Calcul et modélisation des structures - Résistance des matériaux

Dominique Bauer, ing., Ph.D. Professeur agrégé

Département de génie de la construction

Calcul et modélisation des structures - Résistance des matériaux Dominique Bauer. Tous droits réservés © École de technologie supérieure, 2006 On ne peut reproduire ni diffuser aucune partie du présent ouvrage, sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, sans avoir obtenu au préalable l’autorisation de l’éditeur.

Chapitre 2 Chargement uniaxial

Chapitre 2 – Chargement uniaxial 3 Problème 1 Une charge de 10 kN est supportée par quatre tiges en acier reliées par des poutres rigides AB et DC tel que montré à la figure 1. Déterminer l’angle de rotation des poutres après l’application de la charge. Les poutres sont initialement à l’horizontale et l’aire de la section des tiges est de 50 mm2. Eacier = 200 GPa. Exprimer la réponse en degrés.

Figure 1. Tiges et poutres supportant une charge de 10 kN.

Solution On trace un diagramme de corps libre des poutres, tel que montré à la figure 2 (a) et (b), et on considère l’équilibre des forces et des moments pour trouver l’effort dans les tiges.

Figure 2. (a) et (b) DCL des poutres AIB et DHC, (c) et (d) déplacement des poutres AIB et DHC.

0,3 m 0,9 m

2,5 kN 7,5 kN

A BI

10 kN

1,67 kN 0,83 kN

2,5 kN

0,6 m

D C H

0,3 m

(b)

(a)

0,6 m

D C H

0,3 m

Dδ Hδ Cδ

DCθ

0,3 m 0,9 m

A BI Aδ

Iδ BδABθ

(c)

(d)

1 m

1,7 m

0,5 m

0,9 m 0,3 m

10 kN

0,3 m 0,6 m

D. Bauer – Calcul et modélisation des structures

Pour la poutre AIB,

0 :AM+ =∑ 10 kN 0,9 m 1,2 m 0

7,5 kNBG

BG

FF

− ⋅ + ⋅ ==

0 :verticaleF↑ + =∑

10 kN 7,5 kN 02,5 kN

AH

AH

FF

+ − + ==

On trouve de façon semblable pour la poutre DHC, 1,67 kN et 0,83 kN.DE CFF F= = On considère ensuite le déplacement des poutres tel que montré à la figure 2 (c) et (d). Pour la poutre DHC, on a :

2

1,67 kN 1000 mm 0,167 mm50 mm 200 GPaDδ

⋅= =

⋅

2

0,83 kN 1000 mm 0,0833 mm50 mm 200 GPaCδ

⋅= =

⋅

6 30,0833 mm 18092,6 10 rad 5,31 10

900 mm 900 mm radD C

DCδ δθ

π− −−

= = = × ⋅ = ×

On a également :

( )0,6 m 0,1389 mm0,9 mH C D Cδ δ δ δ= + − =

Pour la poutre DHC, on a :

2

2,57 kN 500 mm 0,125 mm 0,1389 mm 0,264 mm50 mm 200 GPaA Hδ δ⋅

= + = + =⋅

2

7,5 kN 1700 mm 1,275 mm50 mm 200 GPaBδ

⋅= =

⋅

6 3180843 10 rad 48,3 10

1200 mm radB A

ABδ δθ

π− −−

= = × ⋅ = ×

Modélisation La figure 3 montre le modèle de la structure réalisé à l’aide de SAFI, avec les conditions d’appui et les déformations de la structure sous la charge de 10 kN. On a placé un support latéral aux joints 1 et 4 pour empêcher que le modèle soit instable. Ce support consiste en un ressort avec une faible rigidité, disons 1 N/m. On vérifiera que le déplacement horizontal des joints 1 et 4 est nul. Étant donné qu’il n’y a pas de déplacement horizontal, on aurait pu également restreindre le mouvement selon X. Dans ce cas, on

Chapitre 2 – Chargement uniaxial 5 vérifiera que la réaction des ressorts est nulle. Pour les tiges, on a utilisé une barre de treillis dont la seule propriété à définir est une aire de 50 mm2. Les poutres rigides sont modélisées à l’aide d’éléments poutres ayant un moment d’inertie très élevé, disons 1010 mm4. Les déplacements des joints sont donnés sous forme de tableau à la figure 4. La rotation des poutres est égale à celle de joints qui définissent les poutres. Ainsi, la rotation de la poutre DHC, définie par les joints 1, 2 et 3, est égale à 0,0053º et celle de la poutre AIB, définie par les joints 4 et 5, est égale à –0,0483º. Le sens des rotations est conforme à la règle de la main droite appliquée autour des axes globaux XYZ du modèle. Une rotation positive autour de l’axe Z est donc dans le sens de X vers Y, c’est-à-dire dans le sens anti-horaire ; une rotation négative est dans le sens horaire.

Figure 3. Modèle SAFI de la structure. Les conditions d’appui, la charge et les déformations de la structure sont montrées.

Figure 4. Déplacement des joints.

D. Bauer – Calcul et modélisation des structures

Problème 2 Un boulon en acier a un diamètre de 7 mm et est inséré à l’intérieur d’un manchon en aluminium tel que montré à la figure 5. Le manchon a un diamètre intérieur de 8 mm et un diamètre extérieur de 10 mm. L’écrou est ajusté de telle sorte qu’il est tout juste en contact avec le manchon. L’ensemble est initialement à la température T1 = 20 ºC et est ensuite porté à la température T2 = 100 ºC. Déterminer la contrainte axiale moyenne dans le boulon et dans le manchon. Exprimer la réponse en MPa. Eacier = 200 GPa, Ealuminium = 70 GPa, αacier = 14 × 10–6 / ºC, αaluminium = 23 × 10–6 / ºC

Figure 5. Boulon en acier inséré dans un manchon en aluminium.

Solution Puisque le coefficient de dilatation thermique de l’aluminium est supérieur à celui de l’acier, le manchon aura tendance à s’allonger davantage que le boulon. De plus, la compatibilité géométrique impose que les déformations du boulon et du manchon soit égales. On s’attend donc à ce que le boulon soit tendu par le manchon et que le manchon soit comprimé par le boulon, tel que montré à la figure 6.

Figure 6. DCL de l’écrou et de l’ensemble boulon-manchon. On calcule d’abord l’aire de la section du boulon et du manchon :

22(7 mm) 38,5 mm

4bA π= =

2 2

2(10 mm) (8 mm)

28,3 mm4mA

π ⎡ ⎤−⎣ ⎦= =

où l’indice b indique le boulon en acier et l’indice m indique le manchon en aluminium. La déformation du boulon est donnée par l’équation suivante :

b bb b

FL L TA E

δ α ∆= +

et la déformation du manchon par l’équation suivante :

m mm m

FL L TA E

δ α ∆= − +

F F

Chapitre 2 – Chargement uniaxial 7 Étant donné que les déformations du boulon et du manchon soit égales (condition de compatibilité géométrique), on a :

b mδ δ=

b mb b m m

FL FLL T L TA E A E

α ∆ α ∆+ = − +

( )1 1m b

b b m m

F TA E A E

α α ∆⎛ ⎞

+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )6 6

2 2

23 10 / C 14 10 / C 80 C1,134 kN

1 138,5 mm 200 GPa 28,3 mm 70 GPa

F− −⋅ − ⋅ ⋅

= =⎛ ⎞

+⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

boulon 2

1134 N 29,5 MPa38,5 mm

σ = =

manchon 2

1134 N 40,1 MPa28,3 mm

σ = − = −

Modélisation Le boulon et le manchon sont modélisés par des éléments de section dite non standard dans SAFI. Pour le manchon en aluminium, on choisi une section circulaire creuse dont les seules données géométriques requises sont le rayon extérieur et le rayon intérieur. Les autres propriétés de la section sont calculées par SAFI, tel que montré à la figure 7. On vérifiera que les propriétés du matériau choisi correspondent aux données du problème. Ainsi, pour le manchon en aluminium, on vérifiera que le module élastique, E, est égal à 70 GPa et que le coefficient d’expansion thermique est égal à 23 × 10–6 / ºC, tel que montré à la figure 8. La figure 9 montre le modèle de l’ensemble boulon-manchon. Le boulon et le manchon sont chacun représenté par un élément distinct. Les deux éléments se superposent et sont supportés par des appuis communs à chaque extrémité. La table des membrures peut être consultée pour vérifier le modèle. La charge thermique de 80 ºC appliquée aux deux éléments est également montrée à la figure 9, ainsi que la contrainte axiale (Sx due à Fx), dans chaque élément. La contrainte dans le boulon est égale à + 29,45 MPa et celle dans le manchon est égale à – 40,09 MPa. Le signe + indique une traction et le signe – une compression.

D. Bauer – Calcul et modélisation des structures

Figure 7. Définition des propriétés géométriques de la section du manchon.

Figure 8. Définition des propriétés du matériau aluminium du manchon.

Chapitre 2 – Chargement uniaxial 9

Figure 9. Modèle de l’ensemble boulon-manchon montrant les conditions d’appui, la charge thermique et

les contraintes dans le boulon et dans le manchon.

D. Bauer – Calcul et modélisation des structures

Problème 3 Le cylindre montré à la figure 10 contient un fluide sous pression. Le cylindre a 3 m de diamètre et est fabriqué à l’aide d’une plaque en acier de 25 mm d’épaisseur. La pression interne est égale à 1000 kPa. Déterminer la valeur de la contrainte normale circonférentielle dans le cylindre ainsi que l’augmentation du rayon en analysant le cylindre avec les hypothèses de la résistance des matériaux pour les cylindres droits à paroi mince, c’est-à-dire en considérant que cylindre est infiniment long et qu’il n’y a aucune contrainte selon l’axe longitudinal du cylindre. Considérer une longueur caractéristique de 1 m. Eacier = 200 GPa.

Figure 10. Cylindre à paroi mince sous pression. Solution La contrainte normale circonférentielle dans le cylindre est égale à :

21 N/mm 1500 mm 60 MPa25 mm

prtθσ

⋅= = =

L’augmentation du rayon est égale à :

( )222

2

1 N/mm 1500 mm0,45 mm

25 mm 200 000 N/mmrprtE

δ⋅

= = =⋅

Modélisation On peut facilement générer la géométrie du cylindre avec SAFI à l’aide de la Calculatrice géométrique (menu Édition) en spécifiant le type Cylindre. La figure 11 montre la valeur des paramètres utilisés. Le nombre de divisions selon la hauteur a été choisi de façon à ce que le rapport largeur-longueur des éléments soit près de 1. Des plaques quadrilatérales ont été choisies pour simplifier le modèle. Le modèle du cylindre est montré à la figure 12. La paroi du cylindre est définie à l’aide d’éléments plaque en acier de 25 mm d’épaisseur. Le type de plaque est Mince sans cisaillement transversal. (Le type Membrane ne peut pas être utilisé ici à cause de la pression sur les plaques). La pression est définie à

1 m

Chapitre 2 – Chargement uniaxial 11 l’aide de Charges de plaques d’une valeur de 21000 kN/m− appliquées dans le système de coordonnées interne sur tous les éléments. Pour empêcher le déplacement selon l’axe longitudinal du cylindre, on restreint le mouvement selon Y des nœuds à la base du cylindre. Pour empêcher le déplacement transversal du cylindre sans induire de restriction non désirée, on utilise des ressorts linéaires de faible rigidité, disons 0,1 kN/m, appliqués dans les directions X et Z sur les nœuds à base du cylindre. Afin de simuler les hypothèses de la résistance des matériaux mentionnées ci-dessus, on restreint la rotation autour de X et la rotation autour de Y des tous les nœuds du modèle. Ces restrictions ne seraient pas nécessaires pour l’analyse d’un cylindre de longueur finie qui tiendrait compte des effets d’extrémité. Les résultats de l’analyse sont montrés sous forme graphique à la figure 13. Les déformations du cylindre sont uniformes sur toute la hauteur. La force tangentielle dans le cylindre, Nx locale, est égale à 1487 kN/m dans tous les éléments du modèle. La contrainte normale circonférentielle dans le cylindre est égale à :

31487 kN/m 10 59,5 MPa0,025 m

XNtθσ

−= = ⋅ =

c’est-à-dire à 1 % près de la valeur théorique de 60 MPa. L’augmentation du rayon, égal au déplacement des nœuds dans une direction radiale, est égale à 0,446 mm, également à 1 % près de la valeur théorique de 0,45 mm. En utilisant 48 divisions selon la circonférence et 6 divisions selon la hauteur, on trouve des valeurs à 0,2 % près des valeurs théoriques. Avec 96 divisions selon la circonférence et 12 divisions selon la hauteur, on trouve des valeurs à 0,05 % près des valeurs théoriques. La contrainte normale longitudinale et les contraintes de flexion ont des valeurs très faibles se rapprochant des valeurs théoriques nulles.

Figure 11. Définition des paramètres géométriques du cylindre.

D. Bauer – Calcul et modélisation des structures

Figure 12. Modèle SAFI du cylindre.

Figure 13. Cylindre déformé et forces tangentielles dans le cylindre.

Chapitre 3 Diagrammes des efforts tranchants et

des moments fléchissants

Chapitre 3 – Diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants 15 Problème 4 La poutre montrée à la figure 14 est composée de deux segments reliés au point C par une articulation. La poutre est encastrée au point A et supportée par un appui simple au point D. Dessiner les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants pour la poutre.

Figure 14. Poutre articulée au point C. Solution Il s’agit ici d’un problème isostatique, qui peut donc être résolu avec les équations d’équilibre statique. On calcule les réactions aux appuis en considérant l’équilibre des segments AC et CD. Le moment fléchissant dans la poutre au point C est nul à cause de l’articulation. Équilibre du segment CD. Le diagramme de corps libre du segment CD est montré à la figure 15(a).

0 :CM+ =∑ 2 kN/m 2 m 1 m 1,5 kN m 2 m 0

2,75 kND

D

R

R

− ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= ↑

0 :yF↑ + =∑

2 kN/m 2 m 2,75 kN 0

1,25 kNC

C

V

V

+ − ⋅ + =

= ↑

Équilibre du segment AC. Le diagramme de corps libre du segment AC est montré à la figure 15(b).

0 :AM+ =∑

3 kN 3 m 1,25 kN 4,5 m 0AM − ⋅ − ⋅ = 14,63 kN mAM = ⋅

0 :yF↑ + =∑ 3 kN 1,25 kN 0

4,25 kNA

A

R

R

− − =

= ↑

On trace les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants à l’aide des relations qui existent entre les charges, les efforts tranchants et les moments fléchissants : (1) la variation de l’effort tranchant entre deux points est égale à l’intégrale des charges entre ces deux points, (2) la variation du moment fléchissant entre deux points est égale à l’intégrale des efforts tranchants entre ces deux points.

2 m

A

1,5 m 3 m

C D

3 kN 2 kN/m

1,5 kN⋅m

B

D. Bauer – Calcul et modélisation des structures

Figure 15. (a) (b) Diagrammes de corps libre des segments AC et CD, (c) diagramme des efforts tranchants, (d) diagramme des moments fléchissants.

Pour compléter le diagramme des moments fléchissants, il faut indiquer la valeur du moment fléchissant positif maximal dans le segment CD. Ce moment est situé au point E où l’effort tranchant est nul. On calcule la distance a entre les points C et E en utilisant la règle des triangles semblables de la façon suivante :

1,25 kN 2 m 0,625 m1,25 kN 2,75 kN

a = ⋅ =+

Le moment fléchissant au point E est égal à :

1 1,25 kN 0,625 m 0,391 kN m2

E

E C CM M Vdx− = = ⋅ ⋅ = ⋅∫

DCL

DET – x

+

V

C D

2 kN/m

1,5 kN⋅m

RD

VC

A C

3 kN VC

MA

RA

4,25 kN 1,25 kN

– 2,75 kN

– x

M

–14,63 kN⋅m

– 1,5 kN⋅m

DMF

–

0,391 kN⋅m

–1,875 kN⋅m

B

(b)

(a)

(c)

(d)

x

y

a

E

Chapitre 3 – Diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissants 17 Modélisation On utilise le mode d’analyse 2D de SAFI puisque le problème est posé en deux dimensions. Le modèle de la poutre est montré à la figure 16. On définit d’abord les poutres 1-2 (segment AC) et 2-3 (segment CD). On s’assure que la longueur des membrures, 4,5 m et 2 m, est correcte en ajustant au besoin les coordonnées des nœuds 2 et 3. On définit un encastrement au nœud 1. Pour le nœud 3, on restreint seulement le mouvement selon Y. La rotule au point C est modélisée en plaçant une rotule au nœud j de la membrure 1 (on aurait également pu placer une rotule au nœud i de la membrure 2). Avec un calcul manuel, on peut obtenir le diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants sans connaître les propriétés de la poutre parce que celle-ci est isostatique. Par contre avec SAFI, il faut définir la section et le matériau de toutes les membrures de n’importe quelle structure, isostatique ou hyperstatique, comme requis par la méthode matricielle utilisée par le logiciel. On utilisera ici une section quelconque, par exemple un profilé W200×21 en acier 350 MPa. On définit une charge de base, de type charge statique générale. La charge ponctuelle de 3 kN au point B est une charge de membrure de type concentrée avec PY 3 kN= − et D 3000 mm= . Le signe négatif correspond à la direction Y négative. La charge uniforme sur le segment CD est une charge de membrure de type uniforme avec FY 2 kN/m= − . Le moment au point D est un charge nodale MZ 1,5 kN m= − ⋅ , où le signe négatif est conforme à la règle de la main droite par rapport aux axes XYZ. On effectue une analyse statique linéaire et on obtient le diagramme des efforts tranchants montré à la figure 17 et le diagramme des moments fléchissants montrés à la figure 18.

Figure 16. Modèle SAFI de la poutre.

D. Bauer – Calcul et modélisation des structures

Figure 17. Diagramme des efforts tranchants.

Figure 18. Diagramme des moments fléchissants.

Chapitre 6 Torsion

22 Calcul et modélisation des structures Problème 5 Le système illustré à la figure 19 est composé de deux cylindres en aluminium (G = 27 GPa) soudés ensemble au point B ; les extrémités A et D sont encastrées. On soumet le système à un moment de torsion T0 = 1 kN⋅m. Calculer la contrainte maximale de cisaillement dans le système, ainsi que la rotation de la section B après l’application de T0 par rapport à sa position initiale.

Figure 19. Cylindres en aluminium encastrés soumis à un moment de torsion T0.

Solution Le problème est hyperstatique au premier degré puisqu’un seul encastrement suffirait pour assurer l’équilibre du système autour de l’axe des cylindres. Il faut donc considérer les trois principes de résolution des problèmes de résistance des matériaux, soit : l’équilibre, la compatibilité géométrique et les relations forces/déplacements. Équilibre Le DCL du système est montré à la figure 20, ainsi que le diagramme des moments de torsion avec la convention de signes utilisée pour les efforts de torsion interne. On a supposé un sens pour chaque réaction TA et TD. Si la valeur calculée de la réaction est positive, le sens supposé sera confirmé. Sinon, le sens est contraire à celui supposé.

diamètre = 30 mm

diamètre = 60 mm

700 mm

450 mm

900 mm

Chapitre 6 – Torsion 23

Figure 20. (a) Diagramme du corps libre, (b) diagramme des moments de torsion, (c) convention de signes

pour les efforts de torsion interne. Considérant l’équilibre du système ABCD, on a :

0 :xM+ =∑ (où x désigne l’axe des cylindres) 1000 0A DT T− + − = (1) Relations forces/déplacements

/700

A

B AAB AB

TL TGJ GJ

ϕ ⋅⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

/450

A

C BBC BD

TL TGJ GJ

ϕ ⋅⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3)

/900

D

D CCD BD

TL TGJ GJ

ϕ − ⋅⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)

Compatibilité géométrique

/ / / 0B A C B D Cϕ ϕ ϕ+ + = (5)

900 mm

A

450 mm700 mm

B C D

TA TD T0 = 1 kN⋅m

x

DCL

DMT

(a)

– x

T

(b)

TA

TD

+ –

(c)

+

24 Calcul et modélisation des structures Les propriétés des sections et du matériau sont les suivantes :

46 430 0,0795 10 mm

32ABJ π ⋅= = ×

46 460 1,272 10 mm

32BDJ π ⋅= = ×

et

2

kN27 GPa 27mm

G = =

Les équations (1) à (5) constituent un système d’équations simultanées à cinq inconnues. On peut facilement résoudre ce système, par exemple à l’aide de la calculatrice TI voyage 200 avec l’opération suivante :

solve (−TA+1000−TD=0 and φBA=TA*700/(G*JAB) and φCB=TA*450/(G*JBD) and φDC=−TD*900/(G*JBD) and φBA+φCB+φDC=0, {TA,TD,φBA,φCB,φDC}) | G=27 and JAB=0.0795*10^6 and JBD=1.272*10^6

On trouve les valeurs suivantes :

/

/

/

71,7 kN mm 0,0717 kN m928 kN mm 0,928 kN m

0,0234 rad 1,34

0,0009 rad 0,05

0,0243 rad 1,39

A

D

B A

C B

D C

TT

ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅

= =

= =

= − = −

On a :

3

6 4

71,7 kN mm 10 15 mm 13,5 MPa0,0795 10 mmAB

AB

TrJ

τ ⋅ × ×⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ×⎝ ⎠

3

6 4

928 kN mm 10 30 mm 21,9 MPa1,272 10 mmCD

CD

TrJ

τ − ⋅ × ×⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ×⎝ ⎠

Donc :

max21,9 MPaτ =

et

/ 1,34B B Aϕ ϕ= = Modélisation Le modèle réalisé à l’aide de SAFI est montré à la figure 21. À cause de la charge de torsion, le problème ne peut être résolu en 2D, il faut définir un mode d’analyse 3D (Options générales du menu Outils). Deux éléments définissent les deux cylindres à l’aide de sections non standards, circulaires, pour lesquelles il suffit de définir le rayon (15 mm pour la barre AB et 30 mm pour la barre BCD). Les autres propriétés de

Chapitre 6 – Torsion 25 section sont calculées par le logiciel, en particulier la constante de torsion égale au moment d’inertie polaire pour une section circulaire. Aux extrémités, les supports sont définis comme étant des encastrements. On notera en particulier la double flèche dans la direction X qui indique que la rotation est restreinte autour de l’axe des cylindres. Les propriétés du matériau sont définies à l’aide des trois constantes élastiques du matériau, le module élastique, E, le module de cisaillement, G, et le coefficient de Poisson, v . Deux constantes sont indépendantes et la troisième est déterminée à l’aide de la relation suivante :

2(1 )EG

v=

+

Soit la valeur typique 0,33v = pour l’aluminium et la valeur donnée de G = 27 GPa, on trouve une valeur de E égale à 71,82 MPa. On spécifiera donc 71820 MPaE = et 27000 MPaG = dans les propriétés du matériau, tel que montré à la figure 22 (Tables / Matériaux...). Le moment de torsion est défini comme une charge de membrure, concentrée, appliquée à une distance D de 450 mm sur la membrure définie entre les nœuds 2 et 3. Lorsque l’analyse est lancée, l’option Contraintes internes doit être cochée. Les réactions aux appuis sont montrées à la figure 23 et correspondent aux résultats trouvés précédemment. Les contraintes de cisaillement dues à la torsion le long des cylindres sont montrées à la figure 24. La contrainte maximale est égale à 21,9 MPa dans la partie CD du système. On note que la convention de signes est inversée par rapport à celle utilisée ci-dessus. La rotation des joints est donnée sous forme de tableau à la figure 25. La rotation du joint 2 (point B) est égale à 1,34°. La valeur positive indique que le sens de cette rotation autour de l’axe X global est le même que celui du moment de torsion de 1 kN⋅m appliqué au point B, en accord avec la règle de la main droite.

Figure 21. Modèle SAFI des cylindres en aluminium.

26 Calcul et modélisation des structures

Figure 22. Propriétés du matériau.

Figure 23. Charge et réactions aux appuis.

Chapitre 6 – Torsion 27

Figure 24. Diagrammes des contraintes de cisaillement dues à la torsion.

Figure 25. Rotation des nœuds.