Naci Kalkan

BOYUTSUZ SAYILAR VE FİZİKSEL ANLAMLARI

Naci Kalkan

Bitlis Eren Üniversitesi

Mühendislik Mimarlık Fakültesi

Makina Mühendisliği Bölümü – Enerji Ana Bilim Dalı

Bitlis – Türkiye

nkalkan@beu.edu.tr

Giriş - Boyutsuz Sayılar

Isı transferi ve akışkanlar mekaniğinde bazı temel denklemler çok karmaşık olup çoğunun

çözümü sayısal yöntemlerle dahi zordur. Karmaşıklığa yol açan terimler akım alanının bazı

bölgelerindeki fiziksel büyüklükler korunmak şartıyla ihmal edilirse bir takım basitleştirmeler

ortaya çıkar ve bu denklemler daha kolay çözülebilir. Diferansiyel denklemlerdeki çeşitli

terimlerin oransal büyüklüklerini belirlemek için boyut analizinden faydalanılır [1]. Örnek

olarak sabit viskoziteli ve sabit yoğunluklu akışkan halini ele alalım. Akışı yöneten

denklemleri şu şekilde yazabiliriz.

(1)

(2)

Tablo 1- Akışa ait referans büyüklükler, [1].

L Referans uzunluk (kanat veter uzunluğu)

V Referans hız (serbest akım hızı)

T Karakteristik zaman (periyodik olaylarda bir çevrimin süresi veya, L/V)

Referans basınç (serbest akım basıncı, )

Bünye kuvveti (yer çekim ivmesi, )

Naci Kalkan

Bu tanımlamalar ile kartezyen koordinatlarda aşağıdaki boyutsuz büyüklükler elde edilebilir:

(3)

Karakteristik büyüklükler uygun biçimde alınırsa bütün bu boyutsuz büyüklükler 1

mertebesinde olur.

Şimdi bu boyutsuz büyüklükleri akışı yöneten denklemlerde kullanalım. Süreklilik denklemi

için aşağıdaki denklem elde edilir.

(4)

Diğer terimler için de benzer işlemler uygulanırsa, sıkıştırılamaz akışa ait süreklilik denklemi

şu şekle dönüşür:

(5)

Momentum denkleminin x doğrusundaki bileşeni için benzer işlemler uygulanırsa aşağıdaki

denklem elde edilir:

(6)

Naci Kalkan

Momentum denkleminin diğer bileşenleri için de benzer ifadeler elde edilebilir. (5) denklemi

(L/V) ile ve (6) denklemi de (L/ ) ile çarpılarak (7) ve (8) denklemleri elde edilir [1].

(7)

(8)

Eğer (4) denklemindeki bütün boyutsuz büyüklükler 1 mertebesinde ise denklemler (7) ve

(8)’deki her bir terimdeki yıldız indisli büyüklüklerin oluşturduğu gruplar da 1 mertebesinde

olacaktır. Bu durumda denklemlerdeki her bir terimin büyüklük mertebesini, bu terimlerin

başında parantezler içinde yer alan ve yıldız indisine sahip olmayan çarpanlar belirleyecektir.

Parantez içerisindeki bu büyüklüklerin teşkil ettikleri grupların boyutsuz oldukları

görülmektedir.

Süreklilik denkleminde parantez içerisinde, yukarıda belirtildiği gibi büyüklükler olmayıp,

herhangi bir üç-boyutlu akış için bu denklemin her bir terimi aynı mertebede ve aynı öneme

sahiptir.

Momentum denklemindeki boyutsuz büyüklükler

Strouhal Sayısı:

Momentum denkleminin sol tarafındaki ilk terimin başındaki parantez içinde kalan büyüklük

ele alınan akımda zamana bağlılığın hangi mertebede olduğunu belirten bir boyutsuz sayı

teşkil etmektedir.

(9)

Naci Kalkan

Bu boyutsuz sayının pratikte daha sık kullanılan bir şekli, periyodik olayın frekansının tersi

karakteristik zaman olarak alınarak tanımlanan Strouhal sayısıdır. Eğer Strouhal sayısı çok

küçük ise (8) denkleminin ilk terimi 1 mertebesindeki diğer terimler yanında ihmal edilebilir.

(10)

Froude Sayısı:

Momentum denkleminin sağındaki ilk terimde çarpan olarak parantez içinde yer alan

büyüklükler, bünye kuvvetinin, örneğin, yerçekimi kuvveti olarak alınması (f0 olarak g

yerçekimi ivmesinin alınması) halinde yine boyutsuz bir büyüklük teşkil ederler. Bu boyutsuz

büyüklük, Froude sayısı olarak tanımlanan bir sayının tersinin karesine eşittir [1].

(11)

Froude sayısı atalet kuvvetlerinin yerçekimi kuvvetlerine oranı olarak da tanımlanabilir.

Froude sayısının küçük olması, ele alınan problem için bünyesel kuvvetin önemli olduğu ve

buna ilişkin terimin denklemde yer alması gerektiği anlamına gelir,[1]. Serbest yüzeyli akarsu

akışları, şelale akımları, gemi hidrodinamiği gibi problemler bu duruma örnek olarak

gösterilebilir.

Euler sayısı:

Momentum denkleminde yer alan üçüncü boyutsuz sayıdır. Basınçla atalet kuvvetlerinin

oranını belirtir.

(12)

Naci Kalkan

Pratikte bu sayı yerine genellikle basınç katsayısı kullanılır:

(13)

Reynolds sayısı :

Reynolds sayısı ısı transferi ve akışkanlar mekaniği için çok önemli bir boyutsuz sayıdır [2]. Şu

şekilde gösterilebilir:

Levha

Silindir, Küre

Momentum denklemindeki sonuncu boyutsuz grup atalet kuvvetlerinin viskozite

kuvvetlerine oranını belirten sayıdır.

(14)

Buradaki

büyüklüğü kinematik viskozitedir. Gaz akışları için kinetik teori yaklaşımıyla

viskozite, molekullerin c karakteristik hızlarına ve ortalama serbest yörüngelerine

bağlanabilir[3].

Buradan yola çıkarak Reynolds sayısının (hız x uzunluk ) büyüklüğünün moleküler ölçekle

kıyaslamasını yaptığı anlaşılır.

Naci Kalkan

(

) (

)

Not: Bu bölümdeki boyut analizi kolaylık sağlaması açısından sıkıştırılamaz akışlar için

yapılmıştır. Eğer sıkıştırılabilirlik dikkate alınırsa akım hızının ses hızına oranını belirten Mach

boyutsuz sayısı da yer alır. Euler sayısı Mach sayısı ile ilişkilendirilebilir ( ).

Eğer

ise basınç değişikliklerinin oluşturduğu

yoğunluk değişimleri ihmal edilebilir ki, bu şartlarda akışkan sıkıştırılamaz olarak kabul edilir

[4].

Akış alanının uçaklarda, roketlerde ve dünya yüzeyinde olduğu durumlara dış akışlar, akış

alanının boru akışında olduğu gibi sınırlarla kuşatıldığı durumlara da iç akışlar denir. Yüzeye

yakın kısımlarda sürtünme kuvvetlerinin egemen olduğu ve yüksek hız gradyanlarının

görüldüğü bölgelere sınır tabaka denir. Yüzeyden uzak kısımlarda, serbest akış alanında

atalet kuvvetleri baskındır. Bu nedenle akış, hız ya da kuvvetler arasındaki orana göre

sınıflandırılır. Atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranına Reynolds sayısı denir ve Re ile

gösterilir. Reynold sayısı adını 1842 ile 1912 yılları arasında yaşamış olan ve bu sayıyı

tanımlayan Osborne Reynolds’tan almıştır [5]. Reynolds sayısı; akışkanın laminer (düzgün

akış çizgileri) ve türbülanslı (karmaşık, dalgalanmalı, tedirgin akış alanı) olduğunu

tanımlamada kullanılan en basit ve en yaygın boyutsuz sayıdır [6]. Reynolds sayısı dış akışlar

için:

şeklinde ifade edilir.

Burada V üst akım hızı, geometrinin karakteristik uzunluğu ve

akışkanın kinematik

viskozitesidir.

Yüksek Reynolds sayılarında akışkanın özgül kütlesi ve hızı ile doğru olan atalet kuvvetleri,

viskoz kuvvetlere oranla daha büyüktür. Bu yüzden visoz kuvvetler, akışkanın gelişigüzel ve

Naci Kalkan

hızlı çalkalanmalırını engelleyemez. Fakat düşük ve orta Reynolds sayılarında viskoz

kuvvetler, bu çalkalanmaları bastırmak ve akışkanı hizada tutmak için yeterince büyüktür.

Böylelikle akış ilk durumda türbülanslı ikinci durumda ise laminardır.

Akışın türbülanslı hale geldiği Reynolds sayısı kritik Reynolds sayısı olarak adlandırılır. Kritik

Reynolds sayısının değeri farklı geometriler ve akış şartlarına göre faklılık gösterir. Düz bir

plaka üzerindeki akış için genel kabul gören kritik Reynolds sayısı

tir. Burada plakanın ön kenarından itibaren , akışta laminardan türbülansa geçişin

olduğu, uzaklıktır [7].

Yüksek Reynolds Sayısındaki Akış:

Akışı yöneten denklemleri boyutsuzlaştırmanın en önemli yararı denklemlerde görünen

terimlerin oransal büyüklüklerinin belirlenmesi ve birbirleriyle karşılaştırılabilmesidir.

Böylece, istenirse küçük terimler ihmal edilebilir, ve kalan terimler daha kolay çözülebilir.

Ayrıca akışta hakim olan fiziksel büyüklükler de göz önüne alınmış olur. Sıkıştırılamaz haldeki

süreklilik denkleminde bütün terimler aynı büyüklük mertebesinde olup hiç birisi ihmal

edilmemiştir.

Momentum denklemine gelince, (8-14) eşitlikleri kullanılarak x doğrultusundaki bileşen için

boyutsuz sayılarla denklem (15) yazılabilir.

(15)

Şimdi bazı tipik mühendislik problemlerinde Reynolds ve Mach sayısı aralıklarını gözden

geçirelim. Pratikte mühendislik problemlerinin geniş bir kesiminde, uçak aerodinamiği, deniz

Naci Kalkan

araçlarının hidrodinamiği, Reynolds sayısı çok büyüktür (Şekil 1). Bunun sebebi ise have ve su

gibi tipik akışkanların viskozitesinin küçük olmasıdır.

Şekil 1- Bazı tipik akışkanlar için Reynolds ve Mach sayısı aralıkları, [1]

(15) denklemındeki viskoz terimlerin 1 mertebesindeki diğer terimlerden küçük olması

Reynolds sayısının çok büyük olduğu bir durumu gösterir. Bu terimler ihmal edilmeden önce

yüksek Reynolds sayılı akış şartlarına bakalım.

Şekil 2’ de görülen kanat profili etrafındaki akımda iki bölge vardır:

i. Viskoz etkilerinin hakim olduğu sınır tabaka ve iz bölgesi

ii. Viskoz etkilerin küçük olduğu dış bölge

Naci Kalkan

Şekil 2- Yüksek Reynolds sayısında kanat profile etrafındaki akış alanı, [1]

Dış Akım Bölgesinde:

Aşağıda belirtilen (16) denklemi birinci dereceden bir kısmi türevli diferansiyel denklem

olup, budenklem için katı cidar üzerinde bir tek hız bileşeni cinsinden sınır şartı yeterli

olmaktadır.

(Euler denklemi) (16)

Akım viskozitesiz kabul edildiğinden durağan katı cidar üzerinde teğetsel hızın sıfır olmasının

bir anlamı olmayıp, sınır şartı olarak dikey hız bileşeninin sıfır olması yeterlidir:

(katı cidar üzerinde)

Sınır Tabaka ve İz Bölgesinde:

türevleri çok büyük olup, yüksek Reynolds sayılarında dahi viskoz terimler ihmal

edilemez. Bu durumda katı cidarın yakın civarındaki bu bölge içerisinde Navier-Stokes

denklemleri klasik sýnýr-tabaka denklemlerine indirgenir, [8]:

Naci Kalkan

(17)

(18)

Sonuç :

Yüksek Reynolds sayılarında akım alanında iki hakim bölge bulunmaktadır:

i. Katı cidarın uzağında, viskoz etkilerin ihmal edildiği dış akım bölgesi: Bu bölgede

viskoz olmayan akım çözümü basınç dağılımını ve buna bağlı kuvvetleri verir.

ii. Katı cidarın yakın civarında, viskoz etkilerin ihmal edilemediği ince sınır-tabaka

bölgesi: Bu bölgede sınır-tabaka denklemlerinin çözümü kayma-gerilmeleri ve buna

bağlı (sürtünme) kuvvetlerini verir.

Sınır tabaka denklemlerinin çözümünde, katı cidar üzerinde kaymama sınır şartı uygulanır.

Sınır tabaka içerisindeki teğetsel hız dağılımı Şekil 2 ‘de verildiği gibi olup, dış akım bölgesine

yaklaştıkça teğetsel hızın z ile değişmediği görülmektedir. Sınır tabaka ile dış akım bölgesinin

girişim yeri kesin şekilde belirlenememekle birlikte katı cidardan, sınır tabaka kalınlığı olarak

adlandırılan bir mesafesinde olduğu ifade edilir. Yüksek Reynolds sayısında sınır tabaka

kalınlığının cismin karakteristik uzunluğuna (örneğin bir kanat profili için veter uzunluğu)

bölümünün √ ile orantılı olduğu bilinir [8].

Naci Kalkan

Prandtl Sayısı :

Hız ve ısıl tabakaların birbirlerine göre kalınlıklarını en iyi tanımlayan boyutsuz parametre

olan Prandtl sayısıdır.

Prandtl sayısı viskozite ve ısıl iletkenlik katsayıları yanında sabit bsınçta özgül ısı katsayısı cp ’

ye bağlı olarak tanımlanabilir. Bu bağıntı da,

şeklinde düzenlenirse momentum yayınım (difüzyon) katsayısı ile ısı yayınım katsayısı oranını

temsil ettiği görülür. Akışkanların Prandtl sayıları sıvı metaller için 0.01’in altından, ağır

yağlar için 100,000’ in üstündeki değerlere kadar değişir. Suyun Prandtl sayısının 10

mertebesinde olduğuna dikkat edilmelidir.

Gazların Prandtl sayıları ise 1 civarındadır. Bu değer ise akışkan içinde momentum ve ısı

yayınımın aynı hızda olduğunu gösterir.Isı momentuma göre sıvı metallerde (Pr <<1) çok

hızlı, ağır yağlarda (Pr>>1) çok yavaş yayılır. Sonuç olarak ısıl sınır tabaka hız sınır tabakasına

göre sıvı metallerdeçok daha kalın, yağlarda çok daha incedir [7,9].

Nusselt Sayısı :

Bu parametre, yüzeydeki boyutsuz sıcaklık gradyanına eşittir ve yüzeyde oluşan taşınımla ısı

geçişinin bir ölçüsünü verir [10].

Naci Kalkan

Burada akışkanın ısıl iletkenliği ve karakteristik uzunluktur. Akışkan tabakasındaki ısı

transferi, akışkan bir miktar hareket içerdiği zaman taşınımla, akışkan tabakası hareketsiz

olduğu zaman iletimle olur. Her iki durumdaki ısı akısı (birim alan başına düşen transfer hızı),

taşınım =h

ve

iletim =k

şeklindedir. Bu ifadelerin oranı:

ifadesini verir ki bu da Nusselt sayısıdır.Dolayısıyla Nusselt sayısı, bir akışkan tabakası

üzerinde taşınımın iletime oranının sonucu olarak, o akışkan tabakasındaki ısı transferi

iyileşmesini gösterir. Nusselt sayısı ne kadar büyük olursa taşınımda o kadar etkili olur.

Sherwood Sayısı:

Burada L karakteristik uzunluk, kütle yayınımı ve kütle transfer katsayısıdır.

Bu parametre, yüzeydeki boyutsuz derişiklik gradyanına eşittir ve yüzeyde gerçekleşen

taşınımla kütle geçişinin bir ölçüsüdür. Nusselt sayısının ısıl sınır tabakada gördüğü işlevi

Sherwood sayısı, derişiklik sınır tabakasında görür [11].

Peclet:

Prandtl sayıları çok küçük olan akışkanlar, başka bir değişle, sıvı metaller için Peclet sayısından

yararlanılır. Bununla beraber, bu durum için ısıl sınır tabakanın oluşumu hız sınır tabakanın

Naci Kalkan

oluşumundan daha hızlıdır. Isıl sınır tabaka boyunca hız sabit kabul edilir. Bu varsyıma dayanarak ısıl

sınır tabaka denkleminin bir çözümünden aşağıdaki denklem elde edilir.

Stanton sayısı:

Not: Denklemlerde akışkana ait özellikler tablolardan seçilirken akışkan-yüzey ortalama sıcaklığı

değeri göz önüne alınız:

Boyutsuz Parametrelerin Fiziksel Anlamı

Yukarıdaki adı geçen tüm boyutsuz parametrelerin sınır tabakalarındaki koşullara bağlı

fiziksel yorumları vardır. Hız sınır tabakası içinde atalet kuvvetlernin sürtünme kuvvetlerine

oranı olarak da yorumlanabilen Reynold sayısını, Re, göz önüne alalım. Bu sınır tabakan

içindeki bir diferansiyel kontrol hacmi için atalet kuvvetleri, akışkan kontrol hacminden

geçerken momentum akısındaki değişim ile ilişkilidir. Atalet kuvvetleri yaklaşık olarak

olur. Benzer biçimde, net kayma kuvveti

[ (

)]

ile gösterilmektedir.

Benzer biçimde, net kayma kuvveti olur. Böylece kuvvetlerin oranı,

sayısını verir. Bu nedenle atalet kuvvetlerinin Re sayısının büyük değerleri için, sürtünme

kuvvetlerinin ise Re’ nin küçük değerleri için etkin olduklarını düşünürüz.

Naci Kalkan

Bu sonucun dolaylı yoldan birçok önemli bağlantısı vardır. Anımsanırsa Reynold sayısı, akışın

laminar veya türbülanslı olduğunu belirtir. Herhangi bir akışta küçük çalkantılar büyüyerek

türbülanslı koşulları oluşturabilir. Ama, Re’nin küçük değerlerinde sürtünme kuvvetleri,

atalet kuvvetlerine gore yeterince büyüktür ve laminar akış korunur. Ancak, Re’nin artan

değerleri ile, sürtünme kuvvetleri atalet kuvvetleri yanında küçük kalır ve küçük çalkantılar

büyüyerek türbülansa geçişi sağlar. Bunun yanısıra Reynolds sayısının büyüklüğünün, hız

sınır tabakasının kalınlığını etkilediği vurgulanmalıdır. Re’nin yüzeydeki belirli bir bölgede

artışı ile sürtünme kuvvetlerinin atalet kuvvetlerine gore önemi azalır ve sürtünmenin

serbest akış etkisi, başka bir değişle değeri küçülür.

Prandtl sayısının fiziksel yorumu, momentum yayılımının, ısı ıletimine oranı şeklinde

yapılabilir. Prandtl sayısı, hız ve ısıl sınır tabakalar içinde yayılımla momentum ve enerji

aktarımının birbirlerine oranını gösterir. Daha önce gazların Prandtl sayısının bire yakın, sıvı

metallerde Pr<<1 ve yağlarda Pr>>1 olduğunu daha önce belirtmiştik. Bu yorumdan, Pr

sayısının, hız ve ısıl sınır tabakalarının bağıl büyümesini önemli ölçüde etkilediği söylenebilir.

Aslında laminer sınır tabakalarında (türbülanslı karışımın olmadığı yayılımda) su sonuç

beklenebilir:

Burada n artı değerde bir üsttür. Böylece gazlar için , sıvı metaller için , yağlar

için ise olur.

Benzer biçimde Schmodt sayısı da , hız ve derişiklik sınır tabakalarında yayılımla momentum

ve kütle aktarımın birbirlerine oranıdır. Böylece Laminar akışlardaki taşınımla kütle geçişi için

sayısı hız ve derişiklik sınır tabakalarının kalınlıklarının birbirlerine oranını belirtir.

Pr ve Sc ile bağlantılı bir başka parametre de Lewis sayısıdır (Le). Bu sayı şöyle tanımlanır:

Naci Kalkan

Taşınım ile ısı ve kütle geçişinin birararada gerçekleştiği durumlarla ilgilidir.

Böylece Lewis sayısı, ısı ve derinlik sınır tabakalarının kalınlıklarının oranı ile ilişkilidir.

Uygulamaların çoğunda n=1/3 alınabilir [11,12]. Tablo 2 de ısı ve kütle geçişi ile kaynaklarda

sıkça rastlanan boyutsuz sayılar ve fiziksel anlamları listelenmiştir.

Tablo 2- Bazı boyutsuz ısı ve kütle geçiş parametreleri, [11-13].

Grup Tanımı Fiziksel Anlamı

Biot sayısı

(Bi)

Bir katının ısıl direncinin, sınır tabaka ısıl

direncine oranı.

Kütle geçişiiçin Biot

sayısı

( )

İç madde yayılımı direncinin sınır tabaka

madde direncine oranı.

Bond sayısı

(Bo)

Yerçekimi ve yüzey gerilme kuvvetlerinin

oranı

Sürtünme katsayısı

( )

Boyutsuz yüzey kayma gerilmesi

Eckert sayısı

(Ec)

Akışın kinetik enerjisinin sınır tabakası entalpi

farkına oranı

Fourier sayısı

(Fo)

Bir katıda ısı iletiminin ısıl enerjinin

depolanma hızına oranı.Boyutsuz zaman.

Kütle transferi için

Fourier sayısı

( )

Madde yayılımının, madde depolama hızına

oranı. Boyutsuz zaman.

Sürtünme faktörü

( )

İç akış için boyutsuz basınç düşümü.

Naci Kalkan

Grashof sayısı

( )

Kaldırma kuvvetlerinin, sürtünme

kuvvetlerine oranı.

Colburn j faktörü

( )

Boyutsuz ısı geçiş katsayısı.

Colburn j faktörü

( )

Boyutsuz kütle geçiş katsayısı

Jakob sayısı

(Ja)

Duyulur ısının, sıvı-buhar faz değişimi

sırasında gizli ısıya oranı.

Lewis sayısı

(Le)

Isı ve kütle yayılım katsayılarının oranı.

Nusselt sayısı

( )

Yüzeydeki boyutsuz sıcaklık gradyanı.

Peclet sayısı

( )

Boyutsuz bit ısı geçişi parametresi

Prandtl sayısı

(Pr)

Momentum ve ısı yayılım katsayılarının oranı.

Reynolds sayısı

( )

Atalet ve sürtünme kuvvetlerinin oranı

Schmidt sayısı

(Sc)

Momentum ve kütle yayılım katsayılarının

oranı.

Sherwood sayısı

( )

Yüzeydeki boyutsuz değişiklik gradyanı

Stanton sayısı

(St)

Değiştirilmiş Nusselt sayısı

Kütle transferi için

Stanton sayısı

( )

Değiştirilmiş Sherwood sayısı

Weber sayısı

(We)

Atalet ve yüzey gerilme kuvvetlerinin oranı

Naci Kalkan

Rayleigh sayısı

(Ra)

Pr >> 1 olan doğal akışlar için

Boussinesq sayısı

(Bo)

Pr << 1 olan doğal akışlar için

Euler Sayısı

(Eu)

Orifis içi akış için boyutsuz basınç düşümü

References

1. Yükselen, M.A. Hesaplamalı Aerodinamik ders notları,

“web.itu.edu.tr/~yukselen/UCK419/UCK419_Index.html ”, Erişim tarihi 29 Mart 2014.

2. Maliska, C. R. (1990). On the Physical Significance of Some Dimensionless Numbers Used in

Heat Transfer and Fluid Flow. Federal University of Santa Catarina, Florianópolis, SC.

3. Yuan S.W., Foundation of Fluid Mechanics, 1969, sayfa 257

4. Peremeci, Ö.E, Akışkan hareketinde temel ilkeler, “www.peremeci.org/wp

content ploads 2010 04 akm2.doc ”, Erişim tarihi 25 Mart 2014.

5. Reynolds sayısı ve fiziksel anlamı, “http://www.kisa-ozet.net/reynolds-sayisi-nedir-fiziksel-

anlami/” , Erişim tarihi 27 Mart 2014.

6. Akışkanlar mekaniği, Sürtünmeli akışlar, http://www.fizikevreni.com/akiskanlarmekanigi.pdf”,

Erişim tarihi 24 Mart 2014

7. Çengel, Y. "Isı ve kütle transferi pratik bir yaklaşım (Translation from 3. edition)." (2011),

Tanyıldızı V. , Dağtekin İ.

8. (Schlichting H., Boundary layer theory, McGraw-Hill, 1979, sayfa 129).

9. Cengel, Y. A., & Cengel, Y. (2003). Heat Transfer A Practical Approach with EES

CD. McGraw Hill Professional.

10. Taşınım ile ısı transferi,

“http://eng.harran.edu.tr/moodle/moodledata/20/Yesilata/Ders_Notlari/3HeatT_ch3_pg79-

109.pdf”, Erişim tarihi 27 Mart 2014.

11. Incropera, F. P., & DeWitt, D. P. (2007). Isı ve kütle geçişinin temelleri. Literatür Yayıncılık.

12. Incropera, F. P., Lavine, A. S., & DeWitt, D. P. (2011). Fundamentals of heat and mass

transfer. John Wiley & Sons.

13. Mills AF, Heat Transfer, Second Edition, ISBN 0-13-947624-5, Pretice Hall, NJ.