bk2_4b

Meuspratne konstrukcije nepravougaonog oblikaMonolitne tavanice veih raspona

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike nauke,GRAEVINARSTVO

Dravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Betonske konstrukcije 2


Sadraj

1 Meuspratne konstrukcije nepravougaonog oblikaKrune i prstenaste ploeTrougaone i trapezne ploeOtvori u ploama

2 Monolitne tavanice veih rasponaPloe oslonjene na stubove



Krune i prstenaste ploeTrougaone i trapezne ploeOtvori u ploama

Sadraj






Meuspratne konstrukcije krunog oblika

Krune i prstenaste ploeKrune ili prstenaste ploe su relativno est nosei element ugraevinskim konstrukcijamaKrune ploe, a posebno ploe u obliku dela kruga (npr.polukruga), mogu da budu delovi meuspratne konstrukcijeNajee se krune ploe javljaju kao krovne i temeljne ploekod cilindrinih rezervoara, ploe u sklopu silosa, temljne ploekod dimnjaka, TV tornjeva i sl.Krune ploe sa veim centralnim otvorom zovu se prstenasteploe




Krune i prstenaste ploe

Primeri krunih i prstenastih ploa kao elemenata graevinskihkonstrukcija





Statiki sistemi krunih i prstenastih ploa





Krune i prstenaste ploeDiferencijalna jednaina savijanja pravougaonih ploa, udekartovim koordinatama, data je sa

w =q

Dodn.

4w

x4+ 2

4w

x2y2+4w

y4=q(x, y)

D

(1)gde je D krutost na savijanje ploe:

D =E J

(1 2) =E t3

12(1 2) (2)






Sa je oznaen Laplasov operator (u dekartovimkoordinatama (x, y)):

(. . .) =2(. . .)

x2+2(. . .)

y2(3)

Kod ploa krunog oblika dekartove koordinate nisu pogodneAko se umesto dekartovih koordinata (x, y) uvedu polarnekoordinate (r, ), za radijalan i za tangencijalni pravac,Laplasov operator se dobija u obliku

(. . .) =2(. . .)

r2+

1

r

(. . .)

r+

1

r22(. . .)

2(4)





Krune i prstenaste ploe - jednaina savijanjaDiferencijalna jednaina savijanja krunih ploa, u polarnimkoordinatama, data je sa

w =q(r, )

D(5)

Napisano u razvijenom obliku, dobija se(2

r2+

1

r

r+

1

r22

2

)(2w

r2+

1

r

w

r+

1

r22w

2

)=

q

D(6)

gde je q = q(r, ) raspodeljeno optereenje upravno na plou





Krune i prstenaste ploe - sile u presekuMomenti savijanja, kao i torzioni momenat, izraavaju se prekougba w = w(r, ) u obliku

Mr = D[2w

r2+

(1

r22w

2+

1

r

w

r

)]M = D

[1

r22w

2+

1

r

w

r+

2w

r2

]Mr = Mr = (1 )D

r

(1

r

w

) (7)





Krune i prstenaste ploe - sile u presekuTransverzalne sile Qr i Q izraavaju se preko ugbaw = w(r, ) u obliku

Qr = D (w)r

Q = D 1r

(w)

(8)

pri emu je

w =2w

r2+

1

r

w

r+

1

r22w

2





Izdvojen element dr d krune ploe i sile u preseku





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaAko je optereenje krune ploe ravnomerno rasporeeno i akosu uslovi oslanjanja rotaciono - simetrini, onda postojirotaciona simetrija problema savijanjaUgibi ploe w(r, ) u takvom sluaju postaju nezavisni odkoordinate Laplasov operator u tom sluaju postaje

=d2

dr2+

1

r

d

dr=

1

r

d

dr

(rd

dr

)(9)




Krune i prstenaste ploe - naini oslanjanja

(a) Kontinualno oslanjanje krune ploe na zid (AB ili od opeke)(b) Takasto oslanjanje na sistem stubova posredstvom AB

prstenaste grede





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrija

Diferencijalna jednaina savijanja (6) u sluaju rotacionesimetrije glasi

d4w

dr4+

2

r

d3w

dr3 1r2d2w

dr2+

1

r3dw

dr=q(r)

D(10)

Opte reenje dif. jednaine (10) dato je sa

w(r) = w0 + c1 + c2 r2 + c3 r

2 ln

(r

r0

)+ c4 ln

(r

r0

)(11)

gde je w0(r) partikularni integral nehomogene jednainesavijanja (10), dok su ci (i = 1, . . . , 4) integracione konstantekoje se odreuju iz graninih uslova





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrija

Partikularan integral moe da se odredi ako se jedn. (10)prikae u razdvojenom obliku

M = q w = MD

(12)

Prva od jednaina (12) moe da se napiv se u obliku

1

r

d

dr

(rdM

dr

)= q odn. d

dr

(rdM

dr

)= q r

Integracijom se dobija

M = dr

r

q(r) rdr





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaSa M obeleen je M momentni zbir

M =Mx +My

1 +

tako da M moe da se odredi na osnovu datog optereenjaq(r)

Dvostrukom integracijom druge od jedn. (12) dobija separtikularni integral w0(r) u obliku

w0(r) = 1D

dr

r

M r dr (13)





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaZa jednako podeljeno optereenje q = const dobija se optiintegral nehomogene jednaine u obliku

w(r) =q r4

64D+ c1 + c2 r

2 (14)

Za slobodno oslonjenu krunu plou koja je optereenjaravnomernim optereenjem q = const integracione konstanteodreuju se iz uslova

w|r=a = 0 Mr|r=a = dw

dr2+

r

dw

dr= 0





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaKonano reenje, za slobodno oslonjenu krunu ploupoluprenika a, optereenu sa q = const i slobodno-oslonjenupo obimu, dobija se u obliku

w(r) =q

64D

(5 +

1 + a4 2 3 +

1 + a2 r2 + r4

)(15)

Najvei ugib je u centru ploe r = 0:

wmax =5 +

1 +

q a4

64D(16)





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaMomenti savijanja u radijalnom i tangencijalnom pravcudobijaju se u obliku

Mr = (3 + )q

16(a2 r2)

M =q

16[(3 + ) a2 (1 + 3) r2]

Maksimalna vrednost oba momenta je u sreditu ploe i iznosi

Mr,max = M,max = Mmax = (3 + )q a2

16




Kruna slobodno oslonjena ploa

Kruna ploa slobodno oslonjena po obimu, izloena ravnomernomoptereenju q = const





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaZa krunu plou koja je potpuno ukljetena po svom obimur = a granini uslovi su dati sa

w(r)|r=a = 0 wr|r=a = 0

Integracione konstante u optem integralu nehomogenejednaine (14) odreuju se iz graninih uslova, pa se dobijakonano reenje za ugib ukljetene krune ploe u obliku:

w(r) =q

64D(a2 r2)2 (17)





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaNajvei ugib je u sredini ploe i iznosi

wmax =q a4

64D(18)

Momenti savijanja u radijalnom i tangencijalnom pravcu, zaukljetenu plou, dobijaju se u obliku

Mr =q

16[(1 + ) a2 (3 + )r2)

M =q

16[(1 + ) a2 (1 + 3) r2]





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaZa ukljetenu ivicu r = a dobija se

Mr = q a2

8M = Mr

Maksimalna vrednost oba momenta je u sreditu ploe i iznosi

Mr,max = M,max = Mmax = (1 + )q a2

16




Kruna ravnomerno optereena ukljetena ploa





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaKao to moe da se vidi, ako se porede dve iste krune ploepoluprenika a, optereene sa ravnomernim optereenjemq = const, pri emu je jedna slobodno oslonjena, a drugaukljetena, odnosi maksimalnih ugiba ws i wu iznose:

=ws

wu=

5 +

1 +

Ako se posmatraju granine vrednosti Poisson-ovogkoeficijenta , dobija se

- za = 0.0 . . . = 5- za = 0.2 . . . = 4.33





Krune i prstenaste ploe - rotaciona simetrijaSlino, odnosi maksimalnih momenata svijanja u sredituslobodno oslonjene i ukljetene ploe M s i Mu iznose:

=M s

Mu=

3 +

1 +

Ako se posmatraju granine vrednosti Poisson-ovogkoeficijenta , dobija se

- za = 0.0 . . . = 3- za = 0.2 . . . = 2.67

Naravno, re je o razliitoj radijalnoj raspodeli momenatasavijanja: ukupan zbir negativnog Mr u ukljetenju imaksimalnog Mr u sredini za ukljetenu plou jednak jemaksimalnom radijalnom momentu Mr u sredini za slobodnooslonjenu plou: 1/8 + 1/16 = 3/16





Krune i prstenaste ploe - dimenzionisanjeDimenzionisanje krunih ploa vri se kao dimenzionisanjepravougaonih preseka na isto savijanje, dimenzija b/dp, gde jeb = 100 cm, dok je dp debljina ploeDimenzionisanje se vri za radijalni i transverzalni pravacprema izraunatim momentima savijanja Mr i MPri tome su statike visine za radijalni i transverzalni (ilitangencijalni) pravac meusobno razliiti: hr 6= hZa vei od momenata savijanja treba da se usvoji vea statikavisina




Statiki uticaji i dimenzionisanje krunih ploa





Krune i prstenaste ploe - armiranjeArmatura kod krunih i prstenastih ploa rasporeuje se uradijalnom i transverzalnom pravcuKod prstenastih ploa radijalna armatura se prekida kodunutranjeg otvora (ako nije oslonac du otvora)





Krune i prstenaste ploe - armiranje

ipke u radijalnom pravcu ne mogu da se vode do centra ploejer bi se ukrtale u jednoj takiMogue je da se u centralnom delu ploe usvoji posebnaortogonalno rasporeena armatura (Varijanta I), a mogue je ida se radijalna armatura posebno oblikuje (Varijanta II)





Krune i prstenaste ploe - armiranjeKrune ploe manjeg raspona D mogu da se proraunaju kaokvadratne ploe stranice a 0.9D i da se armirajuortogonalnom armaturom





Krune i prstenaste ploe - armiranjeRelativno este su prstenaste ploe koje su oslonjene duunutranje iviceLinijski oslonac du unutranje ivice moe da bude slobodnooslanjanje ili ukljetenjeAko je u pitanju prstenasta konzolna ploa, sa unutranjestrane ukljetena je u AB prstenastu gredu, a spoljanja ivicaje slobodnaArmiraju se radijalnom i transverzalnom armaturom, pri emuje kod konzolne prstenaste ploe radijalna armatura ukljetena(usidrena) u AB prsten





Krune i prstenaste ploe - armiranje




Sadraj






Meuspratne konstrukcije nepravougaonog oblika

Trougaone i trapezne ploeTrougaone i trapezne ploe javljaju se u meuspartnimkonstrukcijama kada se oslonake grede, na kojima lee ploe,seku pod nekim uglom (obino 60)Trougaone ploe su relativno ekonomine sa stanovitamomenata savijanja i rasponaU konstrukcijama se trougaone i trapezne ploe javljaju kaoizolovane (samostalne), ali i kao kontinualne ploe





Trougaone i trapezne ploe - dispozicije





Trougaone i trapezne ploeKonturni uslovi kod trougaonih ploa mogu da budu slobodnooslanjanje, kruto ili elastino ukljetenje du pojedinih ivicaNe postoje analitika reenja za trougaone ploe - samonumerikaSamostalne trougaone ploa armiraju se armaturomrasporeenom u dva ortogonalna pravcaZa slobodno oslonjene ivice armatura se postavlja samo udonjoj zoni, ali se du ivica deo armature (svaka druga ipka)prevodi u gornju zonu (kao i kod pravougaonih slobodnooslonjenih ploa)





Trougaone ploe - momenti savijanja





Armiranje trougaonih kontinualnih ploa





Trougaone i trapezne ploeTrapezne ploe se de facto ponaaju kao krstato armiranepravougaone ili trougaone ploe, u zavisnosti od dimenzijastranicaAko su a i c dve paralelne stranice trapeza, a b njegova visina,trapezne ploe mogu da se posmatraju kao pravugaone ukolikoje c/a > 0.25U takvom sluaju redukuju se stranice trapezne ploe i formirase ekvivalentna pravougaona ploaAko je c/a 0.25 onda se trapezna ploa posmtra kaoekvivalentna trougaona ploa





Trougaone i trapezne ploeAko su paralelne stranice u trapeznoj ploi u odnosuc/a > 0.25, onda su redukovane stranice ekvivalentnepravougaone krstato armirane ploe date sa

ar =2

3

a (2c+ a)

a+ cbr = b a (a c)

b (a+ c)

Ako je ispunjeno c/a 0.25 onda se trapezna ploa posmtrakao ekvivalentna trougaona ploa ija je osnovica jednakaveoj dimenziji a trapezne ploe, dok je visina ekvivalentnetrougaone ploe odreena sa

B =a b

a cStanko Bri Betonske konstrukcije 2




Trapezna ploa i ekvivalentna pravougaona ili trougaona ploa




Sadraj






Monolitne meuspratne konstrukcije

Otvori u ploamaOtvori u ploama su uvek prisutni u meuspratnimkonstrukcijamaU zavisnosti od dimenzija, otvori mogu da budu mali, srednji ilivelikiMali otvori se posmatraju kao zanemarljivi poremeaji u ploiSrednji otvori se konstruktivno ree odgovarajuim armiranjem(vekslovanjem)Veliki otvori moraju da imaju odgovarajui poseban tretman ustatikom proraunu





Otvori u ploama





Otvori u ploamaZanemarljivi otvori su pojedinane rupe za prodor cevi manjihprenika kroz plouIzaraz manji prenik znai da je cevi manji od razmaka ipkiarmature na tom mestuSrednji otvori u ploi veksluju se armaturom oko otvoraPrekinuta armatura u oba pravca usled otvora u ploi,nadoknadi se postavljanjem koncnetrisane armature oko otvoraArmatura sa jedne i sa druge strane otvora, u posmtranompravcu, mora da bude barem jednaka povrini prekinutearmature i da je dobro usidrena





Otvori u ploamaAko je u jednom pravcu zbog otvora u ploi prekinut izvestanbroj ipki armature ukupne povrine Aa, onda se sa jedne i sadruge stranse otvora (u datom pravcu) koncentirano postavinekoliko ipki ija je ukupna povrina, sa svake strane otvora,vea od Aa/2Ta armatura oko otvora postavlja se u pravcu prekinutearmature, ali takoe i ukoso, pod uglom od 45 u odnosu napravce prekinute armatureAko su otvori u ploi vei, onda se oko otvora postavljaju grede(podvlake), ili makar skrivene grede unutar debljine ploe




Otvori u ploama

Vekslovanje armature oko srednjih otvora u ploi


Meuspratne konstrukcije nepravougaonog oblikaMonolitne tavanice veih raspona Ploe oslonjene na stubove

Sadraj





Monolitne tavanice veih raspona

Ploe oslonjene na stubovePloe oslonjene direktno na stubove esto se kombinuju sa ABzidovima i pretstavljaju meuspratne konstrukcije relativnonovijeg datumaRaspored stubova je obino pravilan, u dva ortogonlna pravca,ali moe da bude u heksagonalnom rasporedu ili potpunonepravilanProraun takvih meuspratnih konstrukcija obavlja senumerikim metodama (MKE) i primenom raunara, alipostoje i priblini (peaki) pristupi




Ploe oslonjene na stubovePloe oslonjene na stubove mogu da budu sa kapitelom(peurkaste ploe) ili bez kapitelaPeurkaste ploe su statiki bolje (sigurnije), a ploe oslonjenena stubove bez kapitela su arhitektonski atraktivnijePonekad se izmeu stubova i ploa usvajaju jastucipravougaone osnove umesto oblikovanih kapitelaU Pravilniku BAB 87 ploe oslonjene na stubove, sa kapitelomili bez kapitela, nazivaju se peurkaste tavanice



Kapiteli kod peurkastih ploa

Peurkaste tavanice

Kapiteli i jastuci kod peurkastih ploa




Ploe oslonjene na stubove - priblini postupciPeurkaste ploe sa ravnomernim ortogonalnim rasporedomstubova (osovinska rastojanja `x `y) i sa jednakopodeljenimoptereenjem, ukoliko je odnos osovinskih rastojanja stubova ugranicama 0.75 `x/`y 1.33, mogu da se proraunavajupriblinim postupcimaMoe da se tada koristi Metoda zamenjujueg

1 kontinualnog okvira (kruta veza izmeu ploe i stubova)2 kontinualnog grednog nosaa (zglobna veza izmeu ploe i

stubova

irina rigli ili greda jednaka je odgovarajuem osovinskomrastojanju stubova (`x ili `y), dok je visina preseka jednakadebljini ploe dp




Ploe oslonjene na stubove - priblini postupciU analizi zamenjujueg okvira ili zamenjujueg kontinualnognosaa, usvaja se, za svaki pravac, ukupno odgovarajueoptereenjePri tome se vodi rauna o najnepovoljnijem rasporedupokretnog (korisnog) raspodeljenog optereenjaAko je prenik kapitela (ili stranice) na spoju sa ploom veiod 0.3 `min, gde je `min = min(`x, `y), i ako je nagib konusaili piramide upisane u kapitel, u odnosu na ravan ploe, vei od1:3, u primeni priblinog prorauna koristi se metodzamenjujueg okvira (kruta veza stubova i ploe)




Ploe oslonjene na stubove - priblini postupciKruta veza izmeu stubova i ploe usvaja se, bez obzira nakapitel, kada krutost stubova nije mala u odnosu na krutostrigleKada ovi uslovi nisu ispunjeni, u priblinom proraunupeurkastih ploa koristi se metod ekvivalentnog kontinualnog(grednog) nosaaAko kapitel ima nagib vei od 1:3, pri dimenzionisanju ploe upreseku kod stuba, za uticaje momenata savijanja, odreuje sestatika visina koja odgovara nagibu 1:3



Zamenjujui okvir kod peurkastih ploa

Za svaki od ortogonalnih pravaca formira se ekvivalentni okvirninosa




Raspodela momenata savijanja, dobijenih analizom zamenjujuegokvira, na traku u polju i na traku iznad stubova




Ploe oslonjene na stubove - priblini postupciSlino je i za sluaj zamenjujueg kontinualnog grednog nosaaKao to se vidi, ovakvi priblini postupci su prilinokomplikovaniPriblini postupci su bili u upotrebi pre izraenije upotreberaunara u projektovanju graevinskih konstrukcijaSada se, po pravilu, formira integralni raunski modelkompletnog objekta primenom odgovarajueg programa nabazi MKE



Kapitel kod peurkastih ploa

Ako je nagib kapitela vei od 1:3, u odreivanju statike visineploe u preseku na kontaktu sa stubom usvaja se statika visina

koja odgovara nagibu 1:3




Ploe oslonjene na stubove - prednosti i manePloe direktno oslonjene na stubove, sa ili bez kapitela, imajuniz prednosti u odnosu na klasine tavanice u vidu ploa kojenose u jednom ili u dva pravca:

- izvoenje je lake zbog jednostavne oplate i armature (kapitelimalo remete i oplatu i armaturu)

- provlaenje svih horizontalnih instalacija u objektu (posebnoklimatizacije) je jednostavnije (nema prodora kroz grede)

- konstrukcija ima relativno malu visinu (nema greda)- mogu da se realizuju relativno vei rasponi (obino do 8.0m)

Ograniavajui faktor kod ovakvih ploa je nosivost u odnosuna probijanje stuba kroz plou, kao i pojava relativno velikihugiba




Ploe oslonjene na stubove - kontrola probojaKod ploa diretno oslonjenih na stubove neophodna je analizamogueg proboja stuba kroz plouProraun ploe u odnosu na napone probijanja zasniva se nanemakim normama DIN 1045Proraun proboja sprovodi se prema doputenim naponima, aprovera se vri za eksploataciona optereenjaMaksimalni smiui napon u kritinom preseku oko stubauporeuje se sa doputenim smiuim naponima za beton dateMB



Ploe oslonjene na stubove - kontrola proboja

Kritian presek I-I




Ploe oslonjene na stubove - kontrola probojaMaksimalni raunski smiui napon usled probijanja ploe, zapresek I-I, dat je sa

=TmaxOkp hs

(19)

U izrazu (19) uvedene su oznake- Tmax . . . najvea transverzalna sila pri eksploatacionomoptereenju, za presek I-I

- Za pravougaoni raster stubova i optereenje q = g + p usrednjem polju, Tmax je

Tmax = q (`x `y 14pi d2kp)




Ploe oslonjene na stubove - kontrola proboja

U izrazu (19) uvedene su oznake- hs . . . srednja statika visina ploe za dva usvojena pravcaarmature

- Okp . . . obim preseka oko stuba, ili ojaanja sa prenikom dkp,dat je sa Okp = pi dkp

- dkp . . . prenik kritinog preseka I-I, dat sa dkp = ds + hs, gdeje ds prenik stuba tretiranog kao krunog oslonca

Ako je stub pravougaonog preseka b d, onda se dsizraunava prema izrazu

ds = 1.13b d (20)

Ako je d > b, onda se u izrazu (20) usvaja da je d = 1.50 b,bez obzira na stvarni odnos strana pravougaonog preseka


Meuspratne konstrukcije nepravougaonog oblikaKrune i prstenaste ploceTrougaone i trapezne ploceOtvori u plocama

Monolitne tavanice vecih rasponaPloce oslonjene na stubove

bk2_4b

Documents

Transcript of bk2_4b