CALCULO VECTORIAL

TEMAS A DESARROLLAR

1.1 CALCULO DE VECTORES R2, R3 Y SU GENERALIZACION EN Rn .

1.2 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.

1.3 PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL.

1.4 PRODUCTOS TRIPLES.

1.5 APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS DE PRODUCTOS ESCALARES Y VECTORILAES.

1.6 ECUACIONES RECTAS Y PLANOS.

INTRODUCCIÓN

En diferentes ámbitos de estudio, relacionado a las matemáticas tal

como la física, la geometría y en aplicaciones de ingeniería, es común

utilizar magnitudes de dos tipos las escalares y las vectoriales .

La primera solo representa una cantidad, un ejemplo es la longitud y

la temperatura; mientras que las magnitudes vectoriales están

representadas por un modulo, una dirección y sentido, ejemplo de

esto es la fuerza, la velocidad y la rapidez; así como también un punto

de aplicación.

θModulo

sentido

dirección

1.1 CALCULO DE VECTORES R2, R3 Y SU GENERALIZACION EN Rn .

Hablamos de vectores R2 cuando el análisis que se realiza esta dada en un plano

de dos dimensiones, de tal manera que cuando analizamos vectores R3

utilizamos un plano de tres dimensiones y por último la generalización en un

espacio Rn cuando el análisis es de “n” dimensiones

TIPO DE VECTORES

VECTORES UNITARIOS: se consideran unitarios porque su modulo es de unidad uno.

Vectores unitarios trirrectangulares.- son una serie de vectores que corresponden a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio x, y, z. Es preferible utilizar esto vectores con sentido positivo de los ejes

VECTORES COMPONENTES (A1i, A2j, A3k): son aquellos que se representan en un espacio de tres dimensiones. También pueden ser llamados vectores componentes rectangulares, tomando como referencia las coordenadas cartesianas x y z

a1

a3

a2P

Q

Componentes de un vector

1

1 1

Sistema de coordenadas cartesianasx y

z

Vectores equipolentes : estos vectores tienen el mismo modulo, dirección e idéntico sentido .

Vector opuesto: tienen el mismo modulo dirección pero con sentido contrario.

TIPO DE VECTORES

BA

Fig. 2

A

-A

1.2 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.

Suma o resultante: es un vector equivalente de magnitud igual a la suma de dos que se encuentran en una misma línea

Se puede representar :

Vector resultante

Vector 1

Vector 2

VR=v1+v2

Diferencia entre vectores: para hacer la diferencia de vectores, se suma al vector minuendo al vector sustraendo

Producto por un escala: dado una cantidad es calar podemos efectuar la multiplicación por un vector y obtener otro

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL

1. A + B = B + A Propiedad conmutativa de la suma

2. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad asociativa de la suma

3. mA = Am Propiedad conmutativa del producto por un escalar

4. m(nA) = (mn)A Propiedad asociativa del producto por un escalar

5. (m + n)A = mA + Na Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de escalares

6. m(A + B) = mA + mB Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de vectores


Producto escalar: el producto punto de los vectores a=[a1,a2,a3] y b=[b1,b2,b3], se define como:

Para calcular el modulo en términos de producto interno, donde a = b:

Para calcularlo en forma de componente:

Podemos calcular gama de la siguiente manera:

a = b = 0

Donde


v = a x b

Producto vectorial: este producto da como resultado otro vector

El producto vectorial a x b de dos vectores a=[a1,a2,a3] y b=[b1,b2,b3], es un vector:

Si a y b tienen direcciones iguales u opuestas o si uno de ellos es el vector cero, entonces v = a x b = 0

Su modulo se calcula de la siguiente manera:

Para la forma en componentes: v=[v1, v2, v3] = a x b

Propiedades del producto escalar

También conocido como producto puto tiene las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

Propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma siendo m un escalar

Propiedades del producto vectorial

1.4 PRODUCTOS TRIPLES(ESCALARES Y VECTORIALES)

PRODUCTOS TRIPLES: Por medio de productos escalares y vectoriales de tres vectores, A, B y C, se pueden formar productos de la forma

CBA )( )( CBA )( CBA

Se verifican las propiedades siguientes:

CBA )( )( CBA 1.

2. )( CBA )()( BACACB

El volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C, con signo positivo o negativo según que A, B y C formen un triedro a derechas o a izquierdas. Si ,321 kjiA AAA kjiB 321 BBB kjiC 321 CCC

321

321

321

)(

CCC

BBB

AAA

CBA

Triple producto escalar

)( CBA

Triple producto vectorial

1.5 APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS DE PRODUCTOS ESCALARES Y VECTORILAES.

En lo que se refiere a las aplicaciones físicas, esta va más orientada a lo que son los vectores . Por ejemplo podemos aplicar el cálculo para determinar la velocidad de cierta partícula, así como también podemos calcular la aceleración de la misma o la distancia que existe entre un punto y otro.En la aplicación geométrica representamos al vector como una recta en al espacio, donde esta puede ser paralelo a otro, la cual en su representación va a sería una sola recta

Ejemplo: Suponga que dos navegantes que no se pueden ver entre sí, pero que se pueden comunicar por radio, quieren determinar la posición relativa de sus barcos. Explique cómo pueden hacerlo si cada uno tiene la capacidad de determinar su vector de desplazamiento al mismo faro.|

P2

P1

Q

d1

d2

d=d1 – d2

Tenemos que d + d2 = d1, de modo que d = d1 – d2. Esto es, el desplazamiento de un barco hasta el otro es la diferencia entre los desplazamientos desde los barcos hasta el faro.


En el espacio la manera más fácil de representar una recta es mediante vectores, para ello dado un vector v trazamos un vector director o normal, paralelo al vector, esto es con la ayuda de los componentes . Cabe recalcar que una recta tiene un punto inicial A y un punto final B.

Basándonos en la ecuación general de la recta r=a + λ(b - a), donde a y b son los vectores posición de los puntos A y B, unidos por una recta.

De aquí partimos hasta llagar a las ecuaciones paramétricas, donde está definido que una recta paralela a un vector distinto de cero se denota por (a, b, c), el cual pasa por un punto (x1, y1, z1), multiplicando al vector por una variable “t”, siendo esta última un escalar considerado como “tiempo”, dando como resultado las ecuaciones paramétricas:

De tal manera que al despejar el tiempo obtendremos las ecuaciones simétricas:


En la resolución de estas no podemos encontrar dos casos diferentes:

El primer caso es: cuando la recta l pasa por un punto P1. Usar las coordenadas representadas por P(x1, y1, z1), que es un lugar donde pasa la recta, con los números de dirección v(a, b, c) entonces tenemos que el conjunto de las ecuaciones paramétricas son:2. Y las ecuaciones simétricas son:

Nota: cuando tengamos problemas en donde nos señalen solo un punto y el vector de dirección, siendo estos paralelos, bastará con sustituir en las ecuaciones antes planteadas


Segundo caso: cuando la recta pasa por dos puntos P y Q

En este caso solo tenemos como referencia dos puntos, por lo que es necesario encontrar nuestro vector de dirección , el cálculo queda de la siguiente manera:

1. Dado el punto P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2), aplicamos lo siguiente:

2. Ahora tomamos como referencia cualquiera de los puntos como referencia, independientemente del problema, para llegar a las ecuaciones paramétricas:

3. Las simétricas son:

Vector director


Planos en el espacioEn este apartado veremos es posible representar una ecuación para un plano en el espacio, deduciendo la a partir de un punto y el vector perpendicular(normal) a él.

Para ello consideramos:

1. El plano que contiene el punto P(x1, y1, z1)

2. Un vector normal no nulo n=<a, b, c>, ver figura.

3. El plano consta de todos los puntos Q (x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular. Usando el producto escalar podemos escribir:

xy

z

.P Q

n

0n PQ

0n PQ

0,,, 1,11 zzyyxxcba

0)()()( 111 zzcyybxxa


El plano que contiene el punto (x1, y1, z1) y tiene un vector normal n = <a, b, c> puede representarse en forma canónica por la ecuación:

0)()()( 111 zzcyybxxa

Ecuación canónica de una recta en el espacio

0 dczbyax

Ecuación general:

EJERCICIODados los vectores :

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