Yüksek Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and...
Transcript of Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and...
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,
yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y)
veyady
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
ise
denkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel DenklemlerEdwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınırdeger problemleri (ceviri: Prof. Dr. Omer Akın)
AYRILABILIR DENKLEMLER
Birinci mertebedendy
dx= f(x, y) (1)
diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in birfonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun carpımı olarakyazılabiliyorsa,yani
dy
dx= g(x)h(y) veya
dy
dx= g(x)/k(y)
isedenkleme degiskenlerine ayrılabilir denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 1/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Bu durumda denklem
k(y)dy = g(x)dx
seklinde yazmak suretiyle x ve y degiskenlerine ayrılabilir (birdenklemin zıt yanlarda tek degiskene ayrılması).
Bu ozel tipdiferansiyel denklemi cozmek kolaydır. Her iki yanın integralinialırsak ∫
k(y)dy =
∫g(x)dx+ C
elde edilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 2/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Bu durumda denklem
k(y)dy = g(x)dx
seklinde yazmak suretiyle x ve y degiskenlerine ayrılabilir (birdenklemin zıt yanlarda tek degiskene ayrılması).Bu ozel tipdiferansiyel denklemi cozmek kolaydır. Her iki yanın integralinialırsak ∫
k(y)dy =
∫g(x)dx+ C
elde edilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 2/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.
Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C
veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 1dy
dx= −x
ydenklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
ydy = −xdx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alırsak,∫ydy =
∫−xdx+ C
Sonuc olarak
y2 = −x2 + 2C veya x2 + y2 = K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 3/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.
Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C
⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4C
veya y =−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 2
y′ = y2x3 denklemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y2= x3dx
seklinde yazabiliriz.Her iki tarafında integralini alalım,∫dy
y2=
∫x3dx+ C ⇒ −1
y=x4
4+ C
Duzenlersek
y =−4
x4 + 4Cveya y =
−4
x4 +K
elde ederiz.(C ve K keyfi sabitler.)Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 4/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Ornek 2 deki diferansiyel denklemi degiskenlerine ayırırkenesitligin her iki tarafını 1/y2 ile carptık. Bu islemi y 6= 0 kabulederek yapabiliriz.
Soru: y(x) = 0 bir cozum mudur?
Cevap: EVET.
Fakat y(x) = 0, K nın hic bir degeri icin y(x) =−4
x4 +Kgenel
cozumunden elde edilemez.
Bu kural dısı cozumlere genellikle aykırı (tekil) cozum denir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 5/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.
Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C
⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 3
dy
dx= −6xy, y(0) = 7
baslangıc deger problemini cozunuz.
COZUM
Yukarıdaki diferansiyel denklemi
dy
y= −6xdx
seklinde yazabiliriz.Buradan∫dy
y=
∫(−6x)dx+ C ⇒ ln|y| = −3x2 + C
elde ederiz.Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 6/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C
⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C
⇒ y(x) = e−3x2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu
A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
y(0) = 7 baslangıc kosulundan y(x) in x = 0 komsulugundapozitif oldugunu goruruz. Boylece mutlak deger isaretinikaldırabiliriz.
ln y = −3x2 + C ⇒ y(x) = e−3x2+C ⇒ y(x) = e−3x
2eC
C keyfi sabit oldugu icin eC yerine A keyfi sabitini yazabiliriz.
y(x) = Ae−3x2
y(0) = 7 kosulu A = 7 yi verir. Boylece istenen cozum
y(x) = 7e−3x2
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 7/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Uyarı
Bir onceki ornekte baslangıc kosulunun y(0) = −4 oldugunuvarsayalım. Bu takdirde y(x), x = 0 komsulugunda negatiftir.Dolayısıyla |y| yerine −y koyabilir ve
ln(−y) = −3x2 + C
elde ederiz. Baslangıc kosulu C = ln4 verir. Buradan
y(x) = −4e−3x2
elde edilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 8/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Figure : dydx = −6xy diferansiyel denleminin yonlu alanı ve y(0) = 7,
y(0) = −4 baslangıc kosulları icin cozumleri.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 9/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 4
dy
dx=
4− 2x
3y2 − 5
diferansiyel denklemini cozunuz.
COZUM
Degiskenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak∫(3y2 − 5)dy =
∫(4− 2x)dx+ C
y3 − 5y = 4x− x2 + C
elde ederiz. Bu cozum, x in acık bir fonksiyonu olarak y ye gorecozulemez.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 10/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 4
dy
dx=
4− 2x
3y2 − 5
diferansiyel denklemini cozunuz.
COZUM
Degiskenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak∫(3y2 − 5)dy =
∫(4− 2x)dx+ C
y3 − 5y = 4x− x2 + C
elde ederiz. Bu cozum, x in acık bir fonksiyonu olarak y ye gorecozulemez.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 10/ 18
Ayrılabilir Denklemler
ORNEK 4
dy
dx=
4− 2x
3y2 − 5
diferansiyel denklemini cozunuz.
COZUM
Degiskenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak∫(3y2 − 5)dy =
∫(4− 2x)dx+ C
y3 − 5y = 4x− x2 + C
elde ederiz. Bu cozum, x in acık bir fonksiyonu olarak y ye gorecozulemez.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 10/ 18
Ayrılabilir Denklemler
Bir onceki ornekte oldugu gibi cozum y(x) = F (x) seklinegetirilemeyebilir.
G(x, y) = C (C keyfi sabit.)
Formunda elde edilen ve y(x) = F (x) halinde yazılamayancozume Kapalı Cozum adı verilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 11/ 18
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
BIRINCI MERTEBEDEN DOGRUSAL(LINEER)DENKLEMLER
dy
dx+ P (x)y = Q(x) (2)
formunda olan diferansiyel denklemlere birinci mertebedendogrusal (lineer) diferansiyel denklem adı verilir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 12/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.
µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy
=d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
YONTEM
1. Cozumeµ(x) = e
∫P (x)dx (3)
fonksiyonunu hesaplıyarak baslayınız.µ(x) fonksiyonuna integral carpanı adı verilir.
2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile carpınız.Denklemin sol tarafı
e∫P (x)dx dy
dx+ P (x)e
∫P (x)dxy =
d
dx[µ(x)y(x)]
olacaktır.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 13/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x) =
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x) =
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x)
=
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklememizd
dx[µ(x)y(x)] = µ(x)Q(x)
seklini alır.
3. Her iki tarafın integralini aldıgımızda
µ(x)y(x) =
∫µ(x)Q(x)dx+ C
buluruz ve genel cozumu elde etmek icin y(x) e gore cozeriz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 14/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.
Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx
= e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 5
y′ − 2y = 3e2x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Diferansiyel denklemimizde P (x) = −2 ve Q(x) = 3e2x dir.Integral carpanımız
µ(x) = e∫(−2)dx = e−2x
dir.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 15/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)]
= 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemimizin her iki tarafını e−2x ile carparsak
e−2xy′ − 2e−2xy = 3e−2xe2x
Elde ettigimiz denklemin sol tarafı aslında e−2xy(x) carpımınınturevidir
d
dx[e−2xy(x)] = 3
Integral alalım ∫d
dx[e−2xy(x)]dx =
∫3dx
e−2xy(x) = 3x+ C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 3xe2x + Ce2x
genel cozumunu elde ederiz.Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 16/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1)
= (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
ORNEK 6
(x2 + 1) dydx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel cozumunubulunuz.
COZUM
Integral carpanımızı hesaplayalım
µ(x) = e∫
3xx2+1
dx
µ(x) = e32ln(x2+1) = (x2 + 1)3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 17/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18
Birinci Mertebeden Dogrusal Denklemler
Denklemin her iki yanını µ(x) ile carpalım
(x2 + 1)3/2dy
dx+ (x2 + 1)1/23xy = (x2 + 1)3/2
6x
(x2 + 1)
d
dx[(x2 + 1)3/2y(x)] = 6x(x2 + 1)1/2
Intagral alalım
(x2 + 1)3/2y(x) =
∫6x(x2 + 1)1/2dx+ C
(x2 + 1)3/2y(x) = 2(x2 + 1)3/2 + C
y(x) i yanlız bırakırsak
y(x) = 2 + C(x2 + 1)−3/2
Ogr.Gor.Dr. A. Sevimlican MAT 2011 - MATEMATIK III 18/ 18