Bai Tap Chung Hinh Hoc
Transcript of Bai Tap Chung Hinh Hoc
Chöông I : VECTÔ
§1: CAÙC ÑÒNH NGHÓA
A: TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
Vectô laø ñoaïn thaúng coù dònh höôùng Kyù hieäu : ; hoaëc ; Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng ñieåm cuoái : Kyù hieäu
Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song song hoaëc truøng nhau
Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi
B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP :
Baøi 1: Baøi taäp SGK : 1, 2, 3, 4, 5 trang 9 SGK naâng cao
Baøi 2: Cho 5 ñieåm A, B, C, D, E. Coù bao nhieâu vectô khaùc vectô - khoâng coù ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái laø caùc ñieåm ñoù.
Baøi 3: Cho hình bình haønh ABCD coù taâm laø O . Tìm caùc vectô töø 5 ñieåm A, B, C , D , O
a) baèng vectô ;
b) Coù ñoä daøi baèng
Baøi 4 : Cho töù giaùc ABCD, goïi M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC, CD, DA. Chöùng minh :
Baøi 5 : Cho tam giaùc ABC coù tröïc taâm H vaø O taâm laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp . Goïi B’ laø ñieåm ñoái xöùng B qua O . Chöùng minh :
Baøi 6 : Cho hình bình haønh ABCD . Döïng . Chöùng minh
§2. TOÅNG VAØ HIEÄU HAI VECTÔ
A: Toùm taét lyù thuyeát :
Ñònh nghóa: Cho ; . Khi ñoù
Tính chaát : * Giao hoaùn : =
* Keát hôïp ( ) + = + )
* Tín h chaát vectô –khoâng + =
Quy taéc 3 ñieåm : Cho A, B ,C tuøy yù, ta coù : + =
Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì +
= Quy taéc veà hieäu vec tô : Cho O , B ,C tuøy yù ta coù :
B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP :
B1: TRAÉC NGHIEÄM
Caâu1: Phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng:a) Hai vectô khoâng baèng nhau thì coù ñoä daøi khoâng baèng nhaub) Hieäu cuûa 2 vectô coù ñoä daøi baèng nhau laø vectô – khoângc) Toång cuûa hai vectô khaùc vectô –khoâng laø 1 vectô khaùc vectô -
khoângd) Hai vectô cuøng phöông vôùi 1 vec tô khaùc thì 2 vec tô ñoù cuøng
phöông vôùi nhau
Caâu 2: Cho hình chöõ nhaät ABCD, goi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) = = = b) = c) + + + = d) - =
Caâu 3: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng
a) = b) = =
c) + = 2a d) + = -
Caâu 4: Cho khaùc vaø cho ñieåm C. Coù bao nhieâu ñieåm D thoûa =
a) voâ soá b) 1 ñieåm c) 2 ñieåm d) Khoâng coù ñieåm naøo
Caâu 5: Cho vaø khaùc thoûa = . Phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng:a) vaø cuøng naøm treân 1 ñöôøng thaèng b) + = + c) - = - d) - = 0
Caâu 6: Cho tam giaùc ABC , troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) + = b) + + = 0c) + = d) + + = 0
B2: TÖÏ LUAÄN :
Baøi 1: Baøi taäp SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK cô baûn ; Baøi 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK naâng cao
Baøi 2: Cho hình bình haønh ABCD taâm O . Ñaët = ; = Tính ; ; ; theo vaø
Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD caïnh a . Tính + ; - theo a
Baøi 4: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm taäp hôïp ñieåm M , N thoûa
a) - = b) - =
Baøi 5: Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chöùng minh raèng :a) + + = + b) + + = + + c) + + + = + + d) - + - + - =
Baøi 6 : Cho tam giaùc OAB. Giaû söû . Khi naøo ñieåm M naèm treân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc AOB? Khi naøo N naèm treân ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc AOB ?
Baøi 7 : Cho nguõ giaùc ñeàu ABCDE taâm O Chöùng minh :
Baøi 8 : Cho tam giaùc ABC . Goïi A’ la ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua A, B’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi C qua B, C’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua C. vôùi moät ñieåm O baát kyø, ta coù:
Baøi 9: Cho luï giaùc ñeàu ABCDEF coù taâm laø O . CMR :a) + + + + + =
b) + + = c) + + =d) + + = + + ( M tuøy yù )
Baøi 10: Cho tam giaùc ABC ; veõ beân ngoaøi caùc hình bình haønh ABIF ; BCPQ ; CARS
Chöùng minh raèng : + + =
Baøi 11: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O , tröïc taâm H , veõ ñöôøng kính AD
a) Chöùng minh raèng + = b) Goïi H’ laø ñoái xöùng cuûa H qua O .Chöùng minh raèng + +
=
Baøi 12: Tìm tính chaát tam giaùc ABC, bieát raèng : + = -
§3: TÍCH CUAÛ VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ
A.TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT:
Cho kR , k laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh:* Neáu k 0 thì k cuøng höôùng vôùi ; k < 0 thì k ngöôïc höôùng vôùi
* Ñoä daøi vectô k baèng k . Tính chaát :
a) k(m ) = (km) b) (k + m) = k + m c) k( + ) = k + k
d) k = k = 0 hoaëc =
cuøng phöông ( ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa =k
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho
=k
Cho khoâng cuøngphöông , luoân ñöôïc bieåu dieãn = m + n ( m, n duy nhaát )
B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP :
B1: traéc nghieämCaâu 1: Cho hình bình haønh ABCD coù O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD .Tìm caâu sai
a) + = b) = ( + )
c) + = + d ) + =
Caâu 2: Phaùt bieåu naøo laø sai a) Neáu = thì = b) = thì A, B,C, D thaúng haøng c) 3 +7 = thì A,B,C thaúng haøng d) - = -
Caâu 3: Cho töù giaùc ABCD coù M,N laø trung ñieåm AB vaø CD . Tìm giaù trò x thoûa + = xa) x = 3 b) x = 2 c) x = -2 d) x = -3
Caâu 4: Cho tam giaùc ABC vaø A’B’C’ coù troïng taâm laàn löôït laø G vaø G’Ñaët P = . Khi ñoù ta coù
a) P = b) P = 2 c) P = 3 d) P = -
Caâu 5: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng
a) = b) + = 2a c) + = d) + = 3
Caâu 6: Cho tam giaùc ABC ,coù bao nhieâu ñieåm M thoûa + + = 5a) 1 b) 2 c) voâ soá d) Khoâng coù ñieåm naøo
Caâu 7: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a coù I,J, K laàn löôït laø trung ñieåm BC , CA vaø AB .
Tính giaù trò cuûa
a) 0 b) c) d) 3a
Caâu 8: Cho tam giaùc ABC , I laø trung ñieåm BC ,troïng taâm laø G . Phaùt bieåu naøo laø ñuùng
a) = 2 b) + = 0c) + = d) GB + GC = 2GI
B2: TÖÏ LUAÄN :
Baøi 1: Baøi taäp SGK : Baøi 4, 9 trang 17 SGK cô baûn ; baøi 21 ñeán 28 trang 23, 24 SGK naâng cao
Baøi 2 : Cho tam giaùc ABC coù AM laø trung tuyeán. Goïi I laø trung ñieåm AM
vaø K laø moät ñieåm treân caïnh AC sao cho AK = AC. Chöùng minh ba ñieåm
B, I, K thaúng haøng
Baøi 3 : Cho tam giaùc ABC. Hai ñieåm M, N ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc heä thöùc . Chöùng minh MN // AC
Baøi 4: Cho hình chöõ nhaät ABCD taâm O , ñieåm M laø 1 ñieåm baát kyø :a) Tính = + + + theo
Töø ñoù suy ra ñöôøng thaúng MS quay quanh 1 ñieåm coá ñònhb) Tìm taäp hôïp ñieåm M thoûa + + + = a ( a > 0 cho
tröôùc )c) Tìm taäp hôïp ñieåm N thoûa + = +
Baøi 5: Cho tam giaùc ABC ; treân BC laáy D ; E thoûa BD = DE = EC . Goïi I laø trung ñieåm BC
S laø 1 ñieåm thoûa = + + + Chöùng minh raèng 3 ñieåm I ; S ; A thaúng haøng
Baøi 6 :Cho tam giaùc ABC. Ñieåm I naèm treân caïnh AC sao cho CI = CA, J laø
ñieåm maø
.
a) Chöùng minh :
b) Chöùng minh B, I, J thaúng haøng c) Haõy döïng ñieåm J thoûa ñieàu kieän ñeà baøi
Baøi 7 : Cho tam giaùc ABC .a) Tìm ñieåm K sao cho B) Tìm ñieåm M sao cho
Baøi 8: Cho tam giaùc ABC. = ; = ; =
a) Chöùng minh raèng: + + = + + = . Suy ra ABC vaø IJK cuøng troïng
taâm
b) Tìm taäp hôïp M thoûa: + + = +
2 + =2 + c) Tính ; theo vaø
Baøi 9: Cho tam giacù ABC coù I, J , K laàn löôït laø trung ñieåm BC , CA , AB . G laø troïng taâm tam giaùc ABC1) Chöùng minh raèng + + = .Suy ra tam giaùc ABC vaø IJK cuøng
troïng taâm2) Tìm taäp hôïp ñieåm M thoûa :
a) + + = +
b) + = -
3) D, E xaùc ñònh bôûi : = 2 vaø = . Tính vaø theo
vaø . Suy ra 3 ñieåm D,G,E thaúng haøng
Baøi 10 : Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm laø G , M laø 1 ñieåm naèm trong tam giaùc.
Veõ MD ; ME ; MF laàn löôït vuoâng goùc vôùi 3 caïnh cuûa tam giaùc
Chöùng minh raèng + + =
§4 :TRUÏC TOÏA ÑOÄ VAØ HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ :
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :
Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô coù ñoä daøi baèng 1.
Kyù hieäu truïc (O; ) hoaéc x’Ox
A,B naèm treân truïc (O; ) thì = . Khi ñoù goïi laø ñoä daøi ñaïi
soá cuûa Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox Oy.
Kyù hieäu Oxy hoaëc (O; ; )
Ñoái vôùi heä truïc (O; ; ), neáu =x +y thì (x;y) laø toaï ñoä cuûa
. Kyù hieäu = (x;y)
Cho = (x;y) ; = (x’;y’) ta coù
= (x x’;y y’)
k =(kx ; ky) ; k R
cuøng phöông ( ) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa x’=kx vaø y’= ky
Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù
P laø trung ñieåm MN thì xp = vaø yP =
= (xM – xN ; yM – yN)
Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì xG = vaø yG =
B. NOÄI DUNG BAØI TAÄP :
B1 : BAØI TAÄP TRAÉC NGHIEÄM
Caâu 1: Cho =(1 ; 2) vaø = (3 ; 4). Vec tô = 2 +3 coù toaï ñoä laø
a) =( 10 ; 12) b) =( 11 ; 16) c) =( 12 ; 15) d) = ( 13 ; 14)
Caâu 2: Cho tam giaùc ABC vôùi A( -3 ; 6) ; B ( 9 ; -10) vaø G( ; 0) laø troïng
taâm . Toïa ñoä C laø :
a) C( 5 ; -4) b) C( 5 ; 4) c) C( -5 ; 4) d) C( -5 ; -4)
Caâu 3: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giaù trò cuûa m ñeå A ; B ; C thaúng haøng
a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1
Caâu 4: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D ñeå ABDC laø hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Caâu 5 :Cho =3 -4 vaø = - . Tìm phaùt bieåu sai :
a) = 5 b) = 0 c) - =( 2 ; -3) d) =
Caâu 6: Cho A(3 ; -2) ; B (-5 ; 4) vaø C( ; 0) . Ta coù = x thì giaù trò x
laø a) x = 3 b) x = -3 c) x = 2 d) x = -4
Caâu 7: Cho =(4 ; -m) ; =(2m+6 ; 1). Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå 2 vectô cuøng phöônga) m=1 m = -1 b) m=2 m = -1 c) m=-2 m = -1 d) m=1 m = -2
Caâu 8: Cho tam giaùc ABC coù A(1 ; 2) ; B( 5 ; 2) vaø C(1 ; -3) coù taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp I laø
a) I = (3 ; ) b)I = (3 ; -1) c) I = (-3 ; ) d) I = (3 ;
)
Caâu 9:Cho =( 1 ; 2) vaø = (3 ; 4) ; cho = 4 - thì toïa ñoä cuûa laø :a) =( -1 ; 4) b) =( 4 ; 1) c) =(1 ; 4) d) =( -1 ;
-4)
Caâu 10:Cho tam giaùc ABC vôùi A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) vaø C(4 ; 3). Tìm D ñeå ABCD laø hình bình haønh
a) D(3 ; 10) b) D(3 ; -10) c) D(-3 ; 10) d) D(-3 ; -10)
B2 :TÖÏ LUAÄN :
Baøi 1: Baøi taäp SGK :29 ñeán 36 TRANG 30, 31 SGK naâng cao
Baøi 2 : Cho tam giaùc ABC . Caùc ñieåm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh
BC, CA, AB. Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc
Baøi 3 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m ñeå 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng
Baøi 4 : Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a . Choïn heä truïc toïa ñoä (O; ; ), trong ñoù O laø trung ñieåm BC, cuøng höôùng vôùi , cuøng höôùng .
a) Tính toïa ñoä cuûa caùc ñænh cuûa tam giaùc ABCb) Tìm toïa ñoä trung ñieåm E cuûa ACc) Tìm toïa ñoä taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC
Baøi 5 : Cho luïc giaùc ñeàu ABCDEF. Choïn heä truïc toïa ñoä (O; ; ), trong ñoù O laø taâm luïc giaùc ñeàu ,
cuøng höôùng vôùi , cuøng höôùng .Tính toïa ñoä caùc ñænh luïc giaùc ñeàu , bieát caïnh cuûa luïc giaùc laø 6 .
Baøi 6:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm toïa ñoä ñieåm D neáu bieát:a) – 2 + 3 = b) – 2 = 2 + c) ABCD hình bình haønhd) ABCD hình thang coù hai ñaùy laø BC, AD vôùi BC = 2AD
Baøi 7 :Cho hai ñieåm I(1; -3), J(-2; 4) chia ñoïan AB thaønh ba ñoïan baèng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm toïa ñoä cuûa A, Bb) Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm I’ ñoái xöùng vôùi I qua Bc) Tìm toïa ñoä cuûa C, D bieát ABCD hình bình haønh taâm K(5, -6)
Baøi 8: Cho =(2; 1) ; =( 3 ; 4) vaø =(7; 2)a) Tìm toïa ñoä cuûa vectô = 2 - 3 + b) Tìm toïa ñoä cuûa vectô thoûa + = - c) Tìm caùc soá m ; n thoûa = m + n
BAØI TAÄP OÂN TAÄP CHÖÔNG I
Baøi 1:Baøi taäp SGK trang 35, 36, 37, 38 saùch naâng cao
Baøi 2:Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì neáu noù thoûa maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau ?
a) b) Vectô vuoâng goùc vôùi vectô
Baøi 2 :Töù giaùc ABCD laø hình gì neáu noù thoûa maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau ? a) b)
Baøi 3:Cho tam giaùc ABC , vôùi moãi soá thöïc k ta xaùc ñònh caùc ñieåm A’ , B’ sao cho . Tìm quó tích troïng taâm G’ cuûa trung ñieåm A’B’C.
Baøi 4: Cho töù giaùc ABCD . Caùc ñieåm M,, N, P vaø Q laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC, CD vaø DA . Chöùng minh hai tam giaùc ANP vaø CMQ coù cuøng troïng taâm
Baøi 5: :Cho tam giaùc ABC vaø moät ñieåm M tuøy yù , Chöùng minh vectô khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M. Haõy döïng
ñieåm D sao cho
Baøi 6: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O, H laø tröïc taâm tam giaùc , D laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua O.
a) Chöùng minh töù giaùc HCDB laø hình bình haønh b) Chöùng minh :
c) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC. Chöùng minh . Töø ñoù keát luaän gì veà 3 ñieåm G, H, O.
Baøi 7: Cho hai hình bình haønh ABCD vaø AB’C’D’ coù chung ñænh A. Chöùng minh :
a) b) Hai tam giaùc BC’D vaø B’CD’ coù cuøng troïng taâm
Chöông II: TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛAHAI VECTÔ
VAØ ÖÙNG DUÏNG
§1: GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ ( TÖØ 00 ñeán 1800)
A.TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
Ñònh nghóa : Treân nöûa döôøng troøn ñôn vò laáy ñieåm M thoûa goùc xOM = vaø M( x ; y)
*. sin goùc laø y; kyù hieäu sin = y
*. cos goùc laø x0; kyù hieäu cos = y0
*. tang goùc laø ( x 0); kyù hieäu tan =
*. cotang goùc laø ( y 0); kyù hieäu cot =
Baûng giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät
00 300 450 600 900
Sin 0 1
Cos 1 0
tan 0 1
Cot 1 0
Hai goùc buø nhau:
Sin( 1800- ) = sin
Cos ( 1800-) = - cos
Tan (1800-) = - Tan ( 900)
Cot ( 1800-) = - Cot ( 0 << 1800)
B.VÍ DUÏ
Ví duï 1: Tính giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc
a. 45 0
b. 1200
Giaûi:
a. Sin 450 = , cos 450 = , tan 450=1, cot 450 = 1
b. Sin 1200 = , cos 1200 = - , tan1200 = - , cot1200= -
Ví duï 2: Tính giaù trò bieåu thöùc
A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
Giaûi:
A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) = 0
C : BAØI TAÄP
Baøi 1: Tính giaù trò bieåu thöùc:
a. A=( 2sin 300 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600)
b. B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350
Baøi 2: Ñôn gianû caùc bieåu thöùc:
a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640
b) B= 2 Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan cot(1800- ) . (Vôùi 00< <900)
Baøi 3 : a) Chöùng minh raèng sin2x +cos2x = 1 ( 00 x 1800)
b)Tính sinx khi cosx =
c) Tính sinx.cosx neáu sinx – cosx =
d) Chöùng minh raèng 1 + tan2 x = ( Vôùi x 900 )
e) Chöùng minh raèng 1 + cot2 x = ( Vôùi 00 < x < 18000 )
Baøi 4 : Tính giaù trò bieåu thöùc:
A = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . . . . + cos 1700
B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350
Baøi 5: Cho tam giaùc ABC , Chöùng minh raèng
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
b) cos(A + C) + cos B = 0
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0
Baøi 6: Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm G . Tính goùc giöõa
a) vaø b) vaø c) vaø
d) vaø c) vaø
§2: TÍCH VOÂ HÖÔÙNG 2 VEÙCTÔ
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :
Cho = vaø = . Khi ñoù goùc AOB laø goùc giuõa 2 vectô
vaø Kyù hieäu ( ; )
Neáu = hoaëc = thì goùc ( ; ) tuøy yù
Neáu ( ; ) = 900 ta kyù hieäu
Bình phöông voâ höôùng 2 = 2 .
Caùc quy taéc: Cho ; k R
. = . ( Tính giao hoaùn)
. = 0 <=>
(k , = k ( )
( ) = (Tính chaát phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng vaø tröø )
Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi moät ñöôøng troønCho ñöôøng troøn (O,R) vaø moät ñieåm M coá ñònh, Moät ñöôøng thaúng
thay ñoåi, luoân ñi qua ñieåm M caét ñöôøng troøn (O,R) taïi A, B
Phöông tích cuûa ñieåm M, ñoái vôùi ñöôøng troøn (O,R): kí hieäu: P M/(O)
P M/(O) = MO2 – R2 =
Neáu M ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O,R), MT laø tieáp tuyeán thì P M/(O) = MT2
Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa tích voâ höôùng Cho = (x, y) , = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta coù
. = x.x' + y.y'
| | =
Cos ( , ) =
xx' + yy' = 0
MN = | | =
B : CAÙC VÍ DUÏ :
Ví duï 1: Cho = (1, 2), = (-1, m)
a) Tìm m ñeå , vuoâng goùc
b) Tính ñoä daøi , ; tìm m ñeå | | = | |
Giaûi
a) -1 + 2m = 0 m =
b) | | =
| | =
| | = | | m =
Ví duï2: cho ñeàu ABC caïnh a vaø troïng taâm G; tính
. ; . ; . ; . ; . ; .
Giaûi
. = a.a cos 600 = a2
. = a.a cos 1200 = - a2
. =
=
=
=0 vì
Ví duï 3: Trong Mp oxy cho 2 ñieåm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm treân truïc ox ñieåm P caùch ñeàu 2 ñieåm M,N
b)Tính cos cuûa goùc MON
Giaûi
a) p ox => P( xp,0)
MP = NP <=> MP2 = NP2
<=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12
Vaäy P ( ,0)
b)
Cos MON = cos( , )= =
C. BAØI TAÄP:
A. Traéc nghieäm :
Caâu 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = a ; BC = 2a* Tính tích voâ höôùng .
a) a2 b) 3a2 c) a2 d) a2
* Tính tích voâ höôùng .
a) a2 b) a2 c) - a2 d) a2
Caâu 2: Cho =(3; -1) vaø =(-1; 2). Khi ñoù goùc giöõa vaø laøa) 300 b) 450 c) 1350 d) 900
Caâu 3:Cho =( 2 ; 5) vaø = (3 ; -7). Khi ñoù goùc giöõa vaø laø a) 450 b) 300 c) 1350 d) 1200
Caâu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4). Tìm giaù trò cuûa m ñeå A ; B ; C thaúng haøng
a) m = 2 b) m = 3 c) m = -2 d) m = 1
Caâu 5: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3). Tìm D ñeå ABDC laø hbh
a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Caâu 6: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
a) Caân b)Vuoâng caân c) Vuoâng d)Ñeàu
Caâu 7: Cho =(2x - 5 ; 2) ; =(3 – x; -2). Ñònh x ñeå A , B , C thaúng haøng
a) x = 2 b) x = -2 c) x = 1 d) x = -1
Caâu 8: Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm G. Phaùt bieåu naøo ñuùng
a) = b) = c) . = d) 2 + 2 + 2 = 2
Caâu 9:Cho (O,5), ñieåm I ôû ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán IAB vôùi IA = 9, IB = 16 a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15
C aâu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4). Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC:
a) I(2;5) b) I( ; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4)
Caâu 11:Ñöôøng troøn qua 3 ñieåm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) coù taâm I laø :a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5)
Caâu 12: Phaùt bieåu naøo laø sai a) Neáu = thì = b) Neáu = . thì = c) . = . d) - = -
Caâu 13: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a, troïng taâm laø G. Phaùt bieåu naøo laø ñuùng a) = b) + = 2a c) . = a2 d) . = 0
Caâu 14 : Cho hình vuoâng ABCD caïnh a .Keát quaû naøo ñuùng a) . = a2 b) . = a2 c) . = 2a2 d) . = 0
Caâu 15:Cho (O,30), ñieåm I ôû ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán IAB vôùi IA = 54, IB = 96
a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81
Caâu 16:Chæ ra coâng thöùc ñuùng a) = b) = c) = d ) =
Caâu 17 : Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a.Tích voâ höôùng . nhaän keát quaû naøo
a) a2 b) - c) d) a2
Caâu 18:Cho . = AB. CD thì phaùt bieåu naøo sau ñaây laø ñuùng: a) ngöôïc höôùng b) A, B, C, D thaèng haøng c) cuøng höôùng d) =
Câu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam giác ABC vuông tại C thì giá trị của m là :a) m = 1 hay m = 6 b) m = 0 hay m = 7 c) m = 0 hay m = -7 d) m = 1 hay m = 7
Caâu 20: Cho =(m2 -2m+2 ; 3m-5), =(2;1) . Tìm giaù trò cuûa m ñeå
a) m = 1 b)m = - c)m = 1 hoaëc m = - d) Caû a ; b ; c
ñeàu ñuùng
Caâu 21: Cho =(4;3) vaø =(1;7). Khi ñoù goùc giöõa 2 vec tô ( , ) laø : a) 300 b) 450 c) 600 d) Keát quaû khaùc
Caâu 22: Cho tam giaùc ñeàu ABC caïnh a coù G laø troïng taâm:*. Phöông tích cuûa G vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính BC
a) - b) c) - d) -
*. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính BC
a) b) c) a2 d)
Caâu 23: Cho hình vuoâng ABCD taâm O caïnh a:*. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn ñöôøng kính CD
a) a b)a2 c)2a2 d)
*. Phöông tích cuûa A vôùi ñöôøng troøn taâm C coù baùn kính = a
a) b) c) a2 d) 2a2
B.Tö luaän
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1). a) Chöùng minh raèng tam giaùc vuoângb) Xaùc ñònh taâm ñöông troøn ngoaïi tieápc) Tính dieän tích tam giaùc vaø dieän tích ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam
giaùc
Baøi 2: Cho A (-1 ; -1) vaø B (5; 6)a) Tìm M x’Ox ñeå tam giaùc ABM caân taïi Mb) Tìm N y’Oy ñeå tam giaùc ABN vuoâng taïi Nc) Xaùc ñònh H,K ñeå ABHK laø hình bình haønh nhaän J(1;4) laøm taâmd) Xaùc ñònh C thoûa 3 - 4 = 2e) Tìm G sao cho O laø troïng taâm tam giaùc ABGf) Xaùc ñònh I x’Ox ñeå + + ñaït giaù trò nhoû nhaát
Baøi 3: Cho A(-2;1) vaø B(4;5) a) Tìm M x’Ox ñeå tam giaùc ABM vuoâng taïi Mb) Tìm C ñeå OACB laø hình bình haønh
Baøi 4: Cho =( ; -5) vaø =( k ; -4). Tìm k ñeå:
a) cuøng phöông b) vuoâng goùc c) =
Baøi 5: Cho =(-2; 3) ; =( 4 ; 1)
a) Tính cosin goùc hôïp bôûi vaø ; vaø ; vaø ; + vaø -
b) Tìm soá m vaø n sao cho m +n vuoâng goùc +c) Tìm bieát . = 4 vaø . = -2
Baøi 6: Cho tam giaùc ABC vôùi A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2). a) Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì . Tính dieän tích tam giaùcb) Goïi G , H , I laø troïng taâm , tröïc taâm vaø taâm ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp cuûa tam giaùc.Tính G, H , I vaø CMR +2 =
Baøi 7: Cho tam giaùc ABC coù A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)a) Chöùng minh raèng A ; B ; C khoâng thaúng haøng
b) Tìm toïa ñoä ñieåm D ñeå ABCD laø hình bình haønhc) Tìm ñieåm M truïc x’Ox ñeå tam giaùc ABM vuoâng taïi Bd) Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì ?
e)Tìm toïa ñoä tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC
Baøi 8: Cho ABC coù AB=7, AC=5, AÂ = 1200
a) Tính . , .
b) Tính ñoä daøi trung tuyeán AM (M laø trung ñieåm BC)
Baøi 9: Cho 4 ñieåm baát kyø A,B,C.D: chöùng minh raèng:
+ + =0
Töø ñoù suy ra moät caùch chöùng minh ñònh lyù “3 ñöôøng cao cuûa moät tam giaùc ñoàng quy”
Baøi 10: Cho ABC coù 3 trung tuyeán AD, BE,CF; CMR:
+ + =0
Baøi 11 : Cho ABC coù AC= b, AB= c, goùc BAC = vaø AD laø phaân giaùc
cuûa goùc BAC ( D thuoäc caïnh BC)
a) Haõy bieåu thò qua ,
b) Tính ñoä daøi ñoaïn AD
5) Cho 2 ñieåm M,N naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính AB= 2 R, AMBN =I
a) Chöùng minh: =
=
b) Tính + theo R
Baøi 11: Cho ñoaïn AB coá ñònh, AB= 2a, k IR, Tìm taäp hôïp ñieåm M sao cho:
a) = k
b) MA2 - MB2 = k2
Baøi 12: Töø ñieån M ôû ngoaøi ñt (0) veõ caùc tuyeán MAB vôùi ñt (0) (A,B (0) ; 2 tieáp tuyeán taïi A,B cuûa ñöôøng troøn (0) caét nhau taïi I, IO AB taïi D; ñöôøng thaúng qua I vaø vuoâng goùc vôùi MO taïi H vaø laàn löôït caét AB taïi C; caét ñöôøng troøn (0) taïi E, F
Chöùng minh :
a.
b. OF2 =
c.
d. PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2
( (ICD), (MCH) : ñöôøng troøn ngoaïi tieáp: : ICD, MCH)
Baøi 13:. Cho hai ñöôøng thaúng AB vaø CD caét nhau taïi M chöùng minh raèng 4 ñieåm A,B,C,D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn khi vaø chæ khi
Baøi 14:. Trong maët phaúng toaï ñoä cho
vaø
Tìm caùc giaù trò cuûa k ñeå :
a. b.
Baøi 15:. Cho = (-2, 3), = (4,1)
a. Tim coâsin cuûa goùc giöõa moãi caëp vectô sau :
* vaø , vaø , + vaø -
b. Tìm caùc soá k vaø l sao cho = k + l Vuoâng goùc vôùi +
c. Tìm vectô bieát
Baøi 16:. Cho hai ñieåm A (-3,2) B(4,3) tìm toaï ñoä cuûa
a. Ñieåm M ox sao cho MAB vuoâng taïi M
b. Ñieåm N oy sao cho NA = NB
c. Ñieåm K oy sao cho3 ñieåm A,K,B thaúng haøng
d. Ñieåm C sao cho ABC vuoâng caân taïi C
Baøi 17:. Cho 3 ñieåm A (-1,1) B(3,1), C(2,4)
a. Tính chu vi vaø dieän tích ABC
b. Goïi A’ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân BC; tìm toaï ñoä A’
c. Tìm toaï ñoä tröïc taâm H, troïng taâm G, vaø taâm I ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC; töø ñoù chöùng minh 3 ñieåm I,H,G thaúng haøng.
Baøi 18:. Cho 4 ñieåm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chöùng minh 4 ñieåm A,B,C,D cuøng thuoäc moät ñöôøng troøn
Baøi 19:. Bieát A(1,-1), B (3,0) laø hai ñænh cuûa hình vuoâng ABCD; tìm toaï ñoä caùc ñænh C vaø D.
Baøi 20: Cho M coá ñònh ngoaøi döôøng troøn (O,R) ,veõ caùt tuyeán MAB vaø 2 tieáp tuyeán CT vaø CT’. Goïi D laø giao ñieåm cuûa TT’ vaø AB. H vaø I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa cuûa TT’ vaø AB
a) CMR : . = =b) Cho AB = 8 cm. Goïi (C1) laø ñöôøng troøn taâm A, baùn kính = 4 cm,
(C2) laø ñöôøng troøn taâm B, baùn kính = 3cm. Tìm taäp hôïp N thoaû P N/(C1) +
P N/(C2) = 15
Baøi 21: Cho (O;7), ñieåm I thoûa OI =11. Qua I veõ 2 caùt tuyeán IAB vaø ICDCho IA = 12, tính IBCho CD = 1; tính IC ; ID
Baøi 22: Ñieåm I naèm trong (O;R), qua I veõ 2 daây AB vaø CD. Tính IC ; IDa) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ;
Baøi 23: Cho (O;20) OM = 30, veõ tieáp tuyeán MT vaø caùt tuyeán MAB . Cho AB = 5
a) Tính MT ; MA ; MBb) Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp AOB caét MO taïi E. Tính OE
Baøi 24: Cho (O;30); I ôû ngoaøi ñöôøng troøn , veõ 2 caùt tuyeán IAB vaø ICD ; tieáp tuyeán IT. Ñöôøng thaúng IO caét ñöôøng troøn taïi E vaø F . Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64. Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Baøi 25: Cho tam giaùc ABC coù 3 ñöôøng cao AA’ ; BB’ ; CC’ ñoàng quy taïi HCMR : = =
Baøi 26:Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi A vaø B. M laø 1 ñieåm treân caïnh AB keùo daøi. Qua M laàn löôït veõ 2 tieáp tuyeán MT, MT’, 2 caùt tuyeán MCD, MC’D’ ñoái vôùi (O) vaø (O’)
CMR MT = MT’ vaø CDD’C’ noäi tieáp
Baøi 27: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø ñöôøng cao AH. Treân ñöôøng troøn taâm C, baùn kính CA laáy ñieåm M ( khoâng ôû treân ñöôøng BC keùo daøi). CMR ñöôøng thaúng CM tieáp xuùc vôùi (BHM)
Baøi 28: tam giaùc ABC noäi tieáp trong (O), M laø trung ñieåm BC. Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AOM caét ñöôøng thaúng BC taïi 1 ñieåm thöù 2 laø E vaø caét (O) taïi D. AD caét BC taïi F.Chöùng minh raèng:
a) =b) =c) EA tieáp xuùc vôùi (O) vaø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc AMF
Baøi 29: Cho P naèm ngoaøi (O), veõ caùt tuyeán PAB löu ñoäng,tieáp tuyeán vôùi (O) veõ töø A vaø B caét nhau M. Veõ MH vuoâng goùc vôùi OP.
a) CMR : 5 ñieåm O , A , B, M , H ôû treân 1 ñöôøng troønb) Tìm taäp hôïp M khi PAB quay quanh Pc)Goïi I laø trung ñieåm AB, N laø giao ñieåm cuûa PAB vaø MH . CMR
=
Baøi 30: Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB=2R. Treân ñöôøng thaúng AB
laáy 1 ñieåm M ôû ngoaøi (O) sao cho MA = . Töø M veõ tieáp tuyeán MT
a) Tính MT theo Rb) Goïi TH laø ñöôøng cao trong TMO. Chöùng minh raèng : =
c) Tính H/(O)
d)Veõ caùt tuyeán MCD, CMR töù giaùc CDOH noäi tieápe) AD vaø BC caét nhau taïi N. CMR : + = 4R2
Baøi 31: Treân ñoaïn AB = 8, veõ (A,4) vaø (B,3). Tìm taäp hôïp M thoûa M/(A) +M/(B) = 15Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB . M, N laø 2 ñieåm cuøng phía treân tieáp tuyeán keû töø B. AM vaø AN caét (O) taïi M1 vaø N1.
a) CMR töù giaùc MNN1M1 noäi tieápb) Giaû söû AB = BN = 10; BM = 5. Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1
Baøi 32: M laø 1 dieåm treân nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB . H laø hình chieáu cuûa M xuoáng AB . Ñöôøng troøn ñöôøg kính MH caét MA ; MB taïi P,Q vaø caét nöûa ñöôøng troøn taïi E
a) CMR töù giaùc APQB noäi tieápb) CMR 3 ñöôøng AB ; PQ ; ME ñoàng quy
Baøi 33: Cho 3 ñieåm A ; B ; C thaúng haøng theo thöù töï. AB = 5 ; BC = 7. Ñöôøng troøn di ñoäng qua A , B coù taâm laø O. Veõ 2 tieáp tuyeán CT ; CT’. Goïi D laø giao ñieåm TT’ vôùi AB. Goïi H; I laàn löôït laø trung ñieåm cuûa ñoïan TT’, AB
a) Tìm taäp hôïp T; T’b) CMR : = =c) CMR : Ñieåm D coá ñònh. Suy ra taäp hôïp H
Baøi 34 : Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BC = 4; A ngoaøi (O), AB = 6 ; AC = 5. AC , AB caét (O) taïi D vaø E
a) Tính AO , AE , ADb) Qua A veõ AH BC vaø caét (O) taïi F ; K. Laáy M (O). Goïi BMAH = I ;
CMAH = J Chöùng minh raèng =
Baøi 35: Cho 2 ñöôøng troøn (O;10) ; (O’;20) tieáp xuùc ngoaøi taïi A. Tieáp tuyeán chung BB’ caét OO’ taïi I vaø caét tieáp tuyeán chung qua A taïi M
a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’b) CMR: IA2 = IB.IB’. Suy ra OO’ tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính BB’c) CMR : IM2 = IO.IO’. Suy ra BB’ tieáp xuùc ñöôøng troøn ñöôøng kính OO’
§3 :HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :
Caùc kyù hieäu trong ABC
Ñoä daøi : BC = a, CA = b, AB = c
ma, mb, mc : ñoä daøi trung tuyeán öùng vôùi ñænh A,B,C
ha, hb, hc : Ñoä daøi ñöôøng cao öùng vôùi ñænh A,B,C
P = : nöõa chu vi ABC
S : dieän tích tam giaùc
R,r : baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp .
Ñònh lyù Coâsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
Ñònh lyù sin :
Coâng thöùc trung tuyeán :
Coâng thöùc tính dieän tích
a. S = a.ha = b.hb = c.hc
b. S = b.c. sinA = c.a. sinB = a.b. sinC
c. S =
d. S = p.r
e. S = ( Coâng thöùc Heâ – roâng)
B . VÍ DUÏ :
Cho ABC coù a = 7, b = 8, c = 5; tính : AÂ, S, ha, R, r, ma
Giaûi :
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos AÂ
B a
A
C
c bha ma
Cos A = ½ AÂ = 600
S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5.
S = ½ a.ha ha =
S = R =
S = p.r r =
= ma =
C: BAØI TAÄP
C 1: TRAÉC NGHIEÄM
Caâu1 : Cho tam giaùc ABC coù a= cm ; b= 2cm ; c= ( + 1) cm ;*. Khi ñoù soá ñoù goùc A laø
a) 600 b) 450 c) 1200 d) 300
*. Khi ñoù soá ñoù goùc B laøa) 600 b) 450 c) 900 d) 300
*. Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R laø :a) 2 cm b) cm c) cm d) 3 cm
*. Chieàu cao ha laø :
a) b) c) d)
Caâu2 : Cho tam giaùc ABC coù b= 4 ; c = 5 ; goùc A = 1200 thì dieän tích laøa) S = 10 b) S = 5 c) S =5 d)S = 20
Caâu3 : Cho tam giaùc ABC coù b= 2 ; c = 3 ; a = thì giaù trò goùc A laø :a) 450 b) 600 c) 900 d)1200
Caâu 4: Cho tam giaùc ABC coù a= 8 ; c= 3 ; goùc B = 600. Ñoä daøi caïnh b laø bao nhieâu
a) b = 49 b) b= c) b = 7 d)b=
Caâu 5: Cho tam giaùc ABC coù a= 3 ; b= 7 ; c= 8 ; goùc B baèng bao nhieâua) 600 b) 300 c) 450 d) 720
Caâu 6: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù a= 10 cm ; c= 6cm ; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r laø
a) 2 cm b) 1 cm c) cm d) 3 cm
Caâu 7: Cho tam giaùc ABC coù a= 10 cm ; b= 6cm ; c= 8 cm ; ñöôøng trung tuyeán AM coù ñoä daøi a) 4 cm b) 5 cm c) 6cm
d) 7 cm
Caâu 8: Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a ; BC = a vaø goùc BAC = 450 . Dieän tích hình bình haønh laø
a) 2a2 b) a2 c) a2 d) a2
Caâu 9: Cho tam giaùc ABC coù b= 8 cm ; c= 5cm vaø goùc A = 600 .*. Caïnh BC laø
a) 14cm b) 7cm c) 12cm d) 10cm*. Dieän tích tam giaùc :
a) S = 10 b) S = 5 c) S = 10 d) S = 10*. Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R laø :
a) R= b) R = c)R = d) R = 7
*. Chieàu cao ha laø :
a) ha= b) ha= c) ha =
d) ha =
C2 : TÖÏ LUAÄN
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC1) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r
2) a= 2 ; b= 2 ; c= - . Tính 3 goùc
3) b=8; c=5; goùc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma
4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma
5) A = 600; hc = ; R = 5 . tính a , b, c
6) A=1200;B =450 ;R =2. tính 3 caïnh
7) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñieåm AB)
8) Cho goùc A nhoïn, b = 2m ,c = m , S = m2. Tính a . la
9) C = 3 , b = 4 ; S = 3 . Tính a
10) Neáu A = 900. CMR:
*. la = *.r = ) *.
*. M BC; goùc BAM = . CMR: AM =
11) Cho A=1200. CMR :
12) CMR : *. cotA + cotB + cotC =
*.
13) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
14) S = p(p – c) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
15) S = (a + b – c)(a + c - b). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
16) acosB = bcosA. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
17) mb2 +mc
2 = 5ma2 . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
18) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
19) Cho AB = k . Tìm taäp hôïp M thoûa MA2 + MB2 =
20) Goïi G laø troïng taâm tam giaùc . Chöùng minh raèng
*.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2)
*. ma2 +mb
2 +mc2 = (a2 +b2 +c2)
*. 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA
21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC
S=Rr(sinA + sinB + sinC)
a =b.cosC + c.cosB
ha = 2RsinBsinC
sinB.cosC +sinC.cosB = sinA
22) Chöùng minh raèng . Neáu daáu “=” xaûy ra thì ABC laø
tam giaùc gì ?
23) Cho b + c = 2a . Chöùng minh raèng
24) Ñònh x ñeå x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 laø 3 caïnh tam giaùc. Khi ñoù CMR tam
giaùc coù goùc = 1200
25) Ñöôøng troøn noäi tieáp tieáp xuùc 3 caïnh tam gíac taïi A1;B1;C1. CMR :
SA1B1C1 =
26) 2 trung tuyeán BM = 6, CN = 9 vaø hôïp vôùi nhau 1 goùc 1200 tính caùc
caïnh cuûa ABC
Baøi 2: Cho töù giaùc ABCD. Goïi laø goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD.
a) CMR SABCD = AC.BD.sin
b)Veõ hình bình haønh ABDC’. Chöùng minh raèng : SABCD = SACC’
Baøi 3: Cho töù giaùc ABCD coù I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD.
Chöùng minh raèng : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4 IJ2
BAØI TAÄP OÂN CHÖÔNG:Traéc nghieäm : Töø baøi 1 ñeán 16 trang 71 Saùch
naâng caoTöï luaän: Töø baøi 1 ñeán 12 trang 69 Saùch
naâng cao