Ball and beam

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SOGAMOSO

ESPECIALIZACIÓN EN AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL

Especialización en Automatización Industrial

Modelamiento y sistema de control para un sistema Ball &

Beam de Viga soportada en el eje central

Danny Mauricio Mesa [email protected] Jairo Hernando Rojas

[email protected] Especialización en Automatización Industrial

UPTC Abstract The ball and beam system is also called ‘balancing a ball on a beam’. It is generally linked to real control problems such as horizontally stabilizing an airplane during landing and in turbulent airflow. There are two degrees of freedom in this system. One is the ball rolling up and down the beam, and the other is beam rotating through its central axis. The aim of the system is to control the position of the ball to a desired reference point, and reject disturbances such as a push from a finger. The control signal can be derived by feeding back the position information of the ball. The control voltage signal goes to the DC motor via a power amplifier，then the torque generated from the motor drives the beam to rotate to the desired angle. Thus, the ball can be located at the desired position. Resumen: El sistema de bola y viga también llamada “pelota en equilibrio”. En general se relaciona con problemas reales de control, tales como estabilizar horizontalmente un avión durante el aterrizaje y en el flujo de aire turbulento. Hay dos grados de libertad en este sistema. Uno de ellos es el balanceo de la bola hacia arriba y abajo de la viga, y el otro es la viga que gira sobre su eje. El objetivo del sistema es el control de la posición de la pelota a un punto de referencia deseado, y rechazar perturbaciones tales como el empuje de un dedo. La señal de control puede ser derivada por la realimentación de la información de la posición de la bola. La señal de voltaje de control va al motor de CC a través de un amplificador de potencia, entonces el par generado desde el motor acciona el haz para girar en el ángulo deseado. Por lo tanto, la pelota puede estar situada en la posición deseada.

1. Introducción: El sistema del "Ball and Beam" consiste de una viga sostenida por un motor y una bola situada sobre la viga. Este sistema tiene como propósito lograr mantener la bola en una posición deseada. Por tal razón requiere que se controle tanto el ángulo de la viga como la posición de la bola. En

lazo abierto el sistema es inestable por tanto se requieren técnicas de control que permitan estabilizar el sistema. Hay dos configuraciones para apoyar la viga. Una configuración se muestra en la Figura 1.1, que ilustra que la viga está soportada en el medio, y gira contra su eje central. La mayoría de estos sistemas utiliza este tipo de configuración. La ventaja de este es que es fácil de construir, y el modelo matemático es relativamente simple. La otra configuración se muestra en la figura 1.2. La viga está soportada en ambos lados por dos brazos de nivel. Uno de los brazos de nivel se consumía, y el otro está acoplado al engranaje de salida. La desventaja de esta configuración es una mayor consideración de partes mecánicas, y esto puede añadir dificultades para derivar un modelo matemático. La ventaja de este sistema es que utiliza un motor relativamente pequeño debido al efecto de apalancamiento.

figura 1.1 Viga soportada en el centro

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Figura 1.2 Viga soportada en ambos extremos. En este documento nos centraremos en el sistema de Viga soportada en el centro. 2. Modelado y Linealización del Sistema A continuación se presenta el modelo matemático del sistema del servo motor y de la viga 2.1 Modelado del Servomotor Un Servo es un dispositivo pequeño que tiene un eje de rendimiento controlado. Este puede ser llevado a posiciones angulares específicas al enviar una señal codificada. Con tal de que una señal codificada exista en la línea de entrada, el servo mantendrá la posición angular del engranaje. Cuando la señala codificada cambia, la posición angular de los piñones cambia. En la práctica, se usan servos para posicionar superficies de control como el movimiento de palancas, por eso la utilidad de este dispositivo en este estudio. Analizaremos el esquema de un servomotor de cd controlado por armadura, como el que aparece en la figura 3. En ese mismo esquema tenemos los siguientes parámetros: Ra = resistencia de la armadura, en ohmios (Ω) La = inductancia de la armadura, en henrios (H) ia = corriente de la armadura (amperios, A) if = corriente del campo (A) ea = tensión aplicada en la armadura, (V) eb= fuerza contra-electromotriz (V) 𝜃 = desplazamiento angular del eje del motor, en radianes (rad) T = par desarrollado por el motor, en Newton-metro (N-m) J = momento de inercia del motor y carga con referencia al eje del motor, en kg-m2 b = coeficiente de viscosidad del motor, con carga referida al eje del motor, en N-m/rad/seg

figura 2. Esquema del servomotor El par T desarrollado por el motor es proporcional a la corriente de la armadura, y al flujo magnético en el entrehierro, el que a su vez es proporcional a la corriente del campo. O bien donde Kf es una constante. El par T se puede escribir entonces como

𝑻 = 𝐾𝑓𝑖𝑓𝐾𝑙𝑖𝑎 Si la corriente del campo es constante , el flujo también es constante, y el par es directamente proporcional a la corriente de la armadura, de modo que

𝑻 = 𝐾𝑖𝑎 Donde K es una constante del par motriz. Nótese que si el signo de la corriente se invierte , también se invierte el signo del par T, lo que se manifiesta en la inversión del sentido rotación del eje del motor. Cuando la armadura está girando, se induce en ella una tensión proporcional al producto del flujo por la velocidad angular. Para un flujo constante, la tensión inducida eb es directamente proporcional a la velocidad angular dt/dθ, o

𝑒𝑏 = 𝐾𝑏𝑑𝜃𝑑𝑥

Donde Kb es la constante de fuerza contraelectromotriz. La velocidad de un servomotor de cd controlado por armadura, se controla mediante la tensión de la armadura. La ecuación diferencial del circuito de armadura es entonces.

𝐿𝑎𝑑𝑖𝑎𝑑𝑡

+ 𝑅𝑎𝑖𝑎 + 𝑒𝑏 = 𝑒𝑎 La corriente de la armadura produce un torque que se aplica a la inercia y la fricción.

𝐽𝑑2𝜃𝑑𝑡2

+𝑑𝜃𝑑𝑡

= 𝑇 = 𝐾𝑖𝑎




Ahora aplicando la transformada de Laplace a las tres ecuaciones anteriores se obtiene: 𝐾𝑏𝑆𝜃(𝑆) = 𝐸𝑏(𝑆) (𝐿𝑎𝑆 + 𝑅𝑎)𝐼𝑎(𝑆) + 𝐸𝑏(𝑆) = 𝐸𝑎(𝑆) (𝐽𝑆2 + 𝑏𝑆)𝜃(𝑆) = 𝑇(𝑆) = 𝐾𝐼𝑎(𝑆) Considerando al sistema Ea(s) como la entrada y a 𝜃(s) como la salida, se obtiene el siguiente diagrama de bloques.

figura 2.1 Diagrama de bloques del modelo del motor Se notará que es un sistema retroalimentado. El efecto de la fuerza contraelectromotriz es una retroalimentación proporcional a la velocidad del motor. Reduciendo se tiene que la función de transferencia es: 𝜃(𝑆)𝐸𝑎(𝑆) =

𝐾𝐿𝑎𝐽𝑆2 + (𝐿𝑎𝑏 + 𝑅𝑎𝐽)𝑆2 + (𝑅𝑎𝑏 + 𝐾𝐾𝑏)𝑆

Si la inductancia del circuito de la armadura es pequeña, generalmente se desprecia, por lo que nuestra función de transferencia queda de esta forma.

𝜃(𝑆)𝐸𝑎(𝑆)

𝐾𝑚

𝑆(𝑇𝑚𝑆 + 1)

Ec 2.1 Dónde: 𝐾𝑚 = 𝐾

(𝑅𝑎𝑏+𝐾𝐾𝑏) =constante de ganancia del motor.

𝑇𝑚 = 𝑅𝑎𝐽

(𝑅𝑎𝑏+𝐾𝐾𝑏) = constante de tiempo del motor.

Con estos resultados obtenidos, el diagrama de bloques del servomotor se reduce a:

2.2 modelado de la bola en la viga La figura5 describe el modelo de sistema básico del que se deriva el modelo matemático. Esta derivación consiste en el equilibrio de la fuerza de la bola y el equilibrio de par de la viga.

figura 2.3 Esquema del sistema de la viga La siguiente ecuación se puede derivar de un análisis de la fuerza de equilibrio, de la bola empleando la ley de Newton. �𝐹𝑏 = 𝑀𝑏𝑎𝑙𝑙𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝐹𝑟 = 𝑀𝑏𝑎𝑙𝑙�̈� + 𝑏1�̇�

Ec2.2 Donde 𝑀𝑏𝑎𝑙𝑙 es la masa de la bola, g es la aceleración de la gravedad, x es la distancia entre el centro de la bola y el centro del eje, b1 la fricción de la bola cuando rueda en el canal de la viga, θ es el ángulo de inclinación de la viga desde la posición horizontal, Fr representa la fuerza aplicada externamente. La posición de la bola es igual al ángulo de rotación de la bola gira a través de, α, multiplicado por el radio de rotación de la bola, a1:

𝑥 =∝ 𝑋 𝑎1 Ec2.3 Donde a1 es la distancia vertical entre el centro de la bola y el punto de contacto con la viga: La ecuación de torque de la bola se expresa como:




�𝜏𝑏 = 𝐹𝑟𝑎1 = 𝐽𝑏𝑎𝑙𝑙�̈� Ec 2.4 Donde �̈� es la aceleración angular de la bola, ∑𝜏𝑏 =Es la suma de torques en la bola 𝐽𝑏𝑎𝑙𝑙 = Es el momento de inercia de la bola, y esta dada por:

𝐽𝑏𝑎𝑙𝑙 =25𝑀𝑏𝑎𝑙𝑙𝑅𝑏2

Ec 2.5 Donde Rb es el radio de la bola. De la ecuación 2.2 y 2.5 se obtiene:

�1 +25�𝑅𝑏𝑎1�2

� �̈� +𝑏1�̇�𝑀𝑏𝑎𝑙𝑙

= 𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

Ec 2.6 3. Punto de equilibrio y Linealizacion

Es evidente que el modelo de la ecuación 2.6 es no lineal. Claramente el punto de equilibrio se tiene cuando θ es pequeño o tiende a cero

𝜃 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜃… 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝜃 ≪ 1) Por ello, la ecuacion 2.6 puede ser linealizada de la siguiente manera.

�1 +25�𝑅𝑏𝑎1�2

� �̈� +𝑏1�̇�𝑀𝑏𝑎𝑙𝑙

= 𝑔𝜃

Ec 3.1 Aplicando transformada de Laplace se tiene:

𝑋(𝑆)𝜃(𝑆)

=𝑔

𝐶1𝑆2 + 𝐶2𝑆

Ec 3.2 Donde

𝐶1 = �1 +25�𝑅𝑏𝑎1�2

�

𝐶2 =𝑏1

𝑀𝑏𝑎𝑙𝑙

4. Función de transferencia Para encontrar la función de transferencia del sistema se toma la ecuación 2.1 y 3.2

𝑋(𝑆)𝜃(𝑆)

.𝜃(𝑆)𝐸𝑎(𝑆)

= 𝑋(𝑆)𝐸𝑎(𝑆)

= 𝐻(𝑆) Ec 4.1

𝐻(𝑆) =𝐾𝑚

𝑆(𝑇𝑚𝑆 + 1) .

𝑔𝑆(𝐶1𝑆 + 𝐶2)

Ec 4.2 4.1 Espacios de estado

El modelo representado en espacio de estado quedaría de la siguiente manera:

(a)

(b) figura 4.1. a) espacio de estados no lineal, b) espacio de estados lineal 4.2 Definición de parámetros: Se eligieron los siguientes parámetros para simulación: parámetro simbolo unidad valor

1 constante del par motriz K Nm/A 4.91

2 resistencia de la armadura Ra ohms 4.7

3 coeficiente de viscosidad del motor

b Nm/(rad/s) 1.5




4 Constante de fuerza contraelectromotriz.

Kb volts/(rad/s) 4.77

5 momento de inercia del motor

J kg*m^2 0.043

6 radio de la bola. Rb m 0.01

7 momento de inercia de la bola

Jball kg*m^2 0.019

8 radio de rotación de la bola, a1:

a1 m 0.005

9 gravedad g m/s^2 9.8 10

fricción de la bola sobre la viga

b1 Ns/m no medible, muy pequeño

Tabla 1. Definicion de parámetros. Reemplazando estos valores se tiene que: Km = 0,16 Tm = 0,0066 C1 = 2,6 C2 =0

La ecuacion 4.2 se convierte en:

El espacio de estados de la figura 4.1(b) genera las siguientes matrices: A = 0 1 0 0 0 0 3.7 0 0 0 0 1 0 0 0 -151.5 B = 0 0 0 24.2 C = 1 0 0 0 0 0 1 0

5. Discretización del modelo Para obtener un modelo digital a partir de uno continuo es deseable que la respuesta transitoria (respuesta impulso, escalón, nº polos y ceros,..) y la respuesta frecuencial(margen de fase, ganancia, ...) de ambos sean similares Ts=.05; num1=Km; den1=[Tm 1 0] tf(num1,den1)

Transfer function 𝑇𝑓 = 0.160.0066𝑆2+𝑆

[NUMd1,DENd1] = 2DM(num1,den1,Ts,'zoh') NUMd1 = 0 0.0069 0.0011 DENd1 = 1.0000 -1.0005 0.0005 num2 = g den2=[C1 0 0] tf(num2,den2) Transfer function 𝑇𝑓 = 9.8

2.6𝑆2

[NUMd2,DENd2] = 2DM(num2,den2,Ts,'zoh') NUMd2 = 0 0.0047 0.0047 DENd2 = 1 -2 1

figura 5.1. Función de transferencia discreta

Figura 5.2 simulación ante una perturbación del punto de equilibrio




6. Analisis de Estabilidad

En análisis dinámico de sistemas en el dominio de la frecuencia, además de emplearse los diagramas y el criterio de Bode, se utilizan las representaciones de las funciones de transferencia sinusoidales en coordenadas polares que sirven de base para otros criterios de estabilidad como son el de Nyquist y el de Nichols nu=1.56 de0=[0.017 C1 0 0 0] gtf=tf(nu,de0) Transfer function:𝑔𝑡𝑓 = 1.56

0.017𝑆4+2.6𝑆3

nyquist(gtf)

Diagrama de Nyquist margin (gtf)

Diagrama de Bode 6.1 Controlabilidad y Observabilidad La Controlabilidad es la propiedad de llevar un sistema de cualquier estado inicial al cualquier estado final en un tiempo finito, no importando

qué trayectoria se siga, o qué entrada se use. La condición para que un sistema sea controlable es que la matriz

[𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵…𝐴𝑛−1𝐵] Sea de rango 𝑛, esto significa que debe tener 𝑛 vectores linealmente independientes Por otro lado, un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. Un sistema es observable si puede construirse una matriz de la forma

[𝐶𝑇 𝐴𝑇𝐶𝑇 (𝐴𝑇)2𝐶𝑇 … (𝐴𝑇)𝑛−1𝐶𝑇] tal que el rango de esta sea igual a 𝑛

6.2 Estudio de la controlabilidad y

observabiliodad del sistema. Para verificar la controlabilidad, se usa el comando CTRB de Matlab de la siguiente manera: M=ctrb(A,B) N=Rank(M) Para determinar el rango, que para este caso debe ser de 4, ya que hay cuatro vectores LI en nuestro espacio de estados. M=ctrb(A,B) M = 1.0e+007 * 0 0 0 0.0000 0 0 0.0000 -0.0014 0 0.0000 -0.0004 0.0555 0.0000 -0.0004 0.0555 -8.4150 n=rank(M) n = 4 De esta manera concluimos que el sistema es Controlable. Para determinar la Observabilidad se utilizan los comandos Ob=obsv(A,C) N=Rank(M) Ob=obsv(A,C) N=Rank(M) Ob = 1.0e+004 * 0.0001 0 0 0 0 0 0.0001 0




0 0.0001 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0.0004 0 0 0 0 -0.0152 0 0 0 0.0004 0 0 0 2.2952 N = 4 De esta manera concluimos que el sistema es Observable.

7 Simulación: Como se ve en la función de transferencia, esta relaciona el voltaje de entrada con la posición de la bola con respecto al eje central, por ende al dar una variación de voltaje en la entrada del motor, la viga debe sufrir una inclinación y la bola se debe alejar de manera exponencial del centro de la viga

(a)

(b) figura 7.1.(a) Función de transferencia, (b) simulación ante una perturbación del punto de equilibrio

8 Diseño De Controladores Para controlar adecuadamente el sistema, se requiere de un controlador en cascada como el que se muestra en la figura 8, un controlador dedicado al motor y otro para la dinámica total.

Figura 8. controlador en cascada

8.1 Sintonización PD1

Figura 8.1. Herramienta Tune

Inicialmente se sintonizó PD1 mediante la herramienta “TUNE” que esta incorporada en la función PID de Matlab como se muestra en la figura 8.1, desde allí se puede ajustar el comportamiento deseado y la interfaz arroja los valores de controlador automáticamente. Como se observa, en las figuras 8.2 (a) y (b) los valores obtenidos son: P = 6.3 ; I = 0.8 y D = 3.8

Figura 8.2.(a) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización




Figura 8.2.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización

8.2 Sintonización PD2 El controlador abarca toda la dinámica del sistema, tanto el modelo del motor, el controlador PD1 y la dinámica de la esfera Para ello también se utilizó esta herramienta de sintonización que se aprecia en la figura 8.3 a y b

Figura 8.3(a) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización

Figura 8.3.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización En la figura 8.4 (Anexo1) se muestra el esquema completo del sistema con su respectivo lazo de control, es de aclarar que ambos controladores PID fueron ajustados para no sobrepasar el 100% de salida del actuador. En la figura 8.5 (anexo1) (a) se aprecia el comportamiento de la señal de control del PD2, (b) comportamiento del eje del motor (Θ)

8.3 Controlador discreto De igual manera que para el control continuo, se sintonizaron los controladores PD1D y PD2D utilizando la herramienta de sintonización de matlab. La sintonización del controlador PD1D se muestra en la figura 8.6 (a)y la de PD2D en la figura 8.7 (b) El modelo de control general discreto se muestra en la figura 8.8 (anexo1)





Figura 8.6.(b) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización


Figura 8.7(b) Sintonización del controlador mediante Matlab Interfaz de sintonización 9 Ceros no Minifase Los sistemas que no poseen ceros en el semiplano derecho, se conocen como sistemas de fase mínima, o simplemente minifase. Para este sistema no se presentaron ceros de fase minima por lo que no se realizo ningún tratamiento

10 Conclusiones

• El diseño del controlador PD en cascada mejora las falencias del PID tradicional, sintonizado en un solo punto de funcionamiento de la planta, ya que se asegura que la respuesta del sistema sea comparable en todo el rango de funcionamiento del sistema.

• Un inconveniente que se presenta a nivel mecánico es la fricción entre la bola y la viga, lo cual hace que aún cuando la viga esté inclinada la bola sigue pegada, por la fricción estática, y cuando se vence esa fricción, entonces el ángulo de inclinación es muy grande y hace que la bola vaya rápido hacia el extremo más bajo. Este es uno de los aspectos más importantes que se deben tener en cuenta en trabajos posteriores.

• El controlador PD1 al ser sintonizado fuera de la dinámica es estable, peroal incluirse dentro de la dinámica global se inestabiliza, por lo que es necesario sintonizarlo dentro de la dinámica general

Referencias:

[1] S. Boyd, L. Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishna, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory. Philadelphia, PA: SIAM, 1994. [2] T. Hu, Z. Lin, W. Jiang, and P. E. Allaire, “Constrained control design [3] Abhilash P M Graduate student, Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Madras for magnetic bearing systems,” ASME Journal of Dynamic Systems, [4]http://www.youtube.com/watch?v=p5umi2X3F-I [5] T. Hu and Z. Lin, “On enlarging the basin of attraction for linear systems




under saturated linear feedback,” Systems and Control Letters, vol. 40, pp. 59–69, 2000. [6] F. Blanchini, “Set invariance in control - a survey,” Automatica, vol. 35, pp. 1747–1767, 1999. [7] A. D. Mahindrakar and V. Sankaranarayanan, “ State-constrained stabilization of beam-balance systems,” International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 18, pp. 333–350, February 2008. [8] Y. Aoustin and A. M. Formal’sky, “An original circular ball-and-beam system: stabilization strategy under saturating control with large basin of attraction,” in Proceedings of the European Control Conference 2007, (Kos, Greece), pp. 4833–4838, July 2007.

[9] A. Isidori, Nonlinear Control Systems. New York: Springer Verlag, 1995.




Anexo 1

Figura 8.4 (a) Esquema completo del sistema con su respectivo lazo de control

Figura 8.4 (b) Esquema del controlador en cascada y dinámica del sistema controlado.




Figura 8.5 (anexo1) (a) se aprecia el comportamiento de la señal de control del PD2

figura 8.5 (b) comportamiento del eje del motor (Θ)




Figura 8.8 modelo de control general discreto

Figura 8.9 Comportamiento de la salida digital

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