0$75ø6/(5 - DEUkisi.deu.edu.tr/kemal.sehirli/3- Matrisler.pdf · 2015. 7. 28. · 4 x X cos T Y...

1

3. BÖLÜM

MATRİSLER

2

11

211

1m

a

a

a

v

12

222

2m

a

a

a

v

1

2

n

n

n

mn

a

a

a

v…

gibi n tane vektörün oluşturduğu,

şeklindeki sıralanışına matris denir.

1 2 nA v v v

3

Matris

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A

elemanları ( 1,2,..., ; 1,2,... )

ija i m j n

cinsinden kısaca [ ]

ijaA

4

sincos YXx cossin YXy

Y

X

y

x

cossin

sincos

Analitik Geometriden Biliyoruz ki :

Döndürme Formülleridir.

x

y Y X

Ө

P

Şekil.1

•

5

11212111 bxaxaxa nn

22222121 bxaxaxa nn

mnmnmm bxaxaxa 2211

……………………………. Doğrusal Denklem Sistemi

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

A X B

A X = B

mxn mx1 nx1

6

MATRİS İŞLEMLERİ

Matrislerin Toplamı (Farkı) A ile B mxn boyutlu iki matris ise, aij±bij=cij olacak şekilde elde edilen C=[cij] matrisine, A ile B matrislerinin toplamı (veya farkı) denir. İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir.

Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz)

Matrislerin Toplamı (Farkı)

Tanım: Eğer ija A ve

ijb B boyutları mn olan

matrisler ise bu iki matrisin toplamı:

A B C

ij ij ija b c

8


İki matrisin toplanabilmesi (veya çıkarılabilmesi) için boyutlarının aynı olması gerekir. Farklı boyutlu iki matris toplanamaz (veya çıkarılamaz)

Toplama işleminin koşulu

A B C * * *

* * *

* * *

* * *

+

* * *

* * *

* * *

* * *

=

* * *

* * *

* * *

* * *

43 43 43

9

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba


10

ÖRNEK

1 2 4

3 0 1

2 1 2

A ve

2 0 0

1 4 3

1 3 2

B ise A+B=C

matrisini bulunuz.

3 2 4

2 4 2

1 4 4

C

Bir Matrisin Bir Skalerle Çarpımı Tanım: Eğer

ija A boyutu mn olan bir matris ve

k olan bir skaler ise matris ile skalerin çarpımı boyutu mn olan bir matristir:

k A C

ij ijka c

ÖRNEK

12

2 5 1

3 4 0

2 7 2

A ise 2A ve -3A skaler çarpımlarını bulunuz.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

(2) (5) ( 1) 4 10 2

2 (3) (4) (0) 6 8 0

(2) (7) (2) 4 14 4

Α

(2) (5) ( 1) 6 15 3

3 (3) (4) (0) 9 12 0

(2) (7) (2) 6

3 3 3

3 3 3

3 2 63 3 1

A

Matrislerin Çarpımı

Tanım: Eğer ija A boyutu mn ve

ijb B boyutu np

olan matrisler ise bu iki matrisin çarpımı boyutu mp olan bir matristir:

AB C

1 1 2 21

n

ik kj i j i j in nj ij

k

a b a b a b a b c

14

C A B

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

c c c a a a b b b

c c c a a a b b b

c c c a a a b b

12 11 12 12 22 13 32c a b a b a b


15


A matrisinin sütun sayısının, B matrisinin satır sayısına eşitliği çarpılabilme koşuludur.

Çarpım işleminin koşulu

ÖRNEK

2 1

3 4

A 3 9 2

5 7 6

B

matrisleri için C çarpım matrisini bulunuz.

2 1

3 4

3 9 2

5 7 6

3 5 9 7 2 6

3 5

2 1 2 1

9 7 2 6

2 1

3 4 3 4 3 4

1 25 10

29 1 18

ÇÖZÜM

18

Matrislerin Toplama ve Skaler Çarpım Özellikleri

A,B,C aynı boyutlu matrisler; k1, k2 skalerler olmak üzere;

1) A+B=B+A

2) A+(B+C)=(A+B)+C

3) k1(A+B)=k1A+k1B

4) (k1+k2)A=k1A+k2A

5) (k1k2)A=k1(k2A)

19

Matrislerin Çarpım Özellikleri A,B,C aynı boyutlu matrisler; k1, k2 skalerler olmak üzere;

1) A(B+C)=AB+AC

2) (A+B)C=AC+BC

3) A(BC)=(AB)C

4) AB≠BA (Boyutlar uygun değilse)

5) AB=AC ise B=C olması gerekmez.

6) AB=0 ise A=0 ya da B=0 olması gerekmez.

7) A(B+C)=AB+AC

8) (A+B)C=AC+BC

Matrisin Transpozu

20

Her hangi bir A matrisinin transpozu (evriği) AT ile gösterilir.

A matrisinin satırları (sütunları) sırası ile AT matrisinin sütunlarını (satırlarını) oluşturur.

Transpoz İşleminin Özellikleri

1. TT A A

2. T T T A B A B

3. T Tk kA A k bir skaler

4. T T TAB B A

Özel Matrisler

Satır sayısı, sütun sayısına eşit olan (m=n) matrislere kare matris denir.

NOT: Kare bir matrisin determinantı hesaplanabilir. Kare olmayan bir matrisin determinantı söz konusu değildir.

Kare Matris :

2 5 1

3 4 0

2 7 2

A

23

Sıfır Matris :

Özel Matrisler

Tüm elemanları sıfır olan matrise denir.

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

A

Köşegen Matris :

Özel Matrisler

Köşegen üzerindeki elemanlarının aii dışında, diğer tüm elemanları (aij)sıfır olan matrise denir. aii elemanlarının bazıları sıfır olabilir. NOT: Sadece kare matrisler köşegen matris olabilir.

3 0 0

0 4 0

0 0 4

A

Skaler matrisler:

Özel Matrisler

Asal köşegen elemanları (aii)birbirine eşit olan köşegen matrise skalar matris denir.

26

Özel Matrisler Birim Matris :

Köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri sıfır olan skaler matrise birim matris denir.

In ile gösterilir.

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

matrisi bir birim matris olup I3 ile gösterilir.

Önemli: A0=I

Simetrik Matris

Özel Matrisler

A bir kare matris olsun. Eğer aij=aji eşitliği tüm i≠j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile A=AT ise A matrisi simetrik matristir.

2 3 5

3 1 6

5 6 4

A

Yarı Simetrik Matris

Özel Matrisler

A bir kare matris olsun. Eğer -aij=aji eşitliği tüm i≠j elemanları için sağlanıyor ise diğer bir ifade ile -A=AT ise A matrisi yarı simetrik matristir. i=j için -aii=aii olduğundan asal köşegen elemanları sıfırdır.

0 3 5

3 0 6

5 6 0

A

Özel Matrisler Tanım: A matrisi boyutu n olan bir kare matris

ise;

1

2T P A A

1

2T Q A A

Şeklinde tanımlanan P ve Q matrisleri sırası ile

simetrik ve yarı simetrik matrislerdir.

Periyodik Matris :

Özel Matrisler

A bir kare matris olsun. kєN+ olmak üzere Ak+1=A ise A matrisine periyodik matris denir.

Birim matris bir periyodik matristir.

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Özel Matrisler

A bir kare matris olsun. Eğer k=1 için A2=A ise A matrisi idempotent matristir.

Birim matris bir idempotent matristir.

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

İdempotent Matris:

32

Özel Matrisler Nilpotent Matris:

A bir kare matris olmak üzere A2=0 ise A matrisine Nilpotent Matris denir. Eğer A2=I ise A matrisine ünipotent Matris denir.

1 2 5

2 4 10

1 2 5

A

Üst üçgen matris:

Özel Matrisler

Bir kare matrisin asal köşegeninin altında kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise üst üçgen matris denir.

1 4 0

0 2 6

0 0 7

A

Alt üçgen matris:

Özel Matrisler

Bir kare matrisin asal köşegeninin üstünde kalan tüm elemanları sıfır ise bu matrise alt üçgen matris denir.

3 0 0

5 3 0

2 0 1

A

Özel Matrisler

A boyutu mn olan bir matris olsun. A matrisinin ilk satırı hariç,

diğer satırlarındaki sıfırların sayısı (soldan itibaren) satır satır

artıyor ise A matrisi Echelon (kanonik) matristir.

Bir eşelon matriste satırlardaki sıfır olmayan ilk elemana pivot

(ayrık) eleman denir.

2 1 1

0 0 2

0 0 0

0 0 0

A

1 2 3 1 0 4 2

0 4 5 3 1 0 2

0 0 0 0 1 1 6

0 0 0 0 0 2 3

A

Echelon (Kanonik) Matris:

Özel Matrisler

Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisine sonlu sayıda elemanter

satır işlemlerinin uygulanması sonucunda elde edilen matris A

olsun. A matrisine A matrisinin satır eşdeğer matrisi denir:

~A A

Satır Eşdeğer Matrisler

Özel Matrisler Ortogonal Matris:

1 2 nA v v v vektörlerinin tanımladığı bir kare

matris olsun. Eğer

vi.vj=0 tüm i≠j için ve

vi.vj=1 tüm i=j için ise

diğer bir deyişle

AAT=I

ise A matrisi ortogonal matristir.

38

Özel Matrisler Ortogonal Matris: Örnek

1/ 3 1/ 6 1/ 2

1/ 3 2 / 6 0

1/ 3 1/ 6 1/ 2

A ise 1/ 3 1/ 3 1/ 3

1/ 6 2 / 6 1/ 6

1/ 2 0 1/ 2

T

A

1/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1 0 0

1/ 3 2 / 6 0 1/ 6 2 / 6 1/ 6 0 1 0

0 0 11/ 3 1/ 6 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2

A AT = I

A matrisi ortogonal matristir

Tanım: A kare matrisinde, aij elemanlarının işaretli minörleri (kofaktörleri) Aij olsun. A matrisinin kofaktör matrisi:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

A A A

A A A

A A A

A

Kofaktör (İşaretli Minör) Matrisi

Özel Matrisler

Ek Matris

Tanım: A matrisinin kofaktör matrisinin transpozu Ek Matris

olarak adlandırılır.

Ek(A) ile gösterilir.

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

A A A

A A AEk

A A A

A

Özel Matrisler

Ek Matris Özellikleri

1. . ( ) ( ). det( ).Ek Ek A A A A A I

2. ( . ) ( ). ( )Ek Ek EkA B A B

Matrisin izi Tanım: A boyutu nn olan simetrik bir matris olsun. Köşegen

elemanlarının toplamına matrisin izi denir ve tr(A) ile gösterilir.

111

n

nn ii

i

tr a a a

A

Örnek: A matrisinin izini bulunuz.

4 1 2

2 5 6

7 3 0

A

4 5 0 1tr A

Matris İzinin Özellikleri

43

1. tr tr tr A B A B

2. tr tr trAB A B

3. tr k ktrA A (k bir skaler)

4. Ttr trA A

Ters Matris

Tanım: A boyutu nn olan bir kare matris olsun. Eğer

n

AB BA I

eşitliğini sağlayan bir B matrisi varsa A matrisi tersi alınabilir bir

matristir ve B matrisine A matrisinin ters matrisi denir ve

1B A

ile gösterilir.

SONUÇ: 1 1n

AA A A I

45

Ters Matrisin Özellikleri 1. Tersi alınabilir bir A matrisinin bir ve yalnız bir ters matrisi

vardır

2. 11 A A

3. 1 1 1 AB B A

4. 1 11k

k

A A k bir skaler

5. 1 1

Ek A A

A

Ters Matrisin Özellikleri

6. 1 1 TT

A A

7. 1 1 kk

A A

1 1 1 A A A

Matrisin Determinantı İle İlgili Özellikler

1. AB A B

2. 1nI

3. 11 1 Α AA

4. A bir ortogonal matris ise 1 A

Elemanter Matrisler

Tanım: Boyutu nn olan bir E matrisi eğer In birim matrisinden

tek bir elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilebiliyor ise

elemanter matris denir.

Elemanter Matrislerin Özellikleri

1. A boyutu nm olan bir matris ve In birim matrisinden bir

elemanter satır (sütun) işlemi ile elde edilen matris E olsun

EA çarpım matrisi aynı elemanter satır (sütun) işleminin A

matrisine uygulanmış yapısını verir.

2. Eğer E bir elemanter matris ise 1E matrisi vardır ve ters

matris de bir elemanter matristir.

3. Bir kare matris A ancak ve ancak elemanter matrislerin

çarpımı olarak yazılabiliyor ise tersi alınabilirdir: 1

2 1k n

A E E E I

Tekil Olmayan Matrisler

Tanım: A boyutu nn olan kare bir matris olsun. Eğer

determinant değeri sıfırdan farklı,

0A

ise A matrisine tekil olmayan matris,

0A

ise A matrisine tekil matris denir.

Teorem Bir A kare matrisinin tersinin var olabilmesi için

gerek ve yeter koşul 0A olmasıdır.

Kanıt: 1 AA I

1 AA I

1 1 A A

1 10 A A

A

Teorem

Boyutu mn olan her A matrisi, bir Echelon matrise satır

eşdeğerdir.

Teorem

Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim

matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin

aynı dizisi I matrisini 1A ters matrisine dönüştürür.

Teorem

Bir dizi elemanter satır işlemi, bir A matrisini I birim

matrisine dönüştürüyor ise elemanter satır işlemlerinin

aynı dizisi genişletilmiş (A:I) matrisini 1: I A matrisine

dönüştürür.

Ters Matrisin Bulunması: Gauss-Jordan Yöntemi

Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda verilen

adımlar izlenerek elde edilebilir:

1.A matrisinin sağına n boyutlu birim matrisi ekleyiniz,

A I

yeni matrisin boyutu n2n olur.

2. A matrisini I matrisine indirmek için gerekli elemanter satır

(sütun) işlemlerini hem A hem de I matrisine uygulayarak,

1 I A

Matrisini elde ediniz. Bu sonuç elde edilemiyor ise A tersi

alınamayan tekil bir matristir.

Ters Matrisin Bulunması: Ek Matris Yöntemi

Boyutu nn olan bir A matrisinin ters matrisi aşağıda

verilen adımlar izlenerek elde edilebilir:

1. A matrisinin determinantını, A bulun.

2. A matrisinin ek matrisini, ek(A) bulun.

3. 1 1ek

A AA

elde edilir.

KANIT

ek A A I A

1 1ek

A A A A I A

1ek

I A A A

11ek

A AA

Tanım: Boyutu mn olan bir A matrisinin, determinantı

sıfırdan farklı en büyük alt kare matrisinin mertebesine A

matrisinin rankı denir:

r(A)

BİR MATRİSİN RANKI

BİR MATRİSİN RANKI Boyutu mn olan bir A matrisinin rankı, boyut sayılarının,

m ve n, küçüğüne eşit ya da ondan daha küçüktür.

m<n ise r(A)m

Eğer A bir nn kare matris ise:

1. 0A ise r(A)<n (Tekil matris)

2. 0A ise r(A)=n (Tekil olmayan matris)

60

Denk Matrisler

Boyutları ve rankları aynı olan matrislere denk

matrisler denir. A~B

Matrisin Rankı İle İlgili Özellikler

1. Tr rA A

2. 1r r

A A

Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi bazı kurallar dikkate alınarak alt matrislere ayrıştırılabilir:

p q p c q

r c

r p q r p c q

K LA

M N

Matrisin Bölümlenmesi

Bölümlenme Kuralları 1. Aynı satırdaki alt matrislerin satır sayıları eşit

olmalı ve sütun sayılarının toplamı c olmalı. 2. Aynı sütundaki alt matrislerin sütun sayıları

eşit olmalı ve satır sayılarının toplamı r olmalı. Bu kurallar dikkate alınarak matrisler eleman sayısının izin verdiği ölçüde alt matrise ayrılabilir. Matris bölümlenmesi eşsiz değildir. Aynı matrisin farklı bölümlenmeleri söz konusudur.

Matrisin Bölümlenmesi Bölümlenmiş matrisin transpozu; hem matrisin tranpozu hem de alt matrislerin transpozu alınarak elde edilir.

B C DA

E F G

T T

T

T T T

T T

B EB C D

A C FE F G

D G

Matrisin Bölümlenmesi Boyutu rc olan bir A matrisi, j-inci sütunu aj vektörü ile tanımlanarak sütun vektörlerine göre bölümlenebilir:

1 2 j c A a a a a

Benzer şekilde, i-inci satırı T

iα ile tanımlanarak satır

vektörlerine göre bölümlenebilir:

1

2

T

T

T

i

T

r

αα

Aα

α

Matrisin Bölümlenmesi

Matrislerdeki genel çarpım kuralları bölümlenmiş matrisler içinde geçerlidir. Eğer boyutlar çarpım işlemine uygun ise

11 12

21 22

A AA

A A

11 12 13

21 22 23

B B BB

B B B

11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23

21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23

A B A B A B A B A B A BAB

A B A B A B A B A B A B

67

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ

0$75ø6/(5 - DEUkisi.deu.edu.tr/kemal.sehirli/3- Matrisler.pdf · 2015. 7. 28. · 4 x X cos T Y...

Documents

Transcript of 0$75ø6/(5 - DEUkisi.deu.edu.tr/kemal.sehirli/3- Matrisler.pdf · 2015. 7. 28. · 4 x X cos T Y...