Подобие треугольников.Первый признак подобия

Изобразим:

• а) две неравные окружности;• б) два неравных квадрата;• в) два неравных равнобедренных

прямоугольных треугольника;• г) два неравных равносторонних

треугольника.

• а) две неравные окружности;• б) два неравных квадрата;• в) два неравных равнобедренных

прямоугольных треугольника;• г) два неравных равносторонних

треугольника.

Чем отличаются фигуры в каждой представленной паре? Что у них общего? Почему они не равны?

Определение.

• Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.

• Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

Что значит, что Δ АВС подобен треугольнику Δ A1В1С1?

A=A1

B=B1

C=C1

AB

A1B1=

BC

B1C1=

AC

A1C1=k

Углы равныСтороны пропорциональны

Для своих изображенных пар фигур определите их коэффициент подобия.

Δ АВС подобен Δ A1В1С1.

similitude

сходство, подобие

Δ АВС ~ Δ A1В1С1

• Укажите пропорциональные стороны

Δ MNK ~ Δ EFD

MN EF

=

NK FD

=

M K E D

• Укажите пропорциональные стороны

Δ SDK~ Δ RHT

Δ TOP~ Δ SRT

Δ DSX~ Δ XYZ

SD

RH=

DK

HT=

SK

RT

TO

SR=

OP

RT=

TP

ST

DS

XY=

SX

YZ=

DX

YX

Стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 10 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен: а) 0,5; б) 2.

б) 2,5 см, 4 см и 5 см; а) 10 см, 16 см и 20 см.

5

x=

8

y=

10

z=0,5

5

x=0,5

8

y=0,5

10

z=0,5

В подобных треугольниках АВС и А1В1С1

АВ = 8 см, ВС = 10 см, А1В1 = 5,6 см,

А1С1 = 10,5 см. Найдите АС и В1С1.

А

В

СА1

В1

С1

8 105,6

10,5

подобных

AB

A1B1=

BC

B1C1=

AC

A1C1=

8 105,6

10,5

x

8

5,6=

10

x

y8

5,6=

y

10,5

Ответ: AC = 14 м, B1C1 = 7 м.

Физкультминутка:• Долго тянется урок

Много вы решалиНе поможет тут звонок,Раз глаза устали.Занимаемся все сразу Повторим четыре раза.

•– Пройдите глазами по знаку подобия.– Закройте глаза. – Расслабьте мышцы лба.– Медленно переведите глазные яблоки в крайнее левое положение.– Почувствуйте напряжение глазных мышц.– Зафиксируйте положение– Теперь медленно с напряжением переведите глаза вправо.– Повторите четыре раза.– Откройте глаза.– Пройдите глазами по знаку подобия.

Первый признак подобияТеорема. (Первый признак подобия.) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

А В

С

С1

В1

А1

C'

В'

1 1 1 1, ,

1 1

A B A CA B A C

1 1 1 1A B A CAB AC

Теорема. (Первый признак подобия треугольников.) Если два угла одного

треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано:Δ АВС и Δ А1В1С1

<A=<A1, <B=<B1.

Доказать: Δ АВС и Δ А1В1С1.

2.Отложим:отрезок АВ'= А1В1 (т. В' є AB)

прямую В'С' || ВС

1A A 1B B 1C C1.

3.По теореме о пропорциональных отрезках:

3. Δ АB'C' = Δ А1В1С1(по УСУ )

1) А1 В' =AB – по построению,

2) <А=<A1

3) <B=<B1=< А1 В' C'

1 1 1 1, ,

1 1

A B A CA B A C

1 1 1 1A B A CAB AC

А1 В' =A1B1

А1 C' =A1C1

Аналогичным образом доказывается, что имеет место равенство . 1 1 1 1A B BC

AB BC

1 1 1 1 1 1A B BC A CAB BC AC

Значит, по определению, треугольники подобны.

Подобны ли прямоугольные треугольники, если у одного из них есть угол 40о, а у другого 50о?

Два треугольника подобны. Два угла одного треугольника равны 55о и 80о. Найдите наименьший угол второго треугольника.

В трапеции ABCD (BC||AD) проведите диагонали и найдите

образовавшиеся подобные треугольники. Назовите точку

пересечения диагоналей O.

A

B C

D

O