Calculo
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Índice
El cálculo y sus aplicaciones
Gabriel Jaime Posada Hernández
Índice
Índice
Introducción
Relaciones y funciones
Límite de funciones
Derivada de una función
Índice
Introducción
En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones, para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, para ser más competente en los retos del mundo moderno.
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Relaciones y FuncionesEl concepto de Relación-Función es uno de los másimportantes en Matemáticas. Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido muchas veces.
Correspondencia• La noción de correspondencia desempeña un papel
fundamental en el concepto de Relación – Función.• En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos
tenido experiencia con correspondencias o RELACIONES.
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Ejemplos de Correspondencias o RELACIONES
• En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.
• A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.
• A cada número le corresponde una segunda potencia.
• A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones
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Ejemplos de Correspondencia (Relaciones – Funciones)
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Definición de Relación y de Función
• Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.
• Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.
• (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)
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Tablas de valores
• Estas tablas de valores nos permiten representar las ecuaciones (Relaciones) en el Plano cartesiano.
• Cuando la gráfica es una línea recta la Función es Lineal.
• Cuando la gráfica es una curva, ésta puede ser una ecuación o una función cuadrática.
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Definición intuitiva de límite.Consideremos la función
El dominio es Df = R - {1}
Evalúa la función en los números dados y explica el comportamiento.
1
3
x
xxy
X 0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999
y 0 0.75 1.44 1.71 1.9701 1.9970 1.9997
X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001
y 6 3.75 2.64 2.31 2.0301 2.0030 2.0003
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En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima y?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la izquierda, el valor de y tiende a 2.
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima y?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la derecha, el valor de y tiende a 2.
¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor dado, los valores de y se aproximen más al valor observado?
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Concepto de límiteSi f(x) se acerca arbitrariamente a un número l, conforme x se aproxima a un número a tanto por la izquierda como por la derecha, entonces “el límite de f(x) cuando x tiende a a es l”, lo cual se denota como:
Lxfax
)(lím
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Ejemplo:Sea la función
Hallar 2
Por lo tanto
22
2)(
x
xxf
)(2
xfxlím
X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2
y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493
422
2lím
2
x
x
x
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La derivada• EjemploDurante el periodo de 10 años de 1970 a 1980, se
encontró que la población de cierto país estaba dada por la formula
P(t)=1+0,03t+t2
En donde P está dado en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de 1970.
Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1975
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Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy/dx, se define por
x
y
dx
dyx
0lim
x
xfxxf
dx
dyx
)()(lim
0
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A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcula la derivada de una función se denomina diferenciación
Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto.
La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se denota por uno de los simbolos siguientes
fDyDxfyfdx
d
dx
dfy
dx
dxx ,),(','),(,),(
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16
Ejemplo
• Calcule la derivada de 2x2+3x+1
• Calcule dy/dx para la ecuación cubicay=Ax3+Bx2+Cx+D
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)(, 1 potencialadeFórmulanxdx
dyentoncesxySi nn
31222
2/312/12/1
2/112/32/3
6177
22)()1(
2
1
2
1)()
1(
2
3
2
3)(
77)(
uuudx
d
udu
d
tttdx
d
tdt
d
yyydy
d
xxxdx
d
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dx
duccu
dx
d)(
2211
1
4)1(4)(4)4()
4(
)()(
ttt
dx
dt
dx
d
tdt
d
nxcxdx
dccx
dx
d nnn
dx
dv
dx
duvu
dx
d )(
Calcule dy/dx si y = x2 +x1/2