Biomatematika 1Deriválási szabályokMagasabb rendű derivált

Dr. Bugyi Beáta2019

Bizonyítsuk, hogy szabadesés során a gyorsulás minden időpillanatban állandó.

52A BAD ESE 's

by dyct )

yet )=5t'

Up ( t ) = him = = lototoot dt

Ap C t ) = ?

Na - Vga =

fz - At

v ( t ) rrcttot )I I >

t e t totot→0

derivált, differenciálhányados# a sebesség-idő függvény idő szerinti deriváltja = pillanatnyi gyorsulás# a sebesség időbeli változásának mértéke

V ( t ) = tot

DIFFERENCLA HAINYADOS

vfttot ) - vlt ) loft tot ) - lot rott root - lot

Ap n = = = to

Ot ot at

DIFFERENCE I At L H At NYADOS,

DERNA'

LT

Ap = him

10=10 ( Fa )Ot→ O

(

LitNEM BEFOLYAISOLTA ! )

Magasabb rendű derivált

11

y ( t )=5t' EL so

> vftjedylt )mot

Els 'd, act y =

duct )= he

DERNA 'LTIt DERIVALT It

^

MAISODREND"U DERNA 'U-

fELS "O REND "U HAINYSZOR DERNALOK tx

DERIV At LT

d

"oH=v'C t )a ( t ) =

,at

yMAISODREND "U HA'NYS20R DERIVALOK 2X

d2y( t )

DERIVALT

act )= =y" C t )dt

'

f n - ED REND "U HA'NYS20R DERNALOKNX

DERIV At LT

dnfcx )C x )

d×n= fth

'

Deriválási szabályok 1 - elemi függvények

HATVAINY fcx ) = XN

f- Cx ) dfcx )DX

2 yX2x fix )

> aN n -1

XNX m=1

X = X'

1×0=1 2X

I -- x

- '- ex

- E - I .

D= x" 12×12-1=12×-1--121

o0-1 fix )

1= X OX =D s a

m = O

> x

EXPONENCIALIS fcx )=a× TRIGONOMETRIKUS

f C x ) dfcx ) fcx ) dfcx )

dx dx

XA a×lna Strix cost

£ e×hne=e× cosx - Smx

tax 1

LOGARITMUS fcx ) = bogax cost

1cotx-

fcx ) dfcx ) sink

DX

logax logaex

line llnx =

x x

Deriválási szabályok 2 - műveletekkel összekapcsolt függvények

( fix ) ±gcx ) )'

= f' Cx ) ±g'

C x )

( f Cx ) . gcx ) )'

= f' Cx ) gcx ) t f C x ) g'C x )

(text

,y

'=

ftxlgcx ) - f C x ) gkx)

gcx g' Cx )

( c f Cx ) )'

= of'

Cx )

Konstansok

( 3lnx )'

= (3)'lnxt3flnxj-olnxt3.ly =3 ' I

TENYEZO"

( . )D

s TENYEZO"

( a.) lmarad'

( 3 thnx )'

= (3)'

t ( lnx )'

= Ot I×=×I

TAG ( ± ) s O iettiinik'

Deriválási szabályok 3 - összetett függvények

Hiearchia a függvényekben

ELEMI it SSZETEIT

2

X"

,1 ( xtt )

2Xex,

2x e

2

SMX,

X' SING ' ) ; thx )

a

2x BELSO"

FV.

PL.

X - t e "= ?e

T kills 'd Fv.

1. 2 . X = 2.1=2 BELS "O FV

.

v 2. e

"= e

"

kills "OFV.

BELSO"

FV. kills 'd FV

.j a

( xtl )' PL

.

x -1 ( xtt ) ! ?

r.

X -11--1+1=2 BELS "O FV.

v 2. ( xtt ) I ( 212=4 kills "OFV

.

L At NC 52 ABA 'll

( 0552 ETEIT FV )'

= ( BELS "O FV )'

( kills "o FV )'

( fcgcx ) ) )'

= g' Cx ) f' l gcx ) )

2×73ELSE FV

. BELS 'd : 2X ( 2x ) !

2gBELGE Fv NEM

,52dm 'T '

eEkins'd FV

.

kills "o : e"

= e ( e y'

= e2x

( e"

) '= 2e"

A 11I

sinfxz )BELSO

"

FV. BELSO : X

'

( X'

) = 2x

(kills "O FV

.

← BELS 'd FV NEM,

52A 'm 'T '

Il

kiilso : SIN ( x'

) - SING )

( SMC1)'

= cos ( x' )

( sin ( x'

) )'

= 2X cosx'

- kills "OFV.

"

(

Smx)

' BELSO : SMX ( sinx ) ! SX

(BELS it FV

.← BELS 'd FV NEM

,52A 'm 'T '

Il

kiilso

:(Smx)

'

= f )'

¢5)'

=2(Smx )

(( Smx )'

)'

= 2. sinxcosx

L At No 52 ABA 'llg C x ) -

- U

( Oss ZETEIT FV ) ! ( BELS "O FV )"

( kills 't FV )"

fcgc×y=f( u )

( ffg ( x ) ) )'

= g'

C x ) f"

( glx ) ) OSSZETEIT > ELEMI.

- fcgcx ) )'

= ri . f' C u )sin ( ×2 )

BELSO"

FV. ( g )

> 2x cos ( x2 )

(kills "0FV

.( f )

µ = X'

u'

= ( X 2)'

= 2x

sin ( X' ) = Shu ( since ) '=

cosy = cos ( x' )

←kills 'd FV

.

(SMX) > 25in XCOSX

(BELSO

"

FV.

u = Smx ul = ( Smx )'

= cogx

( Smx )'

= rid ( u'

) ! Lu = Zsinx