1

BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörler kabaca iki farklı şekilde tanımlanır; bunlardan birincisi, uzayda noktalara karşılık

gelen bir koordinat sistemindeki noktalar veya büyüklük ve yönü olan nesneler. Bu kısımda,

neden iki vektör tanımının bulunduğu açıklanacak ve iki kavram ilişkilendirilmeye

çalışılacaktır.

Vektörler genellikle büyüklük ve yöne sahip doğru parçaları olarak görülür; ötelemeler, yer

değiştirmeler, hızlar, kuvvetler, ivme, momentum vb. niceliklerde kullanılır. Bu şekilde

tanımlanan vektörlere serbest vektörler denir. Dolayısıyla bu tanımla bir vektör, paralel

yönlendirilmiş doğru parçalarının sonsuz bir kümesidir. Örneğin x-ekseninde pozitif

yönde(sağ taraf) bir uçtan diğer uca üç birim ve y-ekseninde bir birim pozitif yönde (yukarı)

öteleme ele alınsın. Bu öteleme, (0,0) noktasına uygulandığında (3,1) noktasına gider ve (5,7)

noktası ise (8,8) noktasına gider ve diğer her nokta benzer şekilde ötelenir. Bunu göstermek

için diyagramlar çizilebilir. Aynı öteleme vektörüyle düzlemin tüm noktalarını aynı anda

taşınabilir. Bu nedenle serbest vektör bir öteleme ile aynı şey olarak düşünülebilir.

Şekil 1: serbest vektörler ve öteleme

Şekildeki yönlendirilmiş doğru parçalarının her biri aynı vektörü temsil eder. Her durumda

vektör belirli bir noktadan başlar, daha sonra 2 birim sola, 5 birim yukarı hareket eder.

Tanım: Başlangıç noktası üzerinde hiçbir kısıtlama olmayan vektöre serbest vektör denir.

Genellikle belirli bir taşımayı temsil etmek üzere sonsuz elemanlı kümeden tek bir doğru

parçası seçilir. Pratikte tüm kümeyi temsil etmek için neden tek bir temsilcinin seçildiği

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA

sembolü ile gösterilir

ve bu yer değiştirme sembolü OA

vektörü olarak adlandırılır. Eğer A noktasından C

noktasına doğru hareket devam ederse, toplam yer değiştirme bu iki yer değiştirmenin

vektörel OA AC+

toplamıdır ve OC

yönlü doğru parçasına eşittir.

2

Ancak O belirlenmiş sabit bir nokta olarak dikkate alındığında, OA

vektörü, aynı yön ve

büyüklüğe sahip serbest vektörlerin oluşturduğu kümeden seçilen bir yönlü doğru parçasıdır

ve konum vektörü olarak adlandırılır. Diğer bir ifadeyle, konum vektörleri hakkında

konuşurken, vektörün başlangıç ve son noktası belirtilmektedir.

Koordinat sisteminin başlangıcını tanımlayan ve konum vektörlerinin kullanılabilmesine

olanak sağlayan özel bir vektör vardır. Bu vektör sıfır vektörüdür ve n uzayında

(0,0, 0)=0 ifadesi ile tanımlanır. Sıfır vektörü sonsuz sayıda doğrultu ve yöne sahiptir.

Tanım: Başlangıç ve bitim noktaları çakışık olan vektöre sıfır vektörü denir.

Tanım: Sabit bir başlangıç noktasına sahip olan vektöre konum (yer) vektörü denir.

Tanım: Kartezyen sisteminde başlangıç (0,0, 0)=0 noktasını bir A noktasına birleştiren

OA

vektörüne A noktasının konum vektörü adı verilir.

Matematikte noktalar ve uzaylar (mekan, yer, boşluk) temel soyut kavramlar olarak düşünülür

ve bir koordinat sistemi kullanarak bir uzay modeli oluşturulur. Üç boyutlu bir koordinat

sistemi, basitçe gerçek sayıların ( , , )x y z sıralı üçlülerinin sonsuz bir kümesidir ve her nokta,

noktanın koordinatları olarak adlandırılan bu sıralı üçlülerden birine karşılık gelir. Her serbest

vektöre (veya öteleme için), o öteleme altında orijin ile ilişkili bir konum vektörü karşılık

gelir. Böylece konum vektörleri uzayda noktalar olarak tanımlanır ve her bir P konum

vektörüne, eşsiz (tek, yegane) bir OP

vektörü karşılık gelir.

Bir koordinat sistemi seçildiğinde, uzaydaki aynı yön ve büyüklüğü tanımlayan serbest

vektörler kümesinden bir vektör, belirlenen koordinat sistemindeki bir noktayı temsil eder.

Eğer A noktasının uzaydaki yeri, seçilen koordinat sistemi ile ( , , )a a ax y z şeklinde belirlenmiş

ise, konum vektörü ( , , )a a ax y z=a sıralı üçlüsü ile tanımlanır. Sonuç olarak A noktası,

konum vektörü a ve serbest vektörler kümesi arasındaki ilişki açıkça görülebilir.

Serbest vektörler ile konum vektörleri arasında kavramsal bir ayrım söz konusuysa da, her iki

türü de birbirinin yerine kullanmak mümkündür. Ancak tanımlar hakkında net bilgi yoksa bu

karışıklığa neden olabilir.

3

Sonuç olarak grafiksel anlamda, vektörler yönlendirilmiş doğru parçaları ile temsil edilir.

Doğru parçasının uzunluğu vektörün büyüklüğüdür ve doğru parçasının yönü vektörün

yönüdür. Bununla birlikte serbest vektörler, niceliğin ya da hareketin uygulandığı yer

hakkında herhangi bir bilgi vermediğinden, aynı uzunluk ve yöne sahip herhangi bir

yönlendirilmiş doğru parçası aynı vektörü temsil edebilecektir. Bu nedenle çalışmalarda

genellikle konum vektörleri tercih edilir.

Tanım: Matematik, istatistik, mekanik gibi çeşitli bilim dallarında uzunluk, alan, hacim,

yoğunluk, kütle, elektriksel yük gibi büyüklükler, cebirsel kurallara göre ifade edilirler. Bu tür

çokluklara skaler büyüklükler denir.

Tanım: Hareket, hız, kuvvet vs. gibi hem yönü, hem doğrultusu, hem de büyüklüğü olan

çokluklara vektörel büyüklükler denir.

1.1 VEKTÖRLERİN TOPLAMI VE SKALERLE ÇARPIMI Önceki bölümlerde vektörlerin ne olduğu ve nasıl gösterildiği hakkında bilgiler verilmişti. Bu

kısımda ise cebirde tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerinin vektörler üzerinde

nasıl uygulanacağı tanıtılacaktır.

1.1.1 Vektör Toplamı Vektörlerin toplamı için iki temel yaklaşım mevcuttur. Bunlar; analitik yaklaşım ve geometrik

yaklaşımdır. Gösterim ve kullanım açısından farklı uygulamalara sağladığı yararlar nedeniyle

her ikisinden de kısaca bahsedilecektir.

Analitik Yaklaşım

Her bir vektör eksenlerde en az bir bileşene sahip olduğundan, analitik olarak

toplamından bahsedilebilir. 1v ve 2v bileşenlerine sahip iki boyutlu bir v vektörü ele alınsın.

v vektörünün sütun vektörü cinsinden gösterimi 1

2

vv

=

v biçimindedir. Satır vektör

cinsinden gösterimi ise ( )1 2,v v=v şeklindedir. Benzer şekilde bir 1

2

ww

=

w vektörü

tanımlansın. Bu durumda v ve w vektörlerinin toplamı, karşılıklı bileşenlerin toplamı olarak

ifade edilir. Diğer bir ifadeyle, birinci vektörün ilk bileşeni ile diğer vektörün ilk bileşeni

toplanır ve bu toplam yeni oluşan vektörün birinci bileşeni olur. Benzer şekilde ilk vektörün

ikinci bileşeni ile diğer vektörün ikinci bileşeni toplanır ve bu toplam yeni oluşan vektörün

ikinci bileşeni olur. Aşağıda sütun ve satır vektör cinsinden toplamlar sırasıyla gösterilmiştir.

4

1 1 1 1

2 2 2 2

v w v wv w v w

+ = + = +

v + w

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ,v v w w v w v w+ = + = + +v w

Bu toplam n boyutta yapılırsa;

1 2 nv = v + v +…+ v olmak üzere,

( )11 21 mnn1 1n 2nv = v + v + v , v + v +…, …+ v…+

yine bir vektör olur.

Geometrik Yaklaşım

Düzlemde vektörlerin toplanması geometrik kurallara göre olur. Yaygın olarak kullanılan

yöntemler: uç uca ekleme ve paralel kenar yöntemidir.

Uç Uca Ekleme (çokgen) Metodu: Uç uca ekleme metoduna göre, vektörlerin doğrultusu,

yönü ve büyüklüğü değiştirilmeden, birinin bitiş noktasına diğerinin başlangıç noktası gelecek

şekilde uç uca eklenir. Daha sonra ilk vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş

noktasına çizilen vektör, toplam vektörünü (bileşke vektör) verir.

Şekil 2: Uç uca ekleme metodu

Tanım: Vektörler sırası ile birinin başlangıç noktası diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde

yerleştirilir ve ilk vektörün başlangıç noktasını son vektörün bitim noktası ile birleştiren

vektör toplam ya da bileşke vektör olarak adlandırılır.

Paralel Kenar Metodu: Paralel kenar metodu ile iki vektörü toplamak için, bu iki vektörün

başlangıç noktaları aynı olacak şekilde bir noktaya taşınır ve bir paralel kenar oluşturulur.

Oluşan paralel kenarın köşegeni toplam vektörü verir.

Şekil 3: Paralel kenar metodu ile toplama işlemi

5

Vektörlerde çıkarma işlemi de benzer biçimde yapılmaktadır.+ işleminin tersi − olduğundan

( )− = + −v u v u bağıntısı kullanılabilir. Dolayısıyla −v u vektörünü bulmak için u

vektörünü ters çevrilip yukarıda sözü geçen metotlar kullanılarak istenilen sonuç elde

edilebilir. Örneğin paralel kenar metodunun geometrisi aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.

Şekil 4: Paralel kenar metoduyla çıkarma ve toplama işlemleri

1.1.2 Vektörlerin bir Skaler ile Çarpımı Bir vektörün bir skaler ile çarpımı, vektörün doğrultusunu değiştirmeyen bir işlemdir. Fakat

skalerin büyüklüğü ve işareti, çarpılan vektörün yönünü ve büyüklüğünü değiştirir.Örneğin;

1

2

vv

=

v

vektörü için sırasıyla 2c = ve 1c = − skalerleriyle (reel sayı) çarpılırsa;

1 1

2 2

22 ,

2v vv v

− = − = −

v v olur.

Bir vektörün bir skaler ile çarpımının sonucu, yine bir vektördür. Vektörlerin bir skaler ile

çarpımın en temel örneği, doğru denklemlerinin elde edilmesidir. Aşağıdaki başlıkta bu konu

incelenmiştir.

6

Doğru Denklemi ve Vektörler

Vektörler ile doğru denklemi arasında bir ilişki

vardır. Vektörler kullanılarak doğru denklemleri

oluşturulur. İki boyutlu vektörleri kullanarak bir

doğru denklemi yazılsın: Öncelikli olarak keyfi bir

başlangıç noktası belirlenmelidir. Kolaylık

açısından başlangıç noktası O(0,0) olsun.

Düzlemde çizilen keyfi bir doğru ele alınsın ve bu

doğruya paralel olan bir doğrultman vektör ise

[ , ]d a b=

olsun. Doğru üzerinde belirlenen

( , )A x y ve 0 0( , )B x y noktaları olsun. A noktasının

doğru üzerinde hareketli bir nokta olduğu ve B noktasının ise sabit olduğu varsayılsın.

Düzlemde ( , )A x y ve 0 0( , )B x y noktalarının belirlediği AB

vektörü, AB OA OB= −

biçiminde yazılabilir. Ayrıca ||d AB

bağıntısı mevcuttur. Tüm bu bilgilerden yola çıkarak;

( ) ( )0 0

0 0

0 0

( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

,( , ) ( , )

( )

AB OA OBA x y O B x y O

A x y B x yx x y y

= −

= − − −

= −

= − −

Aynı zamanda ||d AB

olduğundan ve doğrultman olması nedeniyle k∈ için kd AB=

yazılabilir. Dolayısıyla,

( ) ( ) ( )0 0, , ,AB x x y y k a b ka kb= − − = =

.

Sıralı ikililerin tanımından,

0

0

x x kay y kb= += +

olup doğrunun parametrik denklemi elde edilmiş olur. Denklemdeki parametre k reel

sayısıdır. Dikkat edilirse bu sayı değiştikçe doğrunun rastgele seçilen A(x, y) noktaları elde

edilecek ve AB

vektörünün boyu, bu parametreye bağlı olarak değişecektir. Şimdi de elde

edilen bu parametrik denklemde k parametresi her bir eşitlikte yalnız bırakılırsa, koordinatlar

arasında

0 0x x y yka b− −

= =

7

bağıntısı elde edilir. Buna doğrunun Kartezyen denklemi denir. Bu doğrunun denklemi

genellikle d ile gösterilir ve aşağıdaki biçimde yazılır.

0 0: x x y yda b− −

= .

Benzer biçimde üç boyutlu uzayda da doğru denklemi elde edilebilir.

Tanım: u ile v gibi iki vektörün, yönleri aynı ve büyüklükleri eşit ise eşit vektörlerdir.

u = v Eğer k −∈ ise elde edilen –ku vektörü, u vektörü ile aynı doğrultuda fakat zıt yöndedir.

Tanım: u ile yönü zıt fakat büyüklüğü eşit olan vektör

-u

ile gösterilir.

Tanım: Bir u vektörünün ku çarpımında k=-1 ise, (-1)u vektörüne, u vektörünün toplamaya

göre tersi denir:

u+(-u)=0

Tanım: u ve v herhangi iki vektör ise bunların farkı, vektörlerin karşılıklı elemanlarının

cebirsel farkı ile elde edilen vektördür:

u+(-v)=u-v=w

( )1 1, , n nu v u v= − −w

temsilin başlangıç ve son noktaları göz önüne alındığında, bir vektörün nasıl

oluşturulacağından bahsedilmelidir.

Verilen 1 2 3( , , )A a a a= ve 1 2 3( , , )B b b b= iki nokta olsun. AB

doğru parçasını temsil eden

vektör,

( )1 1 2 2 3 3, ,v b a b a b a= − − −

.

Yukarıdaki vektör, A'dan başlayan ve B'de biten vektördür. B'den başlayan ve A'da sonlanan

vektör, diğer bir deyişle temsili BA

olan vektör;

( )1 1 2 2 3 3, ,w a b a b a b= − − −

olur.

Bu iki vektör farklıdır. Bu nedenle hangi noktanın başlangıç noktası ve hangi noktanın bitiş

noktası olduğuna dikkat edilmelidir. İki nokta arasındaki vektörü belirlerken, başlangıç

noktası her zaman bitiş (terminal, uç) noktasından çıkartılır.

w fark vektörü u ve v vektörlerinin tanımladığı paralelkenarın diğer köşegenidir.

Vektör toplamları ve skaler ile çarpımları için aşağıdaki şekiller incelenebilir.

8

Vektörler sadece büyüklük ve yön verir. Niceliğin uygulandığı yer hakkında herhangi bir bilgi

vermezler. Bu bilgi, vektörler ile ilgili daima hatırlanması gereken önemli bir bilgidir.

1.2 VEKTÖRLERİN UZUNLUĞU VE BİRİM VEKTÖR Üç boyutlu konum vektörünün uzunluğunun

karesi; 2 2 2 2

r OA OC CA= = +

2 2 2

OB BC CA= + +

2 2 2x y z= + +

Uzunluk,

2 2 2zxr y= + +

Tanım: Bir u vektörünün uzunluğu vektör elemanlarının karelerinin toplamının kareköküdür ve u

ile tanımlanır:

22 2 2

1 nu u u= + + +u

Tanım: Uzunluğu ya da salt değeri 1’e eşit olan vektörlere birim vektör denir. Bir u vektörü,

=ueu

işlemi ile birim vektöre dönüştürülebilir. Bir u vektörü, birim vektör ve uzunluğu cinsinden

yazılabilir:

=u u e

9

Tanım: Bir vektörün normalize edilmesi, uzunluğunun bir birim olacak şekilde

ölçeklenmesidir. Bu amaçla vektörün tüm bileşenleri, vektörün uzunluğuna bölünür.

1 2( , , ), nuu u …=u

22 2 2

1 nu u u= + + +u

ise normalize edilmiş vektör

1 2 ,, , nN

uu u =

…

uu u u

Tanım: Üç boyutlu kartezyen sistemde başlangıç (orijin) O (0,0,0) noktasını; (1,0,0), (0,1,0)

ve (0,0,1) noktalarına birleştiren vektörlere sırası ile ox, oy, oz eksenlerinin birim vektörleri

denir. i, j, k ile gösterilirler:

(1,0,0)=i , (0,1,0)=j , (0,0,1)=k

n- boyutlu uzayın birim vektörleri de benzer biçimde tanımlanmaktadır. Bu birim vektörler

( )( )( )

( )

2

3

,0

,0

1,0,0,0,

0,1,0,0,

0,0,1,0,

0,0,0,

,

10,

0

,n

=

=

=

=

…

…

…

…

1e

e

e

e

biçimde ifade edilir.

Teorem: Üç boyutlu uzaydaki herhangi bir 1 2 3,( , )u u u=u vektörü, i, j, k birim vektörlerinin

doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir:

2 31u u u= + +u i j k

Bu ifadeye u vektörünün analitik gösterimi denir.

Teorem: ( )2 31 1 2 3, ,u u u uu u= + + =u i j k , ( )2 31 1 2 3, ,v v v vv v= + + =v i j k ve k∈ olmak

üzere,

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v= + + + + +u + v i j k

( )1 1 1 1 2 3, ,k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k

Teorem: n-boyutlu uzaydaki herhangi bir 1 2 3,, , ,( )nuu uu= …u konum vektörü e1, e2, . . . ,en

birim vektörlerinin doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir:

1 2 n nu u u= + ++1 2u e e e

Bu ifadeye u konum vektörünün analitik gösterimi denir.

10

1.3 VEKTÖRLERİN ÇARPIMI Vektörlerin çarpımı iki kısımda incelenebilir. Bunlar vektörlerin kendileri ile skaler çarpımı

ve vektörel çarpımıdır. Skaler çarpım literatürde nokta çarpım veya iç çarpım olarak da

adlandırılmaktadır.

1.3.1. Skaler (Nokta) Çarpım

İki vektörün nokta çarpımı, iç çarpım uzaylarında ayrıntılı olarak incelenecektir.

Aşağıda bu çarpımın nasıl yapıldığı hakkında temel bilgiler verilmiştir.

. .cosu v θ⋅u v =

Bir vektörün kendisine izdüşümü, büyüklüğünü değiştirmeden bıraktığı için herhangi bir

vektörün kendisiyle iç çarpımı, vektörün büyüklüğünün karesidir. 2cos 0uu u⋅ = =u u

Bu sonuç birim vektörlere uygulandığında, herhangi bir birim vektörün kendisiyle çarpımının

bir olduğu sonucuna varılır. Buna ek olarak bir vektörün kendi başına dik izdüşümü

olmadığından, herhangi bir birim vektörün diğeri ile nokta çarpımı sıfırdır.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1.1cos 0 1⋅ = ⋅ = ⋅ = =i i j j k k

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1.1cos90 0⋅ = ⋅ = ⋅ = =i j j k k i

Bu bilgi kullanılarak, Kartezyen formdaki herhangi iki vektörün nokta çarpımı için bir formül

elde edilebilir. Ortaya çıkan sonuç karmaşık gibi görünür. Ancak çoğunlukla sıfıra eşit

terimleri içermektedir.

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )x y z x y zu u u v v v⋅ = + + ⋅ + +u v i j k i j k

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

u u u v u v

u v u v u v

u v u v u v

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

u v i i i j i k

j i j j j k

k i k j k k

x x y y z zu v u v u v⋅ = + +u v

11

İki vektörün nokta çarpımı böylece paralel bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır. Buradan Pisagor

Teoremi üç boyutta türetilebilir.

. cos(0) x x y y z zu u u u u u u u⋅ = = + +u u 2 2 2 2

x y zu u u= + +u Nokta çarpımı geometrik olarak incelendiğinde, iki vektör arasındaki açının oldukça kolay

elde edilebildiği görülmektedir.

Aşağıdaki şekilde u ve v vektörlerinin iç çarpımının geometrik anlamı verilmiştir:

OA OB⋅ ⋅u v =

OC OB= ⋅

A noktasının v vektörü üzerindeki dik izdüşümü C noktasıdır. Böylece AOC üçgeni ortaya

çıkar. OC

vektörünün uzunluğu, u vektörü ve θ açısı kullanarak yazılabilir.

Trigonometriden bilindiği gibi,

cosOC

OAθ =

olup cosOC OA= θ

yazılırsa,

. .cos . .cosOA OB⋅ = θ = θu v u v

elde edilir.

Sonuçlar:

a- İki vektör birbirlerine dik (ortogonal) ise aralarındaki açı 2π

θ = olup iç çarpım sonucu

sıfır olur;

( )cos 2 0π⋅ = =u v u v

b- İki vektör aynı doğrultu ve aynı yönlü ise aralarındaki açı 0θ = olup iç çarpım en

büyük değerini alır;

cos 0⋅ = =u v u v u v

12

c- İki vektör aynı doğrultu ve zıt yönlü ise aralarındaki açı πθ = olup iç çarpım en küçük

değerini alır;

cos( )π⋅ = = −u v u v u v

d- n-boyutlu uzayda iki vektör arasındaki açı aşağıdaki formül ile bulunabilir;

1 1 2 2cos. .

n nu v u v u v+ + +⋅θ = =

u vu v u v

Nokta çarpımın özellikleri:

,u, v w herhangi üç vektör ve α ∈ olmak üzere,

1. ⋅ ⋅ ⋅u (v + w) = u v + u w

2. ⋅ ⋅u v = v u

3. ( ) ( ) ( )α α α⋅ = ⋅ = ⋅u v u v u v

4. 0⊥ ⇔ ⋅ =u v u v

5. 1 1= ⇒ ⋅ =u u u

6. ( )2 2,⋅ = =u u u u u

1.3.2. Vektörel Çarpım İki vektörün birbirleriyle çarpılması sonucunda bu iki vektöre dik bir vektör türeten

işleme vektörel çarpım denir. Bu işlemin notasyonu genellikle olarak “ ,× ∧ ” sembolleriyle

gösterilmektedir. Literatürde çapraz çarpım veya dış çarpım olarak da bilinmektedir.

Aşağıdaki biçimde tanımlanır:

×C = A B . .sinA B θ= × =C A B

13

Analitik olarak tanımına geçmeden önce birim vektörlerin vektörel çarpımlarının eşitlerini

bilmek gerekir. Bunun için sağ el kuralı olarak adlandırılan kural ile vektörel çarpımın yönü

tayin edilebilir. Bu kurala göre saat yönünün tersi pozitif “+” yön olarak seçildikten sonra,

1- 4 parmağımız ilk vektörün (çarpıma ilk sırada girecek olan vektörün) yönünü gösterecek

şekilde sağ el düz olarak birinci vektörün üzerine konulur,

2- Elimiz hala düz iken, avucumuzun içi ile iki vektör arasındaki küçük açı taranır,

3- Dört parmağımıza dik tuttuğumuz baş parmağımız sonuç vektörünün yönünü verir.

( )1 2 3 1 2 3, ,u uu uu u= = + +u i j k ve ( )1 2 3 1 2 3, ,v vv v v v= = + +v i j k olmak üzere bu iki vektörün

vektörel çarpımı analitik olarak,

( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1u v u v u v u v u v u v= − − − + −u× v i j k

( )2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1, ,u v u v u v u v u v u v= − − −

biçiminde yazılabilir. Bu çarpım, determinantlar kullanılarak aşağıdaki şekilde

yapılabilmektedir;

1 2 3

1 2 3

u u uv v v

× =i j k

u v

Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu

Vektörel çarpımın en önemli geometrik

anlamlarından birisi; ×u v çarpımının

uzunluğu yani ×u v değeri, u ve v

vektörleri ile oluşan paralelkenarın alanına

eşittir. Yandaki şekilde paralel kenarın

yüksekliği sinθv , taban uzunluğu ise u

olup paralel kenarın alanı . sinA θ = ×= v u u v olur.

14

Tanım: 3,∈u, v,w aynı düzlemde bulunmayan üç vektör olmak üzere,

( )×u v w

determinant tanımı ile

( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

u u uv v vw w w

× =u v w

biçiminde tanımlanan işleme karma çarpım denir. Karma çarpımının sonucu daima bir

skalerdir. Çünkü, u ve v× w birer vektör olduğundan bu vektörlerin nokta (iç) çarpımı bir

skaler tanımlar.

Karma çarpımın büyüklüğü, bu çarpımın geometrik anlamını ortaya çıkarmaktadır.

,u, v w vektörleri üzerine kurulan paralel yüzlünün hacmi ( )×u v w değerine eşittir ve

( ) . .cosθ× = ×u v w u v w

formülü ile bu hacim hesaplanabilir.

Vektörel Çarpımın özellikleri: 3,∈u, v,w ve c∈ olmak üzere;

1. × × ×u (v + w) = u v + u w

2. × ≠ ×u v v u fakat, × = − ×u v v u

3. ( )c c c⋅ × = × = ×u v u v u v

4. × ×u 0 = 0 u = 0

5. ×u u = 0

6. ( ) ( )⋅ × = × ⋅u v w u v w