PRESENTACIÓNASPECTOS DE LA DIDÁCTICA

El papel de los distractores

en un reactivo de opción múltiple

SITUACIONES DE APRENDIZAJE

Fichero de actividades didácticas.

Matemáticas. Educación secundaria

RESPUESTAS A PROBLEMAS

Validación de resultados

PROBLEMAS PARA RESOLVER

La cabra, El rompecabezas mágico, El cubo

¿DE QUÉ TRATA?

Las operaciones en el primer ciclo.

Aporte para el trabajo en el aula

MATEMÁTICAS EN LOS LIBROS DE TEXTO

GRATUITOS Y LOS MATERIALES DE APOYO

BOLETÍN SEMESTRALNÚMERO 6

enero 2000

Seguramente cuando usted reciba este boletín estaremos inician-

do el año 2000. Algunos dicen que con este año empieza el siglo

XXI, otros dicen que empezará a correr a partir del primero de

enero del año 2001. ¿Quién tiene la razón?

Independientemente de esta polémica, en este año 2000, con

la publicación del boletín número 6 de Un reto más, celebramos

junto con ustedes, maestros, el tercer aniversario del boletín. Es-

peramos poder mantener este espacio de comunicación con to-

dos los maestros del país y agradecemos su apoyo.

Reiteramos la invitación a participar en el boletín número sie-

te; envíe sus comentarios sobre los apartados que lo conforman,

la descripción de los procedimientos que utilice para resolver cada

uno de los problemas aquí planteados, redacciones breves sobre

su experiencia al poner en práctica, en sus grupos, situaciones

problemáticas (juegos, actividades, resolución de lecciones y pro-

blemas), propuestas en los materiales de apoyo para la enseñanza

y, ¿por qué no?, también puede enviar alguna situación problemá-

tica que usted haya diseñado para trabajar un determinado conte-

nido matemático.

CONTENIDO

Boletín 6 06/10/00, 2:17 PM1

2

Este boletín es una publicación de la Dirección

General de Materiales y Métodos Educativos

de la Subsecretaría de Educación Básica

y Normal de la Secretaría de Educación Pública.

COORDINACIÓN

Hugo Balbuena Corro

COLABORADORES

Martha Dávila Vega

Héctor Licona Farfán

Irma Griselda Pasos Orellana

Juan Carlos Xique Anaya

COORDINACIÓN EDITORIAL

Lazlo Moussong

PRODUCCIÓN EDITORIAL

Alejandro Portilla de Buen

DISEÑO ORIGINAL

Ma. Gabriela Barahona

FORMACIÓN

Julio César Olivares Ramírez

En general, los viernes se transmiten temas de la asig-natura de matemáticas. No se los pierdan.

• Atención maestros de matemáticas del nivel secun-daria. Próximamente tendrán en sus manos un nuevomaterial que seguramente les será muy útil en su prác-tica docente.

• ¡Atención Centros de Maestros, Escuelas Normales ymaestros en general! Estamos en posibilidades de en-viar, por correo electrónico, los números anterioresdel boletín Un reto más. Si no los han recibido y lesinteresa tenerlos, envíenos su número telefónico y unadirección electrónica. Con gusto se los haremosllegar.

• Para agilizar la comunicación entre los maestros y elequipo técnico del Área de Matemáticas de la Direc-ción General de Materiales y Métodos Educativos,ahora podrán enviar su correspondencia a los siguien-tes correos electrónicos:

hbalbuen@sep.gob.mxProfesor Hugo Balbuena CorroDirector del Área de Matemáticas

mdavila@sep.gob.mxProfesora Martha Dávila VegaSubdirectora del Área de Matemáticas. Primaria

jcxique@sep.gob.mxProfesor Juan Carlos Xique AnayaSubdirector del Área de Matemáticas.Secundaria

También, si lo prefieren, pueden enviar por correosu correspondencia a la siguiente dirección:

OBRERO MUNDIAL 358, PLANTA BAJA,COLONIA PIEDAD NARVARTE,

03000 MÉXICO, D.F.

AVISOS• Atención maestros, por el canal 16 de Edusat y por el

canal 22 de la televisión metropolitana se transmite,de lunes a viernes a las 10:00 de la mañana, la serie“Temas de maestros”, en la cual se exponen temasde interés para todos los maestros de educación bá-sica (preescolar, primaria y secundaria), así como paralos estudiantes y maestros de las escuelas normales.

Boletín 6 06/10/00, 2:17 PM2

3

EL PAPEL DE LOS DISTRACTORES EN UN REACTIVO DE OPCIÓN MÚLTIPLEPROFESORA MARTHA DÁVILA VEGA

Uno de los propósitos fundamentales de los

exámenes del Pronap es conocer, a partir de

las respuestas incorrectas de los examinados,

en qué aspectos la Secretaría de Educación

Pública necesita redoblar esfuerzos para la

actualización y capacitación de los maestros,

mediante el diseño de materiales impresos,

de audio y de video que ayuden a superar las

deficiencias encontradas.

Por lo anterior, en el proceso de elabora-

ción de los reactivos se ha procurado que las

opciones incorrectas reflejen razonamientos,

concepciones o interpretaciones erróneas, es

decir, que se justifiquen con una posible ma-

nera de pensar o de proceder. Esto obliga a

los elaboradores de reactivos a analizar cada

una de las situaciones problemáticas que pro-

ponen para prever la forma en que pueden

ser resueltas, de tal suerte que las opciones

incorrectas no sean descartadas por ilógicas.

A pesar del extremo cuidado que se ha te-

nido en la elaboración de estos exámenes,

en ocasiones nos enfrentamos a situaciones

no previstas. Un ejemplo claro de esta situa-

ción es el siguiente reactivo, planteado en el

segundo examen del Pronap y publicado en

el apartado “Problemas para resolver” del

boletín Un reto más, número 4.

¿Cuántas latas medianas caben en un casi-

llero que mide 39 cm de largo, 19 cm de

ancho y 26 cm de altura?

Lata Diámetro Altura

Chica 4 cm 5 cm

Mediana 6 cm 8 cm

Para tratar de resolver el problema los ni-

ños usan los siguientes procedimientos.

Indique cuál daría el resultado correcto.

a) Obtener el volumen del casillero y divi-

dirlo entre el volumen de la lata mediana.

b) Dividir 19 266 entre 48.

c) Multiplicar 18 por 3.

d) Dividir 39 entre 6 y el resultado multi-

plicarlo por 18.

Boletín 6 06/10/00, 2:17 PM3

4

Este problema es interesante porque quien

lo resuelve debe poner en juego sus conoci-

mientos matemáticos y la capacidad de análi-

sis de la situación con un sentido práctico. Sin

embargo, presenta las siguientes deficiencias.

• El problema tiene varias respuestas correc-

tas, pero por la manera en la que está re-

dactado se considera como un problema

de respuesta única.

• Una de las opciones lleva a una respuesta

incorrecta de manera forzada.

Veamos por qué se hacen las afirmaciones

anteriores:

La primera respuesta correcta se obtiene al

colocar tres capas de latas, apoyadas en su

base circular, dentro del casillero. De esta

manera en cada capa caben 18 latas.

Esta solución aparece alterada en la opción

B y por lo tanto deja de ser correcta. Es en este

sentido que se considera poco factible que una

persona capaz de seguir un razonamiento ló-

gico para llegar al dato 48, de pronto conside-

re necesario dividir el volumen del casillero

entre el número de latas que le caben.

La tercera solución correcta se obtiene al

colocar, en posición horizontal, dentro del

casillero cuatro capas de 14 latas cada una,

de tal manera que queden, en cada capa, 12

latas alineadas a lo largo del casillero y las

otras dos alineadas a lo ancho.

Al colocar así las latas, en el largo del casi-

llero sobra un espacio de 7 cm por 19 cm de

fondo en el que se pueden colocar 2 latas

más en cada capa, alineando su altura con el

ancho del casillero.

39 ÷ 6 = 6.5 19 ÷ 6 = 3.16 26 ÷ 8 = 3.25

6 × 3 × 3 = 54 Opción C

La segunda respuesta correcta se obtiene

al acomodar las latas horizontalmente dentro

del casillero, de manera que la altura de las

latas quede alineada a lo ancho del casillero.

De esta forma se tiene que caben cuatro ca-

pas con 12 latas cada una.

19 ÷ 8 = 2.37 39 ÷ 6 = 6.5 26 ÷ 6 = 4.33

6 × 2 × 4 = 48

19 ÷ 6 = 3.16 26 ÷ 6 = 4.33

4

8 39

7

(4 × 3 + 2) × 4 = 56

De esta manera se tiene que el mayor nú-

mero de latas que cabe dentro del casillero

es 56, considerando que en el texto del pro-

blema no se define la posición en que deben

quedar las latas. Sin embargo, esta solución

no aparece entre las opciones de respuesta.

Boletín 6 06/10/00, 2:17 PM4

5

Si bien el problema propuesto tiene sus

carencias, es necesario reconocer que apor-

tó información importante. Veamos por qué

se hace esta afirmación:

• Un alto porcentaje de maestros eligió

como correcta la opción A. Sin embargo,

el procedimiento que se describe en esta

opción lleva a un resultado incorrecto, por-

que al dividir el volumen del casillero en-

tre el volumen de una lata, pasan por alto

que al acomodar las latas una junto a otra

quedan espacios a lo largo, ancho y alto

del casillero. Esto hace imposible ocupar

en su totalidad el volumen del casillero y

por lo tanto el número de latas que le ca-

ben es menor al resultado de la división

mencionada.

Al elegir esta opción como correcta se

pone de manifiesto que quienes lo resol-

vieron de esta manera, saben calcular el

volumen de este tipo de prismas y de los

cilindros pero aplican las fórmulas mecá-

nicamente, sin analizar de manera prácti-

ca el problema y valorar si la aplicación

de estas fórmulas ayuda o no a resolverlo.

• Dadas las deficiencias encontradas en la

elaboración de este reactivo, no se puede

inferir con claridad el porqué algunos

maestros eligieron la opción B, ya que

como se señaló anteriormente, el 48 pudo

haberse obtenido al acomodar las latas ho-

rizontalmente dentro del casillero.

Otra posibilidad de obtener el 48 es mul-

tiplicar el diámetro de la lata (6 cm) por su

altura (8 cm). En el supuesto caso de que

el dato 48 se haya obtenido de esta mane-

ra lleva a pensar que el significado que le

asignaron, aunque erróneo, es el volumen

de la lata mediana.

Los maestros que eligieron esta opción

como correcta tienen el mismo problema

que los que eligieron la opción A y, ade-

más, tienen dificultad para calcular el vo-

lumen de cilindros.

• Un bajo porcentaje de maestros seleccio-

nó la opción C como correcta. En este caso,

puede inferirse que sin recurrir al cálculo

del volumen del casillero y de las latas,

averiguaron cuántas latas caben en el casi-

llero, colocándolas apoyadas en su base:

39 ÷ 6 = 6.5 19 ÷ 6 = 3.16 26 ÷ 8 = 3.25

Si los maestros que eligieron esta opción

resolvieron el problema de esta manera,

su proceder pone de manifiesto que com-

prendieron el problema, relacionaron ade-

cuadamente los datos y probablemente ob-

servaron que las fórmulas para calcular el

volumen de las latas y del casillero no les

servían para encontrar la solución.

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM5

6

• En cuanto a los maestros que eligieron la

opción D, puede suponerse que iniciaron

la resolución del problema de manera ade-

cuada hasta saber con cuántas latas, colo-

cadas verticalmente, se cubría la superfi-

cie del casillero. Pero, al calcular el número

de capas se equivocaron, cambiando la

medida original (26 cm) por 39 cm.

Si los maestros resolvieron el problema de

esta manera, puede decirse que el error

estuvo en perder de vista la medida de una

de las magnitudes señaladas y no a un

razonamiento incorrecto.

Se consideró importante hacer estos co-

mentarios porque si bien es cierto que un

examen de opción múltiple tiene limita-

ciones y en ocasiones algunas carencias,

también puede aportarnos información valio-

sa acerca de las concepciones erróneas de

los alumnos y de las dificultades que en-

frentan.

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM6

7

FICHERO DE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS.MATEMÁTICAS. EDUCACIÓN SECUNDARIA

La SEP ha elaborado diversos materiales (libros, videos, audios) para fortalecer la enseñanza,

estudio y aprendizaje de las matemáticas en la escuela secundaria.

El paquete básico de libros está integrado por:

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM7

8

Fichero de actividades didácticas.

Matemáticas. Educación secundaria

¿QUÉ ES EL FICHERODE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS?

El Fichero de actividades didácticas. Mate-

máticas. Educación secundaria es un mate-

rial de apoyo en el que los profesores podrán

encontrar una serie de recursos didácticos

para fortalecer su trabajo docente.

Uno de los retos que enfrentan los profeso-

res de matemáticas es tener que proponer ac-

tividades que integren contenidos de diversas

áreas. En este libro encontrarán una serie de

problemas interesantes, organizada en secuen-

cias didácticas que permitirán seguir un pro-

ceso gradual para la adquisición de diversos

conocimientos y el desarrollo de habilidades.

Cada ficha ofrece además orientaciones

útiles para el profesor acerca de su participa-

ción en el aula, por ejemplo: presenta pro-

puestas sobre cómo organizar al grupo, cómo

plantear las situaciones problemáticas a los

alumnos, cómo pueden responder los alum-

nos ante los diversos problemas planteados,

y también encontrará ejemplos de algunas ac-

ciones o preguntas que se pueden hacer en

relación con los procedimientos y soluciones

encontrados por los alumnos para que dichos

procedimientos puedan evolucionar.

ESTRUCTURA DEL FICHEROY DE LAS FICHAS

El Fichero de actividades didácticas. Mate-

máticas. Educación secundaria se compone

de 54 fichas, 18 fichas para cada uno de los

tres grados escolares.

Cada ficha corresponde a uno de los te-

mas propuestos en el libro Secuencia y orga-

nización de contenidos; sin embargo hay que

aclarar que en la ficha no se pretende agotar

todos los contenidos que se propone trabajar

A fin de seguir apoyando el trabajo de los

profesores, la SEP pondrá a su disposición un

nuevo material:

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM8

9

en cada tema del libro mencionado, sino que solamente se desarrolla alguno o algunos de

dichos contenidos.

Por ejemplo:

Para primer grado, el tema 5 “Figuras básicas y ángulos” del libro Secuencia y organización

de contenidos, propone desarrollar diversas actividades.

En este caso, para favorecer el estudio informal de las

figuras básicas y sus propiedades, la ficha 5 “Geometría

con papel” ofrece algunas actividades interesantes al res-

pecto.

5Figuras básicas y ángulosLibro para el maestro, páginas 231 a 249 y 251 a 253

El trabajo en clase favorecerá el estudio informal de las figuras básicas ysus propiedades, sin caer en la memorización de sus definiciones. Asimis-mo, procurará desarrollar la capacidad de los alumnos para seguir unalista de instrucciones de trazado y utilizar el vocabulario de la geometríaen la descripción de una figura o los pasos de una construcción.

• Actividades y problemas que lleven a utilizar las definiciones yrealizar el trazado de figuras básicas:- Triángulos equiláteros e isósceles.- Rectángulo, rombo y cuadrado.- Círculo.- Otras formadas por su combinación.

• Construcción con regla y compás de un triángulo de lados conoci-dos; construcción de triángulos isósceles y equiláteros.

• Uso del transportador en la medición de ángulos y en la reproduc-ción y trazado de figuras; clasificación de ángulos, de acuerdo a sumedida, en agudos, rectos, obtusos, llanos, entrantes y perigonales.

a c t i v i d a d e s . c o m p l e m e n t a r i a s

18 matemáticas

• Actividades y problemas que lleven a utilizar las definiciones y

realizar el trazado de figuras básicas:

- Triángulos equiláteros e isósceles.

- Rectángulo, rombo y cuadrado.

- Círculo.

- Otras formadas por su combinación.

Tema 5: Figuras básicas y ángulos

•

•

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM9

10

Tema 15: Ángulos entre paralelas

Cada ficha presenta la misma estructura.

Veamos una de ellas:

Al principio se indica el tema y los con-

tenidos que se trabajan en cada una de las

fichas.

Cada ficha presenta varias actividades di-

rigidas a los alumnos.

Las indicaciones que el profesor debe dar a

los alumnos para el planteamiento de las acti-

vidades aparecen siempre resaltadas con letra

más clara y señaladas con una línea vertical.

Enseguida del planteamiento de cada una

de las actividades se ofrece un conjunto de

ideas acerca de cómo algunos alumnos po-

drán realizar la actividad o resolver la situa-

ción que se les ha planteado, o bien algunas

anticipaciones de lo que se espera que ha-

gan, aunque no se descarta la posibilidad de

que en muchos casos los alumnos utilicen

procedimientos que no están indicados en las

fichas debido a la riqueza y diversidad del

pensamiento humano.

Al final se presentan en un recuadro algu-

nas variantes que el profesor puede utilizar.

En muchos casos estas variantes implican un

mayor grado de dificultad.

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM10

11

ALGUNAS SUGERENCIASPARA SU USO

Es muy importante que el profesor resuelva

con sus propios medios los problemas que se

plantean en el fichero, y después confronte

sus estrategias con las que se ofrecen en cada

una de las fichas. Este ejercicio le permitirá

entender el proceso que pueden seguir sus

alumnos y anticipar algunas estrategias para

lograr la confrontación.

Las necesidades particulares de cada gru-

po escolar exigirán un cierto grado de ade-

cuación de las actividades, por lo que sabe-

mos que la experiencia del profesor es un

elemento esencial.

Además, las actividades por sí mismas, por

interesantes que éstas sean, no garantizan que

el alumno adquiera aprendizajes significati-

vos. El papel del profesor dentro del proceso

didáctico es determinante, en primer lugar

para favorecer el trabajo autónomo de los

alumnos, y en segundo término, para sociali-

zar los procedimientos encontrados, ayudan-

do a lograr mayor claridad en cada uno, para

que los alumnos sean conscientes de por qué

se llegó al resultado correcto.

Confiamos que el Fichero de actividades

didácticas. Matemáticas. Educación secunda-

ria despertará el interés y será de suma utili-

dad para los profesores de matemáticas de

todo el país.

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM11

12

VALIDACIÓN DE RESULTADOS

Comparar los resultados que se obtienen al

resolver un problema matemático así como

los procedimientos que se siguieron, permite

avanzar en nuestros conocimientos, ya que

se perciben diferentes estrategias de solución

para resolver el mismo problema, se utiliza

en mayor o menor medida el lenguaje mate-

mático (simbólico y oral) al tratar de explicar

el procedimiento que se siguió, y permite va-

lidar o invalidar el o los resultados obtenidos.

EL VALOR DE X

Observe

la siguiente

figura.

¿Cuánto debe ser el valor de x para que el

área del rectángulo sombreado sea la mitad

del triángulo isósceles?

La respuesta encontrada por algunos maes-

tros para el siguiente problema es x = —, me-

diante los siguientes procedimientos:

El profesor Fausto Alberto Rosas Sánchez,

de Mérida, Yucatán, envió el siguiente pro-

cedimiento:

Tomemos una hoja de papel tamaño car-

ta (puede ser periódico), la doblamos a la

mitad a lo largo y cortamos por la diago-

nal, como se muestra, para obtener un

triángulo isósceles igual al que se presen-

ta en el problema.

b4

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM12

13

Formemos un rectángulo con únicamen-

te dos capas de papel, juntando los tres

vértices del triángulo en el punto medio

de la base.

En realidad, al observar cómo ha que-

dado el triángulo doblado no es muy di-

fícil concluir que el rectángulo que se

forma mide la mitad de la base y la mitad

de la altura del triángulo. Por lo que el

valor de x que estamos buscando es de

— de b.

1. Tomemos como re-

ferencia el punto me-

dio de los lados con-

gruentes del triángulo

isósceles.

2. Unamos estos pun-

tos con un segmento

paralelo a la base.

3. Tracemos la altura

del triángulo toman-

do como base el lado

desigual.

4. Tracemos perpen-

diculares a la base,

que pasen por los

puntos medios de los

lados congruentes.

1

4

El profesor Juan Carlos Xique Anaya,

del Distrito Federal resolvió el problema de

la siguiente forma: (Continúa)

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM13

14

5. Finalmente, en

cada rectángulo de

los que se formaron

en el interior del trián-

gulo, tracemos una

diagonal.

Con estos cinco pasos

tendremos dividido

el triángulo isósce-

les en 8 triángulos

congruentes. Por lo

tanto:

tenemos las siguientes afirmaciones:

1. ∠FEA = ∠GDC = 90°, EF = GD

2. De los datos del problema ∆ABC es

isósceles, luego AB = BC por lo que ∠A = ∠C

Considerando las afirmaciones 1 y 2, po-

demos decir ∆AFE y ∆CGD son congruentes,

por lo que AE = CD = x

Ahora bien, si el área del rectángulo (Ar) es

la mitad de la del triángulo (At), entonces:

Ar = — A

t y como A

t = — y A

r = (b - 2x)h

tenemos que (b - 2x)h = — ( — )De donde

(b - 2x)h — (1)

Por otro lado, si consideramos la semejan-

za de los triángulos AFE y ABH tenemos que:

x:—::h:a y con ello h = — que al sustituir

en (1) nos da (b - 2x) –— = — de donde re-

sulta (b - 2x)8ax = ab2 lo que origina, des-

pués de cancelar a a, realizar el producto e

igualar a cero la ecuación de segundo grado

en x 16x2 - 8bx + b2 = 0, cuya solución es x =

— por lo que x debe medir la cuarta parte de

b (base del triángulo isósceles dado).

Para comprobar que los triángulos forma-

dos son congruentes, puede apoyarse en

el teorema de Tales.

x = —b4

El profesor José Félix García Goitia, de

Durango, Durango, realizó el siguiente pro-

cedimiento:

Si consideramos los puntos D, E, F y G

como vértices del rectángulo,

(Continuación)

12

ab2

12

ab 2

ab4

b2

2axb

2axb

ab4

b4

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM14

15

El profesor Juan Bosco Gómez Rábago, de

Veracruz, Veracruz, propone lo siguiente:

En la Guía de estudio páginas 116 y 152,

así como en el Libro para el maestro, pá-

gina 208, hay problemas semejantes al de

la página 18 (El valor de x) de Un reto

más número 5. Se podría intentar una so-

lución general para construir un rectán-

gulo inscrito en cualquiera de los trián-

gulos, cuya superficie mida la mitad de la

superficie del triángulo.

2. Por el punto medio de la altura del trián-

gulo, trazamos un segmento paralelo a la

base. Llamemos a los extremos de este

segmento G y F, que son los puntos me-

dios de los lados AC y BC del triángulo.

3. Trazamos dos segmentos perpendicu-

lares a la base, uno a partir del punto G y

otro a partir del punto F. Estos segmentos

(GH) y (FI) miden la mitad de la altura.

De aquí podemos afirmar que:

• FG es la mitad de AB (por la proporcio-

nalidad de los triángulos).

• ED es la mitad de DC (por trazo esta-

blecido).

Por lo tanto:

Si el área del triángulo ABC es igual al

———, el área del rectángulo construido

que tiene dos vértices en los puntos me-

dios de dos lados y los otros dos vértices

sobre el lado restante, es:

(FG (ED) = — (AB) x — (DC) = — (AB) (CD)

es decir, la mitad del área del triángulo.

En cuanto al valor de x del problema en

cuestión, observamos que en el triángulo

isósceles el rectángulo construido ocupa

la mitad de la base y que éste está situado

simétricamente con respecto a los extre-

mos de la base. Por lo tanto x es igual a

una cuarta parte de la base.

Dado un triángulo cualquiera ABC,

1. Trazamos la altura correspondiente

(DC), desde uno de sus lados (AB).

(AB) (CD)2

12

12

14

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM15

16

MULTIPLICANDO AL ESTILO RUSOAl multiplicar 120 × 42 con el procedimiento que se indica encontramos que el resultado

obtenido es el mismo al que se llega con el algoritmo convencional:

1. Formemos dos columnas.

2. Dividamos entre 2 los números de la columna izquierda, y a la vez dupliquemos los

números de la columna derecha, como se muestra a continuación.

¿Cuál es la explicación que justifica el funcionamiento de esta forma de multiplicar?

Para este problema, el profesor Juan Bosco Gómez Rábago de Veracruz, Veracruz, jus-

tifica las reglas de este algoritmo de la siguiente manera:

Reglas 1 y 2. Para dar una explicación que justifique el algoritmo de la multiplicación

rusa creo que es conveniente considerar:

a) que el producto de dos números puede expresarse tanto como una operación indica-

da o como el resultado de efectuar dicha operación.

120 × 43 = 5160

b) que si un factor lo dividimos entre 2, y el otro factor lo duplicamos, obtenemos otra

expresión con el mismo producto.

120 × 43 = 5160

60 × 86 = 5160

Respecto a la regla 3 señala: Si el primer factor (multiplicando), al que dividimos entre

2, es par, ocurre lo señalado en el inciso b). Por esta razón, en el algoritmo ruso se tachan

120

60

30

15

7

3

1

42

84

168

336

672

1344

2688

5040

3. Ahora tachemos los números pares que aparecen en

la columna izquierda y los números que les correspon-

den de la columna derecha.

4. Finalmente sumemos los números que no están ta-

chados en la segunda columna.

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM16

17

las expresiones anteriores dejando la última expresión equivalente.

60 × 86 = 5160

30 × 172 = 5160

15 × 344 = 5160

En cuanto a la regla 4 deduce: Si el multiplicando es impar, se procede de la siguiente

manera: descomponemos mentalmente el multiplicando en (1 + par) y aplicamos la pro-

piedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

15 × 344

(1 + 14) × 344 → 1 × 344 producto parcial

+ 14 × 344...

En este caso, el factor 15 y su multiplicador no se tachan porque, aunque no se dice

explícitamente en esta regla, en la segunda columna queda escrita una parte del producto

que debemos sumar al final.

Factor 1 Factor 2 Producto de los factores en operación Justificación

120 × 43 = 5160 Regla 3

60 × 86 = 5160 Regla 3

30 × 172 = 5160 Regla 3

15 × 5160 Regla 4

(1 + 14) × 344 = 1 × 344 = 344 producto parcial Regla 4

+ 14 × 344 = 4816 Regla 3

7 × 4816 Regla 4

(1 + 6) × 688 = 1 × 688 = 688 producto parcial Regla 4

+ 6 × 688 = 4128 Regla 3

3 × 4128 Regla 3

(1 + 2) × 1376 = 1 × 1376 = 1376 producto parcial Regla 4

2 × 1376 = 2752 Regla 3

1 × 2752 = 2752 producto parcial Regla 4

Las operaciones en las que se descomponen los multiplicandos impares en dos sumandos

no se realizan explícitamente en el algoritmo mostrado, sin embargo son las que lo justifican.

Boletín 6 06/10/00, 2:18 PM17

18

LA CABRA

Una cabra está atada con una cuerda a una

barra que forma parte de un corral circular,

fijo al piso con cuatro postes. La cuerda mide

2.5 m de largo y el corral 24 m de perímetro.

Debido a los postes, la cuerda sólo puede

deslizarse por una cuarta parte del perímetro

del corral. Continuamente la cabra se salta

las trancas y se sale del corral.

¿Cuál es la región por donde puede transi-

tar la cabra? ¿Cuánto mide su superficie?

EL ROMPECABEZAS MÁGICOCon un cuadrado que mide 8 unidades por

lado, un profesor diseñó un rompecabezas

de la siguiente manera:

A cada equipo le entregó un rompecabe-

zas y pidió a los alumnos que formaran otras

figuras geométricas utilizando todas las pie-

zas. Los equipos construyeron figuras como

las siguientes:

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Construya el rompecabezas. Arme las diferentes figuras. Calcule el área del cuadrado y de

las otras figuras que construyó. Observe sus resultados, trate de explicarlos y envíenos sus

conclusiones así como el procedimiento que siguió para llegar a ellas.

EL CUBOA un cubo de madera se le hizo un solo corte recto que va de una de sus diagonales a un

vértice, como se muestra en la siguiente figura.

¿Qué parte del cubo se cortó?

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LAS OPERACIONES EN EL PRIMER CICLO*APORTE PARA EL TRABAJO EN EL AULA

PROFESOR HUGO BALBUENA CORRO

El contenido de este libro está dividido en

cinco capítulos en los que se abordan temas

fundamentales de la educación primaria re-

lacionados con la enseñanza, el estudio y el

aprendizaje de las operaciones y de los pro-

blemas que con éstas se pueden resolver.

En el primer capítulo se analizan los pro-

blemas de tipo aditivo, con base en el traba-

jo original realizado por G. Vergnaud en su

obra La infancia, las matemáticas y la reali-

dad. El agregado, nada despreciable, que

hace Claudia Broitman al trabajo de Vergnaud

consiste en acercar esta clasificación de los

problemas que se pueden resolver con una

suma o con una resta, al trabajo que se reali-

za en el aula, sugiriendo formas para organi-

zar las actividades y en general, sobre el pa-

pel tan importante que puede jugar el maestro

para propiciar el trabajo intelectual de los

alumnos. Al final del capítulo hay un frag-

mento de clase en el que se puede apreciar

diferentes procedimientos de los niños para

resolver un problema y algunas maneras de

justificarlos.

El segundo capítulo aborda el tema de las

variables didácticas, consideradas como

aquellos aspectos de una situación problema

que el maestro puede modificar para favore-

cer la evolución de los procedimientos que

utilizan los niños. Por ejemplo, el tipo o el

tamaño de los números, las magnitudes en

juego, el orden en el que se presenta la in-

formación, etcétera. Particularmente im-

portante es la opinión que se da sobre los

“problemas de la realidad de los niños”, que

expone dos razones de peso por las cuales

no conviene tomar al pie de la letra este prin-

cipio. Al igual que en los demás capítulos,

éste también incluye sugerencias de tipo di-

dáctico en las que se resalta el papel impor-

tante que juega el maestro ante el reto de lo-

grar aprendizajes significativos.* Claudia Broitman, Ediciones Novedades Educativas de México,

1a. edición, 1999, 96 pp., Argentina.

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El tercer capítulo habla sobre las estrate-

gias de cálculo para la suma y la resta, plan-

teando de inicio que tanto las técnicas

operatorias como la resolución de problemas

son dos aspectos que deben avanzar parale-

lamente para darle sentido a las operaciones.

Dado que el estudio de las operaciones es

un aspecto al que tanto los maestros como

los padres de familia le conceden mucha im-

portancia, en este capítulo hay varias ideas

que pueden ayudar a realizar un trabajo más

provechoso para los niños, por ejemplo, so-

bre el nivel de dificultad de las cuentas, el

uso del cálculo mental, los procedimientos

que resultan más transparentes y sobre el uso

de la calculadora.

El cuarto capítulo se refiere a la enseñanza

de la multiplicación. Señala el tipo de pro-

blemas que se pueden plantear desde primer

grado y los procedimientos de solución que

los niños son capaces de utilizar, los vínculos

que pueden establecer con la suma y las acti-

vidades que se pueden proponer para que

logren distinguir ambas nociones.

Vale la pena detenerse a mirar con cuida-

do las actividades de comunicación que se

sugieren para que los alumnos le den signifi-

cado al signo x. La eterna pregunta de si con-

viene o no que los niños memoricen las ta-

blas, también encuentra una respuesta en este

capítulo.

El quinto capítulo se presenta de manera

muy similar al anterior pero en relación con

la enseñanza de la división. Aceptando que

el algoritmo convencional de esta operación

es complejo, en esta parte de la obra se pre-

sentan varias ideas acerca de cómo se puede

iniciar su estudio y cómo hacer evolucionar

los conocimientos de los niños para llegar a

la formalización.

Al analizar los diferentes tipos de proble-

mas que se pueden resolver con una división,

me llama la atención que la autora no se re-

fiere a las dos categorías (de reparto y tasativos)

que hemos visto en otros textos, incluye a

ambas como problemas de reparto, y enfatiza

que en unos (Laura tiene 25 caramelos y quie-

re repartirlos entre sus tres amigos en partes

iguales. ¿Cuántos le dará a cada uno?) se tra-

ta claramente de repartir mientras que en otros

(Laura tiene 25 caramelos y quiere darle tres

a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos

puede darles?) se trata de averiguar las par-

tes. Otros problemas que según la autora no

son de reparto, los cataloga como problemas

de proporcionalidad o de organizaciones rec-

tangulares.

Estemos o no de acuerdo con esta clasifi-

cación de los problemas que se pueden re-

solver con una división, es innegable la di-

versidad de situaciones que se analizan, no

sólo desde la forma en que se relacionan las

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cantidades que intervienen sino también des-

de la interpretación del resultado de la divi-

sión: sobra o no sobra, lo que sobra se puede

o no repartir, etcétera.

Si quisiera encontrar la lógica de la pre-

sentación del contenido de este libro, la pon-

dría de esta manera: Primero resaltar el he-

cho de que existe una gran variedad de

problemas que se pueden resolver con la

misma operación y que la búsqueda de pro-

cedimientos de solución por parte de los ni-

ños es lo que favorece aprendizajes signifi-

cativos y funcionales; enseguida el estudio

de las variables que pueden modificar la di-

ficultad de los problemas; posteriormente

algo sobre el desarrollo de las técnicas de

cálculo y, para finalizar, un capítulo en el

que se analiza de manera global el proble-

ma de la enseñanza de la multiplicación y

otro para la división.

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MATEMÁTICAS EN LOS LIBROS DE TEXTO GRATUITOS

Y LOS MATERIALES DE APOYO

En las páginas 300 y 393 del Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria se presentan

los siguientes problemas. Resuélvalos y envíenos sus procedimientos y resultados.

EL MISMO VOLUMEN

¿Cuánto deben valer l y h para que el cilindro y el cono tengan el mismo volumen que la

esfera?

FALSO O VERDADERO

Imagine que responde a un examen de diez preguntas con falso o verdadero, pero sólo

conoce las respuestas de cinco preguntas. ¿Cuál es su probabilidad de aprobar si responde

al azar las otras cinco?

l

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UNA MANERA DIFERENTE DE DIVIDIR

En el libro de texto Matemáticas. Cuarto grado se propone que los alumnos, antes de

trabajar con el algoritmo convencional de la división, resuelvan divisiones de la siguien-

te manera:

Analice el algoritmo que se muestra y explique cuál es el razonamiento que se sigue al

resolver divisiones de esta manera y qué relación tiene con el algoritmo convencional.

EL ROMBO Y EL RECTÁNGULO

En una de las lecciones del libro de texto Matemáticas. Sexto grado los alumnos construyen

la fórmula para calcular el área del rombo a partir de un rectángulo. Explique cuál es la

relación que hay entre estas dos figuras y entre las fórmulas para calcular el área del rectán-

gulo y del rombo.

100 + 50 + 10 + 20 + 3 = 183

4396

-2400

1996

-1200

0796

- 240

556

- 480

076

- 072

04

24

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