Bonilla Daniela 2389m

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DE VALPARASO

FACULTAD DE CIENCIAS

INSTITUTO DE MATEMTICAS

TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE

MAGSTER EN DIDCTICA DE LAS MATEMTICAS

ALUMNA: DANIELA BONILLA BARRAZA

PROFESORA GUA: MARCELA PARRAGUEZ G

2012

La elipse desde la perspectiva de la Teora de los modos de pensamiento 2012

2

Agradecimientos a :

PROGRAMA DE FORMACIN DE CAPITAL HUMANO AVANZADO CONICYT

Por financiar estudios de postgrado con el objetivo de obtener el grado

Acadmico de Magster en didctica de la Matemtica.

AO ACADMICO 2011- 2012


3

AGRADECIMIENTOS:

A mi profesora gua, Marcela Parraguez G, por su entrega y

disposicin al trabajo realizado, por confiar siempre en mis

capacidades y guiar mis ideas. Gracias a su constante apoyo

puedo decir que he finalizado con xito esta etapa.

Infinitas gracias

A mi familia Mam, Pap y Hermanas por el cario que me

entregan da a da y por apoyarme siempre en cada una de

mis metas.

A mis estudiantes, por motivarme a aprender ms y por

permitirme aportar desde la matemtica en el desarrollo

de su pensamiento.

A ti DM por tu paciencia, comprensin y cario.

A Dios, por guiar con sabidura cada uno de mis pasos.


4

INDICE GENERAL RESUMEN ............................................................................................................................. 7

ABSTRACT ........................................................................................................................... 8

INTRODUCCIN .................................................................................................................. 9

CAPTULO I: ....................................................................................................................... 15

ANTECEDENTES, PROBLEMTICA Y OBJETIVOS DE INVESTIGACIN ........... 15

ANTECEDENTES DE INVESTIGACIN .................................................................... 16

DESCRIPCIN DE LA PROBLEMTICA ................................................................... 23

OBJETIVOS DE INVESTIGACIN ............................................................................... 25

CAPTULO II: ...................................................................................................................... 26

ANLISIS EPISTEMOLGICOS, MATEMTICOS Y DIDCTICOS ........................ 26

EPISTEMOLOGA DE LA ELIPSE ................................................................................ 27

GEOMETRA EUCLIDIANA O SINTTICA ............................................................ 27

GEOMETRA ANALTICA......................................................................................... 32

LA ELIPSE EN LA MATEMTICA .............................................................................. 37

LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ........................................................ 37

CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE ............................................................ 38

CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ................ 42

INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA ..... 52

CAPTULO III: ................................................................................................................... 53

MARCO TERICO: LOS MODOS DE PENSAMIENTO. ............................................ 53

JUSTIFICACIN DEL MARCO TERICO .................................................................. 54

DESCRIPCIN DEL MARCO TERICO ..................................................................... 54

EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TERICO ................................................. 57

CAPTULO IV: .................................................................................................................... 62

REFERENTES METODOLGICOS ................................................................................. 62

MARCO METODOLGICO ........................................................................................... 63

ETAPAS DE LA INVESTIGACIN ............................................................................... 64

PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIN: CUESTIONARIO EXPLORATORIO .... 65

EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................................................................... 65


5

LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO ........................................... 65

SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIN: ANALISIS DOCUMENTAL .................. 65

TERCERA ETAPA DE INVESTIGACIN: DISEO DE ACTIVIDADES DE

APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO ELIPSE. .............................. 66

OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO ......................................................................... 66

DESCRIPCIN Y FUNDAMENTACIN DEL CUESTIONARIO .......................... 66

LOS CASOS EN ESTUDIO ......................................................................................... 67

CAPTULO V: ..................................................................................................................... 69

ANLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DE CUESTIONARIO EXPLORATORIO .. 69

ANLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO ............................................................... 70

IMPLEMENTACIN DE LA SITUACIN ................................................................... 73

ANLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................... 73

CONCLUSIONES EN RELACIN AL PRIMER OBJETIVO DE INVESTIGACIN

.......................................................................................................................................... 81

CAPTULO VI: .................................................................................................................... 82

INTENCIN Y ANLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE. ..... 82

INDICADORES A PRIORI DE TRNSITO ENTRE LOS MODOS DE

COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO ................................................ 83

DESCRIPCIN GENERAL E INTENSIN DE LAS ACTIVIDADES ........................ 84

ANLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO ................... 85

ACTIVIDAD 1:............................................................................................................ 86

ACTIVIDAD 2 ............................................................................................................. 91

ACTIVIDAD 3 .............................................................................................................. 95

MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE

DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE .................................................................. 99

CAPTULO VII: ................................................................................................................. 103

APLICACIN Y ANLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE

............................................................................................................................................ 103

APLICACIN DEL DISEO ........................................................................................ 104

ANLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO ................................................... 104

CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4 AO MEDIO)

..................................................................................................................................... 104


6

CONCLUSIONES DEL CASO 1 .............................................................................. 137

CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2 MEDIO) .......... 138

CONCLUSIONES DEL CASO 2 ............................................................................... 163

CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AO

MEDIO) . .................................................................................................................... 164

CONCLUSIONES DEL CASO 3 ............................................................................... 185

CAPTULO VIII: ............................................................................................................... 186

CONCLUSIONES .............................................................................................................. 186

SUGERENCIAS DIDCTICAS .................................................................................... 187

CONCLUSIONES TERICAS Y REFLEXIONES FINALES ................................... 189

BIBLIOGRAFA ................................................................................................................ 191

ANEXOS ............................................................................................................................ 193

ANEXO 1: DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN

LIBROS DE CLCULO UTILIZADOS EN EDUCACIN SUPERIOR .................... 194

ANEXO 2: CUESTIONARIO EXPLORATORIO ........................................................ 198

ANEXO 3: ...................................................................................................................... 201

SECUENCIA DE APRENDIZAJE ................................................................................ 201

CUESTIONARIO: CASO 1........................................................................................ 202

CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3 .............................................................................. 210

ANEXO 4: .......................................................................................................................... 218

PONENCIAS ...................................................................................................................... 218

PARTICIPACIN EN RELME 26............................................................................. 219

PARTICIPACIN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR ........................... 220

PARTICIPACIN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIN

MATEMTICA .......................................................................................................... 221


7

RESUMEN

La investigacin que reportamos, da cuenta de un estudio sobre la comprensin del

concepto Elipse en estudiantes entre 16 y 18 aos, bajo un enfoque cognitivo, donde se

utiliza los modos de pensamiento de Anna Sierpinska como marco terico y, estudio de

casos como diseo metodolgico. La elipse forma parte de los contenidos propuestos en los

programas oficiales de nuestro pas, con un marcado nfasis en las tcnicas analticas.

Nuestra problemtica de investigacin se sita al abordar la elipse solamente a travs de

las ecuaciones cartesianas, afirmamos que estas tcnicas no son suficientes para lograr

una comprensin profunda del concepto, cuando decimos comprensin profunda, estamos

pensando en que el estudiante pueda comprender la elipse en los modos: Sinttico-

Geomtrico (como seccin cnica en el espacio/curva que la representa en el plano),

Analtico-Aritmtico (como pares ordenados que satisfacen la ecuacin de la elipse) y

Analtico - Estructural (como lugar geomtrico). A lo largo de la investigacin hemos

evidenciado que los estudiantes desde el enfoque tradicional priorizan un modo de

pensamiento analtico-aritmtico, presentando grandes dificultades para comprender la

elipse en otros modos. Desde la teora de los modos de pensamiento y utilizando

antecedentes epistemolgicos, diseamos actividades de aprendizaje, las cuales fueron

aplicadas a distintos grupos de estudiantes, evidenciando que los estudiantes logran una

mayor comprensin del concepto elipse cuando se enfrentan a situaciones donde

interactan los tres modos de pensar.

Palabras claves: La teora de los modos de pensamiento, La elipse, Lugar geomtrico,

Ecuaciones cartesianas, seccin cnica.


8

ABSTRACT

The research we report, reports a study on understanding the concept Ellipse in students

between 16 and 18 years under a cognitive approach, which uses the modes of thought of

Anna Sierpinska theoretical framework and study cases as methodological design. The

ellipse is part of the content offered in the official programs of our country, with a strong

emphasis on analytical techniques. Our research problem lies in addressing the ellipse only

through Cartesian equations, we affirm that these techniques are not sufficient to achieve a

deep understanding of the concept, when we say deep understanding, we are thinking that

the student can understand the ellipse in the modes: Synthetic-Geometric (as conic section

in space / curve that represents it on the plane), Analytical Arithmetic (as ordered pairs that

satisfy the equation of the ellipse) and Analytical - Structural (and locus). Throughout the

investigation we have shown that students from the traditional approach a way to prioritize

analytic-arithmetic thinking, presenting great difficulty understanding the ellipse in other

ways. from the theory of modes of thinking and using epistemological background, design

learning activities, which were applied to different groups of students, showing that

students achieve a greater understanding of ellipse when faced with situations where the

three thinking modes interact.

Keywords: theory of the modes of thought, the ellipse, Locus, Equations Cartesian conic

section.


9

INTRODUCCIN

La enseanza de la matemtica1 en nuestro pas en la formacin general (doce aos de

escolaridad obligatoria) se organiza en torno a cuatro ejes temticos: Nmeros, Algebra,

Geometra y Datos y Azar. Donde los contenidos mnimos obligatorios de enseanza

media son en su mayora pertenecientes al eje de lgebra e incluso ciertos contenidos de

geometra presentan un enfoque algebraico, esto lo podemos evidenciar a travs de los

ejercicios presentados en textos escolares propuestos por el ministerio de educacin y en

preguntas de la prueba de seleccin Universitaria (PSU). A continuacin mostramos

ejemplos de preguntas donde se prioriza un enfoque algebraico:

Ejemplo 1

En el estudio de los teoremas relativos a la proporcionalidad de trazos en la circunferencia

en el Texto de estudiante: Matematica 2 medio, Autor : Eduardo Cid Figueroa Editorial

: Cal y Canto (2008) se presenta el siguiente ejercicio:

a) Utilizando los teoremas vistos en esta seccin , determine el valor de x en los

siguientes problemas

Figura 1 : Ejemplo de texto del estudiante, teorema de las secantes

Las actividades que predominan en el texto, requieren del uso del teorema de las secantes

para plantear una ecuacin y posteriormente determinar el valor de la incgnita, por lo

tanto , un problema geomtrico se reduce en un ejercicio netamente algebraico y el teorema

se transforma en una frmula necesaria para resolver la ecuacin.

1 La enseanza de la Matemtica se concibe como un proceso de diseo e implementacin de un conjunto de

actividades que mediaticen la relacin entre los estudiantes y los contenidos del curriculum de matemtica,

el proceso de mediatizacin incluye espacios guiados deconstruccin de los conceptos, procedimientos y

estrategias de razonamiento y resolucin de problemas. Fundamentos del ajuste curricular(2009)


10

Ejemplo 2

Respecto al contenido ngulos en la circunferencia correspondiente a Segundo Ao

Medio,en un modelo de prueba PSU , Proceso de Admision 2009 ,Universidad de Chile se

plantea el siguiente ejercicio:

Figura 2: Ejercicio PSU , Teorema del ngulo inscrito en la circunferencia

Ejemplo 3

En relacin al Teorema de Thales , contenido del segundo ao medio. en un Modelo de

prueba PSU, Proceso de Admision 2008 ,Universidad de Chile aparece el siguiente

ejercicio:

Figura 3:Ejercicio PSU , Teorema de thales

En general podemos darnos cuenta que algunos teoremas y contenidos de enseanza media

en geometra ,como : ngulos en la circunferencia , Teorema de Thales, Teorema de

Pitgoras y teoremas relativos a proporcionalidad en la circunferencia , se convierten en

frmulas que se utilizan para resolver ecuaciones.

La geometra es sin duda unos de los contenidos que presenta mayores dificultades en su

aprendizaje, esto se evidencia en las mediciones PSU en relacin a ello el DEMRE2

Publicaciones PSU N 13 ,proceso de admisin 2012, seala de los cuatro Ejes Temticos

2 El DEMRE es el organismo tcnico de la Universidad de Chile responsable del desarrollo y construccin de

instrumentos de evaluacin y medicin de las capacidades y habilidades de los egresados de la enseanza

media


11

en la PSU de Matemtica , Geometria es el que presenta , ao a ao , el menor porcentaje

medio de respuestas correctas y el mayor porcentaje de respuestas omitidas , en especial en

los contenidos de tercer y cuarto ao medio.

Si bien la enseanza de la geometra3 en el curriculum oficial trata temas relativos a la

geometra euclidiana o sinttica, geometra analtica y geometra vectorial a lo largo de los

12 aos de escolaridad, no podemos dejar de mencionar que el sistema escolar carece de

una real conexin entre los enfoques sinttico y analtico de la geometra. En la enseanza

bsica se trabajan algunos elementos de la geometra sinttica, es decir, la geometra

basada en axiomas y teoremas para la construccin de formas y lugares geomtricos, como

son las construcciones de tringulos, propiedades relativas a polgonos, entre otros. Para

luego dar paso en la enseanza media donde principalmente se enfoca en el estudio de la

geometra analtica, la geometra de las grficas de coordenadas, las cuales usan ecuaciones

algebraicas para representar figuras geomtricas. no se evidencian en el curriculum

elementos que permiten la transicin entre ambos enfoques , a pesar de que la

epistemologa se encarga de recordarnos que son precisamente las limitaciones de la

tcnicas sintticas las que dan sentido a las tcnicas analticas (Gascn, 2003) , por lo

tanto , una es el complemento de la otra, ya que las tcnicas analticas requieren en

muchas ocasiones, de manera casi imprescindible , el uso previo de ciertas tcnicas

sintticas que son las que sugieren el diseo de la estrategia que se llevara a cabo con la

tcnica analtica (Gascn, 2003).

Esta falta de complementariedad entre tcnicas sintticas y analticas se ve claramente

reflejada en la presentacin del objeto matemtico, las secciones cnicas en la asignatura

de Algebra y modelos analticos de tercer ao medio del plan diferenciado.

Elegimos para nuestro estudio la asignatura Algebra y modelos analticos regida por los

programas de estudios del ministerio de educacin , la importancia radica

fundamentalmente en que dicha asignatura tiene por objetivo principal preparar a los

alumnos(as) en los contenidos mnimos que se necesitan para enfrentar con xito los

primeros cursos de las carreras cientficas en la educacin superior.

Sobre las cnicas podemos decir que no son un tpico propio de la enseanza media ,

sino que tambin es abordado en cursos de clculo u otros equivalentes en la educacin

superior cuando se tratan slidos en revolucin , ejemplos tpicos podemos encontrar en

Leithold(1998),El Clculo.

3 se refiere a la comprensin de formas, la posicin y transformaciones, mediciones, estimacin y

comparacin e magnitudes. Mapa de Progreso (2009)


12

Ejemplo 1

En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuacin de la superficie de revolucin generada

al girar la curva plana alrededor del eje indicado, dibuje la superficie

(Leithold, El Clculo, p.879)

Ejemplo 2

Describa como dibujara la superficie cilndrica generada al girar la curva del

plano xy alrededor del eje y .En su descripcin invente un ejemplo de una curva particular

e incluya la ecuacin de la superficie cilndrica obtenida. (Leithold, El

Clculo, p.879)

En los ejemplos 1 y 2, observamos que se requiere de la interaccin de tcnicas analticas y

sintticas para abordar los problemas.

En base a lo anterior descrito, nuestra investigacin la centraremos en el objeto matemtico:

La elipse, una de las secciones cnicas tratada en la asignatura de lgebra y Modelos

analticos del plan cientfico de tercer ao medio.

Desde la teora de los modos de pensamiento, indagaremos en la forma en que los

estudiantes comprenden el objeto matemtico y si estas nociones permiten movilizar la

elipse entre los diversos enfoques (analticos, sintticos y estructurales), indagaremos

tambin en los elementos que facilitan la conexin entre las distintas definiciones de la

elipse, para as lograr una mayor comprensin de ella. Con nuestra investigacin buscamos

aportar evidencias con sustento terico, en la enseanza del concepto elipse.

Organizamos nuestro trabajo en nueve captulos como se describe a continuacin:

CAPTULO I: PROBLEMTICA, OBJETIVOS DE INVESTIGACIN Y

ANTECEDENTES

En este captulo mostramos los enfoques predominantes en la enseanza del concepto

elipse, ya sea, en el programa de estudio y en los textos utilizados por los docentes como

apoyo a la asignatura, a partir de estos antecedentes damos cuenta de nuestra problemtica

nos planteamos preguntas y definimos objetivos que guiaran nuestra investigacin.


13

CAPTULO II: ANTECEDENTES EPISTEMOLGICOS, MATEMTICOS Y

DIDCTICOS

En busca de los elementos que permitan conectar las distintas definiciones de la elipse,

efectuamos las siguientes indagaciones:

Realizamos un estudio epistemolgico de las secciones cnicas, enfocndonos en

aquellas etapas de la historia donde se presentan los distintos modos de pensar la

elipse.

Realizamos indagaciones de la presentacin del objeto elipse en distintos libros,

para documentar matemticamente las conexiones entre las definiciones de elipse.

Adems presentamos una mirada general de los trabajos existentes desde la didctica de la

matemtica, que se relacionan con nuestro objeto de estudio.

CAPTULO III: MARCO TERICO

En este captulo, justificamos la eleccin del marco terico que guiar nuestra

investigacin, describimos los elementos ms importantes de la teora de los modos de

pensamiento (Sierpinska 2000) y presentamos ejemplos que ilustran la teora.

CAPTULO IV: REFERENTES METODOLGICOS

En esta seccin damos cuenta del diseo metodolgico de estudio de caso, que dan sustento

emprico a nuestra investigacin. Fundamentando, el diseo de los instrumentos y la

eleccin de las unidades de anlisis.

CAPTULO V: ANLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DEL CUESTIONARIO

EXPLORATORIO

En este captulo, evidenciamos a travs del estudio de un caso, los modos de pensamiento

que priorizan los estudiantes que han trabajado la elipse desde el enfoque tradicional

cuando se enfrentan a tareas planteadas en los distintos modos de pensar la elipse en el

plano cartesiano. Estableciendo conclusiones en relacin al primero objetivo especfico de

investigacin.

CAPTULO VI: INTENCIN Y ANLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE

APRENDIZAJE

En este captulo realizamos un anlisis a priori del conjunto de actividades que

construimos a partir de nuestros hallazgos (captulo II) y desde la teora de los modos de

pensamiento para el aprendizaje del concepto elipse.


14

CAPTULO VII: APLICACIN Y ANLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE

APRENDIZAJE

En este captulo obtenemos las evidencias empricas las cuales se analizan a partir del

anlisis a priori. Evidenciamos la forma en que los estudiantes de distintos casos,

relacionados con los conocimientos matemticos de la formacin dependiendo del nivel

donde se encuentren, comprenden la elipse cuando se da fuerza al trnsito SG- AE. Estos

resultados son fundamentales para establecer las conclusiones de nuestra investigacin.

CAPTULO VIII: CONCLUSIONES

Finalmente establecemos las conclusiones del objetivo general a partir de la evidencia

emprica con sustento terico obtenido en el captulo anterior. Presentamos conclusiones

tericas y reflexiones didcticas, en relacin al aporte de nuestra investigacin para

investigaciones posteriores.


15

CAPTULO I:

ANTECEDENTES,

PROBLEMTICA Y

OBJETIVOS DE

INVESTIGACIN


16

ANTECEDENTES DE INVESTIGACIN

En esta seccin daremos cuenta de elementos presentes en el saber ensear del objeto

matemtico la elipse. Se describir la presentacin de dicho objeto, programa de estudio,

libros de Geometra analtica y textos de los estudiantes, utilizados en nuestro pas, con el

propsito de evidenciar los enfoques predominantes en la enseanza.

A continuacin se describe la presentacin del objeto elipse en:

El programa de estudio 4de la asignatura de tercer ao medio del plan cientfico

lgebra y Modelos analticos del ministerio de educacin de Chile.

(1999) Matemtica Algebra y Modelos Analticos Programa de Estudio Tercer Ao

Medio de Ministerio de Educacin. Chile

nico Libro de geometra analtica, Geometra Analtica (1987) de Lehman,C

editorial: Itesa, Mxico, que aparece como referencias bibliogrfica en el

programa de estudio de lgebra y Modelos analticos, nos parece interesante

analizar los elementos matemticos que se consideran para hacer la transposicin

didctica en el currculo oficial.

Textos de apoyo para el estudiante Matemtica, plan electivo III y IV medio

(1995) de Blanco, S; Delas Heras, R; Fuenzalida, G; Riveros, J. editorial:

Santillana, chile. donde se tratan temas de los cursos del plan cientfico para

tercero y cuarto medio.

DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN PROGRAMA

DE ESTUDIO

La presentacin de La elipse en el programa de estudio (Ministerio de Educacin, 2001)

es en la unidad II: Lugares geomtricos, la cual, tiene por objetivos uno de los principios

fundamentales de la geometra analtica: reconocer que los lugares geomtricos se pueden

describir mediante ecuaciones cartesianas. (Ministerio de Educacin, 2001)(p.41)

En las actividades planteadas se pide caracterizar la elipse como un lugar geomtrico y

establecer su correspondiente ecuacin analtica y a travs de la ecuacin dada, determinar

el lugar geomtrico.

Ejemplo de actividades propuestas

1) Qu lugar geomtrico en el plano representa la siguiente ecuacin?

4 Los programas de estudio ofrecen una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedaggico del ao

escolar. Esta propuesta tiene como propsito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el

desarrollo de los Contenidos Mnimos Obligatorios (CMO) que define el marco curricular.


17

2) Cules son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo?

Figura 4: distintas elipse en el plano

(Ministerio de Educacin, 2001) (p.49)

3)

Figura 5: ejemplos de actividades del programa

Las actividades propuestas priorizan la obtencin de la ecuacin

de la elipse a

partir de los elementos: focos, centro, parmetros a y b. o bien a partir de la ecuacin

determinar el lugar geomtrico que representan.

Entre las sugerencias al docente se destaca que:

Los alumnos asocien los puntos de interseccin con los ejes del sistema de

coordenadas con los parmetros a y b de la ecuacin de la elipse.


18

Los alumnos puedan relacionar la elipse con la seccin cnica (cortes del cono).

los alumnos realicen alguna construccin concreta de la elipse para que la frase

la suma de las distancias a los focos es constante cobre sentido y sea comprendida

por ellos(as).

En el Programa de estudio predomina un enfoque analtico, lo podemos deducir a partir del

objetivo planteado respecto a la elipse. Si bien en las sugerencias al docente hay intencin

de desarrollar otras tcnicas para la comprensin de la elipse, no se dan ejemplos o ideas

de cmo abordar las situaciones propuestas, parecen ser solo actividades anexas a las

tcnicas analticas que se desarrollan.

DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN LIBRO DE

GEOMETRA ANALTICA

El libro de Geometra Analtica de Lehman C (1987) trata el tema de elipse en dos

captulos (VII y IX).

En el Captulo VII, llamado La elipse (pg173 a 186) , se estructura de la siguiente forma

: definiciones , ecuacin de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes

de la elipse , ecuacin de la elipse de centro (h.k) y ejes paralelos a los coordenados ,

propiedades de la elipse.

A continuacin sern descritos solo aquellos temas que tengan directa relacin con nuestro

objeto de estudio.

En primer lugar define la elipse como: el lugar geomtrico de un punto que se mueve en

un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es

siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos (p.173)

La definicin es apoyada por una imagen (sin sistema de coordenadas) donde se muestran

los elementos de la elipse: focos, vrtices, eje mayor, eje focal, eje menor y lado recto.

Luego exprese la condicin geomtrica la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese

plano es siempre igual a una constante en forma analtica y utilizando un

procedimiento algebraico obtiene la ecuacin de la elipse con centro en el origen con eje

focal el eje x:

=1 .

De la misma forma se busca la ecuacin de la elipse con eje focal, eje y:

=1

con respecto a los elementos de la elipse , los relaciona de manera que si se conoce la

ecuacin de la elipse se puede determinar su grfica.

A partir de relaciones algebraicas obtiene la frmula

para determinar la longitud del

lado recto .


19

expone sobre la excentricidad : un elemento importante de una elipse es su excentricidad

que se define como la razn

y se representa usualmente por la letra e , como c


20

Posteriormente se determinan las ecuaciones para una elipse con centro y ejes

paralelos a los ejes coordenados a partir de la ecuacin

obteniendo la

ecuacin ordinaria

=1 (eje focal paralelo al eje x) y como consecuencia

de procedimientos algebraicos de la ecuacin anterior se obtiene una ecuacin de segundo

grado, enunciando el siguiente teorema:

Si los coeficientes son del mismo signo, la ecuacin

representa una elipse de ejes paralelos a los ejes

coordenados, o bien un punto, o no representa ningn lugar geomtrico real. (p.173)

y seguidamente se proponen ejercicios de los temas tratados y como ltimo tema del

captulo se dan a conocer propiedades relativas a la elipse , entre ellas: tangentes a la elipse

y propiedades de reflexin .

En el captulo IX, titulado Ecuacin general de segundo grado (pginas 212-233) se dan

a conocer temas como: transformacin de la ecuacin general por rotacin de los ejes

coordenados, el indicador definicin general de cnica, tangente a la cnica

general, sistemas de cnicas y secciones planas de un cono circular recto.

Se presentan la ecuacin general de segundo grado

Como la definicin analtica de las cnicas,

teniendo en cuenta que cada ecuacin representa una cnica o bien una cnica degenerada,

se analizan las caractersticas que deben tener los parmetros de la ecuacin para

representar una parbola, elipse o hiprbola.

Luego se da a conocer una definicin geomtrica de las secciones cnicas, que incluye a la

elipse, parbola e hiprbola.

Dada una recta fija y un punto fijo no contenido en esa recta, se llama cnica al

lugar geomtrico de un punto P que se mueve en el plano de de tal manera que

la razn de su distancia de a su distancia de es siempre igual a una constante

positiva

La recta se llama directriz el punto fijo , foco y la constante positiva, a la que

designamos por , excentricidad de la cnica. (p. 220)

A partir de la definicin dada y utilizando procedimientos algebraicos obtiene la ecuacin

para las cnicas.

Lo anterior se resume en el siguiente teorema:

Una cnica es una parbola, una elipse o una hiprbola, segn que su excentricidad

sea igual a, menor que, o mayor que la unidad. (p.222)


21

Explica tambin sobre el origen del nombre de secciones cnicas con que se designa a la

parbola , elipse e hiprbola se origina a partir del hecho de que estas curvas se obtuvieron

por primera vez como secciones planas de un cono circular recto.

Propone una demostracin para fundamentar que la interseccin de un plano y un cono es

una seccin cnica , se apoya en la figura adjunta y a travs de propiedades geomtricas

determinadas por tringulos rectngulos y razones trigonomtricas relacionando los

ngulos , obtiene la definicin geomtrica de las secciones cnicas

. Figura 6: la elipse en el espacio

De la demostracin concluye las siguientes relaciones entre los ngulos y las compara con

los valores de la excentricidad.

El ngulo es una constante para un cono dado, vara dependiendo de las posiciones

del plano secante.

Si , entonces , la seccin es una parbola, el plano es paralelo a una generatriz

del cono.

Si , entonces , la seccin es una elipse, el plano corta a todas las generatrices

del cono.

Si , entonces , la seccin es una hiprbola, el plano corta a las dos hojas o

ramas de la superficie cnica.

Los procedimientos utilizados en la presentacin de objeto elipse en libro analizado ,

privilegian un enfoque analtico, se define la elipse como un lugar geomtrico para obtener

la ecuaciones que las describen, en el captulo VII, los ejercicios propuestos varan entre

obtener la ecuacin a partir de los elementos conocidos o bien dada una ecuacin

determinar los elementos de una elipse. Si bien se presenta otra propuesta (captulo IX)

donde se combinan tcnicas sintticas y analticas, la transposicin didctica realizada por

el programa de estudio se enfoca nicamente en elementos propios de la geometra analtica

presentes en el captulo VII del libro.


22

DESCRIPCIN DE LA PRESENTACIN DEL TEMA ELIPSE EN TEXTO DEL

ESTUDIANTE PLAN ELECTIVO III Y IV MEDIO

El libro (Blanco Molleda , De las Heras Karl, Fuenzalida Correa, & Riveros Rojas , 1995)

est diseado como un complemento para el trabajo del estudiante en los cursos de tercer

y cuarto ao medio del Plan electivo de Matemtica, la elipse se sita en el captulo III,

llamado Geometra analtica del plano el cual se organiza de la siguiente forma: La lnea

recta, la circunferencia, la parbola, la elipse, la hiprbola, definicin general de cnicas.

El objetivo que plantea el captulo, respecto a nuestro objeto de estudio es: Reconocer la

ecuacin de una elipse y determinar sus elementos (p.90)

Para introducir el concepto de la elipse, define una seccin cnica como una curva que se

obtiene al intersectar un plano y un cono de revolucin, segn la inclinacin del plano

respecto al eje del cono se obtiene una circunferencia, elipse, parbola o hiprbola.

Aparecen figuras que muestran las secciones cnicas.

Luego define la elipse como el lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y) cuya

ubicacin en el plano es tal , que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de l es

constante. (p.114), tambin describe sus elementos: focos, recta focal, recta secundaria,

centro, vrtices, eje mayor, eje menor, distancia focal, lado recto. Se agregan dos

observaciones: la primera de ellas es sobre las leyes de Kepler descubiertas en 1610 que

entregan informacin sobre las trayectorias elpticas de los planetas que giran alrededor del

sol, donde el sol uno de los focos. La segunda observacin propone el mtodo del

jardinero para trazar elipses.

A continuacin se verifica a partir de distancias el valor de la constante, la relacin de los

parmetros que determinan el semieje mayor, semieje mayor, semieje focal.

Sobre la excentricidad de elipse, expone: A toda elipse se le asocia un nmero real que

llamamos excentricidad, designado por la letra cuyo valor es

(p.115), explica

tambin que dependiendo del valor de su excentricidad se tienen elipse ms, o menos

achatadas.

Posteriormente a partir de la definicin de elipse, por medio de un tratamiento algebraico

determina la ecuacin cannica

,

de la misma forma se busca la ecuacin cannica

, cuando el eje focal coincide

con el eje y. reemplazando en la ecuacin obtiene la frmula

para el lado recto.


23

Luego se dan a conocer la ecuacin principal con Centro (h,k)

+

y la

ecuacin general . Se explica que se obtiene por

mtodos algebraicos pero no se desarrolla.

En seguida, se proponen ejemplos y ejercicios donde los enunciados son los siguientes: i)

determina los elementos de las elipses, ii) determina la ecuacin de la elipse, con los

elementos dados en cada caso.

Despus de tratar todas las secciones cnicas de forma similar a la descrita anteriormente,

propone una definicin general de las cnicas, a partir de los valores de la excentricidad,

como se describe a continuacin: es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano,

cuyas distancias a un punto (Foco) y a una recta (Directriz) fijos estn en una razn

constante (excentricidad). (p.129)

Realizando procedimientos algebraicos se obtiene una ecuacin principal de una cnica

En particular la elipse se determina cuando la excentricidad es menor a 1.

A travs de la definicin dada y utilizando un desarrollo algebraico determina las

relaciones entre los elementos de la elipse.

En el texto del estudiante, los objetivos del texto son coherentes con los objetivos

enunciados en el programa de estudio, es decir, se centran en las ecuaciones cartesianas que

la describen. Adems, existen propiedades geomtricas como la excentricidad y lado recto

que se convierten en frmulas para determinar ecuaciones de las elipses correspondientes.

DESCRIPCIN DE LA PROBLEMTICA

Nuestra problemtica de investigacin se sita al abordar la elipse puramente a travs de

las ecuaciones cartesianas como se muestran en programa de estudio (Ministerio de

Educacin, 2001), consideramos que estas tcnicas no son suficientes para lograr una

comprensin profunda del concepto, cuando decimos comprensin profunda , estamos

pensando en que el estudiante pueda relacionar las distintas definiciones de elipse , ya

sea , la elipse como una seccin cnica, elipse como lugar geomtrico y la elipse a partir

de las ecuaciones que la describen.

A partir de nuestra problemtica nos planteamos las siguientes preguntas, que guiarn la

investigacin:

La nocin de elipse que construyen los estudiantes del plan cientfico tercer ao

medio de la asignatura algebra y modelos analticos permite movilizar la elipse


24

entre las definiciones como: seccin cnica, lugar geomtrico y ecuaciones

cartesianas?

Qu elementos de la Matemtica estn presentes en nocin del concepto elipse

que presentan estos estudiantes?

Con intenciones de lograr una comprensin profunda entre los aprendices del concepto

elipse, nos planteamos abordar las siguientes interrogantes

Cules son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que

promueve alcanzar una comprensin profunda de este?

Qu elementos de la Matemtica estn presentes en la comprensin profunda del

concepto elipse? Estos elementos tienen caractersticas geomtricas, analticas

u obedecen a estructuras matemticas?

Apoyndonos en las preguntas anteriores daremos a conocer el siguiente supuesto de

investigacin el estudiante logra una comprensin profunda del concepto elipse cuando

logra transitar entre los modos de pensamiento analtico- aritmtico, sinttico-

geomtrico y analtico- estructural. (Ver figura 7)

Figura 7: Modos de pensar la elipse.


25

OBJETIVOS DE INVESTIGACIN

A partir de las interrogantes planteadas y la problemtica descrita, se determinan los

siguientes objetivos de investigacin:

Objetivo general

Ofrecer un conjunto de sugerencias didcticas basada en nuestra investigacin para

la enseanza del concepto elipse.

Objetivos especficos:

1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes

que aprobaron la asignatura de lgebra y modelos analticos de un establecimiento

educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus

distintas definiciones en el plano cartesiano.

2. Indagar en los elementos de la matemtica5 que propician el trnsito entre las

definiciones de elipse como: seccin cnica en el espacio/curva que la representa en

el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuacin de la elipse y como lugar

geomtrico.

3. Disear y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el trnsito entre los

modos de pensamiento (Sinttico-Geomtrico, Analtico-Aritmtico, Analtico-

Estructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de lgebra y modelos

analticos de un establecimiento educacional chileno.

5 Conceptos matemticos, nociones, propiedades.


26

CAPTULO II:

ANLISIS

EPISTEMOLGICOS,

MATEMTICOS Y

DIDCTICOS


27

EPISTEMOLOGA DE LA ELIPSE

En relacin a nuestro segundo objetivo especfico de investigacin, describiremos de

manera general la epistemologa de las secciones cnicas, centrndonos en pocas donde

aparecen con mayor fuerza y enfocndonos particularmente en aspectos de la elipse que

consideramos importantes, como el surgimiento de enfoques analticos, sintticos y

estructurales a travs de la historia y en los elementos que permiten su interaccin.

GEOMETRA EUCLIDIANA O SINTTICA

Las secciones cnicas surgen en el periodo del Helenismo en Grecia

El helenismo significa, tanto en poltica como en filosofa, una autntica

fragmentacin. En poltica, el imperio de Alejandro se fragmenta en reinos ms o

menos pequeos que compiten en ser dignos herederos de la tradicin del siglo de

oro helnico. En filosofa se produce tambin una fragmentacin del saber

unificado al que Platn y Aristteles, siguiendo el trazo de la corriente pitagrica,

aspiraron. El saber orientado hacia el hombre, con sus hondas conexiones con la

esttica, tica, religin, poltica,... cede el paso al saber especializado que en

matemticas viene a ser representado por Euclides, Arqumedes y Apolonio

(Tapia, 2002 ,p.19 ).

En este periodo los avances en matemtica se basan en un pensamiento hipottico

deductivo, en mtodos racionales de demostracin y en la utilizacin de tcnicas

sintticas en los razonamiento geomtricos (Gonzales , Paniagua , & Patio, 2008)

Bajo este enfoque nacen las secciones cnicas, como se detalla a continuacin:

Las secciones cnicas fueron inicialmente tratada por autores como: Menecmo,

Arqumedes Aristeo y Euclides. Su descubrimiento se atribuye a Menecmo (350 a.c)

mientras se ocupa del problema clsico de la duplicacin del cubo, obtiene las curvas que

hoy conocemos como elipse, hiprbola y parbola determinndolas por secciones de un

plano perpendicular a una generatriz de conos rectos de tres tipos, dependiendo del ngulo

del vrtice (agudo, obtuso o recto).

A finales de siglo IV ya se conocan dos obras sobre las cnicas, La primera es de Aristeo,

el Libro de los lugares slidos y la segunda de Euclides (4 libros), si bien no hay

evidencias de ellas, estas obras fueron los pilares fundamentales para las famosas cnicas

de Apolonio.

Se cree que fue Arqumedes quien dio el nombre elipse a las secciones de cono

acutngulo (como se conocan anteriormente). La palabra elipse fue utilizada por el


28

famoso Matemtico Pitgoras, en las soluciones de ecuaciones cuadrticas por el mtodo

de duplicacin de reas, Ellipsis, significa una deficiencia, se utilizaba cuando un

rectngulo dado deba aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado

(Boyer,1986. pg. 195).

El gran gemetra griego Apolonio de Perga (262 - 190a.c) educado en Alejandra con

discpulos de Euclides, fue quien en el siglo III a.c dio el rigor la consistencia y

sistematizacin a las secciones cnicas (Ruiz, p 80) demostrando que las propiedades

de las curvas son las mismas si se obtienen como cortes de conos oblicuos o de conos

rectos. Es Apolonio quien define una superficie cnica:

Si una lnea recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se

hace mover sobre la circunferencia que no est en el mismo plano que el punto dado,

de tal manera que pase sucesivamente por todos los puntos de dicha circunferencia ,

entonces la recta describir la superficie de un cono doble (Gonzales , Paniagua , &

Patio, 2008)

Figura 8: superficie cnica de Apolonio

Apolonio sustituye el cono de una sola hoja por el cono de dos hojas (par de conos

orientados en sentido opuesto con vrtices coincidentes y ejes sobre la misma recta) con lo

cual cambia las 2 hiprbolas, como las llama Euclides, por una hiprbola de dos hojas.


29

Figura 9: cono de una y dos hojas

Apolonio define las secciones cnicas, como, una curva obtenida cortando una superficie

cnica con un plano, segn la inclinacin del plano se puede formar una parbola, una

elipse o una hiprbola.

Figura 10: secciones cnicas de Apolonio

Sobre las secciones cnicas escribe 8 libros, donde se dan a conocer modos de obtencin y

propiedades fundamentales de las cnicas, propiedades de sus elementos (dimetros, ejes,

focos), teoremas relativos a dimetros conjugados, entre otros.

Entre las propiedades destacamos: la suma de las distancias de un punto de la elipse a dos

puntos fijos (focos) es constante (proposicin 52 del libro III) la cual es utilizada en la

actualidad como una de las definiciones de la elipse como lugar geomtrico.

La construccin de la elipse est fundamentada en los mtodos predominantes de la poca

nos referimos, al razonamiento deductivo a partir de proposiciones y teoremas

demostrados utilizando tcnicas geomtricas sintticas.


30

A continuacin se describe el enfoque de la elipse como fue trabajada en la antigedad,

Apolonio define La elipse como una seccin de un cono por un plano no perpendicular a

su eje (Grgoire , 1992) a partir de la definicin dada, razona de la siguiente forma:

Sean C y C dos puntos cualesquiera de la elipse y KCL y KCL dos secciones

circulares del cono perpendiculares al eje. (Figura 11)

Figura 11: secciones cnicas de Grgoire

Dados los tringulos rectngulos KCL y KCL,

Se tendr:

Adems los tringulos GMK y GMK son semejantes,

Se deduce que:

los tringulos AML y AML tambin son semejantes,

Por lo que

Por tanto al multiplicar miembro a miembro

, por el teorema de la altura (

)

, se obtiene

Es decir la relacin

es constante para todo punto c de la elipse

(Grgoire , 1992)

Apolonio determina una propiedad geomtrica para todo punto que pertenece a la elipse, lo

que es equivalente a pensar la elipse como un lugar geomtrico que cumple una cierta

propiedad geomtrica.


31

Es importante destacar que Apolonio descubre un sin nmero de propiedades para las

cnicas, muchas de ellas son el inicio de grandes descubrimientos en otras reas como la

fsica, la ptica, astronoma entre otras.

Entre los numerosos gemetras que siguieron los pasos de Apolonio destacamos a Pappus

(Siglo IV d c) quien escribi La Coleccin Matemtica, obra donde realiza una

recopilacin de una cantidad indeterminada de teoremas y problemas propuestos por sus

antecesores, adems agrega proposiciones nuevas e incluso problemas que se trataran de

resolver siglos despus. En relacin a las secciones cnicas propone un teorema (libro VII

n 238) que permite definir las tres cnicas como lugares geomtricos a travs de la

relacin de distancias de un punto al foco y a una recta (directriz) como se detalla a

continuacin:

El lugar geomtrico de los puntos cuyas distancias a un punto dado (Foco) y a una

recta dada (Directriz) estn en una razn constante es una seccin cnica: Una

parbola si la razn es la unidad, una elipse si es ms pequea que la unidad y una

hiprbola si es ms grande que la unidad (Espaola, 2000)

El teorema de Pappus permite definir una seccin cnica como el lugar geomtrico de los

puntos talque , donde .

Segn el valor de la constante se clasifican en:

.

.

.

Figura 12: clasificacin de las secciones cnicas, segn el valor de e.


32

La constante

determinada por Pappus posteriormente es conocida con el

nombre de excentricidad de una cnica.

GEOMETRA ANALTICA

Hasta el siglo XVI el enfoque de las secciones cnicas fue basado en las cnicas de

Apolonio, el gran gemetra de la Antigedad donde se destaca la elegancia que utiliza

para describir las cnicas a travs de relaciones de reas y longitudes que caracterizan a

cada una de las curvas, en su estudio adems considera sistemas de referencia (dimetros

conjugados) a posteriori de la construccin de la curva para el estudio de las propiedades.

Podemos decir que Apolonio es uno de los primeros en utilizar el anlisis en la geometra,

el lenguaje de Apolonio es sinttico, utilizando con una pericia increble la tcnica

pitagrica de la Aplicacin de las reas, pero sus "mtodos de coordenadas" guardan una

gran similitud con los de la Geometra Analtica (Gonzlez Urbaneja , Raices histrica y

trascendencia de la Geometra Analtica , 2007).

En los siglos XVI y XVII durante la Revolucin cientfica , poca en que se nacen

nuevas ideas y conocimientos en distintas reas como : Qumica , Biologa, Astronoma ,

Fsica y Matemtica, ideas que posteriormente se convertirn en la base de las ciencias

modernas.

Es durante esta poca que surge la geometra analtica, es decir, "la aplicacin del

lgebra simblica al estudio de problemas geomtricos mediante la asociacin de curvas y

ecuaciones en un sistema de coordenadas". (Gonzlez Urbaneja , Raices histrica y

trascendencia de la Geometra Analtica , 2007)

Sobre la geometra Analtica destacamos :

Fermat y Descartes son los verdaderos artfices de la Geometra Analtica. Descartes

publica en 1637 La Geometra junto con La Diptrica y Los Meteoros como

apndices de su Discurso del Mtodo o ste como prlogo de aquellos opsculos. El

mismo ao, Fermat enva al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629

contenidas en la memoria Introduccin a los Lugares Planos y Slidos. Las obras

citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de la llamada ms tarde

Geometra Analtica. Estos matemticos encontraron un terreno muy abonado por el

Anlisis Algebraico en el que Vieta haba transformado el Anlisis Geomtrico de los

griegos con la intervencin de su incipiente lgebra simblica. (Gonzlez Urbaneja ,

Raices histrica y trascendencia de la Geometra Analtica , 2007)

Los aspectos novedosos de la geometra analtica son : la introduccin de coordenadas ,

el trazado de curvas construyendo ordenadas a partir de abscisas dadas y conectando con


33

puntos finales , la aplicacin del lgebra simblica a los problemas geomtricos, la

derivacion de ecuacin a los lugares geomtricos y la construccin geometrica de las

soluciones de las ecuaciones , estudio de las propiedades de las curvas dadas por las

ecuaciones y representacion grafica de una curva dada por la expresion analitica funcional.

Este nuevo mtodo permite resolver problemas geometricos de la antigedad y avanzar en

terrenos inexplorados de la matematica en ese momento.

En relacin a las secciones cnicas, destacamos los avances de Descartes, Fermat, Witt,

Wiles y Euler.

Ren Descartes, matemtico francs (1596-1650) el segundo libro de la Gemetrie de

Descartes, De la Naturaleza de las curvas, da a conocer mtodos para encontrar lneas

rectas que corten las curvas o a sus tangentes, en particular las secciones cnicas se pueden

representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. lo cual, conlleva a la

posterior aparicin de la ecuacin de la elipse como se muestra a continuacin:

Descartes calcula la normal a una curva en un punto de la figura siguiente:

Llama

=

Figura 13: normal a una curva

Todo punto P perteneciente a la recta AG, verifica las dos relaciones siguientes

;

Para calcular la ecuacin de la elipse (figura 3), descartes utiliza la definicin de

Apolonio

, donde q es la longitud del lado AG

Con las notaciones elegidas por Descartes, la ecuacin de la elipse es:


34

, utilizando la relacin , se obtiene la

ecuacin fundamental de la elipse

Figura 14: Normal de una curva, Descartes

Para obtener la ecuacin cannica, se considera la elipse referida a su centro O.

Obteniendo la siguiente ecuacin:

, siendo

Si se toman

, se obtiene as la ecuacin de la

elipse de Descartes. (Grgoire , 1992)

Pierre de Fermat, matemtico francs ( 1601-1665), crea una reformulacin de la obra

Las Cnicas de Apolonio con los instrumentos del lgebra, demuestra en su obra Ad

locos planos et solidos isagoge (introduccin a los lugares geomtricos planos y slidos)

que las ecuaciones de primer grado representan rectas y las de segundo grado determinan

cnicas o rectas.

Durante los periodos siguientes, mitad del siglo XVII y comienzo del siglo XVIII se

difundieron los mtodos analticos propuestos por Descartes y Fermat, en relacin a las

cnicas, matemticos de la poca como Witt y Wallis completaron y perfeccionaron sus

obras. Wallis en su Tractatus de sectionibus conicis deduce todas las propiedades

conocidas de las cnicas a partir de las ecuaciones obtenidas de las relaciones de Apolonio

y considera estas ecuaciones como la definicin de la seccin, por su parte Jan de Wittt en

la primera parte de su obra Elementa curvarum linearum, introduce la definicin de cnicas

utilizando la razn de las distancias al foco y a la directriz, propiedad descubierta por

Pappus.


35

Posteriormente Desargues realiza tambin estudios sobre las cnicas y los puntos del

infinito y Pascal tambin escribe sobre las cnicas (Essay pour las coniques ) estos

estudios son los cimientos para la geometra proyectiva.

Leonhard Paul Euler, Matemtico Suizo (1707-1783) seala que las propiedades de las

cnicas no pueden derivarse de un nico principio; a veces se obtienen de la ecuacin de las

curvas, otras de su generacin por la seccin de un cono (como haban hecho los grandes

gemetras griegos) y otras se obtienen de la forma como han sido descritas mediante

construccin geomtrica (Gonzlez Urbaneja , Euler y la Geometra Analtica , 2008 ).

Euler escribe un primer volumen de introduccin una teoria general de curvas , basada en

ideas de funcin , en el que deriva las propiedades de las cnicas del cono o de la

construccin geomtrica, luego en un volumen posterior realiza un tratamiento analtico

general, obtiene las propiedades de las cnicas mediante la informacion entregada solo por

la ecuacion sin recurrir a otros medio , escribe una ecuacin cuadrtica general con seis

trminos para las secciones cnicas :

y expresa la ecuacin en trminos de en terminos de

(Gonzlez Urbaneja , Euler y la Geometra Analtica , 2008 )

Euler determina la ecuacin central de las cnicas a partir de la cual realiza la clasificacin

de cada una de ellas mediante el valor del discriminante, encontrando as de manera

sencilla puntos, lneas y rectas, razones asociada a cada curva, completando el trabajo

iniciado por Witt y Wallis.

A partir de la ecuacin , con A, B, C, D, E, F

reales y A, B y C no todos nulos. Podemos clasificar las cnicas dependiendo del valor del

discriminante .

Si Se trata de una Elipse

Si Se trata de una Parbola

Si Se trata de una Hiprbola


36

Sobre las propiedades determinadas por Apolonio y Pappus en la antigedad y trabajadas

en forma analtica por Descartes, Fermat, Witt , Willes y Euler. El matemtico Belga

Germinal Pierre Dandelin (1794 1847) propone en 1822 el siguiente teorema,

demuestra que si un cono es cortado por un plano en una cnica, los focos de dicha cnica

son los puntos donde ste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.

Figura 15: Esferas de Dandelin

A partir del teorema propuesto por Dandelin, se puede probar con herramientas sintticas

las propiedades que definen a la elipse:

La suma de las distancias de un punto de la elipse a dos puntos fijos

de su eje principal es constante.

La razn entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los

focos y a la distancia de la directriz correspondiente, es un valor constante

menor a 1.


37

LA ELIPSE EN LA MATEMTICA

En busca de los elementos de la matemtica que conecten las distintas definiciones de

elipse, como: seccin cnica, lugar geomtrico y a travs de las ecuaciones algebraicas.,

realizamos una indagacin en libros de Geometra plana y del espacio, Clculo, geometra

analtica y trigonometra. A partir del anlisis de los textos (Ver anexo 1) y el anlisis

epistemolgico (antes descrito), elaboramos esta seccin, donde conectamos las distintas

definiciones de elipse. Centrndonos mayoritariamente en aquellas que utilizaremos para

nuestra investigacin.

A continuacin se enuncian los textos utilizados:

Clculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edicin (2008) - James Stewart

editorial: Cengage Learning Editores.

Leithold, l (1998) el clculo 7 edicin .Mxico: Orfoxd university press-harla.

Masjuan,G;Arenas,F;Villanueva,F.(2001). Trigonometra y geometra analtica. Santiago:

ediciones universidad catlica de chile.

Para las definiciones y en busca de elementos distintos a los presentados en los libros

anteriores utilizamos:

Wentworth, d; Smith, d (2001) geometra plana y del espacio. Mxico: Porra.

Romero, A (2005) Estudio sobre las cnicas, Caracas: Innovacin tecnolgica.

LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE

A continuacin se presentan las definiciones de elipse, como: seccin cnica, lugar

geomtrico y a travs de las ecuaciones algebraicas, previo a ello se definen conceptos

matemticos que se utilizan en la interaccin entre los enfoques del concepto elipse.

Posteriormente se describen relaciones entre las definiciones de una elipse a partir de

elementos de la matemtica6 que permiten una movilidad entre los distintos enfoques del

concepto. (Figura 16: distintas definiciones de Elipse)

6 Conceptos, propiedades o teoremas.


38

Figura 16: distintas definiciones de Elipse

CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE

1.- Superficie cnica: superficie engendrada por una recta que se mueve de tal modo que

siempre corta una curva plana fija y que pasa por un punto exterior al plano de esa curva.

La curva fija se llama directriz y el punto fijo se llama vrtice

2.- Generatriz de una superficie cnica: recta que engendra la superficie y tambin toda

recta que representa una de las posiciones por las que pasa aquella, es decir, toda recta que

va desde el vrtice a la directriz.

3.- Cono: slido limitado por una superficie cnica y por un plano que corta a todas las

generatrices.

4.- Cono circular: cono que tiene un crculo de base. Llamase eje del cono a la recta que va

del vrtice al centro de la base.

5.-Cono circular recto: cono circular cuyo eje es perpendicular al plano de la base.

6.-Esfera: slido limitado por una superficie todos cuyos puntos equidistan de un punto

interior.

7.- Seccin cnica

Definicin geomtrica:

Es la interseccin de un plano cualquiera y una superficie cnica.

i) Si el plano no es paralelo a las generatrices es una elipse.

ii) Si el plano es paralelo estrictamente a dos generatrices es una hiprbola.

iii) Si el plano es paralelo a una sola generatriz. La seccin obtenida se

llama parbola


39

Figura 17: Secciones cnicas

Si el plano intersecta al vrtice se forma cnicas degeneradas, es decir, un punto, una recta

o par de rectas concurrentes.

Definicin a partir de propiedades:

Es una seccin cnica puede definirse como el conjunto de los puntos P del plano

tales que la razn de la distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no

dirigida de P a una recta fija, la cual no contiene al punto fijo, es una constante

positiva . (Figura 18 : la secciones cnicas, segn el valor de la excentricidad)

i) Si la cnica es una parbola

ii) Si es una elipse

iii) Si es una hiprbola.

Figura 18 : la secciones cnicas, segn el valor de la excentricidad


40

Definicin Analtica:

Una seccin cnica est definida por una ecuacin general de segundo grado ,

Con y no

todos nulos.

La grafica de la ecuacin es una cnica, o bien, una cnica degenerada.

Los parmetros A, B y C permiten identificar el tipo de cnica analizando el

discriminante como sigue:

i) Si se trata de una parbola ( o como caso

degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes )

ii) Si , se trata de una elipse ( o como caso

degenerado un punto )

iii) Si , se trata de una hiprbola ( o como caso

degenerado un par de rectas que se cortan )

A continuacin se define la elipse como una seccin cnica, luego se presentan dos

alternativas para tratar la elipse como lugar geomtrico7 y a partir de las definiciones se

obtienen ecuaciones (cartesianas polares) que describen una elipse.

Como seccin cnica:

Es una seccin cnica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna

generatriz.

Figura 19: La elipse como seccin cnica

7 conjunto de puntos que cumple una propiedad geomtrica.


41

Como lugar geomtrico:

1.- Es el lugar geomtrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias

a dos puntos fijos (focos) es siempre una constante positiva (mayor que la distancia entre

los focos).

Figura 20: la elipse como lugar geomtrico

2.- Una elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos P del plano tal que la razn de la

distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la

cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1.

A travs de las ecuaciones algebraicas:

1. Si es la constante en la definicin, si los focos se encuentran en ( )

y si , entonces su ecuacin de la elipse es:

=1

Donde la excentricidad:

,

, la

ecuacin de la Directriz es

y los focos son :

F )

3. Una elipse se describe a partir de la ecuacin general de segundo grado ,

Con y no

todos nulos. Donde Si


42

CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE

DESDE LAS SECCIONES CNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

A continuacin se presentan dos descripciones del concepto elipse como se muestra a

continuacin:

La primera de ellas parte de la elipse como seccin cnica, luego utilizando el teorema de

las esferas de Dandelin permite determinar la elipse como lugar geomtrico donde la suma

de las distancias de los puntos de la elipse a los focos es constante, posteriormente a travs

de las herramientas algebraicas dadas por el concepto de distancia entre dos puntos del

plano se determinan las ecuaciones cartesianas y los elementos principales de la elipse en el

plano.

La segunda alternativa parte de la definicin de elipse como seccin cnica, y a travs del

teorema de Dandelin permite encontrar el lugar geomtrico que describe la elipse a partir de

la excentricidad (razn entre la distancia de un punto al foco y la distancia del punto a la

directriz), luego a travs de elementos trigonomtricos y algebraicos permiten determinar

las ecuaciones polares y cartesiana de la elipse.

DESDE LAS SECCIONES CNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 1

La elipse, es una seccin cnica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a

ninguna generatriz.

A partir de esta definicin utilizando el Teorema de Dandelin8, se puede construir la

definicin 1 de elipse como lugar geomtrico.

Figura 21: Teorema de Dandelin

8 Si un cono es cortado por un plano en una cnica, los focos de dicha cnica son los

puntos donde ste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono.


43

En el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al plano secante

ambas esferas . La esfera es tangente al cono a lo largo de las

circunferencias , y es tangente al plano cortante en el punto . La esfera es

tangente al cono a lo largo de las circunferencias , y es tangente al plano cortante en el

punto . Los planos de la circunferencia son paralelos. Se demostrara que

son los focos de la elipse al probar que si P es un punto de la elipse, entonces

| | | | es una constante.

La generatriz del cono que pasa por un punto cualquiera P de la elipse seccin corta a las

circunferencias tangentes a la esfera en los puntos , como todas las

tangentes que puedan trazarse desde un punto a una esfera tienen la misma longitud, se

tiene

Las circunferencias de tangencia cortan segmentos iguales de igual longitud en

todas las generatrices del cono, como consecuencia todos los puntos de una elipse tienen las

propiedades La suma de las distancias a dos puntos fijos de su eje principal es

constante.

Considerando la definicin de elipse: La elipse es el conjunto de puntos de un plano tales

que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante e igual . Cada punto

fijo se llama foco. | | | | (Figura 20: la elipse como lugar geomtrico)

Obtenemos las ecuaciones cartesianas que la describen.

| | , | |

+

Como


44

Si es la constante en la definicin, si los focos se encuentran en y si

, entonces su ecuacin de la elipse es:

Elementos de una elipse

1.-Los puntos A, A, B, B se llaman vrtices de la elipse.

2.- El valor de se conoce como semieje mayor, se llama semieje menor y como semi

distancia focal.

3.-las cuerdas focales perpendiculares al eje focal de esta elipse se conocen como lado recto

(latus rectum) de la elipse y su longitud es igual a

.

DESDE LAS SECCIONES CNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 2

En figura adjunta, el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al

plano secante ambas esferas tienen su centro sobre el cono y son tangentes a

este a lo largo de las circunferencias situadas en planos normales al eje del cono.

Figura 22: Teorema de las esferas de Dandelin

se puede deducir otra propiedad: el plano de la elipse corta a los planos de las

circunferencias de las dos esferas de Dandelin segn rectas directrices )

si los puntos y el vrtice principal de la elipse giran alrededor del eje del

cono hasta situarles paralelamente al plano de proyeccin , como son los segmentos

se tiene = para la distancia espacial

del punto a la directriz , que se proyecta en su verdadera magnitud , en virtud de la

semejanza de tringulos, se tiene:


45

La razn entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los focos y a la

distancia de la directriz correspondiente, es igual a la razn entre 2e de los focos y la

longitud 2a del eje mayor. La relacin e: a es lo que se denomina excentricidad de la elipse

A partir de la definicin:

Una elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos P del plano tal que la razn de la

distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la

cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1. Se generan las

ecuaciones polares y cartesianas que la describen como se explica a continuacin.

Primero se obtendr una ecuacin polar del conjunto de los puntos descritos. Considere

que denota el punto fijo y representa la recta fija. Se toma como polo a y el eje

polar y su prolongacin a .

Se considerara el caso en que la recta esta a la izquierda del punto . Sean D el punto

de interseccin de con la prolongacin del eje polar y, la distancia no dirigida de a .

Sea cualquier punto del conjunto a la derecha de y en el lado terminal del ngulo

( Figura 23: eje polar)

Figura 23: eje polar

El punto P est en el conjunto descrito si y solo si:

| | | |

Como P est a la derecha de ; adems porque

Sin embargo , y como + , se tiene , al sustituir

esta expresin para , se obtiene:


46

), Despejando

Obteniendo la ecuacin Polar de la elipse el caso en que la recta esta a la izquierda del

punto

(1)

Con el fin de determinar una ecuacin cartesiana de la elipse a partir de la ecuacin Polar

(1) se reemplaza el por

as:

Ahora al sustituir , resulta

Elevando al cuadrado

Como

Para completar cuadrados se agregan

en los dos

miembros de la ecuacin anterior

(

)

Se divide por

( )

( )

Donde

Ahora considere

donde a>0 ,

Entonces la ecuacin de la elipse se puede expresar:


47

Si entonces y puede considerarse donde

.

La ecuacin de la elipse que tiene su eje principal sobre el eje x y su centro en (h, 0) donde

h>0 es:

Ecuacin cartesiana de una cnica central que tiene su eje principal sobre el eje x y su

centro en el origen

,

Donde , los focos son F , las ecuaciones de la directriz:

.

Figura 24: ecuacin de la elipse, a partir del valor de e


48

CONSTRUCCIN DE LA CURVA A PARTIR DE SU ECUACIN

A partir de la ecuacin:

, se deduce despejando y

Podemos decir:

a) la curva consta de dos ramas dadas por las funciones

b) la curva est definida solamente para valores de x comprendidos en el intervalo

c) la curva est definida solamente para valores de y comprendidos en el intervalo

d) Interseccin con los ejes: cuando se obtiene los puntos de interseccin de la

curva con el eje y, . cuando se obtiene los puntos de

interseccin de la curva con el eje x , .

e) Simetra: comparamos ; y la ecuacin no varia, entonces, la curva

es simtrica respecto a los ejes y al origen.

f) Tabla de valores : obteniendo las simetras es suficientes dar valores a x entre

Teniendo en cuenta, que una ecuacin de un lugar geomtrico plano es una

ecuacin de la forma cuyas soluciones reales para valores

correspondientes de son todas coordenadas de puntos que satisfacen la

condicin geomtrica dadas que definen el lugar geomtrico.

De esta forma se puede obtener la curva representada por la ecuacin

, donde el conjunto solucin es

Figura 25: elipse en el plano cartesiano


49

DADO LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMTRICO HALLAR EL CONO DE

REVOLUCIN

A partir de la definicin de elipse como, un conjunto de puntos de un plano tales que la

suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo se llama foco.

(ver Figura 25: elipse en el plano cartesiano)

Usando el teorema de Dandelin: Todo plano tangente a una esfera inscrita en un cono

circular recto, determina en este una cnica, cuyo foco es el punto de tangencia y cuya

directriz es la interseccin del plano tangente con el plano que contiene a la circunferencia

de contacto entre el cono y la esfera., podemos encontrar un cono circunscrito a una

esfera tangente en unos de sus focos.

Figura 26: La elipse en el espacio

Existen infinitos conos de revolucin que contiene una elipse, dependiendo de las esferas

que se elijan, estas no puede tener radio cero, ni crecer indefinidamente.

En los conos de revolucin que contienen una elipse dada, el lugar geomtrico de sus

vrtices es una hiprbola situada en un plano perpendicular al plano de la cnica que

contiene al eje y tiene por vrtices los focos de la elipse y por focos los vrtices de la elipse

.


50

LA ELIPSE DESDE EL ESPACIO AL PLANO

A continuacin presentaremos algunos casos particulares de la elipse como seccin

cnica, a partir de las ecuaciones de cono circular centrado en el origen del espacio, y un

plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices, con el fin de mostrar, la obtencin

de la ecuacin de la elipse a travs de herramientas algebraicas y luego graficar la curva

representada por la ecuacin.

La elipse como seccin cnica se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna

generatriz.

La ecuacin de una de las superficies cnicas en el espacio (ver Figura 27: superficie cnica),

es en sistema tridimensional.

Figura 27: superficie cnica

La ecuacin de un plano no paralelo a ninguna de las rectas generatrices es:

, La elipse se determina al intersectar el cono circular recto con el plano,

para obtener la ecuacin resolvemos el siguiente sistema de ecuacin.

Como y son mayores a cero la ecuacin corresponde a una Elipse


51

Ejemplo: Ecuacin del cono: , Ecuacin de un plano que intersecta al

cono :

En forma grfica

Figura 28: la elipse como una seccin cnica

de forma analitica

Sistema de ecuaciones:

Ecuacin de la elipse en el plano: ( Figura 29)

Figura 29: representacin de la elipse en el plano


52

INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDCTICA DE LA

MATEMTICA

Tambin se reportarn investigaciones en Didctica de la Matemtica que tengan relacin

con nuestro objeto de investigacin, ya sea, en el tema a estudiar o bien en que los

resultados obtenidos entregan informacin relevante para sustentar nuestra problemtica.

A continuacin se reportan dos investigaciones en Didctica de la Matemtica

relacionadas con nuestra problemtica sobre el concepto elipse. Se describe la naturaleza

de la investigacin, sus objetivos y resultados.

Contreras, Contreras & Garca (2002) realizan un estudio sinttico analtico de las

construcciones de la elipse , ofreciendo una propuesta integradora donde es posible

abordar la elipse desde una doble perspectiva. Su inters se produce al observar que en la

mayora de los textos de Bachillerato se da, casi exclusivamente, un enfoque analtico a las

secciones cnicas. Si bien la propuesta est basada en el plano cartesiano, consideramos

que entrega referentes para la comprensin de la elipse como lugar geomtrico

Del castillo (2004), propone un estudio de la elipse a travs de distintas representaciones,

utilizando la teora de Duval, aprovechando los ambientes de la calculadora simblica

Voyage 200 de Texas instruments(Figura 30). Como recurso didctico, partiendo del hecho

que la visualizacin dinmica puede favorecer los procesos de abstraccin y

generalizacin.

Figura 30: la elipse, Texas instruments

Destacamos de la investigacin, las formas que se proponen para construir la elipse como

lugar geomtrico, donde la suma de los puntos de ella a dos puntos fijos (focos) es

constante, lo cual se puede evidenciar fcilmente utilizando software de geometra

dinmica.


53

CAPTULO III:

MARCO TERICO:

LOS MODOS DE

PENSAMIENTO.


54

JUSTIFICACIN DEL MARCO TERICO

Desde nuestros objetivos de investigacin, realizamos la eleccin del marco terico: los

modos de pensamiento propuestos por Anna Sierpinska (2000), porque nos provee de

elementos tericos para describir la forma en que los estudiantes comprenden los objetos

matemticos, en este caso, la elipse. Tambin permite explicitar los enfoques (analticos,

geomtricos o estructurales) que priorizan los estudiantes al momento de desarrollar

distintas tareas y cules son las conexiones que logran establecer entre ellos. Aunque este

marco terico nace y se desarrolla para dar respuestas a problemticas propias del mbito

del lgebra lineal, con nuestra investigacin pretendemos abrir una va de acceso de la

teora al estudio de objetos de otros mbitos de la matemtica

DESCRIPCIN DEL MARCO TERICO

Sierpinska (2000) distingue tres modos de pensamiento: uno que tiene que ver con el

pensamiento prctico (sinttico-geomtrico) y otros dos que tienen que ver con el

pensamiento terico (analtico-aritmtico y analtico-estructural). Segn Sierpinska (2000)

el modo sinttico-geomtrico surge primero y de manera subsiguiente el analtico-

aritmtico y el analtico-estructural. Se podra decir que el desarrollo del lgebra lineal es

en cierto sentido el resultado de una tensin entre los modos de razonamiento. Para la

enseanza, la pregunta no es cul modo de razonamiento vale ms para fomentar en el

estudiante, sino cmo llevar a los estudiantes al uso flexible y consciente de ellos. Ms que

ver los modos de razonamiento en el lgebra lineal como niveles en el desarrollo del

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