de varios Proyectos de aplicacin tecnolgica, que pueden desarro-llarse de manera individual o por grupos en un periodo ms prolongado. Dichos proyectos re-quieren e! uso de una computadora con Mathematica o Maple, y de material adicional, el cualest disponible en Internet en www.pearsoneducacion.net/thomas y en MyMathLab.

ESCRITURA Y APLICACIONES Como siempre, este texto contina siendo fcil de leer, puestiene un estilo conversacional al tiempo que es rico matemticamente. Cada nuevo tema seplantea mediante ejemplos claros y fciles de comprender; adems, el tema se refuerza me-diante aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para los estudiantes. Unsello distintivo de! libro han sido sus aplicaciones del clculo a la ciencia y la ingeniera. Estosproblemas aplicados se han actualizado, mejorado y ampliado de manera continua durante lasltimas ediciones.

CompLementos muLtimedia y apoyo en Lnea

SITIO WEB www.pearsoneducacion.netjthomasEl sitio Web de Clculo de Thomas contiene el captulo sobre ecuaciones de segundo orden,incluyendo las respuestas a problemas de nmero impar; adems, presenta las biografas his-tricas ampliadas y los ensayos a que hace referencia el texto. Tambin est disponible unacoleccin de mdulos en Maple y Mathematica, as como los Proyectos de aplicacin tecno-lgica, que pueden usarse como proyectos para los alumnos, ya sea que trabajen de manera in-dividual o por grupos.

xvi Prefacio

y en probar los teoremas adecuados para estudiantes de clculo, aunque mencionamos temas ms profundos o sutiles que ellos estudiarn en un curso ms avanzado. Nuestra organizacin y las distinciones entre tratamiento informal y formal dan al profesor un considerable grado de flexibilidad en la cantidad y la profundidad de cobertura de los diferentes temas. Por ejemplo, no demostramos el teorema del valor intermedio ni el teorema del valor extremo para funciones continuas en a :=; x :=; b, pero enunciamos dichos teoremas de manera muy precisa, ilustramos su significado en numerosos ejemplos y los utilizamos para demostrar otros resultados impor-tantes. Adems, para aquellos profesores que deseen una mayor profundidad, en el apndice 6 estudiamos la validez de tales teoremas con base en la completez de los nmeros reales.

EJERCICIOS DE ESCRITURA Los ejercicios de escritura colocados en todo el texto piden a los estudiantes explicar una variedad de conceptos y variaciones del clculo. Adems, al final de cada captulo se incluye una lista de preguntas para que revisen y sinteticen lo que aprendieron. Muchos de estos ejercicios son buenas tareas de redaccin.

REPASO Y PROYECTOS DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen en cada seccin, cada captulo termina con preguntas de repaso, ejercicios de prctica que cubren todo el captulo, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados que sirven para incluir pro-blemas ms desafiantes o que sintetizan el conocimiento. La mayora de los captulos tambin incluyen descripciones de varios Proyectos de aplicacin tecnolgica, que pueden desarro-llarse de manera individual o por grupos en un periodo ms prolongado. Dichos proyectos re-quieren el uso de una computadora con Mathematica o Maple, y de material adicional, el cual est disponible en Internet en www.pearsoneducacion.net/thomas y en MyMathLab.

ESCRITURA Y APLICACIONES Como siempre, este texto contina siendo fcil de leer, pues tiene un estilo conversacional al tiempo que es rico matemticamente. Cada nuevo tema se plantea mediante ejemplos claros y fciles de comprender; adems, el tema se refuerza me-diante aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para los estudiantes. Un sello distintivo del libro han sido sus aplicaciones del clculo a la ciencia y la ingeniera. Estos problemas aplicados se han actualizado, mejorado y ampliado de manera continua durante las ltimas ediciones.

TECNOLOGA En un curso que utilice el texto, la tecnologa puede incorporarse de acuer-do con el criterio de cada profesor. Cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso de tecnologa; si es pertinente el uso de una calculadora o una computadora, se incluye un sm-bolo D en los ejercicios, o bien, stos se agrupan bajo el ttulo Exploraciones con compu-tadora si se requiere del uso de un sistema algebraico computacional (SAC, como Maple o Mathematica ).

CompLementos muLtimedia y apoyo en Linea MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOS Maple Manual de James Stapleton, North Carolina State University Mathematica Manual de Marie Vanisko, Carroll College TI-Graphing Calculator Manual de Elaine McDonald-Newman, Sonoma State University Estos manuales cubren Maple 13, Mathematica 7 y las TI-83 PluslTI-84 Plus y TI-89, respec-tivamente. Cada manual ofrece una gua detallada para integrar un paquete especfico o una calculadora graficadora a lo largo de todo el curso, incluyendo sintaxis y comandos. Los ma-nuales estn disponibles para profesores calificados a travs del Centro de Recursos para el Profesor de Pearson, www.pearsonhighered/irc y MyMathLab.

SITIO WEB www.pearsoneducacion.netjthomas El sitio Web de Clculo de Thomas contiene el captulo sobre ecuaciones de segundo orden, incluyendo las respuestas a problemas de nmero impar; adems, presenta las biografas his-tricas ampliadas y los ensayos a que hace referencia el texto . Tambin est disponible una coleccin de mdulos en Maple y Mathematica, as como los Proyectos de aplicacin tecno-lgica, que pueden usarse como proyectos para los alumnos, ya sea que trabajen de manera in-dividual o por grupos.


Prefacio xvii

Curso en lnea con MyMathLab (se requiere un cdigo de acceso)MyMathLab es un curso en lnea especfico del texto y fcil de personalizar que integra ins-trucciones interactivas de multimedios con contenido del texto. MyMathLab da al profesor lasherramientas que necesita para poner todo su curso o una parte de ste en lnea, si sus alumnosestn en un laboratorio o bien trabajan en su casa.

Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de objetivos, se ge-neran de manera algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los ejerci-cios son de respuesta abierta y presentan soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyoal aprendizaje para ayuda adicional.

Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios referentes a las habilidadesnecesarias de lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellashabilidades en las que necesite ayuda.

Plan de estudio personalizado, generado cuando los estudiantes completan un examen oun cuestionario; indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculos a ejerciciostutoriales para mejorar su comprensin y desempeo.

Apoyo de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y animaciones; ayudaa los estudiantes a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y desempeo.

Administrador de evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en lnea,que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una mezcla adecuada de las pre-guntas en el banco de ejercicios de MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor.

Libro de calificaciones: diseado especficamente para matemticas y estadstica, de ma-nera automtica hace un seguimiento del estudiante y brinda al profesor control para calcu-lar las calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones extras a este libro decalificaciones.

Diseador de ejercicios MathXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos para lastareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de ejercicios como un punto sencillode inicio.

MyMathLab es activado por CourseCompassTM, entorno s de enseanza y aprendizaje de PearsonEducacin, y por MathXL, nuestro sistema en lnea de tareas, tutoriales y trabajos. MyMathLabest disponible para maestros calificados que adopten el texto. Para mayor informacin, co-munquese con su representante de ventas local de Pearson.

Video clases con captura opcionalLas presentaciones de las clases incluyen ejemplos y ejercicios del texto, adems de que apo-yan un enfoque que enfatiza la visualizacin y la resolucin de problemas. Est disponible pormedio de MyMathLab y MathXL.

Cursos en lnea con MathXL (se requiere cdigo de acceso)MathXL es un sistema en lnea para tareas, tutora y asignacin de trabajos que acompaa a li-bros de texto en matemticas y estadstica de Pearson.

Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de objetivos; segeneran de manera algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los ejer-cicios son de respuesta abierta y ofrecen soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyoal aprendizaje para ayuda adicional.

Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios referentes a las habilidadesnecesarias de lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellashabilidades en las que necesite ayuda.

Plan de estudio personalizado: se genera cuando los estudiantes completan un examen oun cuestionario; adems, indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculosa ejercicios tutoriales para mejorar su comprensin y desempeo.

Apoyo de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y animaciones;ayuda a los estudiantes a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y de-sempeo.

Prefacio xvii

Curso en linea con MyMathLab (se requiere un cdigo de acceso) MyMathLab es un curso en lnea especfico del texto y fcil de personalizar que integra ins-trucciones interactivas de multimedios con contenido del texto. MyMathLab da al profesor las herramientas que necesita para poner todo su curso o una parte de ste en lnea, si sus alumnos estn en un laboratorio o bien trabajan en su casa. Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de objetivos, se ge-

neran de manera algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los ejerci-cios son de respuesta abierta y presentan soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyo al aprendizaje para ayuda adicional.

Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios referentes a las habilidades necesarias de lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellas habilidades en las que necesite ayuda.

Plan de estudio personalizado, generado cuando los estudiantes completan un examen o un cuestionario; indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculos a ejercicios tutoriales para mejorar su comprensin y desempeo.

Apoyo de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y animaciones; ayuda a los estudiantes a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y desempeo.

Administrador de evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en lnea, que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una mezcla adecuada de las pre-guntas en el banco de ejercicios de MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor.

Libro de calificaciones: diseado especficamente para matemticas y estadstica, de ma-nera automtica hace un seguimiento del estudiante y brinda al profesor control para calcu-lar las calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones extras a este libro de calificaciones.

Diseador de ejercicios MatbXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos para las tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de ejercicios como un punto sencillo de inicio.

MyMathLab es activado por CourseCompassTM, entornos de enseanza y aprendizaje de Pearson Educacin, y por MathXL, nuestro sistema en lnea de tareas, tutoriales y trabajos. MyMathLab est disponible para maestros calificados que adopten el texto. Para mayor informacin, co-munquese con su representante de ventas local de Pearson.

Video clases con captura opcional Las presentaciones de las clases incluyen ejemplos y ejercicios del texto, adems de que apo-yan un enfoque que enfatiza la visualizacin y la resolucin de problemas. Est disponible por medio de MyMathLab y MathXL.

Cursos en linea con MathXL (se requiere cdigo de acceso) MathXL es un sistema en lnea para tareas, tutora y asignacin de trabajos que acompaa a li-bros de texto en matemticas y estadstica de Pearson. Ejercicios interactivos, correlacionados con el libro de texto en el nivel de objetivos; se

generan de manera algortmica para prctica y dominio ilimitados. La mayora de los ejer-cicios son de respuesta abierta y ofrecen soluciones guiadas, problemas de ejemplo y apoyo al aprendizaje para ayuda adicional.

Captulo "Cmo prepararse": incluye cientos de ejercicios referentes a las habilidades necesarias de lgebra y trigonometra. Cada estudiante puede recibir apoyo para aquellas habilidades en las que necesite ayuda.

Plan de estudio personalizado: se genera cuando los estudiantes completan un examen o un cuestionario; adems, indica los temas que tienen que dominarse, y contiene vnculos a ejercicios tutoriales para mejorar su comprensin y desempeo.

Apoyo de aprendizaje multimedia, como videoclases, applets de Java y animaciones; ayuda a los estudiantes a mejorar, independientemente de su nivel de comprensin y de-sempeo.


Libro de calificaciones: diseado especficamente para matemticas y estadstica, de ma-nera automtica hace un seguimiento del estudiante y y brinda al profesor control para calcu-lar las calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones extras a este libro decalificaciones.

Diseador de ejercicios MathXL: permite crear ejercicios fijos y algortmico s para lastareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de ejercicios como un punto sencillode inicio.

Administrador de evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en lneaque se califican de manera automtica. Basta seleccionar una mezcla adecuada de las pre-guntas en el banco de ejercicios de MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor.

MathXL est disponible para profesores calificados que adopten el libro. Para mayor informa-cin, comunquese con su representante de ventas local de Pearson.

TestGenTestGen permite a los maestros construir, editar, imprimir y administrar exmenes utilizandoun banco de preguntas computarizado, el cual fue desarrollado para cubrir todos los objetivosdel texto. TestGen tiene como base un algoritmo que permite a los profesores crear mltiplesversiones, aunque equivalentes, de la misma pregunta o examen con tan slo hacer clic en unbotn. Los profesores tambin pueden modificar las preguntas del banco respectivo o agregarnuevas preguntas. Es posible imprimir los exmenes o administrados en lnea.

Diapositivas de clases en PowerPointEstas diapositivas de presentaciones de clases fueron diseadas especficamente para la secuen-cia y filosofia de la serie de Clculo de Thomas. Se incluyen grficas clave del libro para ayudara hacer vvidos los conceptos en el saln de clases.

Manual de soluciones para el profesorEl Manual de soluciones para el profesor, de William Ardis, Collin County Community College,contiene soluciones completamente desarrolladas de todos los ejercicios del texto.

xviii Prefacio

Agradecimientos

Sarah StreettRolly Zullo

Queremos expresar nuestro agradecimiento a las personas que hicieron muchas e invaluables contribuciones a esta edicin conforme se de-sarrollaba en sus diferentes etapas:

RevisoresBlaise DeSesaPaul Lorczak

Kathleen PellissierLauri Semarne

Revisores de la decimosegunda edicinMeighan Dillon, Southern Polytechnic State UniversityAnne Dougherty, University of ColoradoSaid Fariabi, San Antonio CollegeKlaus Fischer, George Mason UniversityTim Flood, Pittsburg State UniversityRick Ford, California State University, ChicoRobert Gardner, East Tennessee State UniversityChristopher Heil, Georgia lnstitute ofTechnologyJoshua Brandon Holden, Rose-Hulman lnstitute ofTechnologyAlexander Hulpke, Colorado State UniversityJacqueline Jensen, Sam Houston State UniversityJennifer M. Johnson, Princeton UniversityHideaki Kaneko, Old Dominion UniversityPrzemo Kranz, University of MississippiXin Li, University of Central Florida

Maura Mast, University of Massachusetts, BostonVal Mohanakumar, Hillsborough Community College, Dale Mabry CampusAaron Montgomery, Central Washington UniversityCynthia Piez, University of ldahoBrooke Quinlan, Hillsborough Community College, Dale Mabry CampusRebecca A. Segal, Virginia Commonwealth UniversityAndrew V Sills, Georgia Southern UniversityAlex Smith, University ofWisconsin. Eau ClaireMark A. Smith, Miami UniversityDonald Solomon, University ofWisconsin, MilwaukeeBlake Thornton, Washington University in Sto LouisDavid Walnut, George Mason UniversityAdrian Wilson, University of MontevalloBobby Winters, Pittsburg State UniversityDennis Wortman, University o/Massachusetts, Boston

xviii Prefacio

Agradeci mi entos

Libro de calificaciones: diseado especficamente para matemticas y estadstica, de ma-nera automtica hace un seguimiento del estudiante y y brinda al profesor control para calcu-lar las calificaciones finales. Tambin es posible agregar calificaciones extras a este libro de calificaciones.

Diseador de ejercicios MathXL: permite crear ejercicios fijos y algortmicos para las tareas en lnea. El profesor puede utilizar la biblioteca de ejercicios como un punto sencillo de inicio.

Administrador de evaluaciones: permite crear trabajos, cuestionarios y exmenes en lnea que se califican de manera automtica. Basta seleccionar una mezcla adecuada de las pre-guntas en el banco de ejercicios de MyMathLab y de los ejercicios creados por el profesor.

MathXL est disponible para profesores calificados que adopten el libro. Para mayor informa-cin, comunquese con su representante de ventas local de Pearson.

TestGen TestGen permite a los maestros construir, editar, imprimir y administrar exmenes utilizando un banco de preguntas computarizado, el cual fue desarrollado para cubrir todos los objetivos del texto. TestGen tiene como base un algoritmo que permite a los profesores crear mltiples versiones, aunque equivalentes, de la misma pregunta o examen con tan slo hacer clic en un botn. Los profesores tambin pueden modificar las preguntas del banco respectivo o agregar nuevas preguntas. Es posible imprimir los exmenes o administrarlos en lnea.

Diapositivas de clases en PowerPoint Estas diapositivas de presentaciones de clases fueron diseadas especficamente para la secuen-cia y filosofia de la serie de Clculo de Thomas. Se incluyen grficas clave del libro para ayudar a hacer vvidos los conceptos en el saln de clases.

Manual de soluciones para el profesor El Manual de soluciones para el profesor, de William Ardis, Collin County Community College, contiene soluciones completamente desarrolladas de todos los ejercicios del texto.

Queremos expresar nuestro agradecimiento a las personas que hicieron muchas e invaluables contribuciones a esta edicin conforme se de-sarrollaba en sus diferentes etapas:

Revisores Blaise DeSesa Paul Lorczak

Kathleen Pellissier Lauri Semame

Revisores de la decimosegunda edicin Meighan Dillon, Southern Polytechnic State University Anne Dougherty, University of Colorado Said Fariabi, San Antonio College Klaus Fischer, George Mason University Tim Flood, Pittsburg State University Rick Ford, California State University, Chico Robert Gardner, East Tennessee State University Christopher Reil, Georgia lnstitute ofTechnology

Sarah Streett Rolly Zullo

Maura Mast, University of Massachusetts, Boston Val Mohanakumar, Hillsborough Community College, Dale Mabry Campus Aaron Montgomery, Central Washington University Cynthia Piez, University of ldaho Brooke Quinlan, Hillsborough Community College, Dale Mabry Campus Rebecca A. Segal, Virginia Commonwealth University Andrew V Sills, Georgia Southern University Alex Smith, University ofWisconsin, Eau Claire

Joshua Brandon Rolden, Rose-Hulman lnstitute ofTechnology Alexander Rulpke, Colorado State University

Mark A. Smith, Miami University Donald Solomon, University ofWisconsin, Milwaukee Blake Thornton, Washington University in Sto Louis David Walnut, George Mason University

Jacqueline Jensen, Sam Houston State University Jennifer M. Johnson, Princeton University Rideaki Kaneko, Old Dominion University Adrian Wilson, University of Montevallo Przemo Kranz, University of Mississippi Bobby Winters, Pittsburg State University Xin Li, University of Central Florida Dennis Wortman, University of Massachusetts, Boston


1FUNCIONES

INTRODUCCIN Las funciones son fundamentales en el estudio del clculo. En este captulorepasamos lo que son las funciones, cmo se dibujan sus grficas, cmo se combinan y setransforman, as como las formas en las que se pueden clasificar. Adems, revisamos las fun-ciones trigonomtricas y analizamos las representaciones errneas que pueden ocurrir cuandose utilizan calculadoras o computadoras para obtener la grfica de una funcin. En los apn-dices se revisa el sistema de los nmeros reales, as como las coordenadas cartesianas, laslneas rectas, las parbolas y las circunferencias. En el captulo 7 se tratan las funciones inver-sas, exponenciales y logartrnicas.

1.1 Las funciones y sus grficasLas funciones son una herramienta para describir el mundo real en trminos matemticos.Una funcin puede representarse mediante una ecuacin, una grfica, una tabla numrica omediante una descripcin verbal; a lo largo de este texto utilizaremos las cuatro representa-ciones. Esta seccin revisa tales ideas de funcin.

Funciones: Dominio y rangoLa temperatura a la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar (el puntode ebullicin es ms bajo conforme se asciende). El inters que se paga por una inversin de-pende del tiempo que sta se conserve. El rea de un crculo depende de su radio. La distanciaque recorre un objeto a una rapidez constante a lo largo de una trayectoria recta depende deltiempo transcurrido.

En cada caso, el valor de una cantidad variable, digamos y, depende del valor de otra can-tidad variable, que podramos llamar x. Decimos que ''y es una funcin de x", lo que en formasimblica escribimos como .

y = f(x) ("y es igual a f de x").En esta notacin, el smbolo f representa a la funcin, la letra x es la variable independienteque representa el valor de entrada de f, mientras que y es la variable dependiente o variable desalida def en x.

DEFINICIN Una funcin f de un conjunto D a un conjunto Yes una regla que asignaa cada elemento x E D un solo o nico elemento f(x) E Y.

El conjunto D de todos los valores posibles de entrada se denomina dominio de la funcin.El conjunto de todos los valores de f(x) cuando x vara por todos los valores de D se denominarango de la funcin. El rango podra no incluir a todos los elementos del conjunto Y.El dominioy el rango de una funcin pueden ser cualquier conjunto de objetos, aunque en clculo con fre-cuencia se trata de conjuntos de nmeros reales, los cuales se interpretan como puntos de unarecta coordenada. (En los captulos 13 a 16 encontraremos funciones para las que los elementosson puntos en el plano coordenada o en el espacio).

1

1.1

1 FUNCIONES

INTRODUCCIN Las funciones son fundamentales en el estudio del clculo. En este captulo repasamos lo que son las funciones , cmo se dibujan sus grficas, cmo se combinan y se transforman, as como las formas en las que se pueden clasificar. Adems, revisamos las fun-ciones trigonomtricas y analizamos las representaciones errneas que pueden ocurrir cuando se utilizan calculadoras o computadoras para obtener la grfica de una funcin . En los apn-dices se revisa el sistema de los nmeros reales, as como las coordenadas cartesianas, las lneas rectas, las parbolas y las circunferencias. En el captulo 7 se tratan las funciones inver-sas, exponenciales y logartmicas.

Las funciones y sus grficas

Las funciones son una herramienta para describir el mundo real en trminos matemticos. Una funcin puede representarse mediante una ecuacin, una grfica, una tabla numrica o mediante una descripcin verbal; a lo largo de este texto utilizaremos las cuatro representa-ciones. Esta seccin revisa tales ideas de funcin.

Funciones: Dominio y rango La temperatura a la cual hierve el agua depende de la altitud sobre el nivel del mar (el punto de ebullicin es ms bajo conforme se asciende) . El inters que se paga por una inversin de-pende del tiempo que sta se conserve. El rea de un crculo depende de su radio. La distancia que recorre un objeto a una rapidez constante a lo largo de una trayectoria recta depende del tiempo transcurrido.

En cada caso, el valor de una cantidad variable, digamos y, depende del valor de otra can-tidad variable, que podramos llamar x . Decimos que ''y es una funcin de x", lo que en forma simblica escribimos como .

y = f(x) ("y es igual a f de x"). En esta notacin, el smbolo f representa a la funcin, la letra x es la variable independiente que representa el valor de entrada de f, mientras que y es la variable dependiente o variable de salida de f en x .

DEFINICIN Una funcin f de un conjunto D a un conjunto Yes una regla que asigna a cada elemento x E D un solo o nico elemento f(x) E Y.

El conjunto D de todos los valores posibles de entrada se denomina dominio de la funcin. El conjunto de todos los valores de f(x) cuando x vara por todos los valores de D se denomina rango de la funcin. El rango podra no incluir a todos los elementos del conjunto Y. El dominio y el rango de una funcin pueden ser cualquier conjunto de objetos, aunque en clculo con fre-cuencia se trata de conjuntos de nmeros reales, los cuales se interpretan como puntos de una recta coordenada. (En los captulos 13 a 16 encontraremos funciones para las que los elementos son puntos en el plano coordenado o en el espacio).

1 http://gratislibrospdf.com/

2 Captulo 1: Funciones

x Entrada(dominio)

f ---.~f(x)Salida(rango)

FIGURA 1.1 Diagrama que muestra una[uncin como una especie de mquina.

x ~.r..;-- ~f(a)

D = conjuntodominio

y = conjunto quecontiene al rango

FIGURA 1.2 Una funcin del conjunto Daun conjunto Y asigna un nico elemento de Ya cada elemento en D.

f(x)

Con frecuencia una funcin se expresa mediante una frmula que describe cmo calcularel valor de salida a partir de la variable de entrada. Por ejemplo, la ecuacin A = 7Tr2 es unaregla que permite calcular el rea A de un crculo de radio r (as, r se interpreta como una lon-gitud, que en esta frmula slo puede ser positiva). Cuando definimos una funcin y = f(x)mediante una frmula, y el dominio no se establece de forma explcita o se restringe por el con-texto, se supondr que el dominio ser el mayor conjunto de nmeros reales x para los cualesla frmula proporciona valores reales para y, el llamado dominio natural. Si de alguna maneraqueremos restringir el dominio, debemos establecerlo. El dominio de y = x2 es todo el conjuntode los nmeros reales. Para restringir el dominio de la funcin, digamos a valores positivospara x, escribiramos "y = x2, x> O".

Por lo regular, al cambiar el dominio para el que aplicamos una frmula, se modifica tam-bin el rango. El rango de y = x2 es [O, (0). El rango de y = x2, X 2: 2, es el conjunto de todoslos nmeros reales que se obtienen al elevar al cuadrado nmeros mayores o iguales a 2. En lanotacin de conjuntos (vase el apndice 1), el rango es {x21x 2: 2} o {y Iy 2: 4} o [4, (0).

Cuando el rango de una funcin es un subconjunto de nmeros reales, se dice que la fun-cin tiene valores reales (o que es real valuada). Los dominios y rangos de muchas funcio-nes con valores reales de una variable real son intervalos o combinaciones de intervalos. Losintervalos pueden ser abiertos, cerrados y semiabiertos, as como finitos o infinitos. El rangode una funcin no siempre es sencillo de determinar.

Una funcin f es como una mquina que produce el valor de salida f(x) en su rango, siem-pre que le demos el valor de entrada x de su dominio (figura 1.1). Las teclas de funciones enuna calculadora ofrecen un ejemplo de una funcin vista como una mquina. Por ejemplo, latecla Vx en una calculadora da el valor de salida (la raz cuadrada) siempre que se introduceun nmero no negativo x y se presiona la tecla Vx.

Una funcin tambin se puede representar como un diagrama de flechas (figura 1.2).Cada flecha asocia un elemento del dominio D con un nico elemento en el conjunto Y. En lafigura 1.2 las flechas indican que f( a) est asociada con a, f(x) est asociada con x y as suce-sivamente. Observe que una funcin puede tener el mismo valor en dos elementos de entradadiferentes en el dominio [como ocurre conf(a) en la figura 1.2], pero a cada elemento de en-trada x se le asigna un solo valor de salida f(x).

EJEMPLO 1 Verifique los dominios naturales y los rangos asociados de algunas funcionessencillas. En cada caso, los dominios son los valores de x para los que la frmula tiene sentido.

Funcin Dominio (x) Rango (y)

y = x2

Y = l/x

Cálculo de Una variable - George Thomas - Doceava Edicion

Documents

Transcript of Cálculo de Una variable - George Thomas - Doceava Edicion