Ball and Beam

1

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACION ENCOMPUTACION

Control Dual PD con compensador no-lineal parael sistema mesa esfera

Tesis que presenta elM. en C. Sergio Galvan Colmenares

para obtener el grado deDoctor en Ciencias de la Computacion

Directores de Tesis:Dr. Marco Antonio Moreno ArmendarizDr. Floriberto Ortiz Rodrıguez (ESIME Zacatenco)

Mexico D.F. 29 de Julio del 2013.

Dedicatoria

A Frida, el amor de mi vida,por su apoyo, carino y motivacion.

4

Agradecimientos

Hace cuatro anos cuando inicie el doctorado, el final se veıa muy lejano y el camino parecıa muycomplicado. Hoy que he logrado mi objetivo, el principio me parece cercano y el camino recorrido loobservo sencillo. Esta sensacion, estoy seguro, la debo en gran manera al apoyo de muchas personase instituciones. En forma especial quiero agradecer a los siguientes:

A mi asesor, el Dr. Marco Antonio Moreno Armendariz por su apoyo incondicional, sus multiplesconsejos y sus valiosas ensenanzas. A mi codirector, el Dr. Floriberto Ortiz Rodrıguez, por toda sumotivacion, su enorme confianza, y su paciencia.

A mis companeros y amigos, por todo su apoyo, su companerismo, y sus valiosas sugerencias ycomentarios.

Al CONACYT por el apoyo economico que me otorgo durante estos cuatro anos, al Centrode Investigacion en Computacion, por la gran oportunidad de realizar mis estudios en la mejorinstitucion de computacion del paıs.

Finalmente, a mi familia, mis papas, hermanas, por su gran carino y motivacion.

Tambien a mi esposa por su paciencia, confianza, y por todas esas alegrıas y preocupaciones quecompartimos.

5

Resumen

El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede moverse

libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba multiples estrategias de

control. Este trabajo discute un metodo de regulacion para el sistema mesa-esfera, el problema

es disenar leyes de control las cuales generan un voltaje u para los servomotores, los cuales mueven

la esfera de su posicion actual hacia la posicion deseada. Los controladores son construidos agregando

compensadores no-lineales a controladores tipo PD. Ası es posible mejorar la precision del control.

Para llegar a esto, primero se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, ası como

el modelo dinamico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que

conforman el modelo dinamico. Tambien se hace mencion del metodo empleado para encontrar las

leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus

respectivas ventajas y desventajas. Para asegurar la estabilidad del sistema completo acoplado,se

emplea el metodo directo de Lyapunov. Para ello se realiza una transformacion del sistema mesa

esfera, al modelo general la ecuacion dinamica de un robot manipulador. Se plantea el desarrollo

matematico para obtener la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado. Por

ultimo, se ilustran los resultados obtenidos mediante simulaciones numericas. Se muestran las graficas

del desempeno del controlador propuesto, se observa el comportamiento de la posicion y velocidad de

la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. Tambien se realizan diversas simulaciones comparando

con otros dos metodos para validar las leyes de control propuestas.

6

Abstract

The ball and plate system has four degrees of freedom and consists of a ball that can move freely

on the plate. This makes it attractive for multiple testing control strategies.

In this thesis, the normal proportional derivative (PD) control is modificated into a new dual

form for the regulation of a ball and plate system. First, to analyze this controller, a novel complete

nonlinear model of the ball and plate system is obtained. Second, an asymptotic stable dual PD

control with a nonlinear compensation is developed. Finally, the simulation results of ball and plate

system are provided to verify the effectiveness of the proposed methodology.

7

Indice general

Dedicatoria 4

Agradecimientos 5

Resumen 6

Abstract 7

1. Introduccion 11.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2. Objetivos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.3. Aportacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Trabajos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Marco Teorico 112.1. El sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Dinamica y Control de un Robot Manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1. Modelo mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Control tipo PD de un Robot Manipulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Analisis de la Estabilidad de los Sistemas no-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1. Estabilidad de los Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2. Aproximaciones Lineales de los sistemas no-lineales . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.4. Principio de Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Logica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.1. Aplicaciones de la logica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5.2. Teorıa de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.3. Funciones de Pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.4. El Controlador Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6. Fusificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7. Defusificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

INDICE GENERAL I

3. Control Dual PD con compensador 283.1. Diseno del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Transformacion del modelo mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. Analisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Evaluacion y discusion 444.1. Fase de simulacion: Modelado Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Fase de simulacion a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1. Control PD con Compensador y sin compensador . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2. Control con logica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3. Resultados de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Conclusiones y trabajos futuros 565.1. Artıculos aceptados y en revision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Referencias 57

Indice de figuras

1.1. Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38] . . . . . . . . 71.2. Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43] . . . . . . . 81.3. Ball and Beam module construido por Quanser [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Ball and Beam construido por Hirsch [40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41] . . . . . . . . . . . . 101.6. Mesa-esfera construido por Cheng [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Trayectorias: (a) estable, (b) inestable y (c) asintoticamente estable. . . . . . . . . . 182.3. Ejemplos de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Estructura de un modelo difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1. Esquema de control del sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1. Bloque de simulink del sistema completo a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . 454.3. Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-y . . . . . . . . . 454.4. Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la mesa sobre el eje-x . . . . . . . . . 464.5. Resultados de Simulacion; Desplazamiento la mesa sobre el eje-y . . . . . . . . . . . 464.6. Esquema de control PD Dual con compensador en Simulink . . . . . . . . . . . . . . 474.7. Bloque de simulink del controlador fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.8. Bloque de simulink de la funciones de membresia de posicion . . . . . . . . . . . . . 484.9. Bloque de simulink de la funciones de membresia de velocidad . . . . . . . . . . . . . 494.10. Bloque de simulink de la funciones de membresia del par . . . . . . . . . . . . . . . . 494.11. Bloque de simulink de las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.12. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x sin compensador 504.13. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y sin compensador 514.14. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x con compensador 514.15. Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y con compensador 524.16. Comparacion tres metodos; Posicion de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . . 524.17. Comparacion tres metodos; Velocidad de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . 534.18. Comparacion tres metodos; Senales de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

II

Indice de tablas

4.1. Constantes de los controladores PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2. Simulaciones con el control PD Dual con Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3. Simulaciones con el control de logica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4. Simulaciones con el control PD Dual sin Compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Motivacion

La motivacion principal de este trabajo es mostrar la importancia del diseno de controladores

para sistemas no-lineales, ası como las ventajas y desventajas que conlleva el usar este tipo de

controladores. Tambien se pone enfasis en como el modelado de un sistema fısico que es descrito

mediante ecuaciones matematicas, puede utilizarse para disenar las leyes de control necesarias para

que se comporte de acuerdo con los requerimientos propuestos, tomando en cuenta las limitaciones

propias del sistema y de los dispositivos utilizados para alcanzar dichos requerimientos.

1.2. Planteamiento del Problema

Hoy en dıa el control de procesos es usado en una gran variedad de ambitos por la eficiencia y

seguridad que dan a los sistemas en general, dicho control se realiza ya sea por medio de dispositivos

fısicos o de software, de los cuales existe una gran diversidad, entre ellos se encuentra el controlador

PD que es utilizado extensamente en la industria por las importantes funciones que realiza, las

cuales permiten un amplio control de los multiples sistemas existentes. En la actualidad son muchas

las funciones y problemas se trabajan mediante el control de un proceso, ya sea para controlar

lo posicion de un objeto, el nivel de una sustancia, o la temperatura de un lıquido, estos controles

pueden ser mediante los metodos clasicos de control despues de linealizar el sistema a controlar, o por

las nuevas tecnicas como la logica difusa, redes neuronales, etc... Tambien se realizan controladores

para sistemas no-lineales, determinando las leyes de control para los diversos procesos.

Lo anterior lleva a la siguiente pregunta: ¿Como poder realizar el control de la posicion mediante

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

un esquema de control que considere todos el modelo completo y acoplado no-lineal del sistema

mesa-esfera?

1.3. Hipotesis

Es posible desarrollar un sistema de control, para un sistema no-lineal sin tener la necesidad de

tener que hacer el proceso de linealizar el modelo, y que mediante la comparacion con otros metodos

se demuestre que el control propuesto alcanza el valor deseado en menor tiempo.

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo General

Disenar un control PD con compensador no-lineal, para control de regulacion del sistema mesa-

esfera y su analisis de estabilidad mediante el metodo directo de Lyapunov.

1.4.2. Objetivos Particulares

1. Realizar un estudio del estado del arte sobre los trabajos que utilizan el sistema mesa-esfera.

2. Disenar las leyes de control para en un sistema de control en cascada para controlar la posicion

de la esfera sobre la mesa.

3. Desarrollar el analisis de estabilidad de un control PD con compensador no-lineal.

4. Llevar a cabo simulaciones en Matlab del sistema, considerando el modelo completo y acoplado.

1.4.3. Aportacion

La principal aportacion de esta tesis es el desarrollar el analisis de estabilidad del sistema no-

lineal completo y acoplado. Para ello adicionalmente se realiza la transformacion del modelo del

sistema a la forma de la dinamica de un robot manipulador.

1.5. ESTRUCTURA DE LA TESIS 3

1.5. Estructura de la tesis

La conformacion de la tesis es la siguiente:

En la Introduccion se explica con detalle la motivacion de la tesis, se plantea de forma general

cual es el problema de control, cual es su relevancia y se detalla cada uno de los objetivos particulares.

En el Capıtulo 2 se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, ası como

el modelo dinamico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que

conforman el modelo dinamico, por ultimo se hace mencion del metodo empleado para encontrar las

leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus

respectivas ventajas y desventajas.

En el Capıtulo 3 se describe la aportacion principal de esta tesis, a saber, condiciones para la

estabilidad del sistema mesa-esfera bajo una accion PD mas un compensador no-lineal. Se plantea

el desarrollo matematico de la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado.

El Capıtulo 4 ilustra los resultados obtenidos mediante simulaciones numericas. En este capıtulo

se observa de manera grafica el desempeno del controlador propuesto, se muestra el comportamiento

de la posicion y velocidad de la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. Tambien se realizan

diversas simulaciones comparando con otros dos metodos, para validar las leyes de control propuestas.

En el Capıtulo 5 se discuten los resultados obtenidos en esta tesis, es decir, cuales son las

implicaciones de los resultados obtenidos, el impacto de estos, ademas de detallar cual a sido la

principal aportacion en el campo de control no-lineal. En esta seccion tambien se mencionan los

trabajos futuros que se puede desarrollar a partir de este trabajo de tesis. Finalmente se describe un

listado de los artıculos que se encuentran aceptados y en revision derivados de este trabajo.


1.6. Estado del arte

Los sistemas de control son una parte integral de la sociedad moderna y muchas aplicaciones

que nos rodean hace uso de un sistema de control. Un ejemplo de un sistema que utiliza la teorıa de

control es el sistema mesa-esfera. El sistema mesa-esfera es un modelo muy popular e importante de

laboratorio y muy utilizado en la ensenanza de la ingenierıa de control del sistemas.

El presente trabajo de tesis, trata del modelado, analisis y control visual de un sistema mesa-

esfera. El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede

moverse libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba multiples estrategias

de control. En nuestro caso, incorporamos un sistema de vision y un controlador proporcional-

derivativo mas un compensador no-lineal. Debido a la naturaleza del objeto a manipular en algunos

sistemas, como es el caso del sistema mesa-esfera, es casi imposible utilizar sensores convencionales

(ultrasonicos, infrarrojos, de presion, etc.) que permitan adaptarse a su entorno y proporcionar

informacion adecuada para realizar una determinada tarea, ya que esta depende de un conocimiento

a priori de su espacio de trabajo y de la localizacion del objeto a manipular. Una caracterıstica

importante del sistema mesa-esfera es la incorporacion del sistema de vision, el cual tienen como

ventaja principal mimetizar el sistema de vision humana que es capaz de obtener rasgos del objeto

a manipular. Esta informacion sera usada por el controlador.

Muchos investigadores han investigado el problema de regulacion en el sistema mesa-esfera.

El sistema mesa-esfera es uno de los mas famosos e importantes modelos de laboratorio para la

ensenanza. El sistema mesa-esfera es una planta multi-variable, la cual es la extension de el tradicional

sistema barra-esfera [1]-[6]. El sistema barra-esfera tiene dos grados de libertad el cual consiste en una

esfera rodando sobre una barra rıgida. De otra manera, El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados

de libertad el cual consiste en que una esfera puede rodar libremente sobre una mesa rıgida. Este

sistema no a atraıdo demasiado la atencion ; la principal desventaja de este sistema es la dificultad

de construirlo. Sin embargo, se considera que este sistema tiene un enorme potencial como mesa de

pruebas para diferentes estrategias de control como control con redes neuronales [7], logica difusa

[8]-[12], [13] y [6], control convencional [14], analisis de estabilidad [15] y [16], control no-lineal [17]-

1.7. TRABAJOS RELACIONADOS 5

[19], control con modos deslizantes [20],[21] y [22], etc. El objetivo de esta investigacion es desarrollar

un control PD para regulacion con compensacion de los terminos no-lineales del sistema, capaz de

controlar la posicion de la esfera sobre la mesa para ambos ejes (x, y). La posicion inicial de la mesa

es aquella donde no existe inclinacion en ninguno de los ejes. Para mover la esfera de la posicion

inicial a la posicion deseada, se generan inclinaciones del plano mediante un servomotor para cada

eje. La posicion de la esfera sobre la mesa sera medida mediante una camara, ver todos los detalles

en [13]. Se ha trabajado con una version del sistema barra-esfera, este sistema tiene dos grados de

libertad y nuestro grupo de investigacion a obtenido muy buenos resultados [23]. En este trabajo fue

realizado usando el prototipo del sistema mesa-esfera [24], en esta tesis se analizara la estabilidad

del control PD para regulacion con el modelo no-lineal completo del sistema mesa-esfera.

Ası que con el fin de mejorar la precision del control y la estabilidad del sistema, se introduce un

compensador no-lineal, y se utiliza junto con PD para controlar el movimiento de la esfera sobre el

plano.

Las dificultades para controlar el sistema son los siguientes:

1. El sistema mesa-esfera tiene 8 variables de estado, que es difıcil de ser representado por

un modelo matematico preciso y ser controlado de manera eficaz por algoritmos de control

tradicionales.

2. El sistema es no-lineal e inestable.

Las principales aportaciones de este trabajo son la introduccion de un nuevo algoritmo de control

para el sistema mesa-esfera y el analisis de estabilidad.

1.7. Trabajos relacionados

En [25], una nueva funcion de Lyapunov es propuesta la cual puede ser utilizada para disenar

un esquema de control estable (switching control). Ellos introdujeron nuevos conceptos acerca de

sus metodos de control mediante Lyapunov. Ellos implementaron herramientas para encontrar un


esquema de control que sea asintoticamente estable para el sistema mesa-esfera. En [19], presentan

un metodo de control de modos deslizantes para el sistema barra-esfera. Los autores disenaron un

modelo deslizante estacionario y uno dinamico del sistema. El primero usa el modelo simplificado

del sistema barra-esfera para disenar el modelo estacionario, el segundo es un controlador dinamico

de modos deslizantes para el sistema, los autores usan el modelo completo para disenar estos

controladores. En [26], el objetivo de control es controlar un brazo de robot para alcanzar el objeto

deseado mediante un sistema de vision. Este estudio incluye tambien un analisis de estabilidad

mediante Lyapunov. En esta tesis incluiremos un analisis similar de estabilidad mediante el metodo

de Lyapunov, transformamos el sistema completo del mesa-esfera en una estructura dinamica de

robot. En [27] discuten la concepcion y desarrollo de un sistema mesa-esfera basado en los principios

de un diseno mecatronico. Ellos disenan un controlador basado en el modelo lineal del sistema mesa-

esfera, un controlador PID controlador es adecuado para obtener una respuesta muy rapida. Ellos

desarrollan su propio prototipo usando la herramienta para prototipos de control en tiempo real del

programa dSpace. En [22] los autores presentan un control servo-visual para el sistema mesa-esfera

para guiar a la esfera a su trayectoria deseada. Un controlador de modos deslizantes es disenado.

Muchos autores prefieren los tecnicas de control difuso, tales como [28], ellos proponen un esquema

de control difuso jerarquico y ellos proponen algoritmos geneticos para controlar y ajustar el valor

de las funciones de membrecıa de salida del controlador difuso para optimizar la trayectoria de

la esfera. En [29] y [15], los autores usan un control PD con compensador exacto para realizar la

sincronizacion de dos sistemas barra-esfera, despues una red neuronal de funcion radial es aplicada

para aproximar el compensador no-lineal. En este trabajo la sincronizacion puede ser en paralelo y

serie y ellos tambien discuten la estabilidad del esquema de sincronizacion. En [31] G. Wang y Z.S.

Sun han realizado una investigacion preliminar sobre el sistema mesa-esfera, en el que se detecta la

posicion de la esfera mediante una camara, un motor paso a paso se utiliza como mecanismo, y el

controlador ha sido disenado utilizando el metodo de control difuso.

El sistema de mesa-esfera en [32] se ha disenado para propositos educativos y desarrolla para

control de seguimiento a traves de control geometrico y controladores PID. HUMUSOFT [33] es un

sistema mesa-esfera que esta disponible comercialmente.


El sistema es un punto de referencia para poner a prueba diferentes sistemas de control no-

lineal. La regulacion de la salida (output regulation) del sistema mesa-esfera incluye el control de

la regulacion y el control de seguimiento de trayectoria. El control de regulacion es mantener la

esfera en una posicion deseada sobre la mesa y el seguimiento de una trayectoria se trata de que

el control mueva a la esfera para seguir un trazado geometrico sobre el plano. Ambas tareas son

difıciles, especialmente cuando los problemas de la precision deseada del seguimiento sea alta.

Arroyo [38] construyo el sistema denominado Barra esfera en 2005, como se observa en la Figura

1.1. El sistema emplea el sensor de hilo resistivo para medir la posicion de la bola. El sensor de

posicion actua como un limpiador similar a un potenciometro.

Figura 1.1: Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38]

Quanser [39] en el 2006 desarrollo un sistema barra esfera donde la senal del sensor se procesa en

un DSP. Se utilizo un motor de corriente continua con un reductor. El sistema estaba controlado por

un controlador PD. Este sistema es facil de construir, y el controlador PD era facil de disenar. Aunque

la posicion de la pelota fue controlada por el controlador PD, el angulo de inclinacion de la barra no

fue medido ni controlado. Por lo tanto, el sistema puede no ser muy robusto. El Departamento de

Ingenierıa Electrica de la Universidad de Lakehead construyo un sistema llamado el Ball and Beam


Balancer [43], como se muestra en la Figura 1.2. El sistema emplea un motor de CC con una caja de

cambios integrada, un sensor de la posicion del alambre resistivo, y un codificador digital. El sistema

tenıa una entrada (entrada de tension del motor) y dos salidas (la posicion de la bola y el angulo

de inclinacion de la barra). El sistema puede ser muy robusto debido a que el metodo de espacio de

estado con el controlador disenado.

Figura 1.2: Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43]

Quanser [39] presenta su producto comercial llamado ball and beam module, que se muestra en la

Figura 1.3. El modulo de barra y esfera consistio en el sensor de posicion hecho por cables resistivos

y un servo motor de corriente continua con una caja reductora. El sistema podrıa ser controlado por

un controlador PID o un controlador de espacio de estado.

Hirsch [40] construyo su Ball on Beam System en 1999. Una fotografıa del sistema se muestra en

la Figura 1.4. El sistema emplea un sensor ultrasonico para medir la posicion de la bola. El angulo

de la viga se midio mediante el uso de un potenciometro. El motor con una caja de cambios fue

impulsado con un circuito amplificador operacional de alta potencia. El sistema esta controlado por

un controlador PD. El sistema de Hirsch era facil de construir debido a la configuracion mecanica

sencilla.

Lieberman [41] construyo un sistema llamado A Robotic Ball Balancing Beam’, que se muestra

en la Figura 1.5. El sistema es similar al sistema barra esfera [40]. La diferencia entre los dos sistemas

es que el sistema de Lieberman utiliza un sensor de la posicion del alambre resistivo, y el sistema de

Hirsch utiliza un sensor de posicion ultrasonico.


Figura 1.3: Ball and Beam module construido por Quanser [39]

Figura 1.4: Ball and Beam construido por Hirsch [40]

Cheng [42] desarrollo un prototipo de mesa-esfera, figura 1.6. El sistema se construye mediante

dos actuadores magneticos de suspension de dos grados de libertad. Para obtener un rendimiento de

control, emplean un microprocesador de un solo chip, sirviendo como nucleo de control. Realizan el

diseno del control a lazo cerrado, y el analisis de estabilidad mediante Lyapunov. Varios escenarios

de operacion dinamica, incluyendo oscilatoria, estabilizacion y seguimiento de la trayectoria circular

ponen a prueba para verificar el funcionamiento del sistema y su capacidad. El modelado del sistema

se reduce de forma que el sistema queda desacoplado, y ası resulta mas facil realizar el control.


Figura 1.5: A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41]

Figura 1.6: Mesa-esfera construido por Cheng [42]

Capıtulo 2

Marco Teorico

En este capıtulo se describe en una primera parte el modelo del sistema mesa esfera, el cual

consta de cuatro ecuaciones diferenciales, obtenidas mediante el metodo de Lagrange, despues se

describen las principales caracterısticas del controlador PD, este controlador es el seleccionado para

controlar la posicion de la esfera sobre la mesa, como se trata de un sistema no-lineal y acoplado

se le agrega un compensador para la parte no-lineal, este compensador es encontrado a partir de la

transformacion del sistema en una ecuacion que representa la dinamica de un robot manipulador,

cuyas caracterısticas se describen en este capıtulo, por ultimo se mencionan las definiciones de

estabilidad en el sentido de Lyapunov.

2.1. El sistema mesa-esfera

Para el sistema mesa-esfera descrito en la Figura 2.1, una esfera es puesta sobre una superficie

lisa donde podra rodar. El modelado del sistema mesa-esfera es presentado anteriormente en [24],

en esta tesis se desarrolla el modelo completo del sistema mesa-esfera, tomando en cuenta el sistema

acoplado, para el analisis de estabilidad se convertira el modelo en la forma de una ecuacion general

para representar sistemas mecanicos de la forma descrita en la ecuacion (2.1).

M(q)q + C(q, q)q + G(q) = Bq + Dπ (2.1)

En ausencia de friccion o de otros disturbios, la dinamica del sistema mesa-esfera puede ser

obtenida mediante el metodo de Lagrangiano.

11

12 CAPITULO 2. MARCO TEORICO

Figura 2.1: Sistema mesa-esfera

La energıa cinetica del sistema es:

Ec =12mv2

cdm +12Icdmw2 (2.2)

=12m(x2 + y2) +

12m(xθx + yθy)2 +

12Icdm

(x2 + y2

R

)+

12Icdm(θ2

x + θ2y) (2.3)

donde Ec es la energia cinetica de la esfera; m es la masa de la esfera; Icdm es el momento de inercia

de la esfera; R es la velocidad de la esfera; (x2 + y2) es la velocidad lineal de la esfera; x y y son la

posicion de la esfera sobre la mesa; θx y θy son posiciones angulares de la mesa; w es la velocidad

angular de la esfera; (θx2

+ θy2) es la velocidad angular de la mesa.

Por otro lado, la energıa potencial debido a la gravedad es:

Ep = −mG(x sin(θx) + y sin(θy)) (2.4)

donde Ep es la energıa potencial de la esfera; G es la aceleracion debido a la gravedad.

De (2.3) y (2.4), la ecuacion de Lagrange es:

L =12m(x2 + y2) +

12m(xθx + yθy)2 +

12Icdm

(x2 + y2

R

)+

12Icdm(θ2

x + θ2y)

−mG(x sin(θx) + y sin(θy))

(2.5)

2.1. EL SISTEMA MESA-ESFERA 13

Las ecuaciones de Lagrange de movimiento son:

∂

∂t

[∂L

∂x

]− ∂L

∂x= 0 (2.6)

∂

∂t

[∂L

∂θx

]− ∂L

∂θx= τx (2.7)

∂

∂t

[∂L

∂y

]− ∂L

∂y= 0 (2.8)

∂

∂t

[∂L

∂θy

]− ∂L

∂θy= τy (2.9)

donde τx y τy son el torque aplicado a la mesa.

El sistema completo mesa-esfera esta dado por las ecuaciones (2.10),(2.11),(2.12) y (2.13):

(m +

Icdm

R2

)x−mxθ2

x −myθxθy + mG sin θx = 0 (2.10)

(Icdm + mx2

)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx = τx (2.11)

(m +

Icdm

R2

)y −myθ2

y −mxθxθy + mG sin θy = 0 (2.12)

(Icdm + my2

)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy = τy (2.13)

donde:

x: Representa la posicion de la esfera sobre el plano en el eje x

y: Representa la posicion de la esfera sobre el plano en el eje y

θx: Representa la posicion angular de la mesa en el eje x

θy: Representa la posicion angular de la mesa en el eje y

τx: Torque aplicado al plano en el eje x

τy: Torque aplicado al plano en el eje y

G: Aceleracion debido a la gravedad

R: Radio de la esfera

M : Masa de la esfera

Icdm: Momento de inercia de la esfera es 25MR2


2.2. Controlador PD

Un tipo de controlador que funciona como un amplificador con una ganancia constante k se conoce

como control proporcional, ya que la senal de control a la salida del controlador esta relacionada con

la entrada del controlador mediante una constante proporcional. El controlador de tipo Proporcional

derivativo (PD) presenta la siguiente funcion de transferencia (2.14):

G(s) = KP + KDs (2.14)

donde KP , KD son las constantes proporcional y derivativa. El control proporcional es un tipo

de controlador basico, pero utilizado ampliamente en la industria y en muchos de los aparatos de

uso cotidiano. La gran extension de su uso radica en que no se necesita conocer mucho sobre teorıa

de control o modelado matematico de sistemas para utilizarlo de forma eficiente, dado la facilidad

de sintonizacion, si los requerimientos de desempeno no son muy estrictos.

Una de las desventajas de los controladores P y PI, es que su respuesta al escalon presenta un

sobrepaso maximo muy grande. Esto es generalmente indeseado, con mayor razon en sistemas como

el presentado en este trabajo, en donde un sobrepaso grande puede convertirse en sacar la esfera

fuera de la mesa. Ademas de esto, el sobrepaso demanda un esfuerzo extra para los motores y para

las partes mecanicas de la mesa, ocasionando desgaste de los mecanismos y desperdicio de energıa.

Si en un control proporcional se intenta disminuir el sobrepaso se debe de disminuir la ganancia

proporcional (KP) y esto implica que el sistema sea mas lento y que tenga un error en estado

estacionario mayor. Por otra parte, el controlador PI por sı mismo tiene el efecto de aumentar el

sobrepaso maximo. Si se intenta reducir, se disminuyen las ganancias proporcionales (KP) e integral

(KI), lo que tendrıa como consecuencia el aumento en el tiempo de asentamiento del sistema y en el

tiempo en el que el sistema llega al error cero en estado estacionario. El controlador proporcional y

derivativo (PD), soluciona el problema del sobrepaso maximo anadiendo una accion correctiva que

es proporcional a la derivada del error de posicion.

2.3. DINAMICA Y CONTROL DE UN ROBOT MANIPULADOR 15

2.3. Dinamica y Control de un Robot Manipulador

2.3.1. Modelo mecanico

En este trabajo se transforma el modelo completo y acoplado del sistema mesa-esfera en la forma

de la dinamica de un robot manipulador rıgido de n eslabones conectados de manera serial[46], la

cual se escribe como:

M(q)q + C(q, q)q + G(q) + F (q) = τ (2.15)

donde q ∈ < es el vector de variables articulares y determina la posicion de los eslabones, q ∈ <n

es el vector de velocidades articulares, M(q) ∈ <n×n es la matriz de inercia, C(q, q) ∈ <n×n, es la

matriz de fuerzas centrıpetas y de Coriolis, G(q) ∈ <n representa el vector de gravedad, F (q) ∈ <n,

es un vector que contiene los terminos de friccion (friccion de Coulomb) y τ ∈ <n es el vector que

representa la entrada de control.

La ecuacion dinamica del robot (2.15) tiene las siguientes propiedades estructurales [46].

Propiedad 1. La matriz de inercia M es simetrica y definida positiva, es decir,

m1 ≤‖ M(q) ‖≤ m2 (2.16)

donde m1, m2 son escalares constantes positivos, y ‖ M(q) ‖ es la norma euclidiana del vector.

Propiedad 2. La matriz de fuerzas centrıpetas y de Coriolis es antisimetrica,

S(q, q) = M(q)− 2C(q, q) (2.17)

Por lo que la siguiente relacion se satisface

xT [M(q)− 2C(q, q)]x = 0 (2.18)

Propiedad 3. El vector de friccion es acotado, es decir,

‖F (q)‖ ≤ k (2.19)

con k constante


Propiedad 4. El vector de gravedad es acotado, es decir,

‖G(q)‖ ≤ gb (2.20)

con gb constante

2.3.2. Control tipo PD de un Robot Manipulator

La estructura de un control PD tradicional es:

τ = −KP (q − qd)−KD(q − qd) (2.21)

donde KP ,KD ∈ <n×n; son matrices diagonales definidas positivas, simetricas y constantes,

las cuales corresponden a las ganancias proporcional y derivativa, qd ∈ <n es la posicion articular

deseada, qd ∈ <n es la velocidad articular deseada. En esta tesis se discute el problema de regulacion,

por lo que qd = 0. En el caso de regulacion cuando se alcanza la posicion deseada se tiene que la

velocidad es cero.

2.4. Analisis de la Estabilidad de los Sistemas no-lineales

La estabilidad es una de las caracterısticas mas importantes de los sistemas dinamicos. Al analizar

la estabilidad de dichos sistemas, surgen diferentes problemas segun la manera en que se la caracterice

y los sistemas en consideracion. Por ejemplo, considerando sistemas lineales y estacionarios, existen

metodos para poder determinar su estabilidad, como el criterio de la respuesta al impulso, el criterio

de Routh y el de Nyquist. Sin embargo cuando se tratan sistemas no-lineales, estos metodos no

tienen validez.

La riqueza dinamica de los sistemas no-lineales presenta ciertos fenomenos que no se evidencian al

estudiar los sistemas lineales [34]-[35]. Uno de estos fenomenos es la existencia de multiples puntos de

equilibrio aislados. Un sistema lineal puede tener un solo punto de equilibrio aislado, y por lo tanto

un solo estado de regimen estacionario que“si el punto es asintoticamente estable ”atrae al estado del

sistema independientemente del estado inicial. En cambio, los sistemas no lineales pueden tener varios

puntos de equilibrio, y la convergencia a uno estable depende del estado inicial. Debido a esto, resulta

2.4. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS NO-LINEALES 17

importante estudiar la estabilidad de los diferentes puntos de equilibrio de los sistemas no-lineales

para poder entender mejor el comportamiento del mismo. En este trabajo se presenta la estabilidad

de los puntos de equilibrio de los sistemas no-lineales mediante el estudio del comportamiento del

estado en un entorno de los mismos. Para ello se presenta el concepto de estabilidad en el sentido

de Lyapunov como ası tambien una introduccion de los metodos de Lyapunov para el analisis de

estabilidad.

2.4.1. Estabilidad de los Puntos de Equilibrio

Un punto de equilibrio de un sistema dinamico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las

soluciones que nacen en las cercanıas del punto de equilibrio permanecen en dichas cercanıas; de otra

forma resulta inestable. El punto de equilibrio ademas es asintoticamente estable si las soluciones

ademas de permanecer en las cercanıas del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a medida que

transcurre el tiempo. Considerese el siguiente sistema autonomo:

x = f(x) (2.22)

Suponiendo que x ∈ D es un punto de equilibrio de 2.22; o sea f(x) = 0 , se pretende caracterizar

y analizar la estabilidad de x . Por conveniencia se considera x = 0 lo cual no representa una perdida

de generalizacion ya que cualquier punto de equilibrio x 6= 0 puede ser trasladado al origen mediante

el cambio de variable y := x− x con lo que se tiene:

y = x = f(x) = f(y + x) := g(y) (2.23)

con

g(0) = 0

En esta nueva variable y, el sistema y = g(y) tiene como punto de equilibrio al origen del espacio

de estados. En consecuencia , de ahora en mas se considerara que f(x) satisface f(0) = 0 y se

estudiara la estabilidad del origen del espacio de estados x = 0 como punto de equilibrio.

Definicion 1: Si φ(t; t0, x0) representa la solucion de 2.22 dada a partir de la condicion inicial

x(t0) = x0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces el punto de equilibrio x = 0 de 2.22 es:

Lyapunov estable si para cada ε > 0, hay un δ = δ(ε) > 0 tal que


‖x(0)‖ < δ ⇒ ‖φ(t; t0, x0)‖ < ε, ∀t > 0 (2.24)

Inestable si no es estable.

Asintoticamente estable si es estable y δ se puede elegir de modo que

‖x(0)‖ < δ ⇒ lımt→∞

φ(t; t0, x0) = 0 (2.25)

Figura 2.2: Trayectorias: (a) estable, (b) inestable y (c) asintoticamente estable.

En la Figura 2.2 se muestra una representacion grafica de la definicion 1 para los tres casos de

estabilidad definidos.

Una vez definidos los diferentes tipos de estabilidad de los puntos de equilibrio, es necesario

encontrar metodos para determinar la misma.

2.4.2. Aproximaciones Lineales de los sistemas no-lineales

Usualmente, el primer paso en el analisis de sistemas no-lineales es realizar una linealizacion en

torno a un punto de equilibrio y analizar el comportamiento del modelo lineal. Entonces el siguiente

teorema establece condiciones bajo las cuales es posible extraer conclusiones sobre la estabilidad

del origen como punto de equilibrio del sistema no-lineal a traves del analisis de estabilidad del

modelo linealizado en torno a dicho punto de equilibrio [34]-[35]. El Teorema se conoce como metodo

indirecto de Lyapunov.

Teorema 1 (Metodo Indirecto de Lyapunov): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema


no-lineal dado por x = f(x) donde f : D → <n , con D ⊂ <n, es continuamente diferenciable y D

es un entorno del origen. Sea la matriz Jacobiana

A =∂f

∂x(x)|x=0 (2.26)

Entonces, notando con λi a los autovalores de A(i = 1, ..., n).

El origen es asintoticamente estable si <eλi < 0, para todo λi.

El origen es inestable si <eλi > 0, para uno o mas autovalores de A.

Este Teorema brinda un simple procedimiento para determinar la estabilidad del origen como

punto de equilibrio de un sistema no lineal a traves de su modelo incremental lineal. Sin embargo,

todavıa es posible extraer mas informacion del sistema linealizado como lo muestra el siguiente

teorema:

Teorema 2 (Hartman-Grobman): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema no-lineal

dado por x = f(x) donde f : D → <n , con D ⊂ <n , es continuamente diferenciable y D es un

entorno del origen. Sea la matriz Jacobiana

A =∂f

∂x(x)|x=0, (2.27)

continua sobre D.

Entonces, si A no tiene autovalores nulos o imaginarios con parte real nula, existe un

homeomorfismo h, es decir una funcion que tiene inversa y ambas continuas definida en un entorno

abierto U del origen, tal que para cada x0 ∈ U , hay un intervalo abierto I0 ⊂ < que contiene al

cero de modo que para todo x0 ∈ U y t ∈ I0:

h(φ(t; t0, x0)) = eA(t−t0)h(x0) (2.28)

donde φ(t; t0, x0) representa la solucion de x = f(x) dada a partir de la condicion inicial x(0) = x0

a partir del instante inicial t =0.

Es decir, que h transforma las trayectorias del sistema no-lineal en las del sistema linealizado,

preservando la parametrizacion, o sea el sentido en el que se recorren.

Este teorema no solo brinda informacion sobre la estabilidad del punto de equilibrio sino que


tambien permite conocer cualitativamente el comportamiento de las trayectorias en un entorno del

mismo.

Ninguno de ambos teoremas establece condicion alguna cuando <eλi 6 0 para todo i, y

<eλi = 0 para algun i. En este caso, la linealizacion no es suficiente para determinar la estabilidad

del origen como punto de equilibrio del sistema no-lineal, como ası tampoco para establecer la forma

del retrato de fase entorno al origen, y se debe recurrir a alguna otra herramienta para el analisis.

2.4.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov

De la teorıa clasica de la Mecanica, es sabido que un sistema es estable si su energıa, una funcion

positiva, es continuamente decreciente, o sea tiene derivada negativa, hasta que el sistema alcanza

su estado de equilibrio [36]. El segundo metodo de Lyapunov es una generalizacion de este hecho.

Lyapunov demostro que ciertas otras funciones aparte de la funcion energıa pueden ser usadas para la

determinacion de la estabilidad del punto de equilibrio de un sistema. Antes de presentar el teorema

de Lyapunov se necesario revisar algunos conceptos.

Sea V : D → <. un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂ <n

que contiene al origen, entonces:

V (x) se dice que es una funcion definida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0 en D.

V (x) se dice que es una funcion semidefinida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0en D.

V (x) se dice que es una funcion definida negativa si −V (x) es definida positiva.

V (x) se dice que es una funcion semidefinida negativa si −V (x) es semidefinida positiva.

La derivada temporal de V sobre las trayectorias de 2.22 se denomina derivada orbital, se

denota V (x), y esta dada por:

V (x) =∂V

∂xx =

∂V

∂xf(x) = ∇V (x) • f(x) =

[∂V∂x1

∂V∂x2

... ∂V∂xn

]

f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x)

(2.29)

La derivada de V sobre las trayectorias del sistema depende de la ecuacion vectorial de estado

del sistema. De este modo, V (x) sera diferente para diferentes sistemas. Si φ(t; t0, x0) representa la


solucion de 2.22 dada a partir de la condicion inicial x(0) = x0 a partir del instante inicial t = t0 ,

entonces

V (x) =d

dtV (φ(t; t0, x0)) (2.30)

Consecuentemente, si V (x) es negativa, V sera decreciente sobre las trayectorias solucion de 2.22.

Ahora se esta en condiciones de presentar el segundo metodo o metodo directo de Lyapunov:

Teorema 3 (Metodo directo de Lyapunov): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema

x = f(x) y sea V : D → < un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio

D ⊂ <n que contiene al origen, entonces

Si V (x) es definida positiva y V (x) es semidefinida negativa, el origen es un punto de

equilibrio estable.

Si V (x) es definida positiva y V (x) es definida negativa, el origen es un punto de equilibrio

asintoticamente estable.

Una funcion V (x) que cumple con las condiciones impuestas en el teorema anterior se denomina

funcion de Lyapunov. Este metodo es una herramienta de analisis muy poderosa. Sin embargo,

presenta dos desventajas. La primera es que no hay un metodo sistematico para hallar una funcion de

Lyapunov por lo tanto hay que proponer una funcion candidata a funcion de Lyapunov y probar si la

misma cumple con los requisitos de estabilidad. La segunda es que el teorema solo brinda condiciones

suficientes por lo tanto el hecho de no encontrar una funcion candidata a Lyapunov que satisfaga

las condiciones de estabilidad o de estabilidad asintotica no significa que el origen es inestable o no

asintoticamente estable.

Se puede demostrar que si V (x) es una funcion de Lyapunov, el conjunto de los x tal que V (x) = c,

para alguna contante c > 0 es una hypersuperficie cerrada (denominada superficie de Lyapunov

o superficie de nivel) en el espacio de estados que encierra al origen. El uso de las superficies

de Lyapunov hace que el teorema sea facilmente interpretable. Las superficies que corresponden a

constantes decrecientes 0 < c2 < c1, se encuentran ıntegramente contenidas para el caso de <2.

La condicion V (x) ≤ 0 se puede interpretar geometricamente a traves de 2.29 ya que la misma

significa que el producto escalar entre el gradiente de V y el campo vectorial f es negativo:


∇V (x) • f(x) ≤ 0 (2.31)

Teniendo en cuenta que f es un vector tangente a la trayectoria solucion, la condicion V (x) =

∇V (x) • f(x) ≤ 0 significa que cuando una trayectoria cruza una superficie de Lyapunov, esta

trayectoria lo hace hacia adentro y nunca vuelve a salir. Ademas cuando V (x) < 0 las trayectorias se

mueven desde una superficie hacia otra interior correspondiente a un c menor. Cuando c decrece, las

superficies de Lyapunov correspondientes se achican hacia el origen mostrando que las trayectorias

se aproximan al origen a medida que transcurre el tiempo. En cambio, si V (x) ≤ 0 no se puede

asegurar que las trayectorias converjan al origen, pero se puede concluir que el origen es estable ya

que las trayectorias quedaran contenidas en algun entorno ε del origen si la condicion inicial x0 esta

dentro de alguna superficie de Lyapunov contenida en dicho entorno ε [34]-[35].

2.4.4. Principio de Invariancia

Cuando V (x) es semidefinida negativa, todavıa es posible determinar la estabilidad asintotica del

origen como lo muestra el siguiente corolario del Principio de Invariancia de LaSalle:

Corolario: Sea x = 0 un punto de equilibrio de 2.22. Sea V : D → <. una funcion definida

positiva continuamente diferenciable sobre el dominio D ⊂ <n que contiene al origen x = 0 ,y ademas

V (x) ≤ 0 en D. Sea S = x ∈ <n|V (x) = 0 . Si ninguna trayectoria solucion de 2.22 que entra en

la region S permanece alli indefinidamente salvo la solucion trivial, entonces el origen es un punto

de equilibrio asintoticamente estable.

Este Corolario establece que si para un sistema de la forma de 2.22 se encuentra una funcion

de Lyapunov que es semidefinida positiva, para concluir que el origen es asintoticamente estable se

debe demostrar que cuando las trayectorias entran en la zona del espacio de estado donde se anula

V no permanecen allı para siempre a menos que se este en el punto de equilibrio [34].

2.5. Logica Difusa

La cantidad y variedad de aplicaciones de la logica difusa han crecido considerablemente. La logica

difusa es una logica alternativa a la logica clasica que pretende introducir un grado de vaguedad en

las cosas que evalua. En el mundo en que vivimos existe mucho conocimiento ambiguo e impreciso

2.5. LOGICA DIFUSA 23

por naturaleza. El razonamiento humano con frecuencia actua con este tipo de informacion. La logica

difusa fue disenada precisamente para imitar el comportamiento del ser humano. La logica difusa

se inicio en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor de la Universidad de California en Berkeley. Surgio

como una herramienta importante para el control de sistemas y procesos industriales complejos,

ası como tambien para la electronica de entretenimiento y hogar, sistemas de diagnostico y otros

sistemas expertos [37]. La logica difusa en comparacion con la logica convencional permite trabajar

con informacion que no es exacta para poder definir evaluaciones convencionales, contrario con la

logica tradicional que permite trabajar con informacion definida y precisa.

¿En que situaciones es util aplicar la logica difusa? La logica difusa se puede aplicar en procesos

demasiado complejos, cuando no existe un modelo de solucion simple o un modelo matematico

preciso. Es util tambien cuando se necesite usar el conocimiento de un experto que utiliza conceptos

ambiguos o imprecisos. De la misma manera se puede aplicar cuando ciertas partes de un sistema

a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma confiable y cuando el ajuste de una

variable puede producir el desajuste de otras. No es recomendable utilizar la logica difusa cuando

algun modelo matematico ya soluciona eficientemente el problema, cuando los problemas son lineales

o cuando no tienen solucion.

2.5.1. Aplicaciones de la logica difusa

Actualmente la logica difusa tiene un sin numero de aplicaciones que afectan nuestra vida

cotidiana de alguna u otra manera, pero en ocasiones no nos percatamos. La logica difusa se ha

desarrollado en diferentes areas y a continuacion se mencionan algunas:

Control de sistemas: Control de trafico, control de vehıculos, control de compuertas en plantas

hidroelectricas, centrales termicas, control en maquinas lavadoras, control de metros (mejora

de su conduccion, precision en las paradas y ahorro de energıa), ascensores, etc. [37].

Prediccion de terremotos, optimizacion de horarios [37].

Reconocimiento de patrones y Vision por ordenador: Seguimiento de objetos con camara, re-

conocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensacion de vibraciones

en la camara, sistemas de enfoque automatico [37].


Sistemas de informacion o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos [37].

2.5.2. Teorıa de conjuntos difusos

La logica difusa permite tratar con informacion que no es exacta o con un alto grado de

imprecision a diferencia de la logica convencional la cual trabaja con informacion precisa. El problema

principal surge de la poca capacidad de expresion de la logica clasica.

Conjuntos Clasicos

Los conjuntos clasicos surgen por la necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos.

Estos conjuntos pueden definirse como un conjunto bien definido de elementos o mediante una funcion

de pertenencia µ que toma valores de 0 o 1 de un universo en discurso para todos los elementos que

pueden o no pertenecer al conjunto [37].

Un conjunto clasico se puede definir con la funcion de pertenencia mostrada en la ecuacion (2.32).

µA(x) =

0 Si x /∈ A

1 Si x ∈ A(2.32)

La necesidad de trabajar con conjuntos difusos surge del hecho que existen conceptos que no

tienen lımites claros. Un conjunto difuso se encuentra asociado por un valor linguıstico que esta

definido por una palabra, etiqueta linguıstica o adjetivo. En los conjuntos difusos la funcion de

pertenencia puede tomar valores del intervalo entre 0 y 1, y la transicion del valor entre cero y uno

es gradual y no cambia de manera instantanea como pasa con los conjuntos clasicos [7]. Un conjunto

difuso en un universo en discurso pude definirse como lo muestra la ecuacion (2.33).

A = (x, µA(x)) | x ∈ U (2.33)

Donde µA(x) es la funcion de pertenecıa de la variable x, y U es el universo en discurso. Cuando

mas cerca este la pertenencia del conjunto A al valor de 1, mayor sera la pertenencia de la variable

x al conjunto A, esto se puede ver en la figura 2.3

2.5. LOGICA DIFUSA 25

Figura 2.3: Ejemplos de conjuntos difusos

2.5.3. Funciones de Pertenencia

Aun cuando cualquier funcion puede ser valida para definir un conjunto difuso, existen ciertas

funciones que son mas comunmente utilizadas por su simplicidad matematica, entre estas se

encuentran las funciones de tipo triangular (2.34), mostrado en la figura 2.4, trapezoidal (2.35)

mostrado en la figura 2.5, gaussiana,etc.

µ(x) =

0 Para x ≤ a

x−am−a Para a < x ≤ m

b−xb−m Para m < x ≤ b

0 Para x > b

(2.34)

Figura 2.4: Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso triangular


µ(x) =

0 Para x ≤ a

x−ab−a Para a < x ≤ b

1 Para b < x ≤ c

d−xb−c Para c < x ≤ d

0 Para x > d

(2.35)

Figura 2.5: Funcion de pertenecıa de un conjunto difuso trapezoidal

2.5.4. El Controlador Difuso

La logica difusa se aplica principalmente en sistemas de control difuso que utilizan expresiones

ambiguas para formular reglas que controlen el sistema. Un sistema de control difuso trabaja de

manera muy diferente a los sistemas de control convencionales. Estos usan el conocimiento experto

para generar una base de conocimientos que dara al sistema la capacidad de tomar decisiones sobre

ciertas acciones que se presentan en su funcionamiento [37]. Los sistemas de control difuso permiten

describir un conjunto de reglas que utilizarıa una persona para controlar un proceso y a partir de

estas reglas generar acciones de control. El control difuso puede aplicarse tanto en sistemas muy

sencillos como en sistemas cuyos modelos matematicos sean muy complejos. La estructura de un

controlador difuso se muestra en la figura 2.6.

2.6. FUSIFICACION 27

Figura 2.6: Estructura de un modelo difuso

2.6. Fusificacion

La fusificacion tiene como objetivo convertir valores reales en valores difusos. En la fusificacion

se asignan grados de pertenencia a cada una de las variables de entrada con relacion a los conjuntos

difusos previamente definidos utilizando las funciones de pertenencia asociadas a los conjuntos difusos

[37].

Base de Conocimiento

La base de conocimiento contiene el conocimiento asociado con el dominio de la aplicacion y los

objetivos del control. En esta etapa se deben definir las reglas linguısticas de control que realizaran

la toma de decisiones que decidiran la forma en la que debe actuar el sistema.

Inferencia

La inferencia relaciona los conjuntos difusos de entrada y salida para representar las reglas que

definiran el sistema. En la inferencia se utiliza la informacion de la base de conocimiento para generar

reglas mediante el uso de condiciones, por ejemplo: si caso1 y caso2, entonces accion1.

2.7. Defusificacion

La defusificacion realiza el proceso de adecuar los valores difusos generados en la inferencia en

valores crisp, que posteriormente se utilizaran en el proceso de control. En la defusificacion se utilizan

metodos matematicos simples como el metodo del Centroide, Metodo del Promedio Ponderado [37].

Capıtulo 3

Control Dual PD con compensador

En este capıtulo se desarrolla el diseno del controlador de la posicion de la esfera sobre la mesa,

primero se obtienen las leyes de control mediante una configuracion cascada, se determinan cuantos

controladores se necesitan para realizar la tarea deseada, despues se transforma el modelo del sistema

mesa-esfera en la forma de la ecuacion dinamica de un robot manipulador para poder realizar el

analisis de estabilidad, con el modelo transformado se realiza el analisis de estabilidad mediante el

metodo directo de Lyapunov con lo cual se obtiene las ecuaciones del compensador no-lineal.

3.1. Diseno del controlador

Para realizar el diseno del controlador se considera primero el modelado del mesa-esfera descrito

en el capitulo 2.

(m +

Icdm

R2

)x−mxθ2


(Icdm + mx2

)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx = τx (3.2)

(m +

Icdm

R2

)y −myθ2


(Icdm + my2

)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy = τy (3.4)

En la Figura 3.1 se muestra el diagrama de control a lazo cerrado con compensador. El diseno

28

3.1. DISENO DEL CONTROLADOR 29

Figura 3.1: Esquema de control del sistema mesa-esfera

del controlador PD se realizo en configuracion cascada, teniendo dos lazos de control para cada uno

de los ejes (x, y), La configuracion cuenta con un lazo externo de control el cual calcula el error de

posicion de la esfera para obtener el valor de salida del controlador PD1, esta salida es la posicion

angular deseada de la mesa para cada uno de sus ejes(θx, θy), el lazo interno de control determina el

error de la posicion angular de la mesa para obtener el valor de la salida del controlador PD2, esta

salida es el par aplicado a la entrada del modelo del sistema mesa esfera.

Primero se define la variable q, como un vector que contiene la posicion de la esfera (x, y) y la

posicion angular de la mesa (θx, θy):

q =

x

θx

y

θy

(3.5)

Por lo tanto qT se define como:

qT =[x θx y θy

](3.6)

Para el caso de regulacion la velocidad q = 0, por lo tanto el error de reguacion se define como:

El error de regulacion eje x:

x = x∗ − x (3.7)

30 CAPITULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR

El error de regulacion eje y:

y = y∗ − y (3.8)

La ley de control del eje x, es de la siguiente forma:

Para obtener el valor de entrada al sistema mesa-esfera, se considera el valor del controlador PD

mas el valor de un compensador no-lineal πx. Por lo tanto, se tiene que la ley del lazo interno de

control se describe como sigue,

Ux = kpmx(θ∗x − θx) + kdmx(θ∗x − θx) + πx (3.9)

para el lazo externo, la ley de control es descrita de la siguiente forma,

θ∗x = kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x) (3.10)

La ley de control del eje y, es de la siguiente forma:

Para obtener el valor de entrada al sistema mesa-esfera, se considera el valor del controlador PD

mas el valor de un compensador no-lineal πy. Por lo tanto, se tiene que la ley del lazo interno de

control se describe como sigue,

Uy = kpmy(θ∗y − θy) + kdmy(θ∗y − θy) + πy (3.11)

para el lazo externo, la ley de control es descrita de la siguiente forma,

θ∗y = kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y) (3.12)

Donde kpmx,kdmx y kpmy,kdmy son constantes positivas de los controladores de la mesa, kpex,kdex

y kpey,kdey son ganancias de los controladores de la esfera.

Para problemas de regulacion el objetivo de control es estabilizar la esfera en una posicion deseada

(x∗, y∗), por lo tanto (x∗, y∗) = (0, 0). Tomando en consideracion esto, las leyes de control pueden

ser simplificadas sustituyendo la ecuacion (3.10) en la ecuacion (3.9) para el eje x de la siguiente

forma:

3.1. DISENO DEL CONTROLADOR 31

Ux = kpmx [(kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x))− θx] + kdmx(θ∗x − θx) + πx (3.13)

Para el eje y sustituimos la ecuacion (3.12) en la ecuacion (3.11):

Uy = kpmy [(kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y))− θy] + kdmy(θ∗y − θy) + πy (3.14)

Se calcula θ∗x, derivando la ecuacion 3.10:

θ∗x = kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x) (3.15)

Y se calcula θ∗y, derivando la ecuacion 3.12:

θ∗y = kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y) (3.16)

Como x y y, representan a la derivada, se tiene que las constantes kpex y kpey se transforman en

kdex y kdey, reescribiendo las ecuaciones (3.15) y (3.16) de la siguiente forma:

θ∗x = kdex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x) (3.17)

θ∗y = kdey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y) (3.18)

Sustituyendo ecuacion 3.17 y 3.18 en 3.13 y 3.14, respectivamente.

Ux = kpmx [(kpex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x))− θx] + kdmx

[(kdex(x∗ − x) + kdex(x∗ − x))− θx

]

+πx

(3.19)

Uy = kpmy [(kpey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y))− θy] + kdmy

[(kdey(y∗ − y) + kdey(y∗ − y))− θy

]

+πy

(3.20)

Desarrollando las ecuaciones, tenemos:


Ux = kpmxkpexx∗ − kpmxkpexx + kdexkpmxx∗ − kpmxkdexx− kpmxθx + kdmxkdexx

−kdmxkdexx + kdmxkdexx∗ − kdmxkdexx− kdmxθx + πx

(3.21)

Uy = kpmykpeyy∗ − kpmykpeyy + kdeykpmy y∗ − kpmykdey y − kpmyθy + kdmykdey y

−kdmykdey y + kdmykdey y∗ − kdmykdey y − kdmy θy + πy

(3.22)

Como se enuncio anteriormente que en los problemas de regulacion x∗ = 0, por lo tanto x∗ = 0,

entonces:

Ux = kpmxkpexx∗ − kpmxkpexx− kpmxkdexx− kpmxθx − kdmxkdexx− kdmxkdexx

−kdmxθx + πx

(3.23)

y y∗ = 0, por lo tanto y∗ = 0, entonces:

Uy = kpmykpeyy∗ − kpmykpeyy − kpmykdey y − kpmxθy − kdmykdey y − kdmykdey y

−kdmy θy + πy

(3.24)

Sustituyendo ecuaciones 3.7 y 3.8, tenemos:

Ux = kpmxkpexx− kpmxkdexx− kpmxθx − kdmxkdexx− kdmxkdexx− kdmxθx + πx (3.25)

y

Uy = kpmykpeyy − kpmykdey y − kpmyθy − kdmykdey y − kdmykdey y − kdmy θy + πy (3.26)

Ordenando las ecuaciones:

Ux = kpmxkpexx− (kpmx + kdmx)kdexx− kdmxkdexx− kpmxθx − kdmxθx + πx (3.27)

3.2. TRANSFORMACION DEL MODELO MESA-ESFERA 33

Uy = kpmykpeyy − (kpmy + kdmy)kdey y − kdmykdey y − kpmyθy − kdmy θy + πy (3.28)

Se definen las siguientes constantes:

Para el eje x:

a1 = kpmxkpex a2 = (kpmx + kkdmx)kdex

a3 = kdmxkdex a4 = kpmx

a5 = kdmx

(3.29)

y para el eje y, tenemos:

b1 = kpmykpey b2 = (kpmy + kkdmy)kdey

b3 = kdmykdey b4 = kpmy

b5 = kdmy

(3.30)

Finalmente Ux y Uy pueden escribirse de la forma:

Ux = a1x− a2x− a3x− a4θx − a5θx + πx (3.31)

y

Uy = b1y − b2y − b3y − b4θy − b5θy + πy (3.32)

3.2. Transformacion del modelo mesa-esfera

Sustituyendo las ecuaciones (3.31) y (3.32) en las ecuaciones (3.1-3.4).

(m +

Icdm

R2

)x−mxθ2


(Icdm + mx2

)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx = Ux (3.34)

(m +

Icdm

R2

)y −myθ2



(Icdm + my2

)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy = Uy (3.36)

Igualando todas las ecuaciones a cero, tenemos:

(m +

Icdm

R2

)x−mxθ2


(Icdm + mx2

)θx + 2mxxθx + mxyθy + (mxy + mxy)θy + mGx cos θx − a1x + a2x+

a3x + a4θx + a5θx − πx = 0(3.38)

(m +

Icdm

R2

)y −myθ2


(Icdm + my2

)θy + 2myyθy + mxyθx + (mxy + mxy)θx + mGy cos θy − b1y + b2y+

b3y + b4θy + b5θy − πy = 0(3.40)

Se determina la matriz de inercias M(q):

M(q) =

m +Icdm

R20 0 0

a3 Icdm + mx2 0 mxy

0 0 m +Icdm

R20

0 mxy b3 Icdm + my2

(3.41)

La matriz de coriolis C(q, q):

C(q, q) =

0 −mxθx 0 −myθx

2mxθx + a2 a5 0 mxy + mxy

0 −mxθy 0 −myθy

0 mxy + mxy 2myθy + b2 b5

(3.42)

3.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD 35

La matriz B:

B =

0 0 0 0

−a1 a4 0 0

0 0 0 0

0 0 −b1 b4

(3.43)

La matriz de gravedades G:

G(q) =

mGsenθx

mGx cos θx

mGsenθy

mGy cos θy

(3.44)

La matriz de compensadores D:

D =

0

πx

0

πy

(3.45)

Por lo tanto el modelo del sistema mesa-esfera puede ser descrito de la forma:

M(q)q + C(q, q)q + G(q) = Bq + Dπ (3.46)

3.3. Analisis de estabilidad

Antes de realizar el analisis de estabilidad, se determina si las matrices M y B pueden ser

consideradas para ser funciones candidates de Lyapunov.

Primeramente la matriz M es no simetrica para probar que es definida positiva, son calculados

los determinantes menores de la matriz. Si las constantes m > 0, R > 0, Icdm > 0, y M es un

matriz cuadrada, entonces se tiene que todos los determinantes menores de M son mayores que cero,

ademas como la posicion de la esfera es mayor que cero (x, y) > 0, se tiene que la matriz M satisface

las condiciones (3.47,3.48) para ser funcion candidata de Lyapunov.


V (0) = qT M(q)q = 0 (3.47)

V (q) = qT M(q)q > 0 (3.48)

La matriz B es no simetrica para probar que puede ser utilizada como funcion candidata de

Lyapunov, se determina la forma cuadratica de la siguiente manera:

qT Bq = a4θ2x + a1xθx + b4θ

2y + b1yθy (3.49)

La posicion de la mesa es (θx, θy) > 0, y las constantes (a1, a4, b1, b4) > 0. Si B es una matriz

cuadrada, entonces la forma cuadratica satisface:

V (0) = qT Bq = 0 (3.50)

V (q) = qT Bq > 0 (3.51)

Despues de demostrar que aunque las matrices M y B no cumplan con las caracteristicas de

simetria, se pueden considerar para formar parte de la funcion de Lyapunov. Por lo tanto, La

estabilidad del sistema en lazo cerrado se establece en el siguiente teorema.

Despues de escribir el modelo del sistema mesa-esfera en la forma de una ecuacion 3.46, podemos

realizar el analisis de estabilidad mediante el metodo de Lyapunov.

Teorema 3.1. Considerando el sistema mesa-esfera (3.1-3.4) descrito en la forma de robot

manipulador (3.46) y las leyes de control (3.31) y (3.32), si los compensadores πx y πy son:

πx =

a2x−mxθx + mxxθx −mxθy + myxθy if x 6= 0

−mxθx −mxθy if x = 0

πy =

b2y −myθy + myyθy −myθx + mxyθx if y 6= 0

−myθy −myθx if y = 0

(3.52)

entonces el sistema mesa-esfera a lazo cerrado es asintoticamente estable,

lımt→∞ x (t) = 0

lımt→∞ y (t) = 0(3.53)


Demostracion. Si la matriz M(q) es una matriz que en su forma cuadratica es definida positiva, B

en (3.49) esta en su forma cuadratica, y recordando que θx y θy son no negativos, la siguiente funcion

descrita en forma cuadratica es usada como la funcion candidata de Lyapunov.

V (q, q) =12qT M(q)q +

12qT Bq + mGxsenθx + mGysenθy (3.54)

Para asegurar que la energia potencial EP = mG(xsenθx + ysenθy) sea positiva, dejamos que

θx ≥ 0 y θy ≥ 0, V (x, x) ≥ 0. Calculando la derivada con respecto al tiempo de la funcion candidata

y recordando que x∗ y y∗ son constantes, entonces:

dV = qT M(q)q +12qT M(q)q − qT Bq + mGxsenθx + mGx cos θx + mGysenθy + mG cos θy

(3.55)

Despejamos de la ecuacion 3.46, la matriz de inercias M(q)q:

M(q)q = Bq + Dπ − C(q, q)q −G(q) (3.56)

Sustituyendo la ecuacion 3.56 en 3.55:

dV = qT [Bq + Dπ − C(q, q)q −G(q)] +12qT M(q)q − qT Bq (3.57)

Desarrollando la ecuacion 3.57:

dV = qT Bq + qT Dπ − qT C(q, q)q − qT G(q) + 12 qT M(q)q − qT Bq (3.58)

Factorizando terminos semejantes:

dV = qT [Bq −Bq + Dπ −G(q)] +12qT M(q)q − qT C(q, q)q (3.59)

Eliminando terminos y agrupando, tenemos:

dV = qT [Dπ −G(q)] +12qT

[M(q)− 2C(q, q)

]q (3.60)

A partir de la ecuacion 3.60, diferenciamos la matriz de inercias M(q):


M =

0 0 0 0

0 2mx 0 m(x + y)

0 0 0 0

0 m(x + y) 0 2my

(3.61)

La ecuacion 3.61, se sustituye en[M(q)− 2C(q, q)

]:

[M(q)− 2C(q, q)

]=

0 0 0 0

0 2mx 0 m(x + y)

0 0 0 0

0 m(x + y) 0 2my

−

2

0 −mxθx 0 −myθx

2mxθx + a2 a5 0 mxy + mxy

0 −mxθy 0 −myθy

0 mxy + mxy 2myθy + b2 b5

(3.62)

Desarrollando la ecuacion 3.62 y separando terminos variables de las constantes:

=

0 2mxθx 0 2myθx

−4mxθx 2mx 0 −2mxy − 2mxy + m(x + y)

0 2mxθy 0 2myθy

0 m(x + y)− 2mxy − 2mxy −4myθy 2my

−

0 0 0 0

2a2 2a5 0 0

0 0 0 0

0 0 2b2 2b5

(3.63)

Se define una nueva matriz P :


P =

0 0 0 0

−2a2 −2a5 0 0

0 0 0 0

0 0 −2b2 −2b5

(3.64)

Derivando la ecuacion 3.5, tenemos que:

q =

x

θx

y

θy

qT =[

x θx y θy

](3.65)

Por lo tanto12qT P q se calcula multiplicando primero qT P :

qT P =[

x θx y θy

]

0 0 0 0

−2a2 −2a5 0 0

0 0 0 0

0 0 −2b2 −2b5

(3.66)

qT P =[−2a2θx −2a5θx −2b2θy −2b5θy

](3.67)

Despues se multiplica la ecuacion 3.67 por q:

qT P q =[−2a2θx −2a5θx −2b2θy −2b5θy

]

x

θx

y

θy

(3.68)

qT P q = −2a2θxx− 2a5θx2 − 2b2θy y − 2b5θy

2 (3.69)

Por ultimo multiplicando la ecuacion 3.69 por (1/2),tenemos que:

12qT P q = −a2θxx− a5θx

2 − b2θy y − b5θy2 (3.70)


Despues de la ecuacion 3.63, se calcula:

=12qT

0 2mxθx 0 2myθx


0 2mxθy 0 2myθy


q

(3.71)

De la ecuacion 3.71, primero se realiza:

[x θx y θy

]

0 2mxθx 0 2myθx


0 2mxθy 0 2myθy


(3.72)

=

−4mxθx

22mxxθx + 2mxθx + 2mxyθy + mθy(x + y)− 2mθyxy − 2mθyxy−

4myθy2

2myxθx − 2mθxxy − 2mθxxy + mθx(x + y) + 2myyθy + 2myθy

(3.73)

Luego multiplicamos la ecuacion 3.73 por q:

−4mxθx

22mxxθx + 2mxθx + 2mxyθy + mθy(x + y)− 2mθyxy − 2mθyxy−

4myθy2

2myxθx − 2mθxxy − 2mθxxy + mθx(x + y) + 2myyθy + 2myθy

x

θx

y

θy

(3.74)


= −4mxxθx2

+ 2mxxθx2

+ 2mxθx2

+ 2mxyθy θx + mθy θx(x + y)− 2mθy θxxy − 2mθy θxxy−

4myyθy2

+ 2myxθxθy − 2mθxθyxy − 2mθxθyxy + mθxθy(x + y) + 2myyθy2

+ 2myθy2

(3.75)

= −2mxxθx2 − 2myyθy

2+ 2mxθx

2+ 2myθy

2+ 2mxθy θx + 2myθy θx − 2mxyθy θx − 2mxyθxθy

(3.76)

Finalmente multiplicando la ecuacion 3.76 por 12 , obtenemos:

= −mxxθx2 −myyθy

2+ mxθx

2+ myθy

2+ mxθy θx + myθy θx −mxyθy θx −mxyθxθy (3.77)

Por lo tanto de la ecuacion 3.60, tenemos que el termino 12 qT

[M(q)− 2C(q, q)

]q es igual a la

suma de las ecuaciones 3.77 y 3.70:

= −a2θxx− a5θx2 − b2θy y − b5θy

2 −mxxθx2 −myyθy

2+ mxθx

2+ myθy

2+ mxθy θx + myθy θx−

mxyθy θx −mxyθxθy

(3.78)

De la ecuacion 3.60, calculamos el termino −qT G(q):

−[

x θx y θy

]

mGsenθx

mGx cos θx

mGsenθy

mGy cos θy

(3.79)

= −mxGsenθx −mxθxG cos θx −myGsenθy −myθyG cos θy (3.80)

Por ultimo se calcula el termino qT Dπ de la ecuacion 3.60:


[x θx y θy

]

0

πx

0

πy

(3.81)

= πxθx + πy θy (3.82)

Por lo tanto, para obtener la derivada de la funcion de Lyapunov, sumamos las ecuaciones 3.78,

3.80 y 3.82:

V = πxθx + πy θy − a2θxx− a5θx2 − b2θy y − b5θy

2 −mxxθx2 −myyθy

2+ mxθx

2+ myθy

2+

mxθy θx + myθy θx −mxyθy θx −mxyθxθy + mxGsenθx −mxθxG cos θx + myGsenθy−

myθyG cos θy

(3.83)

Factorizando θx y θy:

V = −a5θx2

+ θx

[πx − a2x + mxθx −mxxθx + mxθy −myxθy −mGx cos θx

]−mxGsenθx + mxGsenθx

−b5θy2

+ θy

[πy − b2y + myθy −myyθy + myθx −mxyθx −mGy cos θy

]−myGsenθy + myGsenθy

(3.84)

Sustituyendo los compensadores:

πx =

+a2x−mxθx + mxxθx −mxθy + myxθy Si x 6= 0

−mxθx −mxθy Si x = 0(3.85)

πy =

+b2y −myθy + myyθy −myθx + mxyθx Si y 6= 0

−myθy −myθx Si y = 0(3.86)

Por lo tanto dV es:


V ≤ −a5θx2 − b5θy

2 −mG(xG sin θx + y sin θy) (3.87)

Si a5 > 0 y b5 > 0 por lo tanto V es una funcion semidefinida negativa, si el sistema se encuentra

en un punto de equilibrio, entonces [x, y] = [0, 0], por lo tanto:

V ≤ −a5θx2 − b5θy

2 (3.88)

Se concluye que el sistema es estable. Para probar si es estable asintoticamente, se usa el teorema

de LaSalle’s en la siguiente region:

Ω = [x, θx, y, θy] | dV = 0 (3.89)

Desde (3.54), dV = 0 si y solo si θx = θx = 0. Para una solucion θx,y(t) que pertenece a Ω para

todo t ≥ 0, es necesario y suficiente que θx = θy = 0 para todo t ≥ 0. Se concluye que en el sistema de

control a lazo cerrado la condicion inicial esta en Ω para cada x(t) ∈ Ω para todo t ≥ 0. Finalmente,

el origen del sistema de control a lazo cerrado es estable asintoticamente en [x, θx, y, θy] = [0, 0, 0, 0]

Comentario 3.1. En [48], [49], [50] y [51], los autores proponen controladores proporcional integral

derivativo; Sin embargo, el controlador propuesto es diferente, ya que tiene cuatro alternativas

dinamicas seleccionadas por el controlador en funcion de los valores de x e y en el sistema mesa-

esfera, que se llama Control Dual PD.

Capıtulo 4

Evaluacion y discusion

En este capıtulo se llevan a cabo diversas simulaciones empleando el controlador PD Dual

no-lineal mas el compensador. Se realizan comparaciones con otros metodos para observar el

comportamiento de nuestro metodo con respecto a los demas.

4.1. Fase de simulacion: Modelado Matematico

Antes de que las leyes de control sean aplicadas al sistema real, se realizan simulaciones. Para

estas simulaciones el modelo del sistema mesa-esfera descrito por (3.1-3.4) es usado. Estas ecuaciones

son necesarias solo para los resultados de simulacion. Para la aplicacion real no son requeridas.

Resultados de simulacion a lazo abierto, utilizando el modelo completo y acoplado del sistema

mesa-esfera.

Figura 4.1: Bloque de simulink del sistema completo a lazo abierto

En la figura 4.1, se muestra el bloque que contiene el modelo completo del sistema mesa-esfera, en

la simulacion se le aplico a la entrada un par constante, para obtener la respuesta del modelo a lazo

44

4.2. FASE DE SIMULACION A LAZO CERRADO 45

abierto. En la figura 4.2 se tiene la respuesta de la salida del modelo en el eje x, se puede observar

que la esfera al no tener un valor de referencia a seguir, su posicion crece exponencialemente. En la

figura 4.3, se tiene el comportamiento de la esfera en el eje y, que al igual su comportamiento es

alejarse exponencialmente, por lo cual se concluye que este sistema es inestable a lazo abierto.

Figura 4.2: Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-x

Figura 4.3: Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-y

En las figuras 4.4 y 4.5 se grafica la posicion de la mesa con respecto a la respuesta despues de

aplicar un par a lazo abierto, el comportamiento en el eje x es similar en el eje y, aproximadamente

las dos respuestas se estabiizan en π/2 radianes, por lo cual se puede concluir que la mesa quedo a

90o por lo cual la esfera es arroja fuera de la mesa.

4.2. Fase de simulacion a lazo cerrado

En esta seccion se realizaron diferentes simulaciones utilizando tres metodos de control. El primero

es el control propuesto en esta tesis, el cual consta de dos lazos de control en cascada mas un

46 CAPITULO 4. EVALUACION Y DISCUSION

Figura 4.4: Resultados de Simulacion; Desplazamiento de la mesa sobre el eje-x

Figura 4.5: Resultados de Simulacion; Desplazamiento la mesa sobre el eje-y

compensador no lineal, el cual fue determinado mediante el analisis de estabilidad. El segundo metodo

fue emplear los mismos dos lazos de control pero en este caso no se le anade un compensador para las

no linealidades. Por ultimo se realizan simulaciones con dos lazos de control en cascada pero en lugar

de utilizar controladores PD se sustituyen por controladores mediante logica difusa. A continuacion

se presentan los esquemas de cada uno de estos controladores.

4.2.1. Control PD con Compensador y sin compensador

En la figura se muestra el diseno del controlador mediante los bloques de simulink, el bloque

denominado “BPsystem” contiene el modelo del sistema mesa esfera transformado en la forma de

la ecuacion dinamica de un brazo manipulador (3.46) , los bloques de nominados “compensador

x” y “compensador y” contienen las ecuaciones del compensador (3.52) que se determino despues

de realizar el analisis de estabilidad del sistema mediante el metodo directo de Lyapunov. Las

simulaciones con el metodo PD sin compensador se realizaron con el mismo esquema solo que el

4.3. RESULTADOS DE SIMULACION 47

switch que tienen los compensadores se cambian para anularlos. Las constantes proporcionales y

derivativas empleadas se describen en la siguiente tabla 4.2.1

Figura 4.6: Esquema de control PD Dual con compensador en Simulink

4.2.2. Control con logica difusa

En la figura 4.7, se muestra el bloque empleado de simulink para el control del sistema meas-

esfera. El modulo esta constituido por dos entradas y una salida. La primera entrada representa el

error de la posicion de la esfera y la segunda entrada corresponde a la velocidad de la esfera. La

salida del modulo representa el par aplicado al modelo del sistema mesa-esfera. Se empleo el metodo

de logica difusa del tipo Mandani. El metodo de defusificacion elegido fue del centroide.

En la figura 4.8, se muestran las funciones de pertenencia empleadas para la entrada de la posicion

de la esfera. La figura 4.9, contiene el conjunto de funciones de pertenecia empleadas para definir

al entrada de la velocidad de la esfera. La salida del modulo del controlador de logica difusa es

mostrado en la figura 4.10. En la figura 4.11, se observa el conjunto de 25 reglas utilizadas en las

simulaciones [44]

4.3. Resultados de simulacion

En esta seccion se realizan las simulaciones del metodo propuesto y de otros dos metodos (Logica

difusa y PD sin compensador no-lineal), mediante Simulink para probar el modelo (3.1-3.4), donde

M = 0,11 kg, R = 1,27 cm y G = 9,81 m/s2. Considerando que el movimiento de la esfera lento y

que no muestra tendencia a deslizar (smooth bearing), debido a la baja velocidad y aceleracion de


Figura 4.7: Bloque de simulink del controlador fuzzy

Figura 4.8: Bloque de simulink de la funciones de membresia de posicion

la mesa, la interaccion de los movimientos de la mesa se consideran desacoplados, por lo tanto son

aplicados dos controladores PD uno para cada eje. Primero se realiza el experimento A mostrado

en las Figuras. 4.12 y 4.13, en el cual se estan realizando la simulacion del control PD no-lineal

sin compensador, y se obtiene como resultado un error de 0.02 con respecto al valor de referencia.

Despues se realiza el experimento B mostrado en las Figuras 4.14 y 4.15, en el cual se estan realizando


Figura 4.9: Bloque de simulink de la funciones de membresia de velocidad

Figura 4.10: Bloque de simulink de la funciones de membresia del par

la simulacion del control PD no-lineal con compensador, y se obtiene como resultado que se elimina

el error con respecto al valor de referencia y se muestra un buen comportamiento de nuestro sistema

de control.

Para comprobar las ventajas de la doble controlador PD Dual con compensador no-lineal, se

realizaron varios experimentos de regulacion. Un primer conjunto de experimentos se llevaron a cabo


Figura 4.11: Bloque de simulink de las reglas

Figura 4.12: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x sin compensador

utilizando el metodo propuesto, que implementa las leyes de control (3.31 y 3.32), estos experimentos

se repitieron utilizando el controlador de doble PD sin compensador, es decir, en las ecuaciones (3.31

y 3.32). Por ultimo, el controlador propuesto se compara con un controlador de logica difusa [47]

utilizando los mismos experimentos. Se muestran los detalles de la simulacion en las figuras 4.16

y 4.17, en donde la posicion, la velocidad y las senales de control son mostradas para el control

dual PD con compensador, control Dual PD sin compensacion, y la respuesta del controlador de

logica difusa. La figura 4.16 muestra la posicion de la esfera en el eje x, en este experimento la


Figura 4.13: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y sin compensador

Figura 4.14: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x con compensador

posicion inicial es 0,02587 m y la posicion final es 0,4375 m, se observa que el control Dual PD con

compensador alcanza el valor deseado mas rapido que los otros dos metodos . La Figura 4.17 muestra

el comportamiento de la velocidad de la esfera en el eje x, en este experimento, la velocidad inicial

es 0, la respuesta del control Dual PD con compensador logra estabilizarse mas rapidamente que los

otros dos metodos. La Figura 4.18 muestra el comportamiento de las senales de control sobre el eje

x, donde el control de doble PD con compensador muestra un mejor comportamiento.

La Tabla 4.3, muestra el tiempo en alcanzar la posicion deseada la esfera. El eje y muestra un

comportamiento muy similar como en el eje x por lo tanto, solo se presentan los graficos de las del


Figura 4.15: Resultados de Simulacion; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y con compensador

Figura 4.16: Comparacion tres metodos; Posicion de la esfera sobre el eje-x

eje x.

La Tabla 4.3, muestra el tiempo que le toma a la esfera el alcanzar la posicion deseada. En esta

tabla se realizan las simulaciones tomando los mismos puntos de inicio y final de la posicion de la

esfera, empleando un controlador con logica difusa. Dado que el eje y muestra un comportamiento

muy similar como en el eje x por lo tanto, solo se presentan los graficos de las del eje x.

La Tabla 4.3, muestra el tiempo que le toma a la esfera el alcanzar la posicion deseada al igual

que en los metodos anteriores. Esta simulacion se puede llevar a cabo, mediante el empleo de las

leyes de control determinadas en este trabajo. La conclusion despues de realizar los experimentos en


Figura 4.17: Comparacion tres metodos; Velocidad de la esfera sobre el eje-x

Figura 4.18: Comparacion tres metodos; Senales de control

los tres diferentes metodos, es que se encontro una mejora en el tiempo en que la esfera alcanzaba

la posicion deseada.


PD1 eje x Kp=11 Kd=0.5PD2 eje x Kp=325 Kd=0.1PD1 eje y Kp=11 Kd=0.5PD2 eje y Kp=325 Kd=0.1

Tabla 4.1: Constantes de los controladores PD

No. Inicial (x0, y0) Final (x, y) Tiempo Error1 (0,041, 0,455) (0,25, 0,25) 2,05 (8,7e− 4, 8,8e− 4)2 (0,257, 0,477) (0,25, 0,25) 2,8 (8,5e− 4, 7,6e− 4)3 (0,470, 0,470) (0,25, 0,25) 3,05 (8,7e− 4, 8,7e− 4)4 (0,480, 0,251) (0,25, 0,25) 2,75 (8,4e− 4, 9,5e− 4)5 (0,464, 0,022) (0,25, 0,25) 2,05 (8,7e− 4, 8,4e− 4)6 (0,249, 0,020) (0,25, 0,25) 2,6 (9,6e− 4, 8,2e− 4)7 (0,032, 0,038) (0,25, 0,25) 2,9 (9,2e− 4, 9,2e− 4)8 (0,018, 0,250) (0,25, 0,25) 2,6 (8,2e− 4, 9,7e− 4)9 (0,239, 0,247) (0,12, 0,12) 2,65 (9,2e− 4, 9,1e− 4)10 (0,410, 0,460) (0,12, 0,12) 3,2 (9,4e− 4, 9,3e− 4)11 (0,274, 0,025) (0,12, 0,12) 2 (9,5e− 4, 9,4e− 4)12 (0,472, 0,235) (0,12, 0,12) 3,1 (8,4e− 4, 9,0e− 4)13 (0,290, 0,062) (0,43, 0,43) 2,9 (9,5e− 4, 8,8e− 4)14 (0,252, 0,108) (0,43, 0,43) 2,8 (9,6e− 4, 8,9e− 4)15 (0,025, 0,248) (0,43, 0,43) 2,95 (8,8e− 4, 9,7e− 4)16 (0,020, 0,020) (0,47, 0,47) 3,25 (9,2e− 4, 9,2e− 4)17 (0,472, 0,020) (0,47, 0,47) 2,9 (9,2e− 4, 7,8e− 4)18 (0,020, 0,472) (0,47, 0,47) 2,9 (7,8e− 4, 9,2e− 4)

Tabla 4.2: Simulaciones con el control PD Dual con Compensador

No. Inicial (x0, y0) Final (x, y) Tiempo Error1 (0,041, 0,455) (0,25, 0,25) 2,95 (8,7e− 4, 4,1e− 4)2 (0,257, 0,477) (0,25, 0,25) 2,95 (1,6e− 7, 7,6e− 4)3 (0,470, 0,470) (0,25, 0,25) 2,9 (7,8e− 4, 6,8e− 4)4 (0,480, 0,251) (0,25, 0,25) 3 (7,8e− 4, 2,5e− 6)5 (0,464, 0,022) (0,25, 0,25) 3,05 (2,3e− 4, 9,4e− 4)6 (0,249, 0,020) (0,25, 0,25) 3,1 (3,3e− 6, 9,2e− 4)7 (0,032, 0,038) (0,25, 0,25) 3 (9,7e− 4, 9,9e− 4)8 (0,018, 0,250) (0,25, 0,25) 3,15 (9,2e− 4, 3,4e− 6)9 (0,239, 0,247) (0,12, 0,12) 2,5 (8,8e− 4, 8,5e− 4)10 (0,410, 0,460) (0,12, 0,12) 3.35 (8,1e− 4, 0,005)11 (0,274, 0,025) (0,12, 0,12) 2,5 (9,3e− 4, 0,001)12 (0,472, 0,235) (0,12, 0,12) 3,85 (8,2e− 4, 2,9e− 6)13 (0,290, 0,062) (0,43, 0,43) 2,9 (4,9e− 4, 0,0615)14 (0,252, 0,108) (0,43, 0,43) 3,85 (4,5e− 5, 8,0e− 4)15 (0,025, 0,248) (0,43, 0,43) 4,45 (8,8e− 4, 2,6e− 6)16 (0,020, 0,020) (0,47, 0,47) 4,65 (9,6e− 4, 9,6e− 4)17 (0,472, 0,020) (0,47, 0,47) 4,65 (3,6e− 6, 9,6e− 4)18 (0,020, 0,472) (0,47, 0,47) 4,65 (9,6e− 4, 3,6e− 6)

Tabla 4.3: Simulaciones con el control de logica difusa


No. Inicial (x0, y0) Final (x, y) Tiempo Error1 (0,041, 0,455) (0,25, 0,25) 3,8 (9,1e− 4, 9,2e− 4)2 (0,257, 0,477) (0,25, 0,25) 3,85 (2,8e− 5, 9,2e− 4)3 (0,470, 0,470) (0,25, 0,25) 3,85 (8,9e− 4, 8,9e− 4)4 (0,480, 0,251) (0,25, 0,25) 3,85 (9,3e− 4, 7,5e− 6)5 (0,464, 0,022) (0,25, 0,25) 3,85 (8,7e− 4, 8,9e− 4)6 (0,249, 0,020) (0,25, 0,25) 3,85 (1,8e− 6, 8,9e− 4)7 (0,032, 0,038) (0,25, 0,25) 3,8 (9,6e− 4, 9,3e− 4)8 (0,018, 0,250) (0,25, 0,25) 3,85 (9,0e− 4, 1,0e− 6)9 (0,239, 0,247) (0,12, 0,12) 3,85 (9,2e− 4, 9,8e− 4)10 (0,410, 0,460) (0,12, 0,12) 4 (7,8e− 4, 9,5e− 4)11 (0,274, 0,025) (0,12, 0,12) 3,6 (9,5e− 4, 6,3e− 4)12 (0,472, 0,235) (0,12, 0,12) 4 (9,9e− 4, 2,8e− 4)13 (0,290, 0,062) (0,43, 0,43) 4 (3,5e− 4, 9,6e− 4)14 (0,252, 0,108) (0,43, 0,43) 3,95 (5,3e− 4,9,7e− 4)15 (0,025, 0,248) (0,43, 0,43) 4,05 (9,0e− 4, 8,0e− 4)16 (0,020, 0,020) (0,47, 0,47) 4,1 (8,2e− 4, 8,2e− 4)17 (0,472, 0,020) (0,47, 0,47) 4,1 (0, 8,2e− 4)18 (0,020, 0,472) (0,47, 0,47) 4,1 (8,2e− 4, 0)

Tabla 4.4: Simulaciones con el control PD Dual sin Compensador

Capıtulo 5

Conclusiones y trabajos futuros

Se disenaron nuevas leyes de control para controlar la posicion de la esfera sobre la mesa, mediante

controladores PD en cascada. En este trabajo, un nuevo control PD con compensador exacto para

regulacion es presentado, este nuevo esquema garantiza la estabilidad a lazo cerrado del sistema.

Para comprobar esto, primero se realizo el analisis de estabilidad mediante el metodo directo de

Lyapunov. El compensador exacto requiere tener un conocimiento preciso de las no linealidades del

sistema, sin embargo, la metodologıa de como obtenerlo se presento en detalle. Por otra parte, el

resultado de las simulaciones muestra su excelente rendimiento, dado el mejor comportamiento en

comparacion con los otros controladores seleccionados.

El control PD Dual con compensacion no-lineal se ha presentado para resolver el problema de

regulacion del sistema mesa-esfera. Para utilizar estos controladores, se obtuvo un nuevo modelo

dinamico en la forma de un robot manipulador. El modelo no-lineal propuesto es muy util para

disenar y validar diferentes algoritmos de control que a continuacion se pueden extrapolar a los

problemas con las mismas caracterısticas, una de las ventajas de trabajar con un modelo no-lineal es

que la dinamica completa se puede ver, por lo que es posible analizar el comportamiento del sistema

en cada punto de equilibrio. Primero se describio en un modelo del sistema mesa esfera, el cual

consta de cuatro ecuaciones diferenciales, obtenidas mediante el metodo de Lagrange, despues se

enunciaron las principales caracterısticas del controlador PD, este controlador fue seleccionado para

controlar la posicion de la esfera sobre la mesa, como se trata de un sistema no-lineal y acoplado

se le agrego un compensador para la parte no-lineal, este compensador es encontrado a partir de la

transformacion del sistema en una ecuacion que representa la dinamica de un robot manipulador.

Se desarrollo el diseno del controlador de la posicion de la esfera sobre la mesa, obteniendo las leyes

56

5.1. ARTICULOS ACEPTADOS Y EN REVISION 57

de control mediante una configuracion cascada, se determinaron cuantos controladores se necesitan

para realizar la tarea deseada, modelo del sistema mesa-esfera en la forma de la ecuacion dinamica

de un robot manipulador se utilizo para realizar el analisis de estabilidad, mediante el metodo

directo de Lyapunov con lo cual se obtiene las ecuaciones del compensador no-lineal. Al utilizar

el primer metodo de Lyapunov, una nueva funcion de Lyapunov se presenta, con esta funcion la

estabilidad asintotica del sistema a lazo cerrado puede ser garantizada. El compensador exacto

requiere tener un conocimiento preciso de las no linealidades del sistema, sin embargo, la metodologıa

de como obtenerlo se presento en detalle. Por otra parte, el resultado de las simulaciones muestra su

excelente rendimiento, dado el mejor comportamiento en comparacion con los otros controladores

seleccionados. Como trabajo futuro, se desarrollara un regulador PD con un compensador inteligente

ademas de incorporar un observador.

5.1. Artıculos aceptados y en revision

1. PD regulation for Ball and Plate System, World Automation Congress - Special session – 9th

International Symposium on Intelligent Automation and Control (ISIAC), enviado el 17 de

octubre del 2011.

2. Dual PD control regulation with nonlinear compensation for a ball and plate system,

International Journal of Advanced Robotic Systems, enviado el 14 de abril de 2013.

3. PD visual control with nonlinear compensation for a ball and plate system, Congreso Nacional

de Control Automatico AMCA 2013, enviado el 3 de junio de 2013.

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