BROJNI SISTEMI-su jezici nad skupom cifara. Oni imaju svoju azbuku i gramatiku kojima se konstruisu slozene kategorije.Svi poznati brojni sistemi su podeljenji u dve osnovne grupe.1)aditivni;2) pozicioni ADITIVNI BROJNI SISTEMI-su sitemi kod kojih simboli oznacavaju cifre i imaju istu vrednost bez obzira na mesto u nizu kojim je brojem zapisan. POZICIONI BROJNI SISTEMI-Kod pozicionih brojnih sistema svaki simbol koji oznacava cifru osim numericke vrednosti ima i svoju tezinu koja zavisi od pozicije u nizu cifara zbog cega se ovi sistemi nazivaju tezinskim.Tezine i vrednosti cifara su uslovnjene osnovom B brojnih sistema. DECIMALNI BROJNI SISTEM-decimalni brojni sistem se najcesce koristi u obicajenoj upotrebi.Njegova osnova iznosi B=10 i ima 10 cifara cije su vrednosti 1,2,3,4...10.Bilo koji decimalni broj moze se izraziti pomocu jednakosti: N10=an10n+an-110n-1+...a0100+a-110-n....+am10-m=Σai10i BINARNI BROJNI SISTEM-Binarni brojni sistem je sistem sa osnovom B=2 i koji sadrzi samo dve cifre 0 i 1 .Cifre binarnog broja imaju tezinu ravnu osnovi 2 stepenovanoj eksponentom koji je ceo broj.Izdrazava se pomocu jednakisti . N2=an2n+an-12n-1+...a020+a-12-n....+am2-m=Σai2i PREVODjENjE CELOG BINARNOG BOJA U DECILAMI-Koriste se double-dabble metoda koja se sastiji iz sledeceg.Cifra najviseg reda rezultat se upise izpod nizeg razreda.Upisni rezultat se mnozi sa 2 njemu se doda cifrla sledeceg nizeg razreda i ispod nje se upise rezultat.Postupak se sprovodi sve do poslednje cifre celobrojnoj dela binarnog broja i i poslednji upisani rezultat predstavlja ekvivalentu. TEOREMA O IDEMPOTENTOSTI- X+X=X X*X=X TEOREMA O IDENTITETU- X+0=X X*1=X TEOREMA O NULA-ELEMENTIMA- X+1=1 X*0=0 TEOREMA O KOMPLEMENTU X+X=1 X*X=0

TEOREMA O INVOLUCIJI- (X)=X TEOREMA O IDENPOTENTOSTI- X+X+....+X=nX=X X*X*........*X=Xn=X PROSIRENA TEOREMA O NULA ELEMENTIMA- 1+X1+X2+....+Xn=1 TEOREMA O KOMUTATIVNOSTI- X1+X2=X2+X1 X1*X2= X2*X1

TEOREMA O ASOCIJATIVNOSTI- X1+X2+X3=(X1+X2)+X3=X1+(X2+X3) X1*X2*X3=(X1*X2)*X3=X1*(X2*X3)=(X1*X3)*X2 TEOREMA O DISTRIBUTIVNOSTI-X1*X2+X1*X3=X1+(X2+X3) (X1+X2)(X1+X3)=X1+X2*X3 TEOREMA O APSORCIJI-X1+X1*X2=X1 X1+X1*X2+X1*X3+....X1*Xn=X1 X1*(X1*X2)=X1 X1*(X1+X2)(X1+X23*.....*(X1+Xn)=1 PROSIRENA TEOREMA O APSORCIJI- X1+X1*X2=X1+X2 X1(X1+X2)=X1*X2 TEOREMA O POTPUNOM SAZIMANJU-X1*X2+X1*X2=X1 (X1+X2)(X1+X2)=X1 DE-MORGANOVA TEOREMA- Y1=(X1+X2+X3+....+Xn)X1*X2*X3*...*Xn Y1=(X1*X2*X3*....*Xn)X1+X2+X3+...+Xn

TEOREMA O EKSPANZIJI: y=F(x1,x2,x3,…xn)x1f(x1,x2,x3,…xn)+x1f(0,x2,x3,…xn)

Y=f(x1,x2,x3,…xn)=(x1+f(o,x2,x3…xn))(x1+f(1,x2,x3,…xn)) Izrazi f(1,x2,x3,…xn) i f(0,x2,x3,…xn) se formiraju kada se u datpoj logickoj funkciji y=f(x1,x2,x3,…xn) za promenljivu x1 stavi da je 1 i 0 sledstveno.

METORA ALGEBARSKE TRANSFORMACIJE-Ova metoda zasniva se na simulantom koriscenja teorema posredstvom kojih se prolazna logicka funkcija uporscava svde dok se ne dobije najpogodnija forma za komponovanje strukturne seme za algebarsku transformaciju koriste se sledece relacije: x+x=0 x+x-=1 x*1=x x+1=1 x*x=x x+x=1 Metoda algebarske transformacije je jednostavna ali ne predstavlja sistematsku medotu i moze se koristiti za relativno proste funcije i za mali broj logicko nezavisnih promenljivih. TABELARNA METODA-Podrazumeva se metoda iznamazenja potpunog skupa prostih implikacija i postupak minimalnog pokrivanja za odredjenje minimalnog skupa u potpunom skupu prostih implikanata.

Normalna forma logickih funkcija B

Savrsena disjuktivna normala forma (SDNF)

Polazeci od teoreme o ekspanziji ali zahvaljujuci logickoj funkciji ne oko jedne promenljive vec sve do promenljive x dobija se :

Y=x1 x2 f(0,0,x3,…xn)+x1x2 f(0,1,x3…xn)+x1 x2 f (1,0,x3,…xn)+x1 x2 f(1,1,x3,…xn)=x1 x2…xn f (0,0,…0)+x1 x2….xn f(0,0,…1)+…+x1 x2….xn f(1,1,….n)=Po fo+P1 f1+…..+Pi Fi+…+ P2n-1 2n-1=Suma 2n-1 dole i=o Pi Fi

Izrazi Po,P1,… Pn su puni proizvodi minternovi svih nezavisnih promenljivih bilo afirmaciji ili negaciji. Konstante fo,f1,…f2n-1 predstaVLJAJU VREDNOSTI FUNKCIJE ZA ODGOVARAJUCE vrednosti promenljivih mogu biti 0 ili 1. Dobijeni izraz predstavlja sumu proizvoda i naziva se savrsena disjuktivna normalna forma.

Minimizacija logickih funkcija

Proces uproscavanja funkcije u cilju dobijanja njene minimalne forme naziva se minimizacija. Metode minimizacije logickih funkcija:

1. Metoda algebartske transvormacije 2. Tabelarna metoda3. Patrikova algebartska metoda 4. Graficka metoda (Bejl-Korano metoda)

Tabelarna metoda Quine

Sazimanje se sprovodi u etapama. Prvu etapu sacinjava sazimanje proizvoda n-tog ranga tj punih proizvoda koji sadrzi sve promenljive mintermova kopji ulaze u sklop savremene disjuktivne normalne forme (SDNF) Posle svih mogucih sazimanja u opstem slucaju ostace izvestan broj nesazetih proizvoda n-tog ranga (mintermova) i oni predstavljaju prpste implikante. Drugu etapu sacinjava dalje sazimanje proizvoda n-1 ranga tako da se dobijaju proizvodi n-2 ranga. Ovde takodje moze preostati izvestan broj nesazetioh proizvoda n-1 ranga te i ona predstavljaju proste implikante. Postupak se zavrsava kada nije moguce dalje saszimanje. Koid pojave indenticnih prostih implikanata izuzev jedne sve ostale reducante se mogu odbaciti . Potpuni skup propstih implikanata vezanih za disjuktivno sacinjava uproscenu

disjuktivnu normalnu formu koja se oznacava skracenicom UDNF. Minimalni skup prpostih implikanata odredjuje se obrazovanje tablice pokrivanja Tablica pokrivanja sadrzi kolone ciji broj odgovara brojuy mintermova i vrste ciji broj odgovara broju prostih implikanata oznacenih simbolima abce. U elemente tablice stavlja se ‘+’ ako dati prosti implikanti pokriva dotican mintern izbor implikanata skupa iz potpunog skupa prostih implikanata vrsi se da minimalan skup pokriva sve mintermove. Proste implikante koje jedine pokrivaju neki od mintermova nazivaju se eksponencijalne i one se moraju obavezno uzeti. Vrsta kojoj pripada eksponencijalni ipmlikant naziva se eksponencijalna vrsta. One sae u tablici pokrivanja oznacavaju znakom ‘*”a pronalaze se tako sto se traze kolone koje sadrzi samo jedan znak “+” koja se tada zaokruzuje (zaokruzen znak +) S obzirom da u minimalni skup propstih implikanata moraju obavezno uci esecijalni implikanti pa se oznace svi mintermovi pokrivenim znakom “nike” pa u poslednjoj vrsti tablice pokrivanja koje pokrivaju pojedine eksponencijalne implikante zatim ostaje da se odaberu preostali implikanti i to tako das vi mintermovi budfu pokriveni u rezultatu se moze dobiti vise ovakvih skupova i oni predstavljaju minimalne normalne forme.

Tabelarna metoda Quine McCluskey

Tabelarnu metodu quine je usavrsio Mc Cluskey s tim sto su promenljive u afirmaciji xi i negaciji xi zamenjenesimbolima 1 i 0 tako da prikazani mintermovi se posmatraju kao brojevi izrazeni u prirodnim binarni kadu se indeksiraju njihovim decimalnim ekvivalentima. Pri konacnom sabiranju ubelezavaju se samo iste binarne cifre dok se kod razlicitih stavlja znak “-“ i on se oznacava promenljivuy koja je ostala. Za objedinavanje postupka minimizacije razmatra se loghisticka funkcija izrazena sa y= suma gore 4(2,6,9,11,13,14,15)

Etapno sazimanje prikazuje se tabelarno interaciona tablica sadrzi sve mintermoive izrazene binarnim kodom odgovarajucim decimalnim ekvivalentom . Mintermovi su svrstani u prvoj koloni8 “Broj simbola 1” iteracione tablice u grupe sa isitim brojem simbolom 1. Prvu grupu obrazuju mintermovi sa najmanjim a poslednji sa najvecim brojewm simbola 1. Drugu kolonu “Decimalni ekvivalent” tablice sadrzi indekse odnosno decimalni ekvivalent binarni prikazanog minterna. Trecu kolonu ‘ binarni prikaz” obrazuju mintermovi izrazeni u prirodnim binarnom kodu. Interaciona tablica 1 odgovara prvoj etapi sazimanja po\ Quine ovoj metodi tako da se sazima svaka vrsta jedne grupe sa svakom vrstom sledece grupe cicji je broj simbolom 1 za jedan veci od broja simbola prethodne grupe. Sazimanja se samo oni mintermovi koji su binarno izrazeni medjusobno razlikuju samo u jednom simbolu na istoj poziciji. Mogucnost sazimanja obelezava se znakom “+” koji se stavlja u poslednjoj koloni “Sazimanje iteracione taBLICE 1”

Patrikova algebartska metoda

Patrikova metoda sluzi za obradu tablice pokrivanja tablice ciji simboli a,b,c predstavljaju proste implikante posmatraju se binarne promenljive one su ravne 1 ako su proste implikante ukljucene u uproscenu disjuktivnu normalnu formu ( UDNF) a ravne 0 ako nisu ukljucene. Prvu binarnu promenljivu moguce je integrirati kao logicku promenljivu. Dab vi se jedna kolona odnosno odgovarajuci mintern bili pokrriveni mopra se uzeti ili jedan ili drugi ili bilo koji od vrsta koje u proseku posmatranom kolonom imaju znak + S obzirom da se vrste koje odgovaraju pojedinim prostim implikantima posmatraju kao logicke promenljive pa se tada s obzirom na uslov pokrivanja za svaku kolonu moze obrazovati logicka funkcija u vidu sume (disjunkcije) simbola vrsta i oni pokazuje klako se sve jedna kolona moze pokriti vrstama koje u prosecima sa tom kolonom imaju znake + tad ace oni glasiti U=a+b+…. Da bi sve kolone bile pokrivene moraju se uzewtyi svih logickih funkcija i to U1 U2 U3 na ovaj nacin formira se takozvana funkcija pokrivanja P u vidu proizvoda ovih funkcija pokrivanja p u vidu propizvoda ovih funkcija sto daje P=U1-U2… Un kada se izvrsi zamena funkcija U1, j=1,2…n i izvrsi mnozenje dobice se suma proizvoda P=U1+U2+Ua gde svaki clan Ui predstavlja proizvod simbola nekih prostih implikanata. Vi=abc.. i. Svaki pak clan Ui predstavlja dovoljan skup prostih implikanata pomocu kojih se moze izraziti zadata logicka funkcija koja se zei minimizirati izmedju oviuh clanova tj proizvoda prostih implikanata bira se onaj koji sadrzi najamanjiu broj promenljivih koja iznosi Nmin=ia+io+…In gde su ii brojevi promenljivih u prostoj implikanti i .