Dimensionamento ptimo de um cabo elctrico

Rui Assis

Engenheiro Mecnico IST rassis@netcabo.pt

Janeiro/2000 Resumo Descreve-se a forma de seleccionar um cabo elctrico, optando pelo material da alma condu-tora (alumnio ou cobre) e calculando a seco mais econmica. O perfil das necessidades energticas previstas para os prximos anos bem como a vida til do cabo, tendo em conta a incerteza, so descritas em termos probabilsticos. Descreve-se um modelo matemtico que relaciona as diferentes variveis fsicas e econmicas que caracterizam cada uma das duas alternativas de material. Recorre-se ao mtodo de Monte-Carlo para simular as necessidades energticas em cada ano e a vida til do cabo. Em cada iterao, calculam-se os valores par-ticulares dos custos (pertinentes para a deciso) ao longo do ciclo de vida do cabo. Estes valores particulares vo interagir no modelo e originar, para cada material, outros tantos valores da varivel de sada: a seco ptima do cabo. Estes valores da varivel de sada so depois tratados estatisticamente, o que permite construir um intervalo de confiana da seco ptima para cada alternativa de material e, em consequncia, seleccionar de uma tabela comercial a seco do cabo que mais se aproxime. Demonstra-se assim a utilidade de uma anlise integrada tcnico-econmica em contexto de incerteza, cuja oportunidade se veri-fica em tantos projectos de Engenharia. Palavras-chave Apoio deciso, ciclo de vida, optimizao, previses, simulao de Monte Carlo.

Dimensionamento ptimo de um Cabo Elctrico

Introduo Existem muitos casos de dimensionamento em engenharia nos quais, o valor de uma varivel dimensional de um componente de um sistema seleccionado a partir de tabelas comerciais. Estas constituem adaptaes de normas vigentes cuja concepo obedeceu exclusivamente (ou quase) a critrios de natureza tcnica. Esta abordagem revela-se desajustada nos dias de hoje, pois no equaciona devidamente as justas preocupaes com a economia dos recursos e com o meio ambiente. A seleco do valor daquela varivel deve, em ltima anlise, resultar da ponderao dos vrios custos previstos ao longo do chamado ciclo de vida do elemento a dimensionar e considerados pertinentes para o processo de deciso. Este valor da varivel torna mnima a soma de todos os custos (de investimento, de explorao e de desactivao). Constitui, pois, um valor ptimo na perspectiva econmica, o qual dever ser eleito num processo de selec-o entre vrias alternativas. No assim, contudo, que as coisas funcionam na prtica; Quando a componente econmica introduzida na anlise, constitui procedimento generali-zado e incorrecto decidir apenas com base no preo de aquisio (custo do investimento) mais baixo. Muitos decisores esquecem (ou desconhecem?) que, ser mais econmico representa o menor custo do ciclo de vida e no o menor investimento j l diz o ditado: O que barato sai caro!. Descreve-se seguidamente um caso ilustrativo de abordagem na perspectiva econmica de um problema de dimensionamento em engenharia. Caso de um cabo elctrico Uma empresa industrial vai expandir as suas instalaes fabris. Para o efeito, decidiu construir um novo edifcio, o qual vai necessitar de alimentao elctrica. Esta alimentao pode reali-zar-se atravs de um cabo enterrado trifsico em BT (3x380 V) a partir de um transformador situado a 150 metros. Os materiais comummente utilizados nas almas condutoras dos cabos elctricos so o Cobre e o Alumnio. As caractersticas fsicas dos materiais, os custos da aquisio e montagem e ainda a vida til estimada de cada alternativa, encontram-se descritos no Quadro 1.

Quadro 1 - Caractersticas dos materiais e custos da aquisio e montagem do cabo Caractersticas dos materiais

Cobre Alumnio

. Comprimento (m) . Custo de aquisio + montagem: - Componente fixa ($): - Componente varivel ($/Kg): . Vida til (anos) - perspectiva optimista: - perspectiva mais provvel: - perspectiva pessimista: . Valor residual ($/Kg) . Resistividade (.m) . Peso especfico (Kg/m3)

150 -

50.000 1.000

- 16 15 12

250 1,7 x 10-8

8.900

150 -

40.000 800

- 12 10 9

150 2,8 x 10-8

2.700

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A vida til do cabo (nas duas alternativas) foi estimada no por um nico valor (normalmente o mais provvel), mas por um intervalo de valores de acordo com uma distribuio triangular de probabilidades (ver Figura 1), assumindo-se assim a incerteza comum nestes contextos decisrios. Embora existam outras distribuies de probabilidade assimtricas (Beta, Gamma, logNormal) que podiam descrever a vida til expectvel, a utilizao da distribuio triangu-lar constitui uma aproximao suficiente.

9 10 11 12 anos

Probabi-lidades

12 13 14 15 16 anos

Probabi-lidades

Alumnio Cobre

Figura 1 Dis-tribuio de pro-babilidades da vida til do cabo nas alternativas Alumnio e Cobre

A evoluo previsional da potncia activa necessria, bem como do factor de potncia e do regime de utilizao durante o perodo de vida til do cabo (o mais longo das duas alternati-vas) encontram-se descritos no Quadro 2.

Quadro 2 - Evoluo previsional das necessidades de potncia Anos Potncia mdia

P (KW) Desvio padro

(% da mdia) Factor potncia

(cos ) Regime mdio

(dias/ano) Regime mdio

(horas/dia)

1 100 5% 0,8 230 8 2 120 6% 0,8 230 8 3 140 7% 0,8 230 8 4 160 8% 0,85 230 8 5 170 9% 0,85 230 8 6 180 10% 0,85 230 10 7 190 11% 0,9 230 10 8 200 12% 0,9 230 12 9 200 13% 0,9 230 15

10 200 14% 0,9 230 15 11 200 15% 0,9 230 15 12 200 16% 0,9 230 15 13 200 17% 0,9 230 15 14 200 18% 0,9 230 15 15 200 19% 0,9 230 15 16 200 20% 0,9 230 15

O grau de incerteza da potncia necessria traduzido pelo desvio padro (estimado em per-centagem da mdia) de uma distribuio de probabilidade Normal que vai, logicamente, cres-cendo com o alongamento do horizonte temporal (coluna 3 do Quadro 2 e Figura 2).

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Anos

KW

P + 2.P P

P 2.P

Figura 2 Inter-valos de amplitu-de (+/- dois des-vios padres) dos valores previstos das necessidades anuais de potn-cia activa

O custo actual da energia de 18$00/KWh. Considerando uma taxa mnima de rentabilidade em vigor na empresa para este tipo de investimentos de 15% ano e, assumindo que a activida-de prossegue aps a substituio do cabo no fim da sua vida til, qual ser a alternativa (mate-rial e seco) mais econmica? Forma de resoluo A forma (quase) universal de abordagem deste tipo de problema consiste em considerar ape-nas critrios tcnicos. A este propsito, o construtor francs Merlin Gerin [3], pginas 131 A e 227 B, diz que: A determinao correcta da seco dos condutores de uma canalizao fundamental

para a garantia de segurana intrnseca da instalao e resultado da considerao simul-tnea de quatro critrios-base distintos: 1) Sobrecargas; 2) Curtos-circuitos; 3) Quedas de tenso; 4) Proteco contra contactos indirectos.;

A seco a escolher dever ser a maior das seces determinadas por cada critrio, arre-dondada para respeito da normalizao de condutores isolados e cabos.;

Alm destes critrios tcnicos, poder utilizar-se um outro critrio de tipo econmico: critrio da seco econmica ;

A luta contra as perdas um objectivo mundial, no s no domnio econmico, mas tam-bm no domnio ecolgico.;

O clculo da seco econmica conduz, por um lado, a importantes economias de energia consumida e, por outro, a uma melhoria do comportamento tcnico das canalizaes, seja em matria de fiabilidade (ausncia de pontos quentes, melhor comportamento ao choque, aumento de vida til), seja em matria de performances (melhor comportamento aos cur-tos-circuitos e sobrecargas, melhores condies de arranque de motores, melhor capacida-de de reserva, possibilidade de aumento de comprimento, da carga ligada e de recurso).

Mostra-se seguidamente como um problema desta natureza, formulado na perspectiva econ-mica e com o grau de generalizao descrito anteriormente, pode ser resolvido. Conforme se disse na introduo, a seco econmica do cabo (em cada alternativa do mate-rial da alma condutora) resulta da ponderao dos vrios custos previstos ao longo do seu ciclo de vida e considerados pertinentes para o processo de deciso. Este valor ptimo S* (ver Figura 3) torna mnima a soma dos custos anualizados (investimento e perdas energticas) e do proveito anualizado do valor residual.

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S* Seco (mm2)

Custo do investimento

Custos anuais

(contos/ano)

Custo mnimo

Custo das perdas

Custo total

Proveito do valor residual

Figura 3 Variao dos cus-tos e proveitos anualizados em funo do valor da seco do cabo

A Figura 4 representa graficamente o cash-flow que se verificar ao longo do ciclo de vida do cabo elctrico.

IvPd

Rs0 1 2 3 4 5 6 7 8 N Figura 4 Cash-flow ao longo do ciclo de vida N do cabo

em que: Iv - Investimento inicial (contos) Pd - Perda de energia em cada ano (contos) Rs - Valor residual do cabo (contos) N - Vida til do cabo Considera-se adequada a anlise a preos constantes, tendo em conta que no se prevm modificaes temporais das estruturas dos vrios custos considerados. Se assim no fosse, bastaria estimar todos os custos a preos correntes e ajustar a taxa de referncia (ou mnima de rentabilidade) da inflao mdia prevista durante o perodo de anlise. A energia perdida por um cabo quando atravessado por uma corrente elctrica dada por: W = .(L/S).I2.t (1) em que: W - Energia perdida (W.h) - Resistividade do material (.m) L - Comprimento do cabo (m) S - Seco do cabo (m2) I - Corrente elctrica que atravessa o cabo (A) t - Tempo durante o qual o cabo atravessado pela corrente I (h)

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Sendo, por sua vez, a corrente dada por: I = P / (3.Vc.cos.) (2) em que: P - Potncia activa (W) Vc - Tenso composta (V) cos - Factor de potncia As expresses do investimento Iv , do valor residual Rs e das perdas energticas Pd em funo da seco S do cabo so deduzidas a seguir: O valor do investimento Iv dado por: Cobre: Iv = 50 + 1.000.10

-3 x 150 x S.10

-6 x 8,9.10

3 contos

Iv = 50 + 1,335.S contos (3) Alumnio: Iv = 40 + 800.10

-3 x 150 x S.10

-6 x 2,7.10

3 contos

Iv = 40 + 0,324.S contos (4) O valor residual Rs dado por: Cobre: Rs = 250.10

-3 x 150 x S.10

-6 x 8,9.10

3 contos

Rs = 0,33375.S contos (5) Alumnio: Rs = 150.10-3 x 150 x S.10

-6 x 2,7.10

3 contos

Rs = 0,06075.S contos (6) Quanto s perdas energticas Pd , substituindo (2) em (1), obtem-se: Pd = W.c = .(L/S).I2.t.c = .(L/S).[P/(3.Vc.cos.)]2.t.c (7) em que: c custo de 1 KW.h ($/KW.h) Tendo em conta que, em cada ano, a potncia P necessria assume valores aleatrios dentro dos intervalos definidos anteriormente no Quadro 2, e que o regime de utilizao t (dias/ano x horas/dia) e do factor de potncia (cos.) assumem os valores estimados nicos que se encon-tram descritos no mesmo Quadro 2, o custo em cada ano ser calculado pela expresso (7), resultando: Cobre:

Pd = 1,7.10-8

x 150/S.10-6

x [P/(3 x 380 x cos.)]2x t x 18.10-3x 10-3 contos (8)

Alumnio: Pd = 2,8.10

-8x 150/S.10

-6x [P/(3 x 380 x cos.)]2x t x 18.10-3x 10-3 contos (9)

O custo uniforme (anualizado) global Cg ser calculado pela soma algbrica dos dois custos (o investimento do ano 0 e as perdas energticas ao longo dos N anos) e do proveito (valor resi-dual no fim do ano N), depois de uniformizados (anualizados) ao longo do perodo de vida til. Ou seja:

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n=N Cg = Iv.(A/P;15%;N) Rs.(A/F;15%;N) + (A/P;15%;N).Pd.(P/F;15%;n) (10) n=1

No modelo, os factores de converso financeira (A/P;15%;N) e (A/F;15%;N) tomaro valores diferentes em cada iterao pois so funo da vida til N do cabo valor que seleccionado aleatoriamente de uma distribuio triangular de probabilidade (ver Figura 1), conforme pres-suposto anteriormente. Como a incgnita do problema (varivel de sada no modelo de simulao) a seco S, tor-na-se necessrio que a expresso (10) seja expressa em funo desta varivel, de forma a, pos-teriormente, deduzir o seu valor. Assim, substituindo em (10) as expresses (3), (5) e (8) para o Cobre e (4), (6) e (9) para o Alumno, obter-se-o as expresses: Cobre: Cg = (50 + 1,335.S).(A/P;15%;N) 0,33375.S.(A/F;15%;N) + (A/P;15%;N) x 1,7.10-8x x 150/S.10

-6x [P/(3 x 380 x cos.)]2x t x 18.10-3x 10-3.(P/F;15%;n) (11)

Alumnio: Cg = (40 + 0,324.S).(A/P;15%;N) 0,06075.S.(A/F;15%;N) + (A/P;15%;N) x 2,8.10-8x x 150/S.10

-6x [P/(3 x 380 x cos.)]2x t x 18.10-3x 10-3.(P/F;15%;n) (12)

Conforme se pode facilmente constatar observando as duas expresses anteriores (11) e (12), o custo global Cg pode ser representado da seguinte forma:

Cg = A + B.S + C/S (13) A forma grfica da expresso (13) a de uma curva cncava que apresenta um ponto de orde-nada mnima. A este ponto corresponde, nas abcissas, o valor procurado da seco ptima S*. Este valor S* calculado, derivando (13) em ordem a S e igualando o resultado a zero.

dCg/dS = B C/S

2 = 0 S* = (C/B) mm2 (14)

A resoluo analtica do problema impossvel. Para prosseguir, tem de se criar um modelo de simulao e recorrer ao mtodo de Monte Carlo. Este mtodo de simulao permite selec-cionar aleatoriamente, em cada iterao, um valor de cada varivel probabilstica (a potncia necessria em cada ano e a vida til do cabo). Os valores assim conseguidos vo interagir no modelo com as variveis determinsticas e originar um valor particular da varivel de sada (a seco S* do cabo). Os diferentes valores da seco do cabo Si*, uma vez tratados em fre-quncia e passados num teste de hiptese de Qui-quadrado a um nvel de significncia de 5%, permitem confirmar a sua aderncia a uma distribuio de probabilidade Normal e, logo, construir um intervalo de confiana da mdia (seco ptima S*) para um nvel de significn-cia considerado aceitvel. A ttulo de exemplo, mostra-se seguidamente o resultado de uma destas iteraes conseguida num modelo construdo no software EXCEL.

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Cobre: 8,551 + 0,228.S 0,007.S + 9.500,608/S = 0 Si* = [9.500,608/(0,228 0,007)] = 207 mm2 Cg = 100 contos/ano

Alumnio: 7,970 + 0,064.S 0,003.S + 13.152,314/S = 0 Si* = [13.152,314/(0,064 0,003)] = 462 mm2 Cg = 65 contos/ano

Como o custo uniforme global do Alumnio (Cg = 65 contos/ano) mais baixo do que o do Cobre (Cg = 100 contos/ano), a melhor soluo consistiria em seleccionar de uma tabela comercial um cabo com alma condutora de Alumnio e com uma seco mais prxima poss-vel de 462 mm

2.

Uma anlise da sensibilidade de Cg a diferentes valores de S, para uma das iteraes, condu-ziu ao resultado que se ilustra graficamente na Figura 5. Conforme se pode observar, o mni-mo dos mnimos (minimin) de cada uma das alternativas pertence ao Alumnio.

020

40

6080

100

120140

160180

200

91 140 190 239 288 337 387 436 485 534 584 633 682 731

SECO (mm2)

CU

STO

S (c

onto

s/ano

)

Aluminio Cobre

Figura 5 Cus-tos das alternati-vas Cobre e Alu-mnio

Arbitrando um nvel de confiana de 95% e correndo o modelo 100 vezes, obtiveram-se, finalmente, os seguintes resultados: Cobre: S* = 207 mm2; s = 7,6 mm2 S* +/- Z/2.s/n = 207 +/- 1,96 x 7,6/100 = 207 +/- 1,5 mm2 Cg = 101 +/- 0,58 contos/ano Alumnio: S* = 473 mm2; s = 22,9 mm2 S* +/- Z/2.s/n = 473 +/- 1,96 x 22,9/100 = 473 +/- 4,5 mm2 Cg = 65 +/- 0,42 contos/ano Como o custo uniforme global do Alumnio (Cg = 65 contos/ano) mais baixo do que o do Cobre (Cg = 101 contos/ano), a melhor soluo consiste em seleccionar de uma tabela comer-

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cial um cabo com alma condutora de Alumnio e com uma seco mais prxima possvel de 473 mm

2.

Concluses Este caso permitiu ilustrar uma natureza de problemas comum em gesto e engenharia que necessita de ferramentas de anlise financeira, de forma a tornar possvel encontrar a melhor soluo numa perspectiva integrada tcnico-econmica, e de ferramentas de simulao num-rica de forma a lidar com a complexidade do caso e a natureza probabilstica de algumas das variveis. Esta abordagem de simulao em computador permitiu ter em conta a dose de incerteza subjacente estimao dos valores das variveis potncia necessria e vida til do cabo e emprestou maior realismo anlise. A variabilidade das variveis de entrada do modelo resulta, por sua vez, em variabilidade do valor da varivel de sada (a seco ptima), a qual um mtodo estatstico permite reduzir a um intervalo de confiana suficientemente estreito. De notar tambm que, de acordo com o construtor francs Merlin Gerin [3], pgina 229 B: A seco econmica independente do comprimento da canalizao e dos custos fixos

de instalao. A escolha da seco final de uma canalizao corresponde escolha da seco econmica

uma vez verificados, para esta seco, os critrios aplicveis (sobreintensidades, proteco de pessoas, quedas de tenso)

A seco econmica geralmente mais elevada que a seco tcnica (calculada pelos cri-trios tcnicos)

Outros casos tpicos de optimizao econmica Enumeram-se, seguidamente, alguns exemplos em Gesto e Engenharia nos quais a optimiza-o econmica se torna desejvel. Distncia ptima econmica entre pilares de uma ponte ou viaduto quanto menor o

nmero de pilares menor o seu custo mas, em contrapartida, maior ser o custo do tabulei-ro;

Seco ptima econmica de um cabo elctrico quanto menor a sua seco menor o cus-to de investimento e de instalao mas, em contrapartida, maiores sero as perdas de ener-gia dissipada sob a forma de calor;

Dimetro ptimo econmico de uma tubagem de transporte de um fludo quanto menor o dimetro menor o custo da instalao da tubagem mas, em contrapartida, maiores sero as perdas de presso obrigando a aumentar a potncia da bomba e logo o seu custo;

Lote ptimo econmico de encomenda de um artigo para stock quanto menor a sua dimenso menor o stock mdio e, logo, o custo de posse mas, em contrapartida, maior ser a frequncia de encomendas e, logo, maior o custo administrativo e de transporte;

N ptimo de operaes de repintura de uma chapa (sujeita a corroso) antes de atingir uma espessura limite mnima que imponha a sua substituio existe um n limite de repinturas acima do qual ser mais econmico substituir imediatamente em vez de continuar a pintar;

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Vida ptima econmica de um equipamento com a idade deste, o custo do investimento baixa, mas, em contrapartida, os custos da manuteno e os custos de operao (devido ao decrscimo progressivo da produtividade) crescem e o proveito residual reduz-se;

N ptimo de cavidades moldantes num molde de injeco ou de compresso de plstico quanto maior for o n projectado de cavidades, menor ser o custo de produo das peas obtidas e o custo dos set-up necessrios mas, em contrapartida, maior ser o custo do investimento e o custo de posse das peas produzidas em antecipao s necessidades, e que vo para stock;

Comprimento limite mnimo econmico de sobras em armazm existe um comprimento limite abaixo do qual a esperana matemtica de encaixe por venda para o mercado se tor-na inferior ao potencial de encaixe resultante da venda imediata para uma utilizao alter-nativa (sucata, por exemplo).

Bibliografia relacionada [1] ASSIS, Rui e Mrio Figueira, - MICROINVEST, Projectos de Investimento - Avaliao e Planeamento, Lisboa, IAPMEI, 1994 [2] CANADA, John R., William Sullivan, John A. White, Capital Investment Analysis for Engineering and Management, Prentice Hall, Inc., New Jersey 1996 [3] Pinto, L.M. Vilela, MGCALC, Merlin Gerin de Portugal, Lisboa 1993 [4] THUESEN, Fabrycky, Engineering Economy, Prentice-Hall International Editions, 1989 Rui Assis Janeiro/2000

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Palavras-chave Quadro 1 - Caractersticas dos materiais e custos da aquisio e montagem do cabo Quadro 2 - Evoluo previsional das necessidades de potncia Forma de resoluo Bibliografia relacionada