A – LÝ thuyÕt1) §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøc.

a nhá h¬n b, kÝ hiÖu lµ a < b, nÕu a – b < 0. a lín h¬n b, kÝ hiÖu lµ a > b, nÕu a – b > 0. a nhá h¬n hoÆc b»ng b, kÝ hiÖu lµ a b, nÕu a - b 0. a lín h¬n hoÆc b»ng b, kÝ hiÖu lµ a b, nÕu a - b 0.

VÝ dô:VD1: v×

VD2: v×

VD3: a2 + 1 < a2 + 2 v× (a2 + 1) - (a2 + 2) = -1 < 02) C¸c tÝnh chÊt cña B§T.

+ TÝnh chÊt 1: a > b b < a.+ TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c a > c (tÝnh chÊt b¾c cÇu)+ TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c+ TÝnh chÊt 4: a > b, c > d a + c > b + d a > b, c < d a - c > b - d

+ TÝnh chÊt 5:

+ TÝnh chÊt 6: a > b > 0, c > d > 0 ac > bd+ TÝnh chÊt 7: a > b > 0 an > bn víi mäi n ; a > b an > bn (n lÎ); an > bn (n ch½n)

+ TÝnh chÊt 8: a > b > 0 víi mäi n ;

HÖ qu¶: a, b ≥ 0 =>

+ TÝnh chÊt 9:

3, Mét sè bÊt ®¼ng thøc th«ng dông :a, BÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m:

Víi hai sè kh«ng ©m a , b ta cã : ó

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi : a = b b, BÊt ®¼ng thøc Bu-nhi-a-c«p-xki :

Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra <=>

c, BÊt ®¼ng thøc gi¸ trÞ tuyÖt ®èi :

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi : ab 0B – C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøcPhương ph¸p chung : C¸ch 1 : BiÕn ®æi B§T cÇn chøng minh thµnh mét B§T t¬ng ®¬ng mµ ta ®· biÕt lµ ®óng

C¸ch 2 : BiÕn ®æi B§T ®óng ®· biÕt thµnh B§T cÇn chøng minh1. Ph¬ng ph¸p 1 : Dïng ®Þnh nghÜa Ph¬ng ph¸p chøng minh A > B :

- Bíc 1: XÐt hiÖu A – B- Bíc 2: Chøng minh A – B > 0- Lu ý :

A2 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0 .- A2 ≤ 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0 .

; Bµi tËp:

*) Bµi tËp 1: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau:

Bµi lµm : (BÊt ®¼ng thøc C«si) XÐt hiÖu

VËy: dÊu “=” x¶y ra khi a = b.

Chó ý: §Ó chøng minh B§T: Víi hai sè kh«ng ©m a , b ta cã :

ta xuÊt ph¸t tõ B§T , lu«n ®óng víi mäi a, b ≥ 0*) Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè a, b, x, y ta cã (BÊt ®¼ng thøc Bu-nhi-a-c«p-xki)

Bµi lµm : XÐt hiÖu = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - b2y2 – 2byax = (ay – bx)2 0 VËy:

dÊu “=” x¶y ra khi ay = bx hay

*) Bµi tËp 3: Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc. Chøng minh r»ng : Bµi lµm : XÐt hiÖu

=

=

VËy:

dÊu “=” x¶y ra khi

*) Bµi tËp 4: Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x

+ y + z)Bµi lµm : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2

Do (x - 1)2 0 víi mäi x (y - 1)2 0 víi mäi y (z - 1)2 0 víi mäi z => H 0 víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z . DÊu b»ng x¶y ra <=> x = y = z = 1.*) Bµi tËp 5: Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta ®Òu cã : x4 + y4 xy3 + x3y Bµi lµm :

XÐt hiÖu : x4 + y4 – ( xy3 + x3y ) = ( x4 – xy3 ) + ( y4 – x3y ) = x( x3 – y3 ) + y( y3 – x3 ) = ( x – y )( x3 – y3 )

= ( x – y )2( x2 + xy + y2 ) = ( x – y )2

0VËy bÊt ®¼ng thøc ®· cho lµ ®óng . DÊu “ = “ x¶y ra khi x = y .

*) Bµi tËp 6: Cho c¸c sè d¬ng a , b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1

Chøng minh r»ng : ( 1 + )( 1 + ) 9 (1)

Bµi lµm :

Ta cã ( a + .)( b + ) 9 ó ab + a + b + 1 9 ab ( v× a,b >

0 )ó a + b + 1 8 ab ó 2 8 ab ó 1 4 ab ( v× a + b = 1 )

ó ( a + b )2 4 ab ó ( a – b )2 0 (2) BÊt ®¼ng thøc (2) ®óng, c¸c phÐp biÕn ®æi lµ t¬ng ®¬ng. VËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®îc chøng minh. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b*) Bµi tËp 7: Cho a > 0, b > 0. Chøng minh r»ng : H íng dÉn  :C¸ch 1 :

VËy

C¸ch 2 :

C¸ch 3 : V× a > 0, b > 0 nªn , do ®ã

Céng vÕ víi vÕ cña hai B§T cïng chiÒu => ®pcmC¸ch 4 : V× a > 0, b > 0 nªn Dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB = ¸p dông Py – ta – go tÝnh ®îc

BC =

=

¸p dông B§T tam gi¸c, ta cã : AB + AC > BC VËy

b

a

C

B

A

*) Bµi tËp 8: Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m. Chøng minh r»ng :

(B§T C«-si cho ba sè kh«ng ©m)

H íng dÉn  :C¸ch 1 : Bµi to¸n phô : Chøng minh r»ng

Híng dÉn : Ta biÕn ®æi tõ VP ®Ó cã VT

Víi x, y, z ≥ 0 => ≥ 0 =>

§Æt x =

Ta cã :

C¸ch 2 : Bµi to¸n phô

Cho x, y, z, t kh«ng ©m . Chøng minh r»ng

(B§T C«-si cho bèn sè kh«ng ©m)ThËt vËy:

=>

Do ®ã

Trêng hîp mét trong ba sè a, b, c b»ng 0, bµi to¸n ®îc chøng minhTrêng hîp a, b, c ®Òu kh¸c 0 , ta cã a + b + c > 0

Do ®ã:

IV. Híng dÉn vÒ nhµ

*) Bµi tËp vÒ nhµ : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :

H íng dÉn :

XÐt hiÖu : H =

=

= . Víi mäi a, b .

DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b .2. Ph¬ng ph¸p 2 : Dïng tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc*) Bµi tËp 1 : Cho hai sè x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = 2. Chøng minh x4 + y4 2 Bµi lµm :

- Ta cã: (x2 – y2)2 0 (víi mäi x, y) x4 + y4 2x2y2

x4 + y4 + x4 + y4 x4 + 2x2y2+ y4

2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) dÊu “=” x¶y ra khi x = y hoÆc x = - y.

- MÆt kh¸c, ta cã: (x – y)2 0 (víi mäi x, y) x2 + y2 2xy 2(x2 + y2) (x + y)2 x2 + y2 2 (2) (v× x + y = 2) dÊu “=” x¶y ra khi x = y.

- Tõ (1) vµ (2) x4+y4 2 dÊu“=” x¶y ra khi x = y = 1.

*) Bµi tËp 2 : Chøng minh r»ng

Bµi lµm :

Ta cã:

Céng vÕ theo vÕ cña c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc:

dÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = .

*) Bµi tËp 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .

Bµi lµm : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nªn ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nªn 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) ó (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do 0 < a, b, c, d <1 nªn 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .*) Bµi tËp 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a Bµi lµm : Do 0 < a, b < 1 => a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b . T¬ng tù : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a . => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a

*) Bµi tËp 5 : Tõ bÊt ®¼ng thøc , h·y chøng minh c¸c bÊt

®¼ng thøc sau :

+) +) +)

+) +)

+) (B§T Bu-nhi-a-c«p-xki)

+) (B§T c«-si)3. Ph¬ng ph¸p 3 : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng- Qu¸ tr×nh chuyÓn tõ mét bÊt ®¼ng thøc sang mét bÊt ®¼ng thøc t-¬ng ®¬ng gäi lµ mét phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng .- BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh lµ ®óng .- Khi cã hai bÊt ®¼ng thøc t¬ng ®¬ng , nÕu mét bÊt ®¼ng thøc ®óng th× bÊt ®¼ng thøc kia còng ®óng . Ta cã s¬ ®å : A > B ó A1 > B1 ó A2 > B2 ó … ó An > Bn *) Bµi tËp 6 :

Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng 1 . Chøng minh r»ng :

Gi¶i:

Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)

ó 9 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) ó 9 4ab + 8 ó 1 4ab ó (a + b)2 4ab BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng . Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh .*) Bµi tËp 7 :

Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = 4 Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3

Gi¶i: Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc T¬ng tù : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 *) Bµi tËp 8 :

Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :

; trong ®ã a > 0 ; b > 0

Gi¶i : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng : Víi a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

ó .

ó a2 - ab + b2

ó 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2

ó 3a2 - 6ab + 3b2 = 3(a2 - 2ab + b2) 0 ó

BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng ; suy ra :

DÊu “=” x¶y ra ó a = b*) Bµi tËp 9 :

Cho 2 sè a, b tho¶ m·n a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab

Gi¶i :

Ta cã : a3 + b3 + ab <=> a3 + b3 + ab - 0

<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0

<=> a2 + b2 - 0 . V× a + b = 1

<=> 2a2 + 2b2 - 1 0 <=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( v× b = a -1 ) <=> 4a2 - 4a + 1 0 <=> ( 2a - 1 )2 0

BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng . VËy a3 + b3 + ab

DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b =

*) Bµi tËp 10 : Víi a > 0 , b > 0 . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :

Gi¶i : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng :

ó ( 0 ó ó ó ó

BÊt ®¼ng thøc cuèi ®óng ; suy ra :

*) Bµi tËp 11 : Cho c¸c sè d¬ng a , b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = 1

Chøng minh r»ng : ( 1 + )( 1 + ) 9 (1)

Gi¶i:

Ta cã ( a + .)( b + ) 9 ó ab + a + b + 1 9 ab ( v× a,b >

0 ) ó a + b + 1 8 ab ó 2 8 ab ( v× a + b = 1 ) ó ( a + b )2 4 ab ó ( a – b )2 0 (2)

BÊt ®¼ng thøc (2) ®óng c¸c phÐp biÕn ®æi lµ t¬ng ®¬ng vËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®îc chøng minh. X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ó a = b.

IV. Híng dÉn vÒ nhµ - Xem l¹i c¸c bµi ®· ch÷a- Gi¶i tiÕp c¸c bµi tËp sau:

*) Bµi tËp 12 : Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m)b) b(b + a) abc) a(a – b) b(a – b)

d)

*) Bµi tËp 13 : Cho c¸c sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1. Chøng minh r»ng (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8

*) Bµi tËp 14 : Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc:a) (x + y + z)2 3(xy + yz + xz)

b) c

*) Bµi tËp 15 : Cho a, b lµ hai sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b = 2.Chøng minh r»ng a4 + b4 a3 + b3.

Híng dÉn: V× a + b = 2 nªn a4 + b4 a3 + b3 ó

*) Bµi tËp 16 : Cho hai sè x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = 1. Chøng minh:

a) x2 + y2

b) x4 + y4

4. Ph¬ng ph¸p 4 : Dïng c¸c bÊt ®¼ng thøc quan träng vµ quen thuéc- KiÕn thøc : Dïng c¸c bÊt ®¼ng thøc quen thuéc nh : C«-si , Bu-nhi-a-c«p-xki , bÊt ®¼ng thøc chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®Ó biÕn ®æi vµ chøng minh , - Mét sè hÖ qu¶ tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn : x2 + y2 2xy

Víi a, b > 0 ,

*) Bµi tËp 1 : Gi¶ sö a, b, c lµ c¸c sè d¬ng , chøng minh r»ng:

Gi¶i ¸p dông B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c)

ó ó

T¬ng tù ta thu ®îc :

,

DÊu b»ng cña ba B§T trªn kh«ng thÓ ®ång thêi x¶y ra , v× khi ®ã cã : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = 0 ( tr¸i víi gi¶ thiÕt a, b, c ®Òu lµ sè d¬ng ).

Tõ ®ã suy ra :

*) Bµi tËp 2 : Cho x , y lµ 2 sè thùc d¬ng tho¶ m·n :

x2 + y2 = Chøng minh r»ng : 3x + 4y 5Gi¶i :

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki ta cã : (x2 + y2)2 = ( )2 ( ; ) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) ó => x2 + y2

1 Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 5

§¼ng thøc x¶y ra ó ó

*) Bµi tËp 3 : Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng : a, b,

Gi¶i a, ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki víi 2 bé 3 sè ta cã :

=>

=> .

DÊu '' = '' x¶y ra khi : a = b = c =

b, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si , ta cã :

T¬ng tù : ;

Céng tõng vÕ cña 3 bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc :

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 0, tr¸i víi gi¶ thiÕt : a + b + c = 1 VËy : *) Bµi tËp 4 :

Cho c¸c sè d¬ng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = 1 .

Chøng minh r»ng :

Gi¶i :

Theo c« - si ta cã : víi a , b > 0

Ta cã : .1 = .(a + b + c)

=

= 3 + 2 + 2 + 2 = 9

=>

DÊu ''='' x¶y ra khi : a = b = c =

*) Bµi tËp 5:

Cho x , y > 0 . Chøng minh r»ng :

Gi¶i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã : , chia c¶ hai vÕ cho xy > 0

, nh©n c¶ hai vÕ víi x + y ta cã

=> (x + y)( ) (x+y) = = 4

=>

IV. LuyÖn tËp*) Bµi tËp 6:

Cho a, b > 0 ; c > 0; Chøng minh r»ng:

A =

a +

b +

a +

c +

b +

c ³ 6

c b a

Híng dÉn:

A =a

+b

+b

+c

+a

+c

c c a a b b

A =

(a

+c ) +

(b

+c ) +

(a

+b ) ³

6c a c b b a(Lu ý: a, b > 0; c > 0; )

Þa

+c

³ 2;b

+c ³

2;

a+

b ³

2; c a c b b a

*) Bµi tËp 7:

Cho a, b , c > 0; Chøng minh r»ng:

A

=

(a +

b)2 +

(a +

c)2 +

(b +

c)2³ 4(a + b +

c)c b a

Híng dÉn:¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si, ta cã

T¬ng tù:

(a +

c)2+ 4b ³ 4 (a +

c)b

(b +

c)2+ 4a ³ 4 (b +

c)a

Céng vÕ víi vÕ ta ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh.*) Bµi tËp 8:

Cho a, b , c > 0; Chøng minh r»ng:

A = (a +

b) +

(a +

c) +

(b +

c) > 4

c b a

Híng dÉn:

(a +

b) =(a + b)

c c (a + b)

víi a, b , c > 0

cã c (a +

b) £

(a + b +

c)

2

(theo c« - si)

1

³

2dÊu "=" Û c = a +

bc (a + b ) a + b +

c

a + b

³

2 (a +

b) dÊu "=" Û c = a +

bc (a + b ) a + b +

c

T¬ng tù:

c + a

³

2(c + a)dÊu "=" Û b = c +

ab (c + a ) a + b +

c

b + c

³

2(b + c)dÊu "=" Û a = b +

ca (b + c ) a + b +

c

Û

Û

Û

Û

Céng vÕ víi vÕ cña c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®îc ®iÒu ph¶i

chøng minh.

Chó ý: Trong bµi nµy dÊu "=" kh«ng x¶y ra v× khi ®ã

a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nªn a + b + c = 0 (tr¸i víi gi¶ thiÕt a,

b, c > 0)*) Bµi tËp 9:

Cho a, b , c > 0; Chøng minh r»ng:

D = (a +

b) +

(a +

c) +

(b +

c)³ 3

2 c b a

Híng dÉn: Ta cã:

D2 =

(a +

b) +

(a +

c) +

(b +

c)

c b a

+ 2.

(

(a+b)

(a+c) +

(a + b)

(b+c) +

(c+a)(b +

c) )bc ac ab

¸p dông kÕt qu¶ bµi tËp 6, ta cã

a +

b +

a +

c +

b +

c ³ 6dÊu "=" Û a = b

= cc b a

MÆt kh¸c theo Bu –nhi – a- c«p – xki ta l¹i cã:

Hay:

(a + b)(c + a) ³ a + bc , t¬ng tù :

(a + b)(b + c) ³ b + ac

(b + c)(a + c) ³ c + ab

D2 ³ 6 +

2 (a +

bc +

b +

ac +c + ab )

bc ac ab

Û D2 ³ 6 + 2 + 2 +2 + 2( a

+

b

+

c

)

bc

a

c

a

b

mµ a +

b +

c ³ 3

bc ac ab

(theo c« - si)

Þ D2 ³ 12 + 2 . 3 Û D2 ³ 18 Û D ³ 3 2

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi: a = b = c

5. Ph¬ng ph¸p 5: Dïng bÊt ®¼ng thøc vÒ ba c¹nh cña tam gi¸c a , b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c a < b + c (1) b < a + c (2) c < a + b (3)Tõ 3 bÊt ®¼ng thøc vÒ tæng hai c¹nh cña tam gi¸c ta suy ra ®îc 3 bÊt ®¼ng thøc vÒ hiÖu hai c¹nh a < b + c (1) (4) b < a + c (2) (5) c < a + b (3) (6)

*) Bµi tËp 1: Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña )

Chøng minh r»ng :

Gi¶i:Tríc hÕt ta chøng minh bµi to¸n :

Víi x, y > 0. Chøng minh r»ng . DÊu “=” x¶y ra ó x = y

(vËn dông kÕt qu¶ ë phÇn kiÓm tra bµi cò)

Ta cã : p - a =

T¬ng tù : p - b > 0 ; p - c > 0 ¸p dông bµi to¸n trªn ta cã:

T¬ng tù :

=> => ®iÒu ph¶i chøng minh .

DÊu '' = '' x¶y ra khi : p - a = p - b = p - c ó a = b = c .Khi ®ã tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu .*) Bµi tËp 2: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abcGi¶i: BÊt ®¼ng thøc vÒ ba c¹nh cña tam gi¸c cho ta viÕt

Tõ ®ã

(a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)(c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)2(b + c - a)2(c + a - b)2

(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abcV× a, b, c, lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a + b - c > 0 b + c - a > 0 c + a - b > 0 vµ abc > 0 VËy bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh *) Bµi tËp 3: Cho ®iÓm M n»m trong tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:

MA + MB + MC >

Gi¶i:XÐt tam gi¸c AMB; tam gi¸c AMC; tam gi¸c BMCTheo bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c ta cã: MA + MB > AB MA + MC > AC MB + MC > BCCéng vÕ tr¸i víi vÕ tr¸i, vÕ ph¶i víi vÕ ph¶i cña ba bÊt ®¼ng thøc l¹i ta cã:

2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC

MA + MB + MC > ( ®pcm)

*) Bµi tËp 4: Cho tam gi¸c ABC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.

Chøng minh: AM <

Gi¶i:Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm D sao choMD = MA. DÔ dµng chøng minh ®îc

AMB = DMC (c.g.c) CD = AB (hai c¹nh t¬ng øng) (1)XÐt tam gi¸c ACD theo bÊt ®¼ng thøc ta cã: AC + CD > AD = 2AM mµ CD = AB ( theo (1) ) AC + AB > 2AM

AM < (®iÒu ph¶i chøng

minh).*) Bµi tËp 5:

M

CB

A

Cho ®iÓm I n»m trong tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: BI + IC < BA + ACGi¶i:KÐo dµi BI c¾t AC t¹i K.XÐt AKB cã BK < AB + AK (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)ó BI + IK < AB + AK ó BI < AB + AK - IK (1)

XÐt KIC cã IC < IK + KC (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c) ó IC < IK + (AC – AK) (2)Céng vÕ tr¸i víi vÕ tr¸i, vÕ ph¶i víi vÕ ph¶i cña (1) víi (2) ta cã: BI + IC < AB + AK – IK + IK + AC – AK ó BI + IC < AB + AC (®pcm) *) Bµi tËp 6: Cho gãc xOy, Oz lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy. Tõ ®iÓm M n»m trong gãc xOz vÏ MH vu«ng gãc víi Ox ( H thuéc Ox ), vÏ MK vu«ng gãc víi Oy( K thuéc Oy ). Chøng minh: MH < MK.Gi¶i:Gäi A lµ giao ®iÓm cña MK víi Oz.VÏ AB Ox ( B thuéc Ox ). Nèi B víi M. XÐt KOA vu«ng t¹i K vµ

BOA vu«ng t¹i B cã: OA lµ c¹nh chung (Oz lµ tia ph©n gi¸c) Do ®ã KOA = BOA( c¹nh huyÒn – gãc nhän ) AK = AB ( hai c¹nh t¬ng

øng ) XÐt AMB cã BM < AB + AM (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)Do ®ã BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MKMÆt kh¸c MH < BM (Quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ ®êng vu«ng gãc)Suy ra MH < MK. (§iÒu ph¶i chøng minh)

*) Bµi tËp 7: Cho tam gi¸c ABC cã AB > AC, AD lµ tia ph©n gi¸c cña BAC (D BC).M lµ ®iÓm n»m trªn ®o¹n th¼ng AD. Chøng minh: MB – MC < AB – AC. Gi¶i:Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho AE = ACV× AB > AC nªn E n»m gi÷a A vµ B suy ra

A

M

ECB

D

AE + EB = AB => EB = AB – AE = AB – ACXÐt AEM vµ ACM cã: AE = AC (c¸ch vÏ) (AD lµ tia ph©n gi¸c cña ¢) AM lµ c¹nh chungDo ®ã AEM = ACM (c.g.c). Suy ra ME = MC (hai c¹nh t¬ng øng) .XÐt MEB cã MB – ME < EB (BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c)V× MC = ME, EB = AB - AC Do ®ã MB – MC < AB – AC (®iÒu ph¶i chøng minh).*) Bµi tËp 8: Cho tam gi¸c ABC, gäi a, b, c lÇn lît lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸cChøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)Gi¶i:Theo bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c ta cã: a + b - c > 0 => c(a + b - c) > 0 (1) b + c - a > 0 => a(b +c - a) > 0 (2) a + c - b > 0 => b(a + c - b) > 0 (3)Céng vÕ tr¸i víi vÕ tr¸i, vÕ ph¶i víi vÕ ph¶i cña c¸c bÊt ®¼ng thøc (1), (2), (3) ta ®îc: c(a + b - c) + a(b +c - a) + b(a + c - b) > 0 => ac + bc - c2 + ab + ac - a2 + ab + bc - b2 > 0 => 2(ab + bc + ca) - (a2 + b2 + c2) > 0

2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 (®iÒu ph¶i chøng minh)*) Bµi tËp 9: Chøng minh r»ng nÕu: a = y + z ; b = z + x ; c = x + y th× a, b, c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c. ( x, y, z lín h¬n 0)Gi¶i:Theo bµi ra ta cã:

a = y + z

b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z =

c = x + y

Suy ra x = ; y = ; z =

V× x, y, z > 0 => > 0 ; > 0 ; > 0

=> a, b, c tho¶ m·n lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c.*) Bµi tËp 10: Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tho¶ m·n a + b + c = 2.Chøng minh: ab + bc + ac > abc + 1Gi¶i:V× a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c Suy ra : a + b > c b + c > a a + c > b mµ a + b + c = 2 suy ra a < 1 ; b < 1 ; c < 1

A

a

c b

CB

=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0 ó (ab - a - b + 1)(c - 1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 < 0 ó abc + ( a + b + c) - 1 < ab + ac + bc v× a + b + c = 2 => abc + 1 < ab + ac + bc (®iÒu ph¶i chøng minh)

6. Ph¬ng ph¸p 6 : Chøng minh ph¶n chøng .- KiÕn thøc : Gi¶ sö ph¶i chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ®óng , ta h·y gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®ã sai , sau ®ã vËn dông c¸c kiÕn thøc ®· biÕt vµ gi¶ thiÕt cña ®Ò bµi ®Ó suy ra ®iÒu v« lý .- §iÒu v« lý cã thÓ lµ tr¸i víi gi¶ thiÕt, hoÆc lµ nh÷ng ®iÒu tr¸i ngîc nhau, tõ ®ã suy ra ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ ®óng .- Mét sè h×nh thøc chøng minh bÊt ®¼ng thøc :

+ Dïng mÖnh ®Ò ®¶o + Phñ ®Þnh råi suy ra ®iÒu tr¸i víi gi¶ thiÕt .+ Phñ ®Þnh råi suy ra tr¸i víi ®iÒu ®óng .+ Phñ ®Þnh råi suy ra hai ®iÒu tr¸i ngîc nhau .+ Phñ ®Þnh råi suy ra kÕt luËn .

*) Bµi tËp 1:Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chøng minh r»ng ; Ýt nhÊt cã mét bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai :

2a(1 - b) > 1; 3b(1 - c) > 2; 8c(1 - d) > 1; 32d(1 - a) > 3Gi¶i: Gi¶ sö ngîc l¹i c¶ bèn bÊt ®¼ng thøc ®Òu ®óng. Nh©n tõng vÒ, ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3

=> (1)

MÆt kh¸c , ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã :

=> a(1 - a)

T¬ng tù : b(1 - b) ; c(1 - c) ; d(1 - d)

Nh©n tõng vÒ c¸c bÊt ®¼ng thøc, ta cã :

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra v« lý .§iÒu v« lý ®ã chøng tá Ýt nhÊt mét trong 4 bÊt ®¼ng thøc cho trong ®Çu bµi lµ sai .*) Bµi tËp 2:Chøng minh r»ng kh«ng cã 3 sè d¬ng a, b, c nµo tho¶ m·n c¶ ba bÊt

®¼ng thøc sau : ; ;

Gi¶i Gi¶ sö tån t¹i 3 sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n c¶ 3 bÊt ®¼ng thøc :

; ;

Céng theo tõng vÕ cña 3 bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc :

ó (1)

V× a, b, c > 0 nªn ta cã : ; ; (theo c«-si)

=> §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1)

VËy kh«ng tån t¹i 3 sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n c¶ 3 bÊt ®¼ng thøc nãi trªn => ®pcm *) Bµi tËp 3: Cho a3 + b3 = 2 . Chøng minh r»ng : a + b 2 .Gi¶i : Gi¶ sö : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( V× : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = 2 ) Chia c¶ hai vÕ cho sè d¬ng a + b ta ®îc : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 (V« lý)VËy : a + b 2 7. Ph¬ng ph¸p 7: §æi biÕn sè - KiÕn thøc : Thùc hiÖn ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè nh»m ®a bµi to¸n ®· cho vÒ d¹ng ®¬n gi¶n h¬n, gän h¬n, d¹ng nh÷ng bµi to¸n ®· biÕt c¸ch gi¶i *) Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > 0 th× :

Gi¶i: §Æt : b + c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c =

=> a = , b = , c =

Khi ®ã :

VT = =

= = VP

*) Bµi tËp 2:

Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chøng minh r»ng :

Gi¶i : §Æt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1Bµi to¸n trë thµnh : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 .

Chøng minh r»ng :

Ta chøng minh ®îc : (x + y + z)( (Theo bÊt ®¼ng thøc C«si )

=> . Mµ : 0 < x + y + z 1 nªn suy ra .

8. Ph¬ng ph¸p 8: Dïng bÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t chøa luü thõa c¸c sè tù nhiªn

*) Bµi tËp : Cho a > b > 0 CMR: >

Gi¶i :§Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc trªn , ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc trung gian sau:

NÕu a > b > 0 vµ m,n lµ hai sè tù nhiªn mµ m>n th× (1)

ThËt vËy ta dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó chøng minh

(1)

1-

(2)

BÊt ®¼ng thøc (2) lu«n ®óng v× a > b > 0 nªn vµ m > n

=> bÊt ®¼ng thøc (1) lu«n ®óng

¸p dông bÊt ®¼ng thøc trung gian víi a > b > 0 vµ m > n

Nªn khi m =1996, n =1995 th× bÊt ®¼ng thøc ph¶i chøng minh lu«n ®óng

>

9. Ph¬ng ph¸p 9: Dïng phÐp quy n¹p to¸n häc .- KiÕn thøc : §Ó chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n n0 b»ng ph-¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc, ta tiÕn hµnh :

+ KiÓm tra bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = n0

+ Gi¶ sö bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k (k n0)+ Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1 + KÕt luËn bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n n0

*) Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n 3 th×: 2n > 2n + 1 (*) Gi¶i : + Víi n = 3 , ta cã : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . VËy ®¼ng thøc (*) ®óng víi n = 3 .+ Gi¶ sö (*) ®óng víi n = k (k N ; k 3) , tøc lµ : 2k > 2k + 1 + Ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 (k N ; k 3) hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) - ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + 1 ( theo gi¶ thiÕt quy n¹p ) do ®ã : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( V× : 2k - 1 > 0) VËy (**) ®óng víi mäi k 3 .+ KÕt luËn : 2n > 2n + 1 víi mäi sè nguyªn d¬ng n 3 .*) Bµi tËp 2:

Chøng minh r»ng : . . ... (*) (n lµ sè nguyªn d¬ng )

Gi¶i :

+ Víi n = 1 , ta cã : VT = VP = . VËy (*) ®óng víi n = 1 .

+ Gi¶ sö (*) ®óng víi n = k 1 ( )ta cã : . . ...

Ta cÇn chøng minh (*) ®óng víi n = k + 1 . Tøc lµ:

. . ... .

Ta cã: . . ... . .

Do ®ã chØ cÇn chøng minh : (**) (t/c b¾c cÇu)

Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng , ta cã : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 ó 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4 ó k 0 (®óng) => (**) ®óng víi mäi k 1 . VËy (*) ®óng víi mäi sè nguyªn d¬ng n .