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Notas para la Unidad 1. Números Reales. Curso Cálculo Diferencial. Profesor: Arturo Pérez Xochitiotzin.

C O N J U N T O S

Había una vez un presidente que exclamaba: “Mexicanos y Mexicanas” . . . . ¿A

quién se dirigía ese presidente? Se dirigía a todos los hombres y mujeres que

nacieron en el territorio nacional, es decir, a aquellas personas que nacieron dentro

del área del mapa llamada México; y también se dirigía a aquellas personas que por

decisión propia adquieren la nacionalidad mexicana.

Que la colección está bien definida significa que, elegida una persona o un animal,

o un objeto, uno puede decidir sí pertenece o no a un conjunto determinado.

Todos los hombres y mujeres que

nacieron dentro del territorio nacional o

que adquirieron la nacionalidad mexicana

CONJUNTO DE MEXICANOS Y MEXICANAS

Un conjunto es una colección de personas, animales u objetos, bien definida.

Las personas que

nacieron en estos países

no son mexicanos, a

menos que hayan

adquirido la nacionalidad

mexicana por decisión

propia. Esto significa que

los alemanes, suecos,

franceses, etc., no son

mexicanos. Es decir, no

pertenecen al conjunto

de “mexicanos y

mexicanas”.


LOS CONJUNTOS EN MATEMÁTICAS

Los conjuntos en Matemáticas se representan con letras mayúsculas y algunos por

su importancia dentro de la teoría se denotan con letras especiales, como se verá a

continuación, para que en cualquier idioma el lector los reconozca. Por otra parte,

los elementos de los conjuntos se representan con letras minúsculas del alfabeto.

DÍGITOS = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Son los objetos matemáticos que nos sirven

para expresar cualquier cantidad.

NÚMEROS NATURALES. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …}. Son los números

que nos sirven para contar y nos permiten resolver ecuaciones del tipo 𝑥 + 3 = 10,

que tiene la solución 𝑥 = 7. Note que las ecuaciones que podemos resolver tienen

como solución únicamente números Naturales o también llamados números

Enteros Positivos. Considere que hay ecuaciones que no se pueden resolver con el

conjunto de Números Naturales, por ejemplo 𝑥 + 5 = −1, que tiene como solución

𝑥 = −6. Por esta razón el conjunto de números Naturales se amplía y se anexa el

cero y los números negativos, dando lugar al conjunto siguiente:

NÚMEROS ENTEROS. Z = {… , -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, …}. Con los números

de este conjunto ya se puede resolver la ecuación del tipo 𝑥 + 5 = −1 y otras como

𝑥 + 8 = 8, que tiene como solución 𝑥 = 0.

Los conjuntos se escriben con un par de llaves “{“ y “}”. Los objetos dentro de las

llaves se dice que son los elementos del conjunto, éstos están separados por comas.

Los puntos suspensivos indican que el conjunto tiene más elementos y que quien

lee sabe cuáles son los elementos que siguen, por ejemplo los conjuntos de números

A estos diez objetos (números)

se les llama Dígitos y los

empleamos, tomando una o

varias fichas de cada caja, para

construir cualquier número por

pequeño o grande que sea.


Naturales y Enteros. Cuando no hay puntos suspensivos, se muestran todos los

elementos del conjunto como en el caso de los Dígitos. Esta forma de expresar a los

conjuntos se llama por Extensión.

Otros conjuntos se expresan por Comprensión, esto consiste en indicar las

propiedades de su elementos, por ejemplo el siguiente:

Conjunto de números Racionales Q, que consiste de todos los números de la forma 𝑎

𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son números enteros y 𝑏 no es cero. En símbolos se expresa así:

{𝑥 =𝑎

𝑏|𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑏 ≠ 0}.

Aquí, los símbolos se leen,

“|” tal (es) que,

“∈” pertenece a o es un elemento de. Ejemplos: 5 ∈ N, 5 ∈ Z, 5 ∈ Q; que

respectivamente se leen: 5 es un elemento de los números naturales, 5 pertenece

al conjunto de números enteros y 5 es un elemento del conjunto de número

racionales. En efecto, por si no se notó, 5 pertenece a los tres conjuntos. ¿A cuáles

otros números les ocurre lo mismo que al número 5?

“≠” no es igual a o es distinto de. Ejemplos: 8 ≠ 6, 𝑏 ≠ 0, 𝑥 ≠ 𝑦. En español se lee,

8 no es igual 6, 𝑏 es distinto de cero, el número 𝑥 no es igual al número 𝑦.

Ejemplos de números Racionales:

1

2,

3

4,

1

3,

5

3,

1369368

4000000, 5 =

5

1, 0 =

0

1, −

4

5=

−4

5=

4

−5, etc.

Recuerda que las fracciones como ½ indican una división, en este caso uno entre

dos. Sí se realizan las divisiones indicadas en los primeros cinco ejemplos se tiene:

1

2= 0.5

La parte decimal es 5. ½ tiene parte decimal finita (es decir, termina), pues sólo tiene un dígito.

3

4= 0.75

La parte decimal es 75. El número ¾ tiene parte decimal finita, pues sólo tiene dos dígitos.


1

3 = 0.333333333

La parte decimal es 33333333, aparecen ocho dígitos iguales en la calculadora, pero si se hace la operación a mano, uno se da cuenta que el número tres sigue apareciendo tanto como uno avance en la división. En este caso se dice que el número 1/3 tiene parte decimal infinita (no termina) y periódica. El número 1/3 es de periodo uno, pues es un dígito el que se repite y el número que se repite se escribe con una barra en la parte superior,

a saber, 0.333333333 = 0. 3̅.

5

3= 1.666666667

La parte decimal es 666666667, aparecen ocho dígitos iguales (6) y el último, que aparece es 7. Esto se debe a que la calculadora redondea el último dígito. Esto no significa que la parte decimal termine en 7, de hecho al realizar la división a mano o a través de un programa para computadora, el 6 continúa apareciendo, según uno avance en la división. El número 5/3 tiene parte decimal infinita de periodo uno y se expresa el 6 con una barra en la parte superior para indicar el periodo. Es decir, se

escribe como 1.666666667 = 1. 6̅.

1369368

4000000= 0.342342

La parte decimal es finita y son tres dígitos los que se repiten.

En resumen,

Con el conjunto de números racionales se puede resolver ecuaciones del tipo:

3𝑥 +1

4=

5

7, que tiene como solución 𝑥 =

13

84.

En el formato decimal, un número es Racional si tiene parte decimal finita o bien, tiene parte

decimal infinita y periódica.


Conjunto de Números Irracionales I. Son todos los números que no son racionales.

Es decir, todos los números que tienen parte decimal infinita y no periódica.

Ejemplos de este tipo de números:

Por supuesto, ahora se podría dedicar a estudiar que tipo de ecuaciones se pueden

resolver con el conjunto de números irracionales, pero mejor recuerde que con el

Teorema de Pitágoras se puede mostrar que un triángulo rectángulo isósceles cuyos

lados iguales miden una unidad, tiene una hipotenusa de longitud √2. Construye

otro triángulo rectángulo isósceles que tenga como longitud de la hipotenusa otro

número irracional.

Ya se han estudiado hasta aquí varios conjuntos de números, pero ¿cómo están

relacionados?

Para responder a esta pregunta, recuerde que, se dijo antes, 5 es un número

Natural, es número Entero y también es número Racional. De manera gráfica,

𝜋 =

𝑒 =

√53

=

√64

=

√265

=

Etc.

Todos estos ejemplos están calculados a 50 dígitos, incluyendo la parte entera, pero recuerda que su parte

decimal es infinita y no periódica. Claro que no son irracionales √4 = ±2, √83

= 2, √2564

= ±4, etc., pues son

números racionales, como puedes ver.

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

2.7182818284590452353602874713526624977572470937000

2 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769

1.7099759466766969893531088725438601098680551105431

1.5650845800732873165844854991586898098107269427748

1.9186451916253062478642785671857330884215065286943

Acerca del Número Pi. ¿Sabías que hasta 2010 se habían encontrado 5 billones de dígitos en la parte

decimal del número Pi? ¿Para qué sirve este cálculo y cómo se hace? Infórmate en:

http://www.rtve.es/noticias/20100809/informaticos-calculan-billones-billones-decimales-del-numero-

pi/345111.shtml

http://www.rtve.es/noticias/20100809/informaticos-calculan-billones-billones-decimales-del-numero-pi/345111.shtml

http://www.rtve.es/noticias/20100809/informaticos-calculan-billones-billones-decimales-del-numero-pi/345111.shtml


suponiendo que todos los números los tenemos en cajas abiertas, se verían así,

desde una vista superior:

En una caja como esta, están todos los números que se han estudiado,

representados por un punto. ¿Los puedes contar? Si se habla de todos los números,

el área que verías cubriría la superficie de la tierra y seguro que te sobraría para

cubrir otros planetas y más. Una vez hecha esta advertencia, se colocan las cajas.

No te fijes en las proporciones geométricas, recuerda que hay una cantidad infinita

de números.

¿Qué se puede decir acerca de los círculos pequeños de colores?

El verde. Establece que hay números Enteros que no son números Naturales.

Ejemplos: 0, -1, -2, etc.

El negro. Establece que hay números Racionales que no son Enteros ni

Naturales. Ejemplos: ¾, ½, etc.

Círculo azul. Dentro de él sólo están los números Naturales.

El café claro. Establece que todos los números en esa área son números

Irracionales y no son Racionales, como ya se dijo antes.

Q

Z N I

R

RRRR

Todos los números Naturales están dentro

del círculo azul.

Todos los números Enteros están dentro del

círculo verde.

Todos los números Racionales quedan a la

izquierda de la curva café claro.

Todos los números Irracionales quedan a la

derecha de la curva café claro.

A TODOS LOS NÚMEROS SE LES LLAMA

“NÚMEROS REALES, R”. TODOS ELLOS

ESTÁN DENTRO DE LA CAJA.


Los puntos anteriores se pueden expresar formalmente en Matemáticas y para ello

se requieren las definiciones siguientes:

Ejemplos:

1. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …} {… , -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, …}

Todo Número Natural es Número Entero. Es decir, N Z

2. {2, 4, 6, 8, 10, 12, …} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …}

Todo Número Par es Número Natural

3.

Q R, I R, N R, Z R.

Todos los conjuntos estudiados hasta aquí son subconjuntos propios de los Números Reales R.

Con respecto a la definición anterior, en el caso de que exista la posibilidad de que

con todos los elementos del conjunto 𝐴 se tengan también todos los elementos del

conjunto 𝐵, se usa el símbolo 𝐴 𝐵. Es decir, existe la posibilidad de que con todos

los elementos del conjunto 𝐴, 𝐴 sea precisamente el conjunto 𝐵. Esto nos lleva a

la definición siguiente:

Antes de dar ejemplos de igualdad de conjuntos veremos sólo dos de las

operaciones que se pueden realizar con conjuntos.

Definición de Subconjunto de un Conjunto. Considere que 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. Si todo elemento del

conjunto 𝐴 también es elemento del conjunto 𝐵, se dice que 𝐴 es un subconjunto propio de 𝐵 y se

representa con el símbolo 𝐴 𝐵.

Definición de Igualdad de Conjuntos. Considere que 𝐴 y 𝐵 son conjuntos. Se dice que 𝐴 = 𝐵, si todo

elemento de 𝐴 es elemento de 𝐵 y todo elemento de 𝐵 también es elemento de 𝐴. Es decir, se

cumplen las dos 𝐴 𝐵 y 𝐵 𝐴.


OPERACIONES CON CONJUNTOS

Recuerde la figura de la caja de números Reales R, como puede ver, la caja está

divida por la curva café claro en dos partes: la parte que contiene a todos los

números racionales y la parte que tiene a todos los números irracionales

En la definición anterior, los elementos que pertenecen a ambos conjuntos se

escriben una sola vez en el conjunto A ∪ B.

Ejemplos:

1. R = Q ∪ I: este conjunto está formado por los elementos que pertenecen a Q

o pertenecen a I, o pertenecen a ambos. O bien, R es el conjunto formado por

los números racionales y los irracionales; pues en este ejemplo no hay

números que pertenecen a Q y que también pertenecen a I.

2. N ∪ Z: este conjunto está formado por los elementos que pertenecen a N o

pertenecen a Z, o pertenecen a ambos. Recuerde que N Z, por lo tanto, en

este ejemplo, si hay elementos que pertenecen a ambos conjuntos. De hecho N ∪ Z = Z.

Definición de Unión de Conjuntos. Considere que A y B son conjuntos. La unión de A y B, que se

denota por A ∪ B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto

A o pertenecen al conjunto B o pertenecen a ambos.


Como veras a continuación (fi) ∅ aparece muy seguido. De hecho, ∅ es un

subconjunto propio de todo conjunto. Esto se escribe como sigue: Considere que A

es un conjunto.

∅ 𝐴.

Todo elemento de ∅ también es un elemento de 𝐴. O de manera equivalente, ¿Cuál

elemento de ∅ no es elemento de A?

Ejemplos:

1. Q ∩ I = ∅. Explique.

Nota. Dos conjuntos con intersección vacía se dice que son ajenos o disjuntos.

2. A ∩ ∅ = ∅.

3.

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …} ∩ {… , -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, …} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …}

Ahora, ya se tienen todos los números reales dispuestos para el trabajo pero,

¿mediante qué los voy a utilizar? Para el trabajo gráfico los números reales se

emplean mediante una, dos o tres rectas como sigue:

Una recta vertical, inclinada u horizontal, según el contexto, sí el problema se

efectúa o desarrolla en una dimensión1, como cuando caminas a lo largo de una

avenida:

1 Consulta el significado de la palabra “dimensión” en: El Diccionario de la lengua española es la obra de referencia de la Academia. La última edición es la 23.ª, publicada en octubre de 2014.

Definición de Intersección de Conjuntos. Considere que A y B son conjuntos. La intersección de A y

B, representada por A ∩ B, está formada por los elementos que pertenecen al conjunto A y que

también pertenecen al conjunto B. Es decir, la intersección está formada por los elementos que

son comunes a ambos conjuntos.

Definición de Conjunto Vacío. El conjunto vacío se representa con la letra griega (Phi) ∅ y se

define como el conjunto que carece de elementos.


Dos rectas que se intersectan en un punto, de tal manera que entre ellas forman un

ángulo recto (90°), sí el problemas que se quiere resolver o estudiar se efectúa en

dos dimensiones, como cuando quieres recorrer el centro histórico de la ciudad de

Puebla.

Aquí, las rectas son: “Av. Reforma – Av. Juan de Palafox y Mendoza” SE INTERSECTA

CON “Calle 16 de Septiembre – Calle 5 de Mayo”.

Tres rectas que se intersectan en un punto, de tal manera que, entre cualesquiera

dos de ellas, forman un ángulo recto; sí el problemas que se quiere resolver o

estudiar se efectúa en tres dimensiones, como cuando diseñas el interior de un auto

y en general, el diseño de muebles, oficinas, naves industriales, aviones, etc. Todo

esto se estudia en el espacio de tres dimensiones, donde vivimos.


Ejemplos de sistemas de coordenadas para tres dimensiones se muestran en tres

colores distintos. En verde se tienen dos rectas perpendiculares que resultan de la

intersección de las paredes verticales con el piso y la tercera recta o eje vertical se

encuentra en la intersección de las paredes verticales. Describe los sistemas en

colores amarillo y azul.

Hasta el momento sólo se tienen rectas intersectadas con la condición de que

formen entre ellas ángulos rectos. Falta asignar a cada una el conjunto de los

números reales. Para hacer esto, se elige algún punto de la recta y se coloca el cero.

A la derecha del cero se colocan todos los números reales positivos y a la izquierda

de él los números reales no positivos (negativos). Sólo se muestran algunos a

continuación. Note que lleva una R en la parte superior izquierda, para distinguirla.

R −√2 1

2 e 𝜋


En la recta anterior ya se han colocado todos los conjuntos de números: Naturales,

Enteros, Racionales e Irracionales; ahora la recta se llama Recta Numérica o Recta

Real.

¡Para recordar!

Diego Rivera (Mexican 1886-1957)

Sembrador de coles (Man with Lettuce)

Te has fijado en los campos de cultivo que rodean al Tecnológico. ¿Qué hacen las personas durante la siembra? Asignan (por ejemplo) una pequeña lechuga a un lugar del terreno. De forma similar se asigna un único número real a un punto de una recta y un único punto de una recta a un número real.

PROPIEDAD DE DENSIDAD DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Ya se mencionó antes que los números reales forman un conjunto infinito. A

continuación se encontrarán algunos, muy pocos, números racionales

comprendidos entre los números 1 y 2. Esta búsqueda de números racionales esta

fundamentada en su propiedad de Densidad que dice en español:

A cada punto de la Recta Real le corresponde uno y sólo un Número Real. Es decir, de manera

equivalente, a cada punto de la recta le corresponde un único número real y a su vez, a cada

número real le corresponde un único punto en la recta.

Entre dos números racionales hay otro número racional.


Los números extremos del segmento de recta son racionales, luego entre ellos hay

otro número racional, a saber: 1+2

2=

3

2. Se encontró el que está exactamente a la

mitad, pero tú puedes encontrar otros, cambiando el 2 del denominador por otros números naturales.

Los números 3/2 y 2 son racionales, luego entre ellos hay otro número racional, a

saber: 3

2+2

2=

7

4. S e encontró el que está exactamente a la mitad, pero tú

puedes encontrar otros, cambiando el 2 del denominador por otros números naturales; o bien determinando otros racionales, colocados entre 1 y 3/2.

Continuando de esta manera podrías dedicar buena parte de tu vida a determinar los números racionales situados entre 7/4 y 2. De manera análoga se pueden determinar: 15/8, 31/16, 63/32, etc.

LEY DE TRICOTOMÍA

Recuerda que cuando vas a la feria hay un juego que consiste en un círculo giratorio

de colores al cual se le pegan globos y los números con los premios y tú debes lanzar

un dardo que con buen tino rompe el globo. El dardo queda insertado en el tablero

circular.


En la Ley de Tricotomía el juego consiste en –a semejanza del juego de dardos

tablero y globos-, lanzar variables a un tablero circular giratorio como el que se

muestra a continuación. Si la variable cae en el área naranja, la variable tomará un

valor positivo. Si la variable cae en el área azul, tomará un valor negativo. Si la

variable cae en el área marcada con cero, la variable tomará ese valor.

La Ley de Tricotomía establece que para todo número x se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades:

x = 0.

x es positivo.

-x es positivo.

Si lanzas una variable al círculo giratorio, ésta sólo puede caer en una y sólo una de las tres áreas. Enfatizando, al lanzar una variable al tablero, ella no puede quedar en dos áreas a la vez, mucho menos en las tres.

Evita sorpresas¸ ¡ A N A L I Z A !

¿Cómo puede ser –x positivo? ¡Claro que puede!

Considera a x un número negativo, por ejemplo x = -7, entonces multiplicas por (-1)

en ambos lados y así la igualdad no se altera

(−1) × 𝑥 = (−1) × −7

−𝑥 = 7

Realiza operaciones y ahora tienes que −𝑥 es un número positivo.

Con lo anterior, recuerda:


Si a la variable no le precede un signo negativo, no necesariamente es positiva.

Si a la variable le precede un signo negativo, no necesariamente es negativa.

Toma en cuenta, cuidadosamente, el contexto del problema.

PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

Todo lo que has aprendido desde la escuela primaria acerca de cómo manipular los

números se debe a las propiedades que se presentan en esta unidad y en particular

en las Propiedades de Campo. Recuerda que cuando estudiaste las tablas de

multiplicar, todas inician con un número multiplicado por uno: 1 × 1 = 1, 2 × 1 =

2, 3 × 1 = 3, . . . , 10 × 1. También en las tablas aprendiste que 3 × 8 = 24 y que

8 × 3 = 24. O quizá resolviste problemas como: si tengo cinco pesos y compro cinco

dulces de un peso cada uno, ¿cuánto me queda? O bien, si tengo un peso y mi papá

hoy no me dio dinero ¿cuánto tengo en este momento? Bueno, se podría uno

entretener un buen rato recordando los buenos momentos de la primaria, pero lo

mejor es dar paso a las propiedades.

Consisten de cuatro propiedades para la suma, cuatro para el producto y una

propiedad que relaciona ambas operaciones, es decir, relaciona a la suma con la

multiplicación.

Propiedades de Campo o Cuerpo de los Números Reales. Dados dos números

reales cualesquiera 𝑥 y 𝑦 se define la suma 𝑥 + 𝑦 R y el producto 𝑥 ∙ 𝑦 R y satisfacen las siguientes propiedades:

Para la Suma Para la Multiplicación

Conmutativa. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 Conmutativa. 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥

Asociativa. 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 Asociativa. 𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑧) = (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧

Existencia del neutro aditivo.

Existe el 0 R tal que 𝑥 + 0 = 𝑥

Existencia del neutro multiplicativo.

Existe el 1 R tal que 1 ∙ 𝑥 = 𝑥

Existencia de inversos aditivos. Para todo número real x existe −𝑥 ∈ R tal que 𝑥 + (−𝑥) = 0

Existencia de inversos multiplicativos. Para todo número real x distinto de cero

existe 1

𝑥= 𝑥−1 ∈R, tal que 𝑥 ∙ 𝑥−1 = 1

Distributiva. 𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧


Ejemplos para ambas operaciones:

Conmutativa. 4 + 5 = 9 = 5 + 4. 3 ∙ 7 = 21 = 7 ∙ 3.

Asociativa. 2 + (3 + 9) = 14 = (2 + 3) + 9. 4 ∙ (6 ∙ 2) = 48 = (4 ∙ 6) ∙ 2.

El neutro aditivo es único y es el 0 (cero).

El neutro multiplicativo es único y es el 1 (uno).

Inversos aditivos.

8 Su inverso aditivo es: -8 −√2 Su inverso aditivo es: √2 - 4 Su inverso aditivo es: 4 𝜋 Su inverso aditivo es: −𝜋 1

2 Su inverso aditivo es: −

1

2 −

3

4 Su inverso aditivo es:

3

4

Inversos multiplicativos.

8 Su inverso

multiplicativo es:

1

8 √2

Su inverso multiplicativo es:

1

√2

1

−4


-4 1

𝜋


𝜋

2 Su inverso

multiplicativo es:

1

2

3

4


4

3

Durante el curso se emplearán las propiedades anteriores, por el momento se

aplicarán para despejar una variable en una ecuación.

Considera la ecuación −3𝑥 = 5 y despeja 𝑥.

𝑥 = (𝑎𝑞𝑢í 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑚á𝑠)

Es decir, 𝑥 es positiva, está en el numerador (es equivalente a decir que su

exponente es uno), tiene coeficiente 1 porque 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 y está sola en uno de los

lados de la ecuación (es equivalente a decir que todos los demás términos de la


ecuación ya se han pasado, apropiadamente, al otro lado de la igualdad. En el

traslado de los términos y factores de un lado al otro del signo de igualdad, se

emplean las propiedades:

−3𝑥 = 5 La ecuación de trabajo −3 ∙ 𝑥 = 5 Nota que el -3 está multiplicando a 𝑥

¿Cómo quito apropiadamente el -3? Es decir, ¿cuál número multiplicado por -3 da como resultado el número 1? Respuesta: su inverso multiplicativo.

(1

−3) ∙ (−3) ∙ 𝑥 = (

1

−3) ∙ 5

Multiplicas en ambos lados por (1

−3),

que es el inverso multiplicativo de (-3).

[(1

−3) ∙ (−3)] ∙ 𝑥 = (

1

−3) ∙ 5

Propiedad Asociativa para la multiplicación.

[1] ∙ 𝑥 = (1

−3) ∙ 5 Propiedad del Inverso Multiplicativo.

𝑥 = (1

−3) ∙ 5 Propiedad del Neutro Multiplicativo

𝑥 =5

−3= −

5

3 𝑥 Está despejada.


Conjuntos en la recta real: intervalos

Valor absoluto: gráficas: distancia del 0 al punto mencionado

Ejercicios

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