BONOS DEFINICION: UN BONO ES UNA PROMESA DE PAGAR MONTOS ESPECIFICOS DE DINERO EN FECHAS...
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BONOS
DEFINICION:
UN BONO ES
UNA PROMESA DE PAGAR MONTOS ESPECIFICOS DE DINERO
EN FECHAS PREDETERMINADAS EN EL FUTURO
A LO LARGO DE UN PRIODO FIJO DE TIEMPO.
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Los parámetros de los bonos
P = El precio de mercado del bono
Ct = El monto que el bono promete pagar en fin del período t.
M = El período del vencimiento del bono.t = 1,2,……, M. ( Maturity)
VF = El valor nominal del bono (Face Value o, Valor Futuro)
Usualmente, los montos de los pagos son iguales:
Ct = C t = 1, …., M - 1
y el último pago: CM = C + FV
C se llama también el cupón del bono
CR = La tasa del cupón. Es un % del VF:
C = (CR)(VF).
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EJEMPLO:
UN BONO PARA 30 AÑOS CON VALOR NOMINAL DE $1.000 Y CUPON RATE DEL 8% PAGADOS ANUALMENTE.
CR = 8%;
FV = $1.000;
M = 30
C = (0,08)($1.000) = $80
El tenedor del bono recibirá $80 todos los años a lo largo de los siguientes 29 años.
El último pago será:
$80 + $1.000 = 1.080 = C + FV.
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Muchos de los bonos existentes pagan su cupón más que una vez al año.
En terminos generales:
N = el número de los pagos al año, así que hay NM pagos en total.
C/N = el monto de los pagos
VF + C/N = el último pago.
En el ejemplo arriba, si los pagos fueran EMESTRALES,
N = 2,
Los pagos serían = C/2
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DEFINICIÓN:
Bonos que pagan el VF al vencimiento y no pagan nada, C = 0, durante los períodos
interinos se llaman
BONOS CUPON CERO
DEFINICIÓN:
Un bono con cupón C
que nunca se vence se llaqma
CONSUL
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FORMULAS DE PRECIOS DE BONOS
r)(1r)(1
r)(1r)(1C
r)(1C
M
M
M
M
1tt
t
t
2
1
M
1ttM
1t
t
FV1
r
CP
FVP
:M1,2,....,t rr
)r)(1r)(1r(1
C
)r)(1r(1
C
r1CP
P
321
3
21
1
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En las fórmulas en la pagina anterior la r significa el rendimiento al vincimiento (YIELD TO MATURITY).
La fórmula para el bono con pagos semestraleses:
Mr)(1
FVP
2M
2M
1t t )2r
(1
FV
)2r
(1
2C
P
La fórmula para el bono cupón cero:
La fórmula para el precio de un Consul es:
P = C/r
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EJEMPLOS:
M = 30 FV = $1.000 CR= 8% Pagos semestrales:
C = (0,08)1.000/2 = $40. r = 10%
70,810$05,1
000.105,11
05,0
40P
05,1
040.1
)05,01(
40
6060
60
60
1
t
t
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46,811$1,1
000.11,11
1,1
8030
30
Se vende este bono a un descuento porque CR =0,8 < r = 10%. Si la r fuera del 5% (en vez del 10%), el precio del mismo sería:
$1.463,631,025
1.0001,0251
0,025
40P
6060
El mismo bono con pagos anuales:
M = 30; FV = $1.000; CR= 8%; C = (0,06)1.000 = $80; r = 10%.
Y el bono se vendría con una prima.
Resultado:
CR = r el bono se vende a su par P = VF
CR > r el bono lleva una prima P > VF
CR < r el bono lleva un descuento P < VF
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Si dicho bono fuera un bono de cupon cero el bono se vendría a:
31,57$1,1
000.130
Si el bono fuera un consul su precio sería:
$8000,1
$80P
Es decir, invertiendo $800, el bono promete al inversionista un flujo de caja indefinido de $80.
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En los EEUU las cuotas de los precios de bonos son en términos de un rendiniento de descuento: d
FV
PFV
t
360
VF
DESCUENTO
t
360d
Sin embargo, lo que se interesa al inversionista se llama el rendimiento equivalente del bono (REB)
(BOND EQUIVALENT YIELD(BEY)
dt360
365d
360
dt1
360
365di
P
PFV
t
365i
1
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0,11468360
(0,11)901
360
365(0,11)i
0,11468972.500
972.5001.000.000
90
365iREB
0,1190
360
1.000.000
972.5001.000.000d
$27.5000.DESCUENTO
1.000.000
DESCUENTO
90
3600,11
1
EJEMPLO: t = 90 days
FV = $1.000.000 d = 11%
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DURATION de MACAULY
P
r1
tC
D
M
1tt
t
M
1tt
M
1tt
tt
t
M
1t
tt
tWD
1.W ;P
r)(1C
W
Pr)(1
C
tD
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INTERPRETACION DE LA
DURACION
La DURACION es un promedio ponderado del número de los períodos, es decir, de los tiempos de los pagos de los cupones.
Las ponderaciones son las proporciones de los valores actuales de los montos pagados
del precio actual del bono.
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DURACION interpretada como una medida de sensibilidad.
DP
r)(1tC
r1r)d(1
PdP
r)(1
tC
r)P(1
r)(1
P
r)(1
r)d(1
dP
r)(1
tC
r)(1
1
r)d(1
dP
dr
dP
r1
CP
M
1tt
t
M
1tt
t
M
1tt
t
M
1tt
t
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BONO DEL PRECIO DEL DELASTICIDA LAD
TO)(RENDIMIEN% EL
BONO) DEL PRECIO(% ELD
Según las dos interpretaciones arriba, se puede interpretar una duración de D = 7 de un bono con vencimiento de 15 añoa como:
1. La inversión en el bono se recupera en 7 años.
2. Cunado se cambia el rendimiento al vencimiento por 1%, el precio del bono se cambia en unos 7%.
RESULTADO:
D = - {La elasticidad del precio del bono}
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CVF
r1mr
1r
m1N
f C
VFr
mN
r1mr
1 fr)(1
D2
N
2N
La fórmula (cerrada) para calcular la duración de un bono depende de los siguientes parámetros:
N = El número total de los pagos
m = El número de los pagos cada año
f = La fracción del año hasta el pago del próximo cupón
f 1 2 3 4…….……N años
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11,09D
6100
(0,1)11,1(0,1)
306
100(0,1)(0,1)3011,11,1
D230
230
EJEMPLO:r = 10% = 0,1VF = $ 100C = $6 => CR = 6%N = 30f = 1m = 1P = $62,29
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Ejemplo:r = 10% VF = $ 100C = $6 f = 1m = 2 => Pagos semestralesN = 60
14,23D
6100
0,111,05 0,1
2160
16
1000,1
260
0,111,05 1,1D
260
260
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N\CR
0 2 4 6 8 10 12 14 16
5 5 4,76 4,57 4,41 4,28 4,17 4,07 3,99 3,92
10 10 8,73 7,95 7,42 7,04 6,76 6,54 6,36 6,21
15 15 11,61 10,12 9,28 8,74 8,37 8,09 7,88 7,71
20 20 13,33 11,20 10,32 9,75 9,36 9,09 8,89 8,74
25 25 14,03 11,81 11,86 10,32 9,98 9,75 9,58 9,45
30 30 14,03 11,92 11,09 10,65 10,37 10,18 10,04 9,94
35 35 13,64 11,84 11,17 10,82 10,61 10,46 10,36 10,28
40 40 13,13 11,70 11,18 10,92 10,76 10,65 10,57 10,51
50 50 12,19 11,40 11,40 10,99 10,91 10,85 10,81 10,78
100 100 11,02 11,01 11,00 11,00 11,00 11,00 11,00 11,00
Tabla de duración
r = 10%
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Como aproximarse el cambio del precio del bono antes de un cambio de rendimiento al vencimiento
Usando la DURACION:
Obsérvase que de la fórmula:
r1
r)d(1DP P
:ónaproximaci la escribir puede ser1r)d(1
PdP
- D
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$74,85P12,56 1,1
0,02) (-,29)(11,09)(62 - =P
8% = r 10% r
$56,01P6,28 1,1
0,0162,2911,09P
11% = r 10%= r
1
1
EJEMPLOS:
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d Vd r
d Sd r
+ Nd Fd r
= d S
Sd y Sd y
d r + N
d F
Fd y . Fd y
d r
EL RATIO DE COBERTURA BASADO DE LA DURACION
El ratio de sensibilidad del precio:
Recuérdese que el valor de la posición de cobertura es: V = S + NF.
El activo subyacente es un bono y por lo tanto, los cambios del precio del bono ocurren cuando se cambie la tasa de interés y por ella se cambia el remdimiento al vencimiento. En términos matematicos:
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dVdr
= 0 N = -
dS
Sdy . Sdydr
dF
Fdy . fdydr
=>
EL OBJETIVO DEL RATIO DE
LA SENSIBILIDAD DEL PRECIO
En este caso el objetivo de la cobertura es que no se cambia el valor de la posición, SPOT y FUTUROS cuando se cambie la tasa de interés. Otra vez, el cambio del valor de la posición es:
d Vd r
d Sd r
+ Nd Fd r
= d S
Sd y Sd y
d r + N
d F
Fd y . Fd y
d r
El problema es resolver esta ecuació para el número de los futuros, N, bajo la condición que el valor de la posición SPOT y FUTUROS ne se cambia:
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SS
S S
SD = - dS
S 1 + y
dy dy1 + y
dS
S
FF
F F
FD = - dF
F 1 + y
dydFdy
1 + y
F
N = - SD
(1 + y ) (1 + y )
FD
dy
dy
dr
S
S
F
F
S
F
dr
N = - S D (1 + y )
F D (1 + y )S F
F S
Usando la definición de la duración:
Sustituimos por dS/dys y también por dF/dyF y resolvemos por N:
El óptimo número de los futuros es:
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LOS FUTUROS SOBRE ACTIVOS SUBYACENTES QUE REDITUAN INTERES
Los contratos más exitosos son los dos futuros a corto plazo: 13-semanas T-bills y 3-months Eurudólar time deposit y el futuro a largo plazo: Treasury T-bonds.
En esta asignatura vamos a tocar sólo los primeros.
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LAS ESPECIFICACIONS DE LOS CONTRATOS
Specifications 13-week Three-month EurodollarU.S Treasury bill time deposit
Size $1,000,000 $1,000,000
Contract grade New or Dated treasury bills Cash settlementwith 13 weeks to maturity
Yields Discount Add-on
Hours 7:20AM to 2:00 7:20 AM to 2:00 PM(Chicago time)Delivery Months Mar. Jun. Sep. Dec. Mar. Jun. Sep. Dec.
Ticker Symbol TB ED
Minimum Price .01(1 basis point) .01(1 basis point)Fluctuations ($25/pt) ($25/pt)
Last day of The day before the first 2nd London business daytrading delivery day before 3rd Wednesday
Delivery Date 1st day of spot month on Last day of tradingwhich 13-week Treasury bill is issued and a 1-yearT-bill has 13 weeks to maturity
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Sy = (
36591100
97.927222 - 1) = .0876
Fy = (
36591100
97.83 - 1) = .0981
FN = .25
.25.979,272
978,300.1.0876
1.0981 = 1
COBERTURA LARGA CON
FUTUROS DE T-BILLS
FECHA SPOT FUTUROS
15.2 P = $979.272,22 F = $978.300
Comprar 1 futuro de T-bill para junio.
17.5 P = $980.561 Vender 1 futuro de T-bill para junio. F = $981.350
Comprar $1M por $980.561
Ganacia de futuros: ($981.350 – 978.300)(1) = $3.050
El precio pagado $977.511
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COBERTURA CON FUTUROS
DE EURODOLARES
FECHA SPOT FUTUROS
23.5 90-días L = 9,25% F = 906.500
Vas a tomar un préstamo de Vender 10 futuros de
$10M el 19 de junio por L eurodólares para junio
19.6 Tomar $10M para 90 Comprar 10 futuros de
Días r = L eurodólares F = $930.000
1. L = 7% Pérdida de los futuros: $235.000/4 = $58.750
Interés ($10M)(0,07)(0,25) = $175.000
Pago total $233.750
2. L = 10,5% F = 895.000
Ganacia de los futuros: $115.000/4 = $28.750
Interés ($10M)(0,105)(0,25) = $262.500
Pago total $233.750
r pagado: [233.750/10M](4) = 9.35%
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Una firma toma un préstamo de $10M
con tasa flotante L+1%
FECHA SPOT FUTUROS
15.Sep Recibir $10M Vender 10 futuros de T-bills
L = 8% =>r = 9%=>I = $225.000 F(diciembre) = 91,75
F(marzo) = 91,60
F(junio) = 91,45
I pagado $225.000 (9%)
15.Dic
L = 9,15%=>r=10,15%=>I=$235.750 Comprar 10 futuros de T-bills F(diciembre)=90,85
ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500
I pagado $231.250 (9,25%)
15.Marzo
L =9,50%=>r=10,50%=>I =$262.500 Comprar 10 futuros
de T-bills F(Marzo) = 90,50
ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25)= $27.500
I pagado &235.000(9,40%)
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FECHA SPOT FUTUROS
15.June
L = 10,05%=>r=101,05%=>I=$276.250 Comprar 10 futuros de T-bills F(junio)=89,95
ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500
I pagado $238.750 (9,55%)
15.Sep Repagar $10M
En todos los períodos el interés, I, y la tasa r se determinan según las fórmulas:
I = 10[(L + 100)/100]10.000(0,25)
r = {[I pagado]/10M}(0,25)
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El banco da un préstamo de $10M con tasas fijas
De: 9,00%; 9,25%; 9,40%; 9,55%
FECHA TASA SPOT FUTUROS
15.Sep 9,00% L = 8,00% Vender 10 futuros de T-bills
F(diciembre) = 91,75
Margen de ganacia = 1% F(marzo) = 91,60
F(junio) = 91,45
I pagado $225.000 (9%)
15.Dic 9,25% L = 9,15% Comprar 10 futuros deT-bills (0,001)10M(0,25) = $2.500 F(diciembre) = 90,85
ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500
Margen de ganancia = 1%
15.Marzo 9,40% L = 9,50% Comprar 10 futuros deT-bills (-0,001)10M(0,25) = -$2.500 F(Marzo) = 90,50
ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25) = $27.500
Margen de ganancia = 1%
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FECHA TASA SPOT FUTUROS
15.June 9,55% L = 10,05% Comprar 10 futuros deT-bills (-0,005)10M(0,25) = - $12.500 F(junio) = 89,95
ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500
Margen de ganacia = 1%
15.Sep Recibir $10M