I HC NNG TRNG I HC BCH KHOA KHOA S PHM K THUT -----0----- BI GING HNH HA GVC.ThSNGUYN B mn Hnh ha V k thut NNG - 2005Ca. o.ao Wv7W WO %- ax M U A. MC CH V YU CU 1) Mc ch Hnh ho l mt mn hc thuc lnh vc Hnh hc, nhm: Nghincuccphngphpbiudincchnhtrongkhnggianlnmtmtmthng thng l mt phng hai chiu Nghincuccphngphpgiiccbitontrongkhnggianbngcachgiichngtrn cc hnh biu din phng Cung cp mt s kin thc hnh hc c bn hc tip mn V k thut v gii quyt mt s vn lin quan n chuyn mn. 2) Yu cu ca hnh biu din Hnhbiudinphingin,rrng,chnhxc.Cchnhbiudinphitngngvimt hnh nht nh trong khng gian; ngi ta gi tnh cht ny l tnh phn chuyn hay tnh tng ng hnh hc ca hnh biu din 3) Mt s k hiu v quy c Trong bi ging ny s dng nhng k hiu v qui c sau: imCh in nh: A, B, C,... ng thngCh thng nh: a,b,c,... Mt phng Ch Hy lphoc ch vit hoa nh: , , , ,...A, B, C, ... S lin thucK hiu nh: im Aa; ng thng a mp ( ), ...bmp(Q),... Vung gc nh: a b Giao nh: A= d lKt qu= nh: g= mp mp Song song // nh: d // k Trng nh: A B B. CC PHP CHIU I. PHP CHIU XUYN TM 1) Cch xy dngTrong khng gian cho mt phng Pv mt im S khng thuc mp(P ).(Hnh 1)Ngi ta thc hin php chiu mt im A bt k nh sau: V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng Pti im A AASPTa c cc nh ngha: P:Mt phng hnh chiu S:Tm chiu Hnh1SA:ng thng chiu hoc tia chiu A:HnhchiuxuyntmcaimAttm chi S ln mt phng hnh chiu P . Php chiu c xy dng nh trn c gi lphp chiu xuyn tm vi tm chiu S v mt phng hnh chiu P. Mt php xuyn tm c xc nh khi bit tm chiu S v mt phng hnh chiu P. d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 1Ca. o.ao Wv7W WO %- ax Ch a) Hnh l mt tp hp im. Vy chiu mt hnh ta chiu mt s im thnh phn ca hnh xc nh hnh b)Nu trong khng gian clic ta b sung thm cc yu t v tn th: _Hai ng thng son g song xem nh ct nhau ti mt im v tn: a // b a b = MNh vy biu din mt im v tn ta biu din n bng mt phng ng thng_Hai mt phng son g song xem nh ct nhau theo mt ng thng v tn mp // mp mp mp = d 2) Tnh cht 1. Hnh chiu xuyn tm ca mt ng thng khng i qua tm chiu l mt ng thng Khichiungthnga,cctiachiuSA,SBhnhthnhmtmtphng(SAB)gilmt phng chiu. Do hnh chiua(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hnh 2) 2.Hnhchiuxuyntmcanhngngthngsongsongnichunglnhngngthng ng qui Gischoa//bnnccmp(S,a)vmp(S,b)sgiaovimp(P)choccgiaotuyna,bct nhau ti im M(M l hnh chiu xuyn tm ca im M ca ng thng a, b) (hnh 3) P P SM'SA B B' A' aa'abb'a'ABB'AHnh 2Hnh 3 II. PHP CHIU SONG SONG1) Cch xy dng Php chiu song song l trng hp c bit ca php chiu xuyn tmkhi tm chiu S xa v tn Nh vy php chiu song song c xc nh khi bit mt phng hnh chiu P v phng chiu s APAts Hnh 4 Ngi ta chiu song song im A bng cch qua A v ng thng t song song vi phng s, v giao im A = t mp(P ) th A l hnh chiu song song ca im A t phng chiu s ln mt phng hnh chiu P(hnh 4). 2) Tnh cht Php chiu song song l trng hp c bit ca php chiu xuyn tm nn c nhng tnh cht ca php chiu xuyn tm. Ngoi ra php chiu song song c nhng tnh cht sau: d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 2Ca. o.ao Wv7W WO %- ax 1.Hnhchiusongsongcanhngngthngkhngsongsongviphngchiulnhng ng thng song song. Gi s cho a // b nn cc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do giao tuyn ca chng vi mt phng hnh chiu Pl nhng ng thng song song: a // b (hnh 5) P Pssa'b'baC'B'A'CBA Hnh 5Hnh 6 2.T s n ca ba im phn bit thng hng bng t s n ca ba im phn bit hnh chiu ca chng Cho ba im A, B ,C phn bit thng hng, chiu thnh ba im A, B, C cng phn bit thng hng.(hnh 6). Theo nh l Thalet, ta c: K hiu t s n ca ba im A,B,C nh sau:(ABC) = (ABC) ' '' 'B CA CCBCA=III. PHP CHIU VUNG GC 1) Cch xy dng Php chiu vung gc l trng hp c bit ca php chiu song song khi phng chiu s vung gc vi mt phng hnh chiu P :s P(hnh 7) Ps Hnh 7 2) Tnh cht Php chiu vung gc c nhng tnh cht ca php chiu song song; Ngoi ra cn c nhiu tnh cht, chng ta s nghin cu cc chng sau. IV. NHN XT Ta c th dng cc php chiu trn biu din vt th trong khng gian ln mt mt phng. Tuy nhin vi mi hnh chiu th cha xc nh c mt vt th duy nht trong khng gian V vy mt hnh chiu cha m bo c tnh phn chuyn ca hnh biu din. Trongccbisauchngtasnghincuphngphpcchnhchiuvunggcmcc hnh biu din m bo tnh phn chuyn c gi l thc . ======================== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 3Ca. o.ao Wv7W WO .e Bi 1IM I. THC CA IM I.1 H thng hai mt phng hnh chiu vung gca) Cch xy dng TrongkhnggianchohaimtphngP1vP2 vunggcnhau,dhnhdungtP1nm ngang, P2 thng ng. Ta nhn c h thng hai mt phnghnh chiu vung gc(hnh 1.1)

x Ax(III) Cao0 AXA2A1A1A2AXP1(IV) Cao0 P2 Hnh 1.1Hnh 1.2 Xt mt im A bt k trong khng gian. _Chiu vung gc im A ln lt ln P1 v P 2 ta nhn c cc hnh chiu A1 , A2 _Quaymp P1 quanh trc x mt gc 900 theo chiu mi tn qui c nh (hnh 1.1) n trng P2.V mp(AA1A2) P1vP2 nns vung gc vi trc x ti imAX.Do saukhi quay n v tr mi ba im A1, AX, A2 thng hng v vung gc trc x (hnh1.2) b) Cc nh ngha_P1 Mt phng hnh chiu bng _P2 Mt phng hnh chiu ng _x = P1 P2Trc hnh chiu_A1 Hnh chiu bng ca im A _A2 Hnh chiu ng ca im A _A1 A2 ( x) ng ging _A1 Ax xa ca im A, qui c dng nu A1 nm pha di trc x _A2 Ax cao ca im A, qui c dng nu A2 nm pha trn trc x _(A1, A2 )Cp im hnh chiu ny gi l thc ca im A.Tht vy t A1, A2 ta c th dng li c im A theo th t ngc li vi cch dng thc ca n H thng P1 v P 2chia khng gian ra lm 4 gc phn t: _Gc phn t 1 -L phn khng gian nm trn P1 v trc P2 _Gc phn t 2 -L phn khng gian nm trn P1 v sau P2 _Gc phn t 3 -L phn khng gian nm di P1 v sau P2 _Gc phn t 4 -L phn khng gian nm di P1 v trc P2 +Mt phng phn gic 1. L mt phng phn gic ca P1 v P2 i qua gc phn t th 1 v gc phn t th 3.Nhng im thuc mtphng phn gic1 c thc l mt cp im hnh chiu ng v hnh chiu bng i xng nhau qua trc hnh chiu x d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 4Ca. o.ao Wv7W WO .e +Mt phng phn gic 2. L mt phng phn gic ca P1 v P2 i qua gc phn t th 2 v gc phn t th 4. Nhng im thuc mt phng phn gic 2 c thc l mt cp im hnh chiu ng v hnh chiu bng trng nhau (Hnh1.3)lhnhkhnggianbiudinmtphngphngic1,mtphngphngic2vcc gc phn t ca h thng hai mt phng hnh chiu vung gc P1 v P2 Phn gic 2Phn gic 1 P2P2 A A2P1xA1x P1Hnh 1.3Hnh 1.4 Nutattrchnhchiuxvunggcvimtphngcatgiythhthnghaimtphng hnh chiu P1 , P2 v hai mt phng phn gic 1, 2 c biu dinnh (hnh 1.4)Tm li thc ca mt im trong khng gian l mt cp im hnh chiu ng v hnh chiu bng c th phn bithoc trng nhau I.2 H thng ba mt phng hnh chiu vung gc

a) Cch xy dng Thm vo mt phng P3 vung gc vi P1 v P2 , thng P3 t pha bn phi ngi quan st, ta nhn c h thng ba mt phng hnh chiu vung gc nh (hnh 1.5) Hnh 1.5Hnh 1.6 x A P2yz 0 AzA1P1 xzy yAyA145AyA2A3AyAzA2AxA3P30AxGi y = P1 P3 ; z = P 2 P3Xt mt im A bt k trong khng gian. _Chiu vung gc im A ln lt ln cc mt phng P1, P2 , P3 ta nhn c cc hnh chiu A1 , A2, A3 . _Quay cc mp P1 , P3 ln lt quanh cc trc x, trc z mt gc 900 theo chiu mi tn qui c nh (hnh 1.5). Trc y c tch ra lm hai phn, mt phn trc y theo mp P1 n trng vi trc d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 5Ca. o.ao Wv7W WO .e z, mt phn trc y theo mp P3 n trng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hnh biu din nh (hnh1.6) b) Cc nh ngha _P3 Mt phng hnh chiu cnh _A2 Az xa cnh ca im A, qui c dng nu A2 nm pha bn tri trc z _A3Hnh chiu cnh ca im A Ch _A2 Az = 0 Ay = 0 Ay = AxA1 _V hai hnh chiubiu din thc ca mt im nn ta d dng v c hnh chiu th ba ca im V d Cho thc ca im B (B1, B2) (hnh 1.7a). Hy v hnh chiu th ba ca im B. Hnh 1.7aHnh 1.7b BZx yB2ByBYB3B2B1xB1yHnh chiu cnh B3 ca im B c v theo chiu mi tn nh (hnh 1.7b) ,vi0By'=0By II. Quan h gia to cc v thc ca mt im trong khng gian Nu ly ba mt phng hnh chiu P1, P2, P3 lm ba mt phng to cc; ba trc hnh chiu x, y, z lm ba trc to cc (hnh 1.8) Vi im A (xA , yA, zA) bt k trong khng gian, ta c: _Honh xA = 0Ax : xa cnh ca im A _Tung yA =AxA1: xa ca im A _Cao zA =A1 A: cao ca im A Nh vyNu cho to cc ca mt im trong khnggian th ta d dng v c thc cu im . P 30 z yx A1A Ax yA zA xA P 2Hnh 1.8 P1 V d Cho to cc ca cc im A (2, 3, 4); B (4, -2, -5). Hy v thc ca chng. -2+4y- z+ BZ BY y+ z- -5Hnh 1.9 +2+3x-x+ x+ y+ z- AY AX Az y- z+ +4A1A2 B2 B1 BX thc ca cc im A, B c biu din nh (hnh 1.9), ch chiu dng ca cc trc x, y, z . x- Trong : OAx = +2; OAY = +3; OAZ = +4 OBx = +4; OBY = -2; OBZ = -5 III. MT VI V D GII SN d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 6Ca. o.ao Wv7W WO .e V d 1Hy v thc ca cc im sau: _imA thuc mt phng P1 _imB thuc mt phng P2 _imC thuc mt phng Phn gic 1 _imD thuc mt phng Phn gic 2 _imE thuc trc hnh chiu x Gii_imA thuc mt phng P1nn c A1 A; A2 x _imB thuc mt phng P2 nn c B2 B; B1 x _imC thuc mt phng phn gic 1 nn c C1v C2 i xng nhau qua trc x _imD thuc mt phng phn gic 2 nn c D1 D2 _imE thuc trc hnh chiu x nn c E1 E2 x ; (Hnh 1.10) Hnh 1.10Hnh 1.11 F2 A1 oyyzxHY FY H3 H2 H1 G2 G3 GY G1 FY FY GY F3 F1 E1E2 D1D2 C1 C2 B1 B2 xV d 2 ChothccaccimF,G,H(hnh1.11).Hyvhnhchiucnhcachngvchobit chng thuc gc phn t th my? Gii Hnh chiu cnh ca cc im F, G, H c v theo chiu mi tn bt u i t hnh chiu bng F1, G1, H1 tip theo l mi tn i qua hnh chiu ng F2, G2, H2. Ta s xc nh c cc hnh chiu cnh F3, G3, H3 ; (Hnh 1.11) _im F c cao dng, xa m nn im F thuc gc phn t th 2 _im G c cao m, xa m nn im G thuc gc phn t th 3 _im H c cao m, xa dng nn im H thuc gc phn t th 4 ================ d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 7Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o Bi 2NG THNG I. THC CA NG THNG thc ca ng thng c xc nh bi thc ca hai im thuc ng thng . Gi s ng thng d c xc nh bi hai im A(A1, A2) v B (B1, B2) th : Hai im A1, B1 xc nh hnh chiu bng d1 ca ng thng d Hai im A2, B2 xc nh hnh chiu ng d2 ca ng thng d (hnh 2.1) B2 d1 d2 A2 B1 A1 x d1 d2 x Hnh 2.1 Hnh 2.2 Nu d l ng thng thng (d1, d2 khng vung gc trc hnh chiu x ), th khi biu din thc ca ng thng d khng cn biu din hai im thuc n (hnh 2.2) . Ch _Nhng ng thng thuc mt phng phn gic1 c hnh chiu ng v hnh chiu bng di xng nhau qua trc hnh chiu x _Nhngngthngthucmtphngphngic2chnhchiungvhnhchiubng trng nhau II. CC V TR C BIT CA NG THNGII. 1 Loi ng thng song song vi mt mt phng hnh chiu1)ng bng (h) a) nh ngha: ng bng l ng thng song song vi mt phng hnh chiu bngGi h l ng bng, ta c:h // P1 (hnh 2.3a) h2 h1 B1A2B2 A1A B A1 B1 A2 B2 h1 h2 h x xP2P1 Hnh 2.3aHnh 2.3b b) Tnh cht:Hnh chiu ng ca ng bng song song vi trc x :h2 // x(hnh 2.3b) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 8Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o Hnh chiu bng ca ng bng hp vi trc x mt gc bng gc ca ng bng hp vi mt phng hnh chiu ng :(h1 , x)= (h , P2)= Hnh chiu bng ca mt on thng thuc ng bng, bng chnh n. Gi s A, B hA1 B1 = AB (hnh 2.3b) 2)ng mt (f) a)nh ngha: ng mt l ng thng song song vi mt phng hnh chiu ng: Gi f l ng mt, ta c: f // P2 (hnh 2.4a) CD f2 f1 D1C2D2 C1f1f2 fP1P2xxD1 C2 D2 C1 Hnh 2.4aHnh 2.4b b)Tnh chtHnh chiu bng ca ng mt song song vi trc x :f1 // x(hnh 2.4b) Hnhchiungcangmthpvitrcxmtgcbnggccangmthpvi mt phng hnh chiu bng : (f2 , x)= (f , P1)= Hnh chiu ng ca mt on thng thuc ng mt, bng chnh n. Gi s C, D f C2 D2 = CD(hnh 2.4b) 3)ng cnh (p) a)nh ngha:ng cnh l ng thng song song vi mt phng hnh chiu cnh: p // P3 (hnh 2.5a) z xzx P2p2p1E2F2 E1P1 F1E3 F3 E1 F1 E2 F2 E3 F3 0 y0yyP3 P3p2 p1 PP3FE Hnh 2.5a Hnh 2.5b b) Tnh cht Hnhchiu ngvhnhchiubngcangcnh,trngnhauvvunggcvitrcx:p1p2x.Haihnhchiunychabiudincmtngcnhcthtrongkhng gian. V vy biu din mt ng cnh c th ta cn phi biu din thc ca hai im thuc ng cnh ;(hnh 2.5b) biu din ng cnh p c xc nh bng hai im E, F Hnhchiucnhcangcnhlnlthpvitrcy,zccgcbnggccang cnh hp vi mt phng hnh chiu bng v mt phng hnh chiu ng :(p3 , y)=(p , P1 )= d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 9Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o (p3 , z) =(p , P2) = Hnh chiu cnh ca mt on thng thuc ng cnh, bng chnh n. Gi s E, F p E3 F3 = EF (hnh 2.5b) II.2 Loi ng thng vung gc vi mt mt phng hnh chiu (th song song vi hai mt phng hnh chiu cn li ) 1)ng thng chiu bng (d) a)nh ngha:ngthngchiubnglngthngvunggcvimtphnghnhchiubng:dP1 (Hnh 2.6a ) d2 x P2xB2 A2 AB2 A2 d2 dA1B1d1A1B1d1BP1 Hnh 2.6a Hnh 2.6b b) Tnh chtHnh chiu bng ca ng thng chiu bng suy bin thnh mt im:d1 mt imng thng chiu bng va l ng mt va l ng cnh nn c nhng tnh cht ca hai loi ng ny, tc: -Hnh chiu ng ca ng thng chiu bng vung gc vi trc x::d2 x -Hnhchiungvhnhchiucnhcaonthngthucngthngchiubng,bng nhau v bng chnh n. Gi s A, B d A2 B2 = A3 B3 = AB ;(hnh 2.6b) 2)ng thng chiu ng (k) a) nh ngha:ng thng chiu ng l ng thng vung gc vi mt phng hnh chiu ng.Gi k l ng thng chiu ng, ta c:k P2 (Hnh 2.7a ) Hnh 2.7aHnh2.7b xk1 D1C1 C2 D2 k2xP2P1C1 CD1 DC2 D2 k2k1 k b) Tnh cht:Hnh chiu ng ca ng thng chiu ng suy bin thnh mt im: k2 mt imng thngchiu ngval ng bng va l ng cnh nn c nhng tnh cht ca hai loi ng ny, tc: -Hnh chiu bng ca ng thng chiu ng vung gc vi trc x: :k1 x d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 10Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o -Hnhchiubngvhnhchiucnhcaonthngthucngthngchiungbng nhau v bng chnh n. Gi s C, D k C1 D1 = C3 D3 = CD (hnh 2.7b) 3) ng thng chiu cnh (l) a) nh nghang thng chiu cnh l ng thng vung gc vi mt phng hnh chiu cnh Gi l l ng thng chiu cnh, ta c: l P3 (Hnh 2.8a ) Hnh 2.8aHnh 2.8b x P2y z 0 xz y'y0l2 l1 E3 F3 l3 E3 F3l3 P3l l2 l1 P1F E F1 E1F2 E2E1F1F2E2b) Tnh cht:- Hnh chiu cnh ca ng thng chiu cnh suy bin thnh mt im:l3 - mt im ng thng chiu cnh va l ng bng va l ng mt nn c nhng tnh cht ca hai loi ng ny, tc: -Hnhchiubngvhnhchiungcangthngchiucnhsongsongnhauvsong song vi trc x:l1 // l2 // x . -Hnhchiubngvhnhchiungcaonthngthucngthngchiucnhbng nhau v bng chnh n: Gi s E, F l E1 F1 = E2 F2 = EF (hnh 2.8b) III. S LIN THUC CA IM V NG THNGSau y s trnh by hai nh l khng chng mimh 1) im thuc ng thng thng ng thng thng l ng thng khng phi l ng ng cnhnh l iu kin cn v mt im thuc mt ng thng thng l cc hnh chiu cng tn ca im v ng thng thuc nhau Cho im A(A1, A2) v ng thng d(d1, d2), (hnh2.9); nh l trn c vit di dng: Hnh 2.9 2 21 1d Ad Ad Ad1 d2 xA2 A1 2) im thuc ng cnh nh l iu kin cn v im C thuc ng cnh AB l t s n ca ba im A, B, C trn cc hnh chiu bng nhau . Cho im C (C1, C2) v ng cnhAB (A1B1, A2B2), nh l trn c vit di dng: d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 11Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o V dCho ng cnh AB (A1B1, A2B2) v hnh chiu ng C2 ca im C; (hnh 2.10). Hy v hnh chiu bng C1 ca im C bit C AB . v im C1 ta thc hin nh sau: _V tia A1t bt k, t trn cc im C, Bsao cho: A1 C = A2C2 ; CB = C2B2 _NiBB1 _ngthngvquaimCsongsongvi phng BB1 ct ng thng A1B1 ti im C1 l im cn v;Tht vy, theo nh l Thalet, ta c: (A1B1C1) = (A1BC) M (A1BC) = (A2B2C2) (A1B1C1) = (A2B2C2)tho mn nh l trn ; (Hnh 2.10) Hnh 2.10 3)Vt ca ng thngVt ca ng thng l giao im ca ng thng vi mt phng hnh chiu a) Vt bng (M)_nh ngha:Vt bng ca ng thng l giao im ca ng thng vi mt phng hnh chiu bngGi M l vt bng ca ng thng d, ta c: M = d P1 ( Hnh 2.11a) _Tnh cht +Hnh chiu bng ca vt bng trng vi chnh n : M1 M + Hnh chiu ng ca vt bng thuc trc x :M2 x( Hnh 2.11b) xB2

C2 AAC1 B1CBt d2d1N1M1N2xxM2d2N2NM2N1d1M1MdP1P2C AB (A1B1C1)= (A2B2C2)

Hnh 2.11aHnh 2.11b b) Vt ng (N) _nh nghaVt ng ca ng thng l giao im ca ng thng vi mt phng hnh chiu ng Gi N l vt ng ca ng thng d, ta c:N = d P2 ; ( Hnh 2.11a) _Tnh cht +Hnh chiu ng ca vt ng trng vi chnh n : N2 N + Hnh chiu bng ca vt ng thuc trc x :N1 x ; (hnh 2.11b) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 12Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o IV.PHNG PHP TAM GICPhng php tam gic dng xc nh di tht ca mt on thng v gc nghing ca on thng to vi mt phng hnh chiu Gi s c on thng AB, chiu vung gc n xung P1 c A1B1; (hnh 2.12). K AC // A1B1

Trong tam gic vung ACB, ta c: AC = A1B1 v BC = BB1 - AA1: Hiu cao ca A, B. Vi nhn xt ny ta c th v c di tht ca on thng AB nh sau: VmttamgicvungcmtcnhgcvungA1B1lhnhchiubngcaonthngAB, cnh gc vung cn li B1B0 bng hiu cao hai u mt A, B; th cnh huyn A1B0 l di thtcaonthngcntmvgcnghing=(B0A1B1)lgccaonthngABhpvi mt phng hnh chiu bng . Hnh 2.12Hnh 2.13 P1 x B1A1B2 B1

A1B0 B2CA BPhng php xc nh di tht ca on thng AB v gc nghing ca on thng to vi mt phng hnh chiu bng P 1 nu trn gi l phng php tam gic. Tngt,tacngcthxcnhcdithtcaonthngvgcnghingcaon thngtovimtphnghnhchiung;bngcchvmttamgicvungcmtcnhgc vung l hnh chiu ng ca on thng, cnh gc vung cn li bng hiu xa ca hai u mt on thng xC2 A2 B2 N2 I2 N1 B1 I1 M2 A1 Hnh 12.14 C1 M1 V. MT VI V D GII SN V d 1Cho ng thng AB. Hy xc nh: a) Vt bng, vt ng ca ng thng AB b) im C trn ng thng AB c cao gp i xa Giia) Gi M, N ln lt l vt bng v vt ng ca ng thng AB, ta c : _M2 = A2B2 x M1 A1B1- l vt bng ca AB _N1 = A1B1 x N2 A2B2 - l vt ng ca AB b) GiIl imc cao gp i xa v B1 I1. ng thng N1I2 ct A2B2 ti im C2 l hnh chiu ng ca im C cn tm. T C2 A2B2 C1 A1B1 ; (Hnh 2.14) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 13Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o V d 2Cho im A(A1, A2) v hnh chiu ng B2 ca im B. Hy xc nh hnh chiu bng ca im B trong cc trng hp sau: a) Bit AB c di l = 30 mm b) Bit AB hp vi P1 gc < 900 c)Bit AB hp vi P2 gc < 900 Gii a) V tam gic vung A1A0B vung ti A1 c mt cnh gc vung A1A0 bng hiu cao ca hai im A, B; cnh huyn A0B = AB = 30mm. TheophngphptamgicthcnhgcvungcnliA1BbnghnhchiubngA1B1ca AB. Nh vy B1 l giao im ca ng trn (A1, A1B) vi ng ging qua B2 ;(Hnh 2.15a)

900- l= 30 mmxx xA2 B0 A2 A2 B2 B2 B2 BB1 HBB1 B1 BB BA0 A0 A1 A1 A1 Hnh 2.15aHnh 2.15bHnh 2.15c b) V tam gic vung A1A0B vung ti A1 c mt cnh gc vung A1A0 bng hiu cao ca hai im A, B. V (AB, P1 ) = nn theo phng php tam gic th cnh huyn A0B hp vi cnh A1A0 gc 900 - v cnh gc vung cn li A1B bng hnh chiu bng A1B1 ca AB. Nh vy B1 c v l giao im ca ng trn (A1, A1B) vi ng ging qua B2; (Hnh 2.15b) c)V tam gic vung A2B2B0 vung ti B2 c mt cnh gc vung A2B2. V (AB, P2 ) = nn theophngphptamgicthcnhhuynA2B0hpvicnhA2B2gcvcnhgcvung cn li B2B0 bng hiu xa ca hai im A, B, tc: B2B0= HB1 = HB1; (Hnh 2.15c) V d 3Cho im A(A1, A2). Hy v ng thng i qua im A v nghing vi mpP1 , mpP2 ln lt cc gc nhn , nh hnh 2.16a Gii _Gi s c on thng AB nghing vi mpP1 , mpP2 ln lt cc gc , .d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 14Ca. o.ao Wv7W WO x-o t/+o _Gia hnh chiu ng A2B2, hiu xa ca A,B; di tht ca AB v gc nghing ca AB hp vi mpP2 lin quan nhau bi tam gic vung A2B2B0 ; (Hnh 2.16b) _Gia hnh chiu bng A1B1, hiu cao ca A,B; di tht ca AB v gc nghing ca AB vi mpP1 lin quan nhau bi tam gic vung A1B1B0 ; (Hnh 2.16b)

ttxA1A2B2B2B2B1B1 B1 B1 B2 B1 B2B0A1A2 a)b)c) Hnh 2.16 _T (Hnh 2.16b), ta v thc ca im B (Hnh 2.16c) nh sau: +V hai ng thng t, t // x v cch A2 on bng B1B0 (hiu cao ca A, B) +V ng trn (A2, A2B2), ct t, t ti 4 im B2, B2, B1, B2 l cc hnh chiu ng ca cc im B cn dng +ng trn (A1, A1B1), ct cc ng ging qua cc im B2, B2, B2, B2 ti 4 im B1, B1, B1, B1 l cc hnh chiu bng ca cc im B cn dng; (Hnh 1.16c) _Bi ton c 4 nghim ( hiu k hn hy tham kho thm bai s17* sch BI TP HNH HO GII SN ca tc gi Nguyn ) ===================== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 15Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. ax-o t/+o Bi 3 V TR TNG I GIA HAI NG THNG Ttrong khng gian, hai ng thng c cc v tr tng i: giao nhau, song song v cho nhau I. HAI NG THNG GIAO NHAU 1) Hai ng thng thng giao nhau ng thng thng l ng thng khng phi l ng cnh 35 nh l iu kin cn v hai ng thng thng giao nhau l cc hnh chiu cng tn ca chng giao nhau ti cc im nm trn mt ng gingCho hai ng thng a,b (hnh 3.1), nh l trn c vit thnh:

= = x II I ba I b =Iba 21 2 22 1 11 a2 I2 b2 xb1 a1 I1 a Hnh 3.1 2)Mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau nh l iu kin cn v mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau l cc hnh chiu cng tn ca chng giao nhau ti cc im tho mn thc ca im thuc ng cnh Cho ng thng thng d v ng cnh AB, nh l trn c vit thnh:

Hnh 3.2 A2 tBxd1 I2 B2 A1 B1 I1 IJ1 J2d2 == = = ) ( ) ( 12 2 2 112 2 22 1 1 11 I B A IBA I B Ad I B Ad I ABd V d Cho ng cnh AB v hnh chiu ng d2 ca ng thng d. Hy v hnh chiu bng d1 ca ng thng d, bit d i qua im J v ct AB ti im I Gii Hnh chiu bng I1 ca im I AB c v bng cch ng dng nh l Thalet nh sau: _V tia A1 t bt k ri t ln cc on A1I = A2I2 v IB = I2B2

_Ni BB1 ng thng qua I song song vi BB1 ct A1B1 ti im I1; ta c:(A1B1I1 ) = (A2B2I2 ) I AB. Vy d1 I1J1(Hnh 3.2) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 16Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. ax-o t/+o II. HAI NG THNG SONG SONG1)Hai ng thng thng song songnh l iu kin cn v hai ng thng thng song songnhau l cc cp hnh chiu cng tn ca chng song songnhauCho hai ng thng thg a,b; (hnh 3.3),nh l trn c vit thnh:

a2 b2 x Hnh 3.3 Chng minh _iukincn:Gisa//bnncccpmtphngchiuquaa,bsongsongnhau,do chng s ct mt phng hnh chiu bng v mt phng hnh chiu ng theo cc cp giao tuyn song song nhau, tc l a1 // b1 v a2 // b2 . _iu kin : Gi s c hai ng thng thng a, b tho mn a1 // b1 v a2 // b2. Bng cch xy dng ngc li php chiu vung gc, cp mt phng song song vung gc vi mt phng hnh chiu bng qua a1, b1 s ct cp mt phng song song vung gc vi mt phng hnh chiu ngqua a2, b2 theo hai giao tuyn a, b song song nhau . 3) Hai ng cnh song song Xt hai ng cnh c cc cp hnh chiu cng tn khng trng nhau nh l iu kin cn v hai ng cnh song songnhau l c hai ng thng ta trn chng giao nhau hoc song songnhau Cho hai dng cnh EF v GH, nh l trn c vit thnh:

Hnh 3.4Hnh 3.5 Chng minh _iukincn:GisEF//GH,thbnimE,F,G,Hngphngnnschaing thng EH, GF ta trn chng giao nhau ti I hoc song song nhau ( y xt giao nhau) _iu kin : Gi s c hai ng cnh EF, GH c cc cp hnh chiu cng tn khng trng nhau v c hai ng thng ta trn chng EH GF = I hoc EH // GF. Th bn im E, F, G, H ng phng nn hai ng cnh song song nhau, tc: EF // GH (Hnh 3.4) Ch Ngoi ra ta c th pht biu nh l trn nh sau: iukincnvhaingcnhsongsongnhaulhnhchiucnhcachngsong song nhau (Hnh 3.5) b1 a1 //2 21 1////b ab ab axz y' y E3 x0 F3 H3 G3 H1 G1 F1 E1 H1 G1 F1 E1 I1 I2G2 H2 F2 E2 F2 H2 G2 E2 = GF EHI GF EHGH EF////d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 17Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. ax-o t/+o V d Cho ng cnh AB v im M; (Hnh 3.6). Hy v ng thng MN // AB Gii VABlngcnhnnMN//ABcnglngcnh.Trongmp(MAB),vNthomn MN // AB, gi s bit trc N2 hy v N1 nh sau: GiI = AN BMI2 B2M2 M N2 A2 I2 N1 A1 I1

I1 B1M1 Hnh 3.6 Hnh 3.7 III. HAI NG THNG CHO NHAU Hai ng thng khng tho mn song song hoc giao nhau th cho nhau; (Hnh 3.7) biu din hai ng thng c, d cho nhau. IV. HNH CHI CA GC VUNGnh l iu kin cn v mt gc vung chiu xung mt phng hnh chiu thnh mt gc vung lgcvungcmtcnhsongsongvimtphnghnhchiuvcnhgcvungcnli khng vung gc vi mt phng hnh chiu . Hnh 3.8Hnh 3.9Hnh 3.10 Chng minh _iu kin cn: Gi s c AOB = 900 v OA // P1 . Chiu vung gc xung mt phng hnh chiu bng ta nhn c A1O1 B1 (Hnh 3.8), cn chng minh A1O1B1= 900 Ta c: A1O1 // AO AO OB v AO OO1 AO mp(B OO1) AO O1B1M A1O1 // AO A1O1 O1B1 _iu kin : Gi s AOB = 900 chiu vung gc xung mt phng hnh chiu bng c gcA1O1B1= 900, ta cn chng minh gc vung AOB c mt cnh song song mt phng hnh chiu bng P1; ta c : A1O1 mp(OO1B1)(1) xB1 O1 A1 A2O2B2 AOB1 BO1 A1Pd1 c1 c2 d2 x x N1 M1 B1 A1 I1 I2 M2 N2 B2 A2 xd1 d2 c1 c2 d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 18Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. ax-o t/+o B1O1 mp(OO1A1A)B1O1 AO MB O AO AO mp(OO1 B1)(2) T (1) v (2), AO // A1O1 , tc AO // mp(P1) (Hnh 3.9) biu din thc ca gc vung AOB, c cnh OA // mp(P1). Ch nhltrncngngchotrnghphaingthngchonhaumvunggcvinhau. (Hnh 3.10) biu din hai ng thng c, d cho nhau m vung gc nhau, vi c // P1 V d C1xB2C2H1B1A1 H2 A2HyvhnhchiubngC1caimC,bitrngtamgic ABC cn ti C, cho AB l ng bng, (Hnh 3.11) . Gii Gi H l trung im ca AB, v tam gic ABC cn ti C nn CH AB, v li AB // mp (P1)., nn theo nh l trn, ta c C1H1 A1B1.T ta v c C1 l giao im ca ng ging qua C2 vi ng thng A1B1 ti H1 Hnh 3.11

V. MT VI V D GII SN d1 xc1 A2 b1 B1 B2 c2 d2 b2 a1A1 a2 V d 1Chobangthnga,b,cchonhau;(Hnh3.12).Hyv ng thng d song song vi c ct c a v b; trong a mp (P1) Gii Gi s ng thng d cn dng ct a, b ln lt ti A, B. Va mp (P1) nn A1 a1. V li d // c nn d1 qua A1 v d1 // c1Vd b = B; t d1 b1 = B1 B2 b2V d2 qua B2 v d2 // c2; (Hnh 3.12) Vy d l ng thng thng cn v Hnh 3.12 V d 2Cho hai ng thng AB, CD cho nhau; (Hnh 3.13). Hy xc nh khong cch v dng on vung gc chung ca hai ng thng trong cc trng hp sau y: a) CD mp (P1); AB l ng thng thng b) CD mp (P2); AB l ng cnhc)CD mp (P3); AB l ng thng thng Giia) Gi MN l on vung gc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD V CD mp (P1) nn M1 C1 D1v MN l on ng bng V li MN AB M1N1 A1B1 ti N1. T N1 A1B1 N2 A2B2 M2N2 // x; (Hnh 3.13a) Kt lun: M1N1 = MN - l khong cch gia hai ng thng AB, CD cho nhau b) Gi MN l on vung gc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD V CD mp (P2) nn M2 C2 D2v MN l on ng mtV li MN AB M2N2 A2B2 ti N2. T N2 A2B2 N1 A1B1 M1N1 // x; (Hnh 3.13b) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 19Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. ax-o t/+o Kt lun: M1N1 = M2N2 = MN - l khong cch gia hai ng thng AB, CD cho nhau xozyxA1 C1 C2 C2 B3 N3 B2 A2 tM1 N1 BNC1 D1 B1 A1 M2C2D2 N2 B2 A2 B1 N1 A1 N2 A2 B2 M2 M1C1D1 D2 N1 M1 M2 B1 D1 D2 N2 A3 M3C3D3 xyHnh 3.13aHnh 3.12bHnh 3.12c c)Gi MN l on vung gc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD V CD mp (P3) nn M3 C3 D3 v MN l on ng cnh V li MN AB M3N3 A3B3 ti N3.T N3 A3B3 N2 A2B2 , M2N2 // z v N1 A1B1 , M1N1 // y; (Hnh 3.13c) Kt lun: M3N3 = MN - l khong cch gia hai ng thng AB, CD cho nhau V d 3 xA0 f2 D2 C2 B2 A2 f1 D1 C1 B1 A1 Cho dim A(A1, A2) v ng mt f (f1, f2);(Hnh3.14).HydnghnhvungABCD,bitrng B,C thuc ng mt f Gii _ABCD l hnh vung nn AB BC_v B,C f nn AB f A2B2 f2 B1 f1 _Bngphngphptamgic,xcnhditht ca on AB l on B2A0 _V BC = AB B2C2 = B2A0 C1 f1 V D tho mn AD // BC; (Hnh 3.14) Hnh 3.14 =================== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 20Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o Bi 4MT PHNG I . THC CA HAI MT PHNG thc ca mt phng c th c xc nh bi mt trong cc cch sau y: _Ba dim phn bit khng thng hng, mp(ABC);(Hnh 4.1a) _Mt im v mt ng thng khng thuc nhau, mp(M, d) ; (Hnh 4.1b) _Hai ng thng giao nhau, mp(a, b) ; (Hnh 4.1c) _Hai ng thng song song, mp(m, l) ; (Hnh 4.1d)

a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b)d) mp(m // l) B2 a2 M2 d2 m2 A2 C2 b2 l2 xxx x a1 m1 C1 d1A1 M1 l1 b1 B1 Hnh 4.1 Ngoi ra ngi ta cn biu din mt phng bng hai vt ca chng nh sau: VT CA MT PHNGVt ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hnh chiu 1) Vt bng ca mt phnga) nh ngha:Vt bng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hnh chiu bngGi m l vt bng ca mt phng th:m = mp mpP1; (Hnh4.2a) K hiu : m b) Tnh cht_Hnh chiu bng ca vt bng trng vi chnh n:m1 m _Hnh chiu ng ca vt bng trng vi trc x : m2 x ; (hnh 4.2b) Hnh 4.2a Hnh 4.2b Hnh 4.3a Hnh 4.3b 2) Vt ngca mt phng xP2P1mnP2nnnm2 n1 x m2 n1 xx mm m P1d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 21Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o a) nh ngha:Vt ng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hnh chiu ng Gi n l vt ng ca mt phng th:n = mp mpP2 (Hnh4.2a) K hiu : n b) Tnh cht_Hnh chiu ng ca vt ng trng vi chnh n:n2 n _Hnh chiu bng ca vt ng trng vi trc x :n1 x ; (hnh 4.2b) Ch Thc cht ca vic biu din mt phng bng hai vt ca chng l biu din mt phng bng hai ng thng m, n ct nhau hoc song song nhau ln lt nm trong mt phng hnh chiu bng v mt phng hnh chiu ng. Do hai vt m , n ca mt phng phi ct nhau ti mt im nm trn trc x (Hnh 4.2a,b) hoc song song vi trc x (Hnh 4.3a, b) ng thng thuc mt phng th cc vt cng tn ca ng thng v mt phng thuc nhau II. CC V TR C BIT CA MT PHNG II. 1- Loi mt phng vung gc vi mt phng hnh chiu 1) Mt phng chiu bnga) nh ngha:Mt phng chiu bng l mt phng vung gc vi mt phng hnh chiu bngGi l mt phng chiu bng, ta c: mp mpP1 b) Tnh cht _Hnh chiu bng ca mt phng chiu bng suy bin thnh mt ng thng: (1) 1 ng thng_Hnhchiubngcaim,ngthngthuc mtphngchiubngththucngthng suy bin ca mt phng chiu bng Gi s : im A mp ; d mp A1 (1) ; d1 (1 ) ; _Vt ng ca mt phng chiu bng vung gc vi trc x : n x ; (Hnh 4.4) Hnh 4.4Hnh 4.5 n xxm k2 (2) d1 (1)B2 B1 A2 A1 d2 k1 2) Mt phng chiu ng a) nh ngha:Mt phng chiu ng l mt phng vung gc vi mt phng hnh chiu ng Gi l mt phng chiu ng: mp mpP2 b) Tnh cht _Hnhchiungcamtphngchiungsuybinthnhmtngthng:(2)1 ng thngd1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 22Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o _Hnh chiu ng ca im, ng thng thuc mt phng chiu ng th thuc ng thng suy bin ca mt phng chiu ng Gi s : im B mp ; k mp B2 (2) ; k2 (2 ) ; _Vt bng ca mt phng chiu ng vung gc vi trc x : m x ;(Hnh 4.5) 3) Mt phng chiu cnh a) nh ngha:Mt phng chiu cnh l mt phng vung gc vi mt phng hnh chiu cnhGi l mt phng chiu cnh, ta c: mp mpP3 b) Tnh cht _Hnh chiu cnh ca mt phng chiu cnh suy bin thnh mt ng thng:(3) 1 ng thng_Hnhchiucnhcaim,ngthngthucmtphngchiucnhththucngthng suy bin ca mt phng chiu cnh Gi s : im C mp ; l mp C3 (3) ; l3 (3 ) ;(Hnh 4.6) _Vt bng v vt ng ca mt phng chiu cnh vung gc vi trc z hay song song vi trc x zl2 n (Hnh 4.6) II.2Loi mt phng song song vi mt mt phng hnh chiu(Th vung gc vi hai mt phng hnh chiu cn li) 1) Mt phng bnga)nh ngha:Mt phng bng l mt phng song song vi mt phng hnh chiu bngGi l mt phng bng, ta c: mp // mpP1 Hnh 4.7 Hnh 4.8 b) Tnh cht _Hnh chiu ng ca mt phng bng suy bin thnh mt ng thng song song vi trc x: (2) // x _Mt phng bng va l mt phng chiu ng va l mt phng chiu cnh nn c nhng tnh cht ca hai loi mt phng ny Gi s A, B, C mp A2, B2, C2 (2) _Hnh chiu bng ca mt hnh phng thuc mt phng bng th bng chnh nA1 B2 A2 B1C1 D1 C2 (2)x E2F1 E1 F2 D2 (1)xm l3(3)C3 oC2 xx n mz n m// //, yyd1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 23Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o ABC mp A1B1C1 = ABC ;(Hnh 4.7) 2) Mt phng mta)nh nghaMt phng mt l mt phng song song vi mt phng hnh chiu ngGi l mt phng mt, ta c:mp // mpP2 b) Tnh cht _Hnhchiubngcamtphngmtsuybinthnhmtngthngsongsongvitrcx: (1) // x _Mt phng mt va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu cnh nn c nhng tnh cht ca hai loi mt phng ny Gi sD, E, F mp D1, E1, F1 (1) _Hnh chiu ng ca mt hnh phng thuc mt phng mt th bng chnh n DEF mp D2E2F2 = DEF ; (Hnh 4.8) 3) Mt phng cnh a) nh ngha Mt phng cnh l mt phng song song vi mt phng hnh chiu cnh Gi l mt phng cnh, ta c : mp // mpP3 b) Tnh cht _Hnhchiubngvhnhchiungcamtphngcnhsuybinthnhhaingthng trng nhau v vung gc vi trc x: (1) (2) x _Mtphngcnhvalmtphngchiu bngvalmtphngchiungnnc nhng tnh cht ca hai loi mt phng ny Gi s :D, K, L mp; (Hnh 4.9) D1, K1 , L1 (1) v D2, K2 ,L2 (2) _Hnh chiu cnh ca mt hnh phng thuc mt phng cnh th bng chnh n, gi s : DKL mp D3K3L3 = DKL Hnh 4.9 III. S LIN THUC CA IM, NG THNG Vi MT PHNG z xD2 (2)K2 L2 D1 L1 K1 D3 K3 L3 y yo (1)A2 xd2E2 F2 d1 C2 B1 Hnh 4.10 E1 F1 C1 B2 A1 (Bi ton c bn trn mt phng) Da vo hai tin sau y biu din s lin thuc ca im, ng thng vi mt phng 1.Mt ng thng thuc mt mt phng nu n c hai im thuc mt phng 2.Mtimthucmtmtphngnunthucmt ng thng ca mt phng V d1 Cho mt phng ABC (hnh 4.10). Hy v mt ng thng d bt k thuc mt phng ABC. d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 24Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o Gii -TrongmtphngABC,talyhaiimbtkE,F;chnghnEAB,FAC.Haiim phn bit E, F xc nh ng thng d c thc: E1F1 d1 v E2F2 d2 - ng thng d c hai im E, F thuc mp(ABC) nn theo tin 1 th (d1, d2) l thc ca ng thng d thuc mt phng (ABC) ; (hnh 4.10) V d 2 Chomtphngcxcnhbihaingthnggiaonhaua,bvhnhchiungK2ca im K; (hnh 4.11). Hy v hnh chiu bng K1, bit K thuc mt phng (a, b) Gii Trong mp (a,b), v ng thng g i qua im K; g2 i qua K2. V g mp(a,b) nn v c g1TK2 g2 K1 g1 . Vy (K1, K2) l thc ca im Kthuc mp(a,b) cn dng IV. CC NG THNG C BIT CA MT PHNG 1) ng bng ca mt phng a) nh ngha:ng bng ca mt phng l ng thng thuc mt phng v song song vi mt phng hnh chiu bngGi h l ng bng ca mt phng : h mp v h // (P1 ) ; (Hnh 4.12a) b) Tnh cht _Hnh chiu ng ca ng bng song song vi trc x: h2 // x ; (Hnh 4.12b) h2 // x ; (Hnh 4.13) _Hnh chiu bng ca ng bng song song vi vt bng ca mt phng : h1 // m Hnh 4.12aHnh 4.12bHnh 4.13 mh1nh2xN2N1mnx P1P2hh2N h1h2h1A2C1C2E2E1F1F2B2B1A1x2) ng mt ca mt phng a) nh nghangmtcamtphnglngthngthucmtphngvsongsongvimtphnghnh chiu ng Gi f l ng mt ca mt phng : f mp v f // (P2) ; (Hnh 4.14a) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 25Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o Hnh 4.14aHnh 4.14b Hnh 4.15 mf1nf2xM2M1f2a2a1F1xO1O2b2F2b1E1E2mnx P1P2ff2f1 M f1 b) Tnh cht _Hnh chiu bng ca ng mt song song vi trc x: f1 // x ; (Hnh 4.14b) f1 // x ; (Hnh 4.15 ) _Hnh chiu ng ca ng mt song song vi vt ng ca mt phng : f2 // n Chu y ng bng h mp nn vt ng N ca ng bng h thuc vt ng n ca mp ng mtf mp nn vt bng M ca ng mt f thuc vt bngm ca mp Numtphnglmtphngchiucnhthngthngchiucnhkmpval ng bng va l ng mt(Hnh 4.16 a, b) Hnh 4.16aHnh 4.16b P1P2kk1mnx k2D1D2M1N1M2N2xnk2mk13) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hnh chiu a)ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hnh chiu bngnh ngha ngdcnhtcamtphngivimtphnghnhchiubnglngthngthucmt phng v to vi mt phng hnh chiu bng mt gc ln nht so vi cc ng thng khc thuc mt phng N2 P2 n N1 xm n dxNMd1 d2 P1M2 M1 D1 B1 D2 C1 B2 xC2 M1 M2 N1 N2 d2 d1 m Hnh 4.17aHnh 4.17b Hnh 4.17c d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 26Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o Gi d l ng dc nht ca mp i vi mt phng hnh chiu bng (Hnh 4.17a) Tnh cht -ngdcnhtcamtphngivimtphnghnhchiubngthvunggcvi ng bng (hay vt bng) ca mt phng , nn gc vung c bo tn hnh chiu bng, tc d h (m) d1 h1 hay d1 m (Hnh 4.17b) (Hnh4.17c)biudinMNlngdcnhtcamtphng(NBC)ivimtphnghnh chiu bng, MN vung gc vi ng bng BD N1M1 B1D1 -Gc ca ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hnh chiu bng chnh l gc ca mt phng hp vi mt phng hnh chiu bng :(d, P1) = (mp , P1) = b) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hnh chiu ngnh ngha ngdcnhtcamtphngivimtphnghnhchiunglngthngthucmt phngvtovimtphnghnhchiungmtgclnnhtsoviccngthngkhc thuc mt phng Hnh 4.18Hnh 4.18b xP2 xEgg2g2E2m P1 g1F2E1FF1mg1n n

Gi g l ng dc nht ca mp i vi mt phng hnh chiu ng (Hnh 4.18a) Tnh cht - ngdcnhtcamtphngivimtphnghnhchiungthvunggcvi ng mt (hay vt ng) ca mt phng , nn gc vung c bo tn hnh chiu ng, tc: g f (n) g2 f2 hayg2 n (Hnh 4.18b) -Gc ca ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hnh chiu ng chnh l gc ca mt phng hp vi mt phng hnh chiu ng (g , P2) = (mp , P2 ) = xE1 N0 N1 E0 E2 F1 F2 x N2 M2 M1 mnmn V d Chomtphng(m,n).Hyxcnh gcnghingcampimtphnghnh chiu bng v i vi mt phng hnh chiu ng Gii1) V ng dc nht MN ca mpi vi mpP1 : M1N1 m M2N2. Hnh 4.19 Hnh 4.20(Hnh 4.19). Bng phng php tam gic, xc nh di tht ca on NM l M1N0N1M1N0 = =(MN, P1) = ( mp , P1) 2)V ng dc nht EF ca mp i vi mp P2 : E2F2 n E1F1 (Hnh 4.20).Bng phng php tam gic, xc nh di tht ca on EF l F2E0 d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 27Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o E2F2E0 = = (EF, P2 ) = (mp, P2 ) V. MT VI V D GII SN V d 1Cho mp (m, n) v hnh chiu ng A2B2C2 ca tam gic ABC; (Hnh 4.21a,b). Hy v hnh chiu bng A1B1C1, bit tam gic ABC thuc mp Hnh 4.21aHnh 4.21b N2 N1 M1 B1 A1 C1 C2 B2 A2 M2 m n xxA1 A2 B2 C2 B1 C1 m n K1 K2 N1 N2 Giia) Tam gic ABC mp ( Hnh 4.21a) nn: _C2 x C1 m _BC n = K; t K2 = B2C2 n K1 x v B1 K1C1 _AC n = N; t N2 = A2C2 n N1 x v A1 N1C1 b) Tam gic ABC mp ( Hnh 4.21b) nn: _AB n = N v AB m = M. _T N2 = A2B2 n N1 x v M2 = A2B2 x M1 m A1, B1 M1N1 _V mp l mt phng chiu cnh (m // n // x) nn A1C1 //=A2C2 _Ni B1C1 V d 2Chompcxcnhbnghaingthnga,bct nhau; (Hnh 4.22). Hy v cc vt m, n ca mp Gii _Gi A,B ln lt l vt ng ca ng thng a, b.TA1 = a1 x A2 a2; (A A2) T B1 = b1 x B2 b2; (B B2) _Gi M l vt bng ca ng thng a TM2 = a2 x M1 a1; (M M1)Hnh 4.22 M2 B1A1m n x OM1B2b2b1a2a1I1I2A2_ng thng a,b mp nn vt ng n i qua cc vt ngA, B ca ng thng a,b :n A2B2 Gi O = n x m M1O; (Hnh 4.22) V d 3 Chongthngd.Hydngmtphngthngvmtphngbngvtnhnngthngd lm ng dc nht ca mt phng: d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 28Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o a) i vi mp P1 b) i vi mp P2 Gii a) Vngbngh dtiIh1 d1tiI1 mp(d,h)nhnngthngdlmngdc nht ca mt phng i vi mpP1;(Hnh 4.23a) b) V ng mtf d ti I f2 d2 ti I2 mp(d, f) nhn ng thng d lm ng dc nht ca mt phng i vi mp P2 ;(Hnh 4.23b) a) b)c)d) Hnh 4.23 M2 M2 M1 M1 N1 N1 N2 N2 xxxxm m n n I2 I1 I1 I2 h1 f1 f2 h2 d1 d1 d1 d1 d2 d2 d2 d2 c)VM,Nlnltlvtbng,vtngcangthngd;mpnhnngthngdlm ng dc nht ca mt phng i vi mpP1 nn m d1 ti M1 n i qua N2; (Hnh 4.23c) d) Tngt,mpnhnngthngdlmngdcnhtcamtphngivimpP2nnn d2 ti N2 m i qua M1 v i qua giao im ca n vi trc x; (Hnh 4.23d) V d 4 Cho vt bng m ca mp. Hy v vt ng n, bit rng mp nghing vi mp P1 gc 600 Gii Ta bit rng gc nghing ca mp i vi mp P1 cng chnh l gc ca ng dc nht ca mp i vi mp P1. V vy ta v ng thng d dc nht ca mp i vi mp P1_d1 m ti M1 v ct trc x ti N1, M2 x._Ta bit rngmp to vi mp P1 gc 600nn d tovimpP1gc600.Vtamgicvung M1N1N0 cmtcnhgcvungM1N1,cnh huyn M1N0 to vi M1N1 gc 600 _Theophngphptamgicthcnhgc vungcnliN1N0 bnghiucaocaM, N; tc : N1N2 = N1N0 d2 M2N2 _Vy n i qua N2 v qua giao im ca m vi trc x ; (Hnh 4.24) Hnh 4.24 xnd1mN0M1M2N2600 d2N1============== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 29Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. +t e/+o Bi 5 V TR TNG I GIAHAI MT PHNG Trong khng gian hai mt phng c cc v tr tng i: giao nhau hoc song song I.HAI MT PHNG SONG SONGnh liu kin cn v haimt phngsongsongnhaultrongmt phng ny cha hai ng thng giao nhau ln lt song song vi hai ng thng giao nhau thuc mt phng kia V d Cho mt phng (a,b) v im M. Qua M hy dng mp(c,d) // mp(a,b) b2 d1 c1 d2 b1 c2 a1 a2 I1M1 M2 I2 GiiQua im M v hai ng thng c, d: _c // a c1 // a1 v c2 // a2 x_d // b d1 // b1 v d2 // b2 Vy mp(c, d) // mp(a,b) l mt phng cn dng Hnh 5.1 Ch Hai mt phng song song nhau th cc vt cng tn ca chng song songGi s : mp // mp m//m v n //n ; (Hnh 5.2) iu ngc li ch ng khi chng l mt phng thng, cn mt phng chiu cnh th cha chc Hnh 5.2 P2P1 xxx xn n n n nP 2 n m m m m m m P1 m n m n II.HAI MT PHNG GIAO NHAU Ni dung ca phn ny l v giao tuyn ca hai mt phng 1) Trng hp bit mt hnh chiu ca giao tuyna) Nu c hai mt phng cho l mt phng chiu cng tn, th: _Ta bit c mt hnh chiu ca giao tuyn suy bin thnh mt im chnh l giao im ca hai ng thng suy bin ca hai mt phng chiu _Hnh chiu cn li ca giao tuyn i qua im suy bin v vung gc vi trc hnh chiu . d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 30Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. +t e/+o V d Hy v giao tuyn ca hai mt phng , chiu bng (Hnh 5.3) Gii Gig = mp mp .V mp v mp P1nn giao tuyngca chng vung gc mpP1 ; c hnh chiu bng g1 = (1) (1) 1 im Hnh chiu ng ca giao tuyn : g2 x Hnh 5.3Hnh 5.4 B1B2A1A2xg2 (2)I1I2b1b2a1g1a2g1(1)(1)g2 n n x b) Nu mt trong hai mt phng cho l mt phng chiu, th: _Tabitcmthnhchiucagiaotuyntrngvingthngsuybincamtphng chiu . _vhnhchiucnlicagiaotuyntapdngbitonngthngthucmtphng khng chiu. V d Hy v giao tuyn ca mt phng (a, b) vi mt phng chiu ng ; (Hnh 5.4) Gii Gig = mp mp(a, b) .V mp P2nng2 (2) .Theo trn, g mp(a, b) nn g s ct a, b ln lt ti cc im A, B. Do g1 A1B1 2) Trng hp tng qut vgiaotuyngcahaimtphng,bt k(Hnh5.5).Taphitmhaiimchungca chng bng cch dng hai mt phng ph tr. Trnh t gii nh sau: 1) Dng mt phng phu tr( thng l mt phng chiu) ct c mp v mp 2) V hai giao tuyn ph:a = mp mp v b = mp mp 3) V giao im:M = a b , l mt im thuc giao tuyn g Tng t, v mp phu tr th hai [thng () // () ], ta tm c im th hai N g Vyg MN = mp mp V dHy v giao tuyn ca mt phng (c, d) vi mt phng (m, n) (Hnh 5.6) Gii _Dng mp - lm mt phng bng ph tr (cng l mt phng chiu ng)_V hai ng bng giao tuyn ph: +a = mp mp; V mp P2nna2 (2) a1 // m d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 31Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. +t e/+o +b = mp mp(c, d) ;V mp P2 nnb2 (2) b1 _V giao imM = a b ; Ta1 b1 = M1 M2 a2 Hnh 5.5Hnh 5.6 a2 b'2 (2)I2a2 b2 (2)c1d2d1I1g2x g1c2M2N2M1N1b1b1a1mna1 mp mp a b b a M N g Tng t_Dng mp // mp- lm mt phng ph tr _V hai ng bng giao tuyn ph: +a = mp mp; V mp P2 nna2 (2) a1 // a1 +b = mp mp(c, d);V mp P2nnb2 (2) b1 // b1 _V giao imN = a b ; T a1 b1 = N1 N2 a2 Kt lun: g MN = mp mp(c, d) III. MT VI V D GII SN V d 1Hy v giao tuyn ca mp v mp; c cho trong cc trng hp (Hnh 5.7a,b,c) Giia) V m, m P1 m m = M thuc giao tuyn

ca () v ().T M1 = m m M2 x V n, n P2 n n = N thuc giao tuyn

ca () v (). T N2 = n n N1 x Vy MN = mp mp ; (Hnh 5.7a) x xM1M2g1 g2 N2 M1 N1M2 N1 M2 M1 N1 N2 N2 m m m n n n m m m n n n Hnh 5.7aHnh 5.7b Hnh 5.7c b) Tng t nhtrn, v m // m m m = M mp mp = NM g (g l ng bng ca mp v mp); (Hnh 5.7b) c)Tng t nhtrn mp mp = NM - l ng cnh ; (Hnh 5.7c) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 32Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa /a. +t e/+o V d 2Hy v giao tuyn ca hai mt phng : mp (m, A) v mp (n, B) ; (Hnh 5.8) Gii _Qua im A mp, v ng bng h v v vt ng H ca h Vt ng n di qua H2v qua giao im ca m vi trc x _Qua im B mp, v ng mt f v v vt ngF ca f Vt bngm i qua F1 v qua giao im ca n vi trc x V giao tuynMN = mp mp ; (Hnh 5.7) n m H1 H2 h2 h1 M2 M1 N1 N2 F1 F2 f2 f1 m n A2 B2 B1 A1 xHnh 5.8 ====================== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 33Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa ax- o t/+o a +t e/+o Bi 6V TR TNG I GIA NG THNG V MT PHNG I.NG THNG SONG SONG MT PHNG nh l iu kin cn v mt ng thng song song vi mt mt phng l ng thng song song vi mt ng thng nm trong mt phng V d Cho mp(a, b) v im M; (Hnh 6.1). Qua M, hy dng ng thng d // mp(a, b) Gii Trong mt phng (a,b), v ng thng l.Qua im M v ng thng d // l d1 // l1 v d2 // l2Theo nh l trn th d // mp(a, b) Hnh 6.1Hnh 6.2 II.NG THNG V MT PHNG GIAO NHAU Ni dung ca phn ny l v giao im ca ng thng vi mt phng 1) Trng hp bit mt hnh chiu ca giao im a) Nu mt phng cho l mt phng chiu, ng thng bt k, th: _Ta bit c mt hnh chiu ca giao im l giao ca ng thng suy bin ca mt phng chiu vi hnh chiu cng tn ca ng thng_ v hnh chiu cn li ca giao im, ta p dng bi ton dim thuc ng thng V d Hy v giao im ca ng thng d vi mt phng chiu bng(Hnh 6.2) Gii Gi A = d mp A mp, v mp P1nn A1 (1) A d A1 d1 I1 I2 b2 d2 b1 l1 d1 M2 M1 A2 x nd2d1A1 (1) l2 a1 xa2 Vy A1 = (1) d1 A2 d2; (Hnh 6.2) b) Nu ng thng cho l ng thng chiu, mt phng bt ky, th: _Ta bit c mt hnh chiu ca giao im trng vi im suy bin ca ng thng chiu d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 34Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa ax- o t/+o a +t e/+o _ v hnh chiu cn li ca giao im, ta p dng bi ton im thuc mt phng V dHy v giao im ca mp(a, b) vi ng thng d chiu bng; (Hnh 6.3) Gii Gi M = d mp(a, b) M d, v d P1nn M1 d1 M mp(a, b) M g mp(a, b)TM1 g1 M2 g2; (Hnh 6.3) Hnh 6.3 Hnh 6.4 2) Trng hp tng qut v giao im M ca ng thng d vi mp bt k; (Hnh 6.4). Ta phi tm mt im chung ca chng bng cch dng mt phng ph tr, vi trnh t gii nh sau: 3) Dng mt phng phu trcha ng thng d ( thng l mt phng chiu) 4) V giao tuyn ph:g = mp mp 3) V giao im:M = g dVy M2b2b1I2I1g2g1A2A1B2B1d2M = d mpM1

d1a1a2x M gdF1 F2 E1 xM1 K1 g1 I2 J2 B1 A1 C1 d1 B2 C2 g2 (2) M2 E2K2 I1J1 A2 V dHy v giao im ca ng thng d vi mp(ABC)Hnh 6.5) Gii 1) Dngmtphngphutrchiungchang thng d (2) d2 2) V giao tuyn ph: g EF = mp mp (ABC) T g2 E2F2 (2) g1 E1F13) V giao im:M = g d TM1=g1d1M2d2M=dmp Hnh 6.5 Biu din thy khut trn hnh chiuSaukhivgiaoimcangthngvimtphng,gyntngnichohnhchiu, ngi ta thng biu din thy - khut ca hnh vi qui c nh sau:_Mt ngi quan st t trn P1, trc P2 v t xa v tn theo cc hng nhn vung gc vi hai mt phng hnh chiu ny_Mt phngxem nh khng trong sut (vt th c) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 35Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa ax- o t/+o a +t e/+o Vi qui c ny, th: +Cp im nm trn ng thng chiu bng, im no cao hn s thy hnh chiu bng.+Cp im nm trn ng thng chiu ng, im no xa hn s thy hnh chiu ng Tr li v d(hnh 6.5) Thy khut hnh chiu bng: Xt cp im I, J vi Id, J BC sao cho I1 J1. Ta thy imIcaohnJnn:I1-thyI1M1-thy;dotrnhnhchiunymtphngche khut phn cn li ca ng thng thuc phm vi mt phngThy khut hnh chiu ng: Xt cp im E, K vi K d, E AC sao cho E2 K2. Ta thy im K xa hn E nn :K2 - thy K2M2- thy;do trn hnh chiu ny mt phng che khut phn cn li ca ng thng thuc phm vi mt phng III.NG THNG VUNG GC VI MT PHNGDavonhlvhnhchiucagcvungvnhlvngthngvunggcvimt phng trong khng gian, ta nu ra nh l sau: 1) i vi mt phng thng nh liukincnvngthngvunggcvimtphngthnglhnhchiubngca ng thng vung gc vi hnh chiu bng ca ng bng (vt bng) ca mt phng v hnh chiu ng ca ng thng vung gc vi hnh chiu ng ca ng mt(vt ng) ca mt phng Cho ng thng d v mp (Hnh 6.6), ) () (2 2 21 1 1 n d hay f dm d hay h dmp dnh l trn vit li nh sau: yoyzx3 B3 B2 A2 m n Hnh 6.6Hnh 6.7 nf1xh2f2h1d2md1A3 Chng minh iu kin cn: Gi s d mp d h mp d1 h1 hay (d1 m) d f mp d2 f2 hay (d2 n) iu kin : Gi s c ng bng h, ng mt f thuc mp v ng thng d ; m trn thc tho mn :d1 h1 hay (d1 m) d2 f2(d2 n) Th theo nh l v hnh chiu ca gc vung d hhay d m d fd n M h, f hay (m, n) l hai ng thng ct nhau thuc mp nn:d mp d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 36Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa ax- o t/+o a +t e/+o 2) i vi mt phng chiu cnh Nu mt phng cho l mt phng chiu cnh th ng thng vung gc vi n phi l ng cnh; ngc li ng cnh th cha chc vung gc vi mt phng chiu cnh nh l :iu kin cn v ng cnh vung gc vi mt phng chiu cnh l hnh chiu cnh ca ng cnh vung gc hnh chiu cnh suy bin ca mt phng chiu cnhCho ng cnh AB v mt phng chiu cnh (Hnh 6.7), nh l trn c vit thnh: AB mp A3B3 ( 3) IV.MT VI V D GII SN V d 1 Chng minh rng : a) Mt phng c hai vt i xng nhau qua trc x th vung gc vi mt phng phn gic 1 b) Mt phng c hai vt trng nhau th vung gc vi mt phng phn gic 2 O1O2 xd2 d1 n mGii a) Gischompchaivtn ,mixngnhauquatrcx(Hnh6.8).QuaimOtu trn trc x, ta v ng thngd mp (1) d1 m v d2 n. b) V n , mi xng nhau qua trc x nn d1, d2i xng nhau qua trc x dmp phg1 (2)T (1) v (2) mp mp phg1 Hnh 6.8 c)Gi s cho mp c hai vt trng nhau (n m)Qua im I tu trn trc x, ta v ng thng d mp d1 m v d2 n(1) V n m nn d1 d2 dmp phg 2 (2) T (1) v (2) mp mp phg 2 I1I2 d1 d2 xmn Hnh 6.9 V d 2 Cho im A ( A1, A2) v mt phng (m, n);g2 (2) d2 B1H2 A2 d1 A0 A1 H1 B2 g1 xn m(Hnh 6.10).a) Xc nh khong cch t im A n mp b) Hy v im B i xng vi im A qua mp Gii a) xc nh khong cch t im A n mp , ta lm nh sau: _Qua A v d mp d1 m vd2 n _Vgiaoim:H=dmp(dngmtphng phtr).Bngphngphptamgic,xcnh dithtcaonAHlcnhhuynH1A0 catam gic vung H1A1A0

Hnh 6.10 d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 37Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa ax- o t/+o a +t e/+o b) v im B i xng vi im A qua mp , ta lm nh sau: Trn ng thng d ly im B sao cho BH = HA B1H1 = H1A1 B2d2; (Hnh 6.10) Vy B l im cn v . V d 3 ChoonthngAB(A1B1,A2B2)vmtphng(m,n).Hytmtphpnhngimtrn mp cch u hai u mt A, B (Hnh 6.11) Gii Tp hp nhng im cch u hai u mt A, B l mt phng - trung trc ca on thng AB (mtphngtrungtrccaonthngABlmtphngvunggcvionthngABti trung im I ca n), mp c v bng vt nh sau: _V ng bng h AB ti trung im I ca AB h1 A1B1 ti I1 _V vt ng H ca ng bng h : H = h mp P2 H2 H Vh mp nn vt ng n ca mp phi i qua vt ng H2 H ca ng bng h v vung gc A2B2Oxd2 d1 m n n H1 H2 h2B1 B2 K1 N2 N1 M1 M2 K2 g2 g1 m h1g1 H1 x OM1 N1 N2 n n h2h1m A1 A2 H2 B1 B2 I1 I2 g2 M2 m Hnh 6.11Hnh 6.12 _Gi O = n x th vt bng m i qua O v vung gc A1B1 (hay m // h1) Theo yu cu ca bi thi tp hp nhng im cn tm l giao tuyn ca mp v mp: g MN = mp mp(Hnh 6.11) V d 4 Cho hai mt phng (m , n), mt phng (m, B) v im K; (Hnh 6.12).Yu cu:a) Hy v vt ng ca mp b) Qua K hy v ng thng d song song vi hai mt phng , Gii a) V vt ng ca mp nh sau : _Trong mp, qua im B v ng bng h h2 // x v h1 // m _V vt ng H ca ng bng h : H = h mp P2 H2 H _Vh mp nn vt ng n ca mp phi i qua vt ng H2 H ca ng bng h

b) V giao tuyn g ca mp v mp nh sau: _V N = n n (N2N; N1x ) N g d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 38Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa ax- o t/+o a +t e/+o _V M = m m (M1M; M2x ) M g Vyg MN = mp mpQua K, v ng thng d // g ( d1 // g1 v d2 // g2 ).Vy d l ng thng cn v(Hnh 6.12) V d 5 Cho im A(A1, A2) v ng thng d (d1, d2 ); (Hnh 6.13). Hy xc inh khong cch t im A n ng thng d Gii _Qua A, dng mp(h, f) dh1 d1 vh2 d2 _V giao im: H = d mp(h, f) - (Dng mt phng ph tr chiu ng cha d) TH1= g1 d1 H2 d2_Bng phng php tam gic, xc nh di tht ca on AH l: H1A0 (Hnh 6.13) Vy khong cch t im A n ng thng d l on AH = H1A0 xk1 k2 C1 C2 B2 B1 A1 A2 h1 f2 h2 g1 xA0 A2 A1 H1 H2 f2 h2 h1 g2 (2) d2 d1 f1 f1 Hnh 6.13Hnh 6.14 V d 6 Cho on thng AB (A1B1, A2B2) v hnh chiu ng C2 ca im C (Hnh 6.14). Hy v hnh chiu bng C1 ca im C, bit rng tam gic ABC vung ti A Gii Theo gi thit CA AB nn C mp(h, f) AB ti A, v vy ta thc hin nh sau : _V mp(h, f) AB ti A _C mp(h, f) C k mp(h, f) ; [ k - l dng bng thuc mp(h, f)] T C2 k2 C1 k1(Hnh 6.14) V d 7 Cho mt phng (m, n), ng thng d (d1, d2) v hnh chiu ng A2 ca im A thuc mt phng (Hnh 6.15). Hy v trong mp ng thngi qua A v vung gc vi d Gii _V hnh chiu bng A1 ca im A, bng cch gn im A vo ng bng g ca mp ng thngcn v i qua im A vung gc vi d nn thuc mp i qua A, vung gc vi d. Mt phng c v nh sau : d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 39Ca. o.ao Wv7W WO 1. t-t tx-o a-. o.xa ax- o t/+o a +t e/+o _Qua im A v ng bng h d h2 // x v h1 d1 _V vt ng H ca ng bng h : H = h mpP2 H2 H _Vh mp nn vt ng n ca mp phi i qua vt ng H2 H ca ng bng h

h1h2H1 H2g2 N1 M1 N2 xmn n d2 A2 A1 d1 m g1 M2 Hnh 6.15_V n d2 v m d1 (hoc m // h1) V li, ng thng cn dng thuc mp nn n l giao tuyn ca mp vi mp: Vy MN = mp mp ; (Hnh 6.15) ===================== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 40Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.ex Bi 7CC PHP BIN I HNH CHIU I.KHI NIM Tabitrnglnthtcamtonthngthucngbngthhinngayhnhchiu bng. Giao im ca ng thng vi mt phng, nu ng thng chiu hoc mt phng chiu th ta bit c mt hnh chiu ca giao im m khng cn s dng mt phng phu tr. Nhngivingthngthng,mtphngthngthtronghnhhongitadngcc php bin i hnh chiu bin ng thng, mt phng ny v cc v tr c bit m v tr mi ny d dng gii c bi ton. Sau khi gii xong c loi bi ton cn phi a nghim v v tr ban u. II.PHP THAY I MT PHNG HNH CHIUPhp thay i mt phng hnh chiu l mt php bin i m trong h thng mt phng hnh chiu thay i cn vt th c biu din th ng yn II.1 Thay i mt phng hnh chiu ng a) nh ngha ThayimtphnghnhchiungP2ldngmtmtphngP2 P1lmmtphnghnh chiu ng mi Gi trc hnh chiu mi l s : s = P2 P1Xt mt im A bt k. Chiu vung gc im A ln lt ln cc mt phng hnh chiu P1, P2 , P2 ta nhn c cc hnh chiu l: A1, A2, A2 (Hnh 7.1a) P1 P2 P2 A2 AS sxAX A1 AA2 A2 AS AX sP2 P1 xA2 A1 A2 Hnh 7.1a Hnh 7.1b b) Tnh cht_Hnh chiu bng A1 ca im A trong h thng mi v c khng i_ cao ca im A trong h thng mi v c bng nhau: A'2 As = A2 Ax (Hnh 7.1a) Qui c_Sau khi quay P2quanh trc s n trng vi P1 ri tip tc quay P1quanh trc x theo chiu qui c n trng vi P2 ta nhn c thc ca im A trong h thng c v mi(Hnh 7.1b)_ hai pha trc hnh chiu mi s ngi ta thng ghi hai mt phng hnh chiu mi P1 v P2

vi qui c nh sau: Nu cao ca im A dng th A2 c t v pha c ghi ch P2

V d 1d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 41Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.exCho on thng AB (A1B1, A2B2); (Hnh 7.2). Hy thay i mt phng hnh chiu ng AB tr thnh ng mt trong h thng mi. Gii ABtrthnhngmttronghthngmith ta phi chn mp P2 // AB, tc chn trc s // A1B1

pdngcaomibngcaoctavc A2B2 (Hnh 7.2) Nhn xt _A2B2 = AB _(A2B2, s) = (AB, P1 ) = Hnh 7.2 x1 P2 sPB2B1B2A1A2A2 V d 2 Cho mt phng (ABC) v im M (Hnh 7.3). Bng phng php thay i mt phng hnh chiu ng; hy xc nh khong cch t im M n mt phng (ABC) Gii _mp(ABC)trthnhmtphngchiu ngtronghthngmithtaphichnmp P2vung gc vi ng bng BD ca mt phng (ABC) , tc chn trc s B1D1

_pdngcaomibngcaoctav chnhchiungmicamp(ABC) suy bin thnh on thng A2C'2 _xcnhkhongcchtimMn mp(ABC), ta v :MH mp(ABC) D thy MH l ng mt trong h thng minn:M2H'2 A2C'2 A2M2H2P1xs P2 A2C'2 C1A1B1M1H1H'2B2D2D1B2C2D2M2v M1H1 // s Hnh 7.3 H2 c xc nh nh cao c bng cao mi (Hnh 7.3) ._Khong cch t im M n mp(ABC) chnh l onM2H'2 = MH II.2 Thay i mt phng hnh chiu bnga) nh ngha ThayimtphnghnhchiubngP1ldngmtmtphngP1 P2lmmtphnghnh chiu bng mi B2 B1 B1 xsP1 P2 BX BS P2P1 B1 BS B2 B1 BX sxBB1 P1 Hnh 7.4aHnh 7.4b d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 42Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.exGi trc hnh chiu mi l s : s = P1 P2Xt mt im B bt k. Chiu vung gc im B ln lt ln cc mt phng hnh chiu P1 , P2 , P1 ta nhn c cc hnh chiu l: B1, B2, B1 (Hnh 7.4a) b) Tnh cht_Hnh chiu ng B2 khng i trong h thng mi v c _ xa ca im B trong h thng mi v c bng nhau: B'1 Bs = B1 Bx ( Hnh 7.4a) Qui c_Quay P1 quanh trc s n trng vi P2 ri quay P1quanh trc x theo chiu qui c n trng vi P2 ta nhn c thc ca im B trong h thng c v mi(Hnh 7.4b)_ hai pha trc hnh chiu mi s ngi ta thng ghi hai mt phng hnh chiu mi P1 v P2 vi qui c nh sau: Nu xa ca im B dng th B1 c t v pha c ghi ch P1 V d 1 ChongmtAB(A1B1,A2B2).HythayimtphnghnhchiubngABtrthnh ng thng chiu bng trong h thng mi Gii - AB tr thnh ng thng chiu bng trong h thngmi th ta phi chn mp P2AB, tc chn trc s A2B2 .-p dng xa mi bng xa c ta v c A1B1

(Hnh 7.5) Hnh 7.5 A2B1A1B2B1A1s P2P1 x Gii- v c tm O ca ng trn ni tip tam gic ABC, ta phi xc nh ln tht ca tam gic ABC A2C2B2 O2o1B1A1C'1o'1 A1J1I1s P1 P2I1I2C1B1-Thayimtphnghnhchiubngmp(ABC)trthnhmtphngbngtronghthngmi,taphichnmp P1// (ABC) s // A2C2 .-pdngxamibngxactavchnhchiu bng mi ca tam gic l:A1B1C'1 . -TrongtamgicnytavhaingphngicA1I1v C'1J1 giao nhau ti O1 - l tm ca ng trn ni tip tam gic A1B1C'1. Tr v hnh chiu ban u ta c (O1, O2) l thccatmOcangtrnnitiptamgicABC cn tm. x3) Thay i lin tip hai mt phng hnh chiuivimtsbitontacnphithayilintiphaimt phng hnh chiu c h thng hai mt phng hnh chiu mi ph hp vi bi ton , chng hn: Hnh 7.6 _H P1 P2 thay i P2 h P1 P2 tip tc thay i P1 h P2 P1 , hoc _H P1 P2 thay i P1 h P2 P1 tip tc thay i P2 h P1 P2 Ch 1) i vi ng thng:_ a ng thng thng v ng bng hoc ng mt trong h thng mi ta phi thay i mt phng hnh chiu mt lnd1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 43Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.ex_ a ng bng hoc ng mt v ng thng chiu ng hoc chiu bng trong h thng mi ta phi thay i mt phng hnh chiu mt ln. _ a ng thng thng v ng thng chiu trong h thng mi ta phi thay i mt phng hnh chiu lin tip hai ln: +Thayimtphnghnhchiuln1angthngthngvngbnghoc ng mt trong h thng mi+Thay i mt phng hnh chiu ln 2 a ng bng hoc ng mt v ng thng chiu ng hoc chiu bng trong h thng mi 2)i vi mt phng: _amtphngthngvmtphngchiubnghocmtphngchiungtrongh thng mi ta phi thay i mt phng hnh chiu mt ln_ a mt phng chiu bng hoc mt phng chiu ng v mt phng mt hoc mt phng bng trong h thng mi ta phi thay i mt phng hnh chiu mt ln _ a mt phng thng v mt phng bng hoc mt phng mt trong h thng mi ta phi thay i mt phng hnh chiu lin tip hai ln: +Thayimtphnghnhchiuln1amtphngthngvmtphngchiubng hoc mt phng chiu ng trong h thng mi+Thay i mt phng hnh chiu ln 2 a mt phng chiu bng hoc mt phng chiu ng v mt phng mt hoc mt phng bng trong h thng mi(Hnh 7.7) biu din cc hnh chiu ca im A bng cch thay i mt phng hnh chiu ng P2 P2 ri tip tc thay i mt phng hnh chiu bng P1 P1. Khi v A1, ly xa mi A1At = A1As Hnh 7.7Hnh 7.8 xP1P2 M1B1H1A2M2B2H'2H'1A1 B1P2 t P1 M1A1H2B2M2A2x P2 P1 t P2 P1s AXASAtA2A1A2A1sV d 3 Cho on thng AB (A1B1, A2B2) v im M (M1, M2) ; (Hnh 7.8). Tm khong cch t im M n on thng AB Gii Thay i mt phng hnh chiu ng thng thng AB tr thnh ng thng chiu trong h thng mi, trnh t thc hin hai bc nh sau: _Thay i P2 AB // P2 s // A1B1. p dng cao mi bng cao c ta v c A2B2 _Thay i P1 AB P1 t A2B2. p dng xa mi bng xa c ta v c A1 B1 V MH AB. V AB P1 H'1 A1 B1 v d thy MH l ng bng trong h thng mi nn M2H'2 // tv M1H'1 = MH th hin khong cch t im M n on thng AB T H'2 A2B2 H1 A1B1 v H2 A2B2(Hnh 7.8) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 44Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.exIII. PHP QUAY QUAH TRC Phpquayquanhtrclmtphpbinihnhchiumtronghthngmtphnghnh chiu ng yn, cn vt th c biu din quay n v tr mi ph hp vi yu cu ca bi ton. III.1 Php quay quanh trc chiu1) Php quay quanh trc chiu bnga)nh ngha Php quay quanh trc chiu bng t l mt php bin i hnh chiu, sao cho : _Mi im M tng ng vi im M, hai im ny thuc mt phng bng vung gc trc t _Khong cch t M v M n trc t bng nhau gi l bn knh quay: OM = OM_Gc quay (OM,OM) = - c chiu cho trc (Hnh 7.9a) b) Tnh cht_Hnh chiu ng ca ng thng ni cp im tng ng song song vi trc x:M2M2 // x_Hnh chiu bng ca gc quay (OM,OM) bng chnh n: (O1M1, O1M1) = (OM,OM) = ( Hnh 7.9b) Ch Nhng im thuc trc quay t cho nh v to nh trng nhau:gi s A t A A NO1 N2 Ot1 t2 O2 xt1 t2 O2 N2 N2 N1 N1 t M M1 M1 M t1 O1 O M2 M2 M1 M1 t1 O1 t2 x x x P2P1P2P1N2 NO2 Hnh 7.9aHnh 7.9bHnh 7.10aHnh 7.10b 2) Php quay quanh trc chiu ng a)nh ngha Php quay quanh trc chiu ng t l mt php bin i hnh chiu, sao cho : _Mi im N tng ng vi im N, hai im ny thuc mt phng mt vung gc trc t _Khong cch t N v N n trc t bng nhau gi l bn knh quay:ON = ON_Gc quay (ON,ON) = - c hng cho trc (Hnh 7.10a) b) Tnh cht_Hnh chiu bng ca ng thng ni cp im tng ng song song vi trc x: N1N1 // x_Hnh chiu ng ca gc quay (ON,ON) bng chnh n: (O2N2,O2N2) = (ON,ON) = ;(Hnh 7.10b) Ch +Nhng im thuc trc quay t cho nh v to nh trng nhau. Gi s B t B B +i vi mt s bi ton ta cn phi quay lin tip quanh hai trc chiu c v tr mi ph hp vi bi ton d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 45Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.ex V d1 ChoonthngAB;(Hnh7.11).Bngphpquayquanhtrcchiu,hyxcnhditht ca on thng AB v gc nghing ca AB hp vi mt phng hnh chiu bng GiiChntrcquaytchiubngquaimAt1 A1.QuayquanhtrctaABnvtrmiAB // P2, A1 A1 t1;A2 A2 vA1B1 // x B2Kt lun : A2B2 = AB vgc (A2B2 , x) = = (AB, P1) ; (Hnh 7.11)

Hnh 7.11Hnh 7.12 t2 B1 B1 t1A1 A1 B2 A2 A2 xB2 xt1 H1 h2h1m n M1 M2 M1 M2 t2 V d2Cho mt phng (m, n) v im M (M1, M2); (Hnh 7.12). Hy chn trc quay l ng thng chiu v quay quanh trc a im M n v tr mi thuc mt phng GiiKhi quay dim M quanh trc t P1 n v tr mi M mp th M thuc ng bng h ca mp, h cng cao vi M. Lc ny M1 h1 v M1t1 = M1t1. iu ny xy ra khi ta chn trc t P1 tho mn : M1t1 t1H1 (vi H1 l chn ng vung gc k t t1 n h1) T M1 h1 M2 h2 ; (Hnh 7.12) Ch i vi bi ton quay quanh trc chiu a ng thng d n v tr mi d thuc mt phng . Ta chn trc quay i qua giao im ca ng thng d vi mt phng ; sau ch cn quay mt im tu trn ng thng d n v tr mi thuc mt phng (tr v v d 2 trn) III.2 Php quay quanh ng bng a) nh ngha Php quay quanh ng bng l mt php quay quanh trc m trc y l ng bngTrongphnnytaxtphpquaymtmtphngquanhmtngbngcannvtrmi song song vi P1 (cng cao vi vi ng bng ) Xt mt im M quay quanh ng bng h n v tr mi M cng cao vi h, ta c: _M, Mmp h ti O h MM M1M1 h1 ti O1 (gc vung c bo tn mp P1)_O1M1 = OM (v v tr mi bn knh quay OM // P1); (Hnh 7.13a) T ta c cch v M1 trn thc nh sau: +V ln tht ca bn kinh quay OM (dng phng php tam gic):O1M0 = OM d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 46Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.ext trn ng thng M1O1( h1) on O1M1= O1M0 (Hnh 7.13b)

Hnh 7.13aHnh 7.13bHnh 7.14 A1 A2 A1 C1 B1 B1 D1D1 A0 C'1 O1 B2 C2 D2 xh1 M0 M2 M1 M1 O1 O2 MM OM1 O1 M1 hh1 h2 xP1 O2 V dCho tam gic ABC. Bng php quay quanh ng bng, hy xc nh ln tht ca tam gic ABC Gii +Trong tam gic ABC, v ng bng BD.+Quay im A quanh ng bng BD n v tr mi A cng cao vi ng bng BD +Ta c B1 B1 v D1D1 (Cc im thuc trc quay) +VCAD C1A1D1 v C'1A1D1 (vi C1C'1 A1D1) Kt lun: A1B1 C'1 = ABC III.3 Php quay quanh ng mt Phpquaymtphngquanhngmtcxydngtngtnhphpquaymtphng quanhngbng.NhngyquaymtphngnvtrmisongsongP2(cngxavi ng mt ) III.4 Php gp mt phng quanh vt Php gp mt phng quanh vt ca n l trng hp c bit ca php quay mt phng quanh ng bng hoc ng mt v tr c bit - chnh l vt bng, vt ng ca mt phng Mc ch ca php gp mt phng quanh vt bng, vt ng ca n l a mt phng n v tr mi n trng vi P1 hoc P2. Nhm gii mt s bi ton v ln tht, hoc v tr ... V d 1 Cho mt phng (m, n) ; (Hnh 7.14). Hy gp mp quanh vt bng mn v tr mi trng vi P1

Gii gp mt phng quanh vt bng v v tr mi trng vi P1; v m P1 nn ta ch cn quay thm mt im ca mp n trng vi P1. n gin ta ly im N n ri quay quanh vt bng m n v tr mi N thuc P1.d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 47Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.ex(Hnh 7.14a) cng cho thy rng A1 M1N1 l hnh gp ca A MN mp Gi I = m x; ta c : IN I2N2 n I1N1= IN n (1) n N1 I1I2 M2 n M2 M1M1 N1 N2 N1 N0 O1 O2 A1 A1 A2 m m n n n I1I2 N2 N2 N1 N1 O2M2 A2 A1 A1 A1 n N1A1 M1M1 N0 x x xO1 O1 mM1M1 Hnh 7.14aHnh 7.14bHnh 7.15 Ch +T nhn xt (1) th im N1 c v nh sau: N1 = Vng trn ( I1, I2N2) N1O1

(Hnh 7.14b) +Nu mt phng cho l mt phng chiu cnh th khi gp mt phng quanh vt bng ta vn thc hin nh php quay quanh ng bng (Hnh 7.15) III. MT VI V D GII SN. V d 1Cho im A v mp (m, n).a)Hy xc nh khong cch t im A n mp b) Hy v im B i xng im A qua mp Gii a)Qua A v ng thng d mp d1 m v d2 n V giao imH = d mp; bng phng php thay i mt phng hnh chiu ng a mp tr thnh mt phng chiu ng trong h thng mi, chn trc s m hnh chiu ng mi ca mp suy bin thnh ng thng (2). TaxcnhcH'2=d2(2)A2H'2=AH-lkhongcchtimAnmp H1d1 v H2d2 b)VimBixngimAbngcchlyHB=HA.TB2d2B1d1vB2d2,(Hnh 7.16) V d 2Cho hai on thng AB v CD; (Hnh 7.17). Hy thay i mt phng hnh chiu bng hai hnh chiu bng mi ca chng song song nhau d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 48Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.ex Hnh 7.1Hnh 7.17 P1 sP2 (2)N2 N1 N2 xsP1 P2 xH2 H1 H2 B2A2B1 B2 A1 A2 m n E1D1A1 B1C1A1 B1 C1 D1 E1 E2 D2 C2 B2 A2 Gii V CE // AB; trong mp (CDE) ta v ng bng ED. Thay i mt phng hnh chiu bng mp (CDE)trthnhmtphngchiubngtronghthngmi,chnhchiubngmilon C1D1V AB // mp (CDE) A1B1 // C1D1; (Hnh 7.17) V d 3Cho on thng AB. Hy thay i mt phng hnh chiu ng : a) Hnh chiu ng mi v hnh chiu bng ca on thng AB song song nhaub) HnhchiungmivhnhchiubngcaonthngABixngnhauquatrchnh chiu mi s Gii a) hnhchiungmivhnhchiubngcaonthngABsongsongnhau,tavecc vng trn tm A1, B1 c bn knh ln lt l cao ca im B v im A.ng thng s tip tuyn ngoi ca hai vng trn va v l trc hnh chiu mi cn dng; (Hnh 7.18a) b) hnh chiu ng mi v hnh chiu bng ca on thng AB i xng nhau qua trc hnh chiu mi s, ta v cc vng trn tm A1, B1 c bn knh ln lt l cao ca im A v im B.ng thng s tip tuyn ngoi ca hai vng trn va v l trc hnh chiu mi cn dng; (Hnh 7.18b) Hnh 7.18aHnh 7.18b P1P2 xxA2sP2 P1A1 B2B2A2 B1 B1 A1 B2 A2 B2 A2 s d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 49Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.exV d 4 Cho hai mp(m, n) v mp (m, n). Hy tm qu tch nhng im cch u hai mp (m, n) v mp (m, n) trong hai trng hp sau y Giia) Cu a); Hnh 7.19a _V giao tuyn g mp mp; v m // m g l ng bng_Thay i mt phng hnh chiu ng sao cho giao tuyn g tr thnh ng thng chiu ng trong h thng mi: g2 mt im ; cc mp, mp c hnh chiu ng mi suy bin thnh cc ng thng (2) v (2) i qua im suy bin . _ [(2) , (2)] l gc ca hai mp vmp Tp hp nhng im cch u hai mp , mp l mp phn gic ca mp, mp (2) l phn gic ca [(2) , (2)] m // g1 ; v n i qua N2 ; (Hnh 7.19a) Hnh 7.19aHnh 7.19b s N1 M1n g2 xn P2 P1s(2)(2)(2) m g1 m n m n P2P1(1)(1)n n P2 P1sM2 N2 m m n n m n N2 g2 N1 N2 M1 M2 N1 x(1) b) Cub); Hnh 7.19b _V giao tuyn MN mp mp _ThayimtphnghnhchiulintiphailnMNtrthnhngthngchiubng trong h thng mi. Lc ny mp phn gic ca hai mt phng mp, mp c hnh chiu bng mi suy bin thnh ng thng (1) phn gic ca [(1) , (1)] _Tr v v tr ban u c : n // M2N2 v m , n ; (Hnh 7.19b) V d 5 Cho mp (m, n) v im A; (Hnh 7.20). Hy chn trc quay t chiu bng, ri quay quanh t a mp n v tr mi cha im A Gii_ quay mp quanh trc t P1n v tr mi mp A th ng bng h ca mp cng caoviimA,nvtrmih'iquaimA.Khiquayquanhtrctchiubngthh lun lun tip xc vi ng trn c bn knh R l khong cch gia h v t. Lc ny h1 tip xc vi ng trn tm t1 bn knh R=Kt1 v i qua A1 A2 h2 h2. iu ny xy ra khi ta chn trc t P1 tho mn: A1t1 t1K (vi K l chn ng vung gc k t t1 n h1). Vt bng m cng quay n v mi m // h1 _V vt dng H' ca ng thng h' n qua H'2 v i qua giao im O ca vt bng m vi trc x; (Hnh 7.20) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 50Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.ex_Bin lun: +Nu A1t1 t1K : Bi ton c 2 nghim +Nu A1t1 = t1K : Bi ton c 1 nghim Nu A1t1 < t1K : Bi ton v nghim

Hnh 7.20 Ch i vi bi ton quay quanh trc chiu t a mt phng n v tr mi cha ng thng d. Tahychntrcquaytiquagiaoimcangthngdvimtphng;sauchcn quay mt phng quanh trc t n v tr mi cha mt im tu trn d (tr v v d 5 quay mt phngn v tr mi cha im) V d 6 Cho on thng AB. Hy chn trc quay t l ng thng chiu, ri quay quanh t a AB n v tr mi tho mn: a)Thuc mt phng phn gic 1 (c hai hnh chiu i xng nhau qua trc x) b)Thuc mt phng phn gic 2 (c hai hnh chiu trng nhau) Gii a)V giao im M = AB mphpg 1, bng cch ly im K thuc mt phng phn gic 1 sao cho K1A1. Gi O= B1K1 x. V M2= OK2 A2B2 M1 A1B1. Vy M = AB mphpg 1 Hnh 7.21a Hnh 7.21b B1 A1 A2 B2 t1M1 A2 B2 A1 K1 B1 M2 K2 Oxt2 t1 I1I2 A2 B2 A2 A1B2 B1A1 B1 xO xt2nnm mh1h2 h2h1H1H2t1KKA2A1t2 _Chn trc quay t chiu bng qua M t1M1, t2 x _Quay quanh trc t a ng thng AB n v tr mi AB thuc mt phng phn gic 1; vd1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 51Ca. o.ao Wv7W WO oae e/ee J.e a-. /./ e/.exM AB nn ta ch cn quay thm im A n v tr mi A thuc mt phng phn gic 1 th(A1, A2 i xng nhau qua trc x); Hnh 7.21a b) Tng t nh trn, chn trc quay t chiu bng i qua giao im I ca ng thng AB vi mt phng phn gic 2; c I1I2 = A1B1 A2B2 Quay A1 quanh tm t1 n v tr mi A1 cng cao vi im A A2A1v B2 B1 cng cao vi im B; (Hnh 7.21b) V d 7 Cho mp (m, n) v ng thng d; (Hnh 7.22). Bng php quay quanh ng bng, hy xc nh gc nghing ca ng thng d hp vi mp Giai _Qua im A tu trn d, v ng thng k mp Gi = ( k, d) (d, mp) = 900- _V ng bng BC, vi Bk, Cd.Bng php quay im A quanh ng bng BC ta xc nh c = B1A1C1 (d, mp) = 900- (Hnh 7.22) N1 O1 N0 N1 N2 g1 g2 g1 B1 C1 D1 A1 A1 B1 D1 C1 D2C2 B2 A2 n Hnh 7.22Hnh 7.23 xC2 B2 n d2 k2 m k1 d1 900-A0 O1 A1 C1C1 B1B1 A1 A2 xm n V du 8 Cho mp (m, n) va hnh chiu bng A1B1; (Hnh 7.23). Bng phep gp mt phng quanh vt, hay ve cac hnh chiu cua hnh vung ABCD thuc mpGiai _Ve hnh chiu ng B2 cua im B, bng cach gn B g mp ; t B1 g1 B2 g2 _Ve A2B2 // x _Gp mp quanh vt bng m, ta ve c hnh gpB1 g'1 A1B1 // x va A1B1=AB _Ve hnh vung tht A1B1C1D1=ABCD _TA1C1 A1C1 A2C2; (Hnh 7.23) ====================== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 52Ca. o.ao Wv7W WO x-o e-o a eae +t /./ /-eBi 8NG CONG V MT A. NG CONG I.KHI NIM Ta c th ni rng ng cong l qi tch ca mt dim chuyn ng theo mt qui lut nht nh no to thnh. C cc loi ng cong sau: _ng cong phng : Nu ng cong thuc mt mt phng_ng cong ghnh : Nu ng cong khng thuc mt mt phng _ ngcongisbcn:Nungcongcbiudinbngmtphngtrnhis bc n _ng cong i s bc m x n : Nu ng cong c biu din bng hai phng trnh i s bc m v bc n Nhng ng cong phng bc hai thng gp l: ng trn, Elip, Parabol, Hyperbol Ta c th ni rng Elip, Parabol, Hyperbol ln lt l nhng ng cong bc hai khng c im v tn, c mt im v tn thuc trc i xng, c hai im v tn thuc hai ng tim cn II.HNH CHIU CA MT NG CONG Tnh cht 1 Hnh chiu xuyn tm hay song song ca tip tuyn ca ng cong ti mt im ni chung l tip tuyn ca hnh chiu ng cong ti hnh chiu im Gi s Mt l tip tuyn ca ng cong (C) ti im M Mt' l tip tuyn ca ng cong (C') ti im M l hnh chiu ca im M (Hnh 8.1) P C'OOs B DCAAB D s (C) (C') M tM t Hnh 8.1Hnh 8.2 Tnh cht 2 Hnh chiu ca ng cong i s bc n ni chung l ng cong i s bc n Tnh cht 3 Hnhchiuvunggccangcongghnhisbcnlnmtphngixngcanl ng cong phng i s bc n / 2 Ch _Hnh chiu song song ca Elip, Parabol, Hyperbol ln lt l Elip, Parabol, Hyperbol _Hnh chiu song song ca cp ng knh lin hip ca Elip l cp ng knh lin hip ca Elip hnh chiu ( Hnh 8.2). Nu hai ng knh lin hip vung gc vi nhau th gi l cp trc ca Elip _Elp c th c xc nh bng cp ng knh lin hip ca n _Ring i vi ng trn ta ch cc tnh cht sau:+Nu mt phng ca ng trn khng song song vi phng chiu th hnh chiu ca ng trn l Elip d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 53Ca. o.ao Wv7W WO x-o e-o a eae +t /./ /-e+Tm ca ng trn chiu thnh tm ca elip +Hai ng kinh vung gc ca ng trn chiu thnh hai ng knh lin hip ca Elip c bit Tronghnhchiuvunggc,trcdicaEliplhnhchiucangknhngtrnsong song vi mt phng hnh chiu, nn bng ng knh ca ng trn V dHyvcchnhchiucangtrntmO,bnknhRthucmtphngchiung(Hnh 8.3) Gii (2) B1 D2 D1 C1 C2 A1 A2 B2 O2 O1 m x _Hnh chiu ng ca ng trn suy binthnh on thng C2D2 = 2R v C2, D2 ( 2) _Hnh chiu bng ca ng trn l Elip c : +Tm O1

+Trc di A1B1 =AB = 2R vi AB mp P2 +Trc ngn C1D1 A1B1 ti O1 Hnh 8.3 B. MT HNH HC I.KHI NIM 1)a dina din l mt kn c to thnh bi mt s hu hn cc a gic phng khp kn _Cc a gic ny l cc mt ca a din _Cc cnh, cc nh ca a gic ny gi l cc cnh, cc nh ca a din Mt chp, mt lng tr l cc a din c bit 2)Mt cong Ta c th ni rng mt cong l qi tch ca mt ng chuyn ng theo mt qui lut nht nh no to thnh.ng chuyn ng gi l ng sinh, trong qu trnh chuyn ng to thnh mt ng sinh c th bin dng hoc khng bin dng; ng sinh c th l ng thng hoc ng cong. Nu ng sinh l ng thng th mt c to thnh gi l mt k (mt nn, mt tr,...) C cc loi mt cong sau: _Mt trn xoay: Nu mt c to thnh bi mt ng sinh quay xung quanh mt trc_Mt cong i s bc n : Nu mt c biu din bng mt phng trnh i s bc n _Cc mt cong bc hai thng gp l: Mt nn, mt tr, mt cu, mt Elipxit, mt Paraboloic, mt Hyperbolic... II.BIU DIN MT - IM THUC MT _Biu din mt mt l biu din mt s thnh phn ca mt xc nh mt . Tuy nhin, d hnh dung ngi ta thng biu din mt cong bng cc ng bao hnh chiu_Biudinmtimthucmtlbiudinimthucmtngcamtsaochotrn hnh chiu ng ny l ng thng hoc ng trn Sau y s biu din mt s mt thng dng d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 54Ca. o.ao Wv7W WO x-o e-o a eae +t /./ /-e1) a din Biu din a din bng cch biu din tt c cc cnh ca a din (Hnh 8.4) biu din t din ABCD. Cch v thy khut ca cp cnh hnh chiu bng A1B1, C1D1v cp cnh hnh chiu ng A2C2, B2D2 nh bit. Thy khut _ng i qua mt im khut trn hnh chiu no thi ng khut trn hnh chiu _Mt phng cha mt ng thng khut trn hnh chiu no thi mt phng khut trn hnh chiu Cho hnh chiu ng M2; hy v hnh chiu bng M1 , bit M thuc t din ABCD(Hnh 8.4) Vi v tr M2 cho th c hai im M v M, m M2 M2 vi: +M mp (BCD) M CI . T M2 C2I2 M1 C1I1 . V C1I1 thy nn M1 thy +M mp (ACD) M CJ . T M2 C2J2 M1 C1J1. V C1J1 khut nn M1 khut A1 B1 C1 D1 A2 D2 B2 C2 J1 I1 J2 I2 M2 M1 M1 xa2 I1 I2 J2 M2M2 J1 M1 M1 S1 (C1(C2xb2 m1 Sd(C)H(2(1n1 S2 Hnh 8.4Hnh 8.5Hnh 8.6 2)Mt nn bc hai Mtnnbchailmtctothnhbimtngthngdchuynnglunluniqua mt im S c nh gi l nh nn v ta vo mt ng cong bc hai (C) gi l ng chun ca nn (Hnh 8.5). Mt nn bc hai gm c hai phn i xng nhau qua nh nn. (Hnh 8.6) biu din mt phn ca mt nn bc hai c gii hn t nh S n ng chun bc hai (C) thuc mt phng chiu ng c hnh chiu bng l ng trn. _ a2, b2 l hai ng sinh bao hnh chiu ng ca nn(a1, b1 khng v y) _m1, n1 l hai ng sinh bao hnh chiu bng ca nn (m2, n2 khng v y) Thy khut +Nhngimthucmtnnththucngsinhcann:Nuchnngsinhnythuc cung thy ca ng chun (C) trn hnh chiu no th im c thy trn hnh chiu +Nhng im thuc na trc ca nn k t hai ng sinh m hnh chiu ng l hai ng sinh bin th c thy hnh chiu ng+ Nhng im thuc na trn ca nn k t hai ng sinh m hnh chiu bng l hai ng sinh bin th c thy hnh chiu bng Cho hnh chiu ng M2; hy v hnh chiu bng M1 , bit M thuc mt nn nh S(hnh 8.6) Vi v tr M2 cho th c hai im M v M, m M2 M2: d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 55Ca. o.ao Wv7W WO x-o e-o a eae +t /./ /-e+Gn M SI nn. T M2 C2I2 M1 S1I1 . V S1I1 thy nn M1 thy +Gn M SJ nn. T M2 S2J2 M1 S1J1. V S1J1 khut nn M1 khut Ch 1) v hnh chiu bng M1, M1 ca im M, ta c th gn M vo ng Elip () thuc mt nn;Elip()nyctmnmtrntrccannvthucmtphngchiungsongsong mp (C). V vy (1) l ng trn v t M2 (1) M1 , M1 (1) (Hnh 8.6) 2)Mt nn trn xoay l mt c to thnh bi mt ng thng quay xung quanh mt trc ti mtimcnhthuctrcquay.Mtphngvunggcvitrctrnxoaynyscho giao tuyn l ng trn. 3)Mt tr bc hai Mt tr bc hai l trng hp c bit ca mt nn bc hai khi nh nn S xa v tn (Hnh 8.7) biu din mt tr bc hai c ng chun (C) l elip thuc mt phng chiu ng c hnh chiu bng l ng trn. _ a2, b2 l hai ng sinh bao hnh chiu ng ca tr, hnh chiu bng khng v y _m1, n1 l hai ng sinh bao hnh chiu bng ca tr, hnh chiu ng khng v y Thy khut Xt thy khut ca tr tng t nh xt thy khut ca nn. Cho hnh chiu ng M2; hy v hnh chiu bng M1, bit M thuc mt tr (Hnh 8.7) Vi v tr M2 cho th c hai im M v M, m M2 M2: +Gn Md tr. T M2 d2M1 d1 . V d1 thy nn M1 thy +Gn Mktr.T M2 k2 M1 k1.V k1 thy nn M1 thy(Hnh 8.7) k1 d1 d2k2 m1 n1 b2 a2 (C2)M1 M1 J1 I1 (C1) M2M2 I2 J2 xO1 O2 x(2) (1) M2M2 M1 M1 (a2) (a1) (b1)(b2)Hnh 8.7Hnh 8.8 4)Mt cu -Mt cu l mt bc hai trn xoay c to thnh bi mt ng trn quay xung quanh mt ng knh ca n -Mt cu l qu tch ca nhng im trong khng gian cch u mt im c nh gi l tm (Hnh 8.8) biu din mt cu bc hai tm O, bn knh R Cc hnh chiuca mt cu l cc ng trn bng nhau c bn knh R ca cu _a2 l ng trn bao hnh chiu ng ca cu ; (a) mp // P2 _b1 l ng trn bao hnh chiu bng ca cu ; (b) mp // P1 d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 56Ca. o.ao Wv7W WO x-o e-o a eae +t /./ /-e Thy khut +Nhng im thuc na trn ca mt cu k t ng trn (b) c thy hnh chiu bng +Nhng im thuc na trc ca mt cu k t ng trn (a) c thy hnh chiu ng Cho hnh chiu ng M2; hy v hnh chiu bng M1, bit M thuc mt cu (O,R) (hnh 8.8) Vi v tr M2 cho th c hai im M v M, m M2 M2 : Gn M M () cu. T M2, M2 (2) M1; M1 (1). V M2 nm na trn ca cu nn M1; M1 thy hnh chiu bng 5)Mt xuyn Mt xuyn l mt bc bn trn xoay c to thnhbi mt ng trn (C) quuay xung quanh mt trc t thuc mt phng ca ng trn nhng khng i qua tm O (Hnh 8.9) Phn loi mt xuyn _Mtxuynh:Nutrctkhngctng trn sinh (C) _Mtxuynkn:Nutrctctngtrn sinh (C) Hnh 8.9 ot+(C)M2 (C1) M2 M2 M2 d1 d1 (C2) (a2)(a1) (b1) M1 M1 M1 M1 t2 t1 (2) (2) (11) (d2) (d2)(b2)-Tathngbiudinmtxuynvtr cbitctrctvunggcvimt phng hnh chiu. -(Hnh8.10)biudinthccamt xuyn c trc t P 2 -(a2),(b2)lhnhchiungcacc ngtrnvtuyntoradoccim thuc ng trn sinh (C) xa v gn trc t nht -(a),(b)thucmtmtphngvunggc trc t v ng thi cng l mt phng i xng ca xuyn -(C1)lhnhchiubngcangtrn sinh (C) thuc mt phng i xng cha trc t . -d1, d1 l hnh chiu bng ca hai ng trn trung bnh ca xuyn(ngtrntrungbnhcaxuynl ngtrntoradohaiimnmtrn ng trn sinh (C) c khong cch n trctbngkhongcchcatmO ng trn (C)n trc t-to thnh. Hnh 8.10 Thy khut _Nhng im thucna trn ca xuyn k t ng trn sinh (C)v ng trn trung bnh (d) s thy hnh chiu bng . _Nhngimthucnatrccaxuynkthaingtrn(a),(b)sthyhnhchiu ngCh _Mt phng vung gc vi trc t s ct xuyn cho giao tuyn l hai ng trn v tuyn _Mt phng cha trc t s ct xuyn cho giao tuyn l hai ng trn bng ng trn sinh d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 57Ca. o.ao Wv7W WO x-o e-o a eae +t /./ /-e ChohnhchiubngM1;hyvhnhchiungcaimM,bitMthucmtxuyn(Hnh 8.10) Vi v tr M1 cho th c bn im M, M, M, M m M1 M1 M1 M1 : Gn M, M () v M, M () xuyn. T [M1 M1 M1 M1 ] [(1) (1)] M2, M2 (2) v M2, M2 (2). V M1 nm na trc ca xuyn M2, M2, M2, M2 thy hnh chiu ng . III. MT VI V D GIi SN V d 1ChoonthngAB.HybiudinqutchnhngimtrongkhnggiannhnonABdi gc vung. Gii_Qu tch nhng im trong khng gian nhn on AB di gc vung l mt cu ng knh AB, c tm O l trung im ca on AB _Bng phng php tam gic ta xc nh di tht ca on thng AB l on A1B0 V mt cu tm O l trung im ca on AB, bn knh bng A1B0 / 2; (Hnh 8.11)

hxS1 n O0 B0 B1 A1 B2 A2 O1 O2 O2A2B2A2 B2S2K2 O2 O1 N1 K1 K2mxA1B1 M1(1) m Hnh 8.11 Hnh 8.12 V d 2Chomp chiu bng v im O thuc mp .Hybiu din mtnntrnxoay nh S, y l ng trn tm O, bn knh R thuc mp , chiu cao SO = h cho trc h Gii_Hnh chiu bng ca y nn suy bin thnh on thng M1N1 = 2R thuc ng thng (1) _Gp mp quanh vt ng, ta v c ng trn tht tm O2 bn knh R ca y nn _V chiu cao ca nn bng h , nn ta v O1S1 = h v vung gc ng thng (1) S2 vi O2S2 // x_V hai ng sinh bao hnh chiu bng ca nn l: S1N1 , S1M1 _Hai ng sinh bao hnh chiu ng ca nn s i qua S2 v tip xc vi Elip hnh chiu ng ca y nn. V Elip ny khng v chnh xc bng tay nn ta c cch gii nh sau:+ Vic v hai ng sinh bao ny tng ng vi v hai ng thng i qua im K mp vi K2 S2 v tip xc vi y nn d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 58Ca. o.ao Wv7W WO x-o e-o a eae +t /./ /-e+ T hnh gp ta xc nh K'2 ri v K2A'2 v K2B2 tip xc vi ng trn gp (O2, R). + Tr v hnh chiu ng ta c K2A2 v K2B2- l hai ng sinh bao cn v ; (Hnh 8.12) V d 3Cho mp chiu bng, hnh chu bng d1 v ng thng Ot vi O mp . Hy v hnh chiu ngd2cangsinhdcamttrnhnOtlmtrcvngchuncatrlngtrn tm O, bn knh R thuc mp . Gii_Hnh chiu bng ca y tr l on thng M1N1 = 2R thuc ng thng (1) _Gp mp quanh vt ng, ta v c ng trn tht tm O2 bn knh R ca y tr _V d l ng snh ca mt tr nn d ta trn y ti hai im I, J. hnh gp I2, J2 thuc ng trn gp _T hnh chiu bng v hnh gp ca I, J I2, J2 _Haingthngd2,d2quaI2, J2vsongsongO2t2lhnhchiungcahaingsinh cn dng ; (Hnh 8.13) x m n I2(1) mO2 J2I2t1 d2d2 t2 M1 O2 J2d1 I1J1 N1 O1 Hnh 8.13 ======================== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 59Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o t.ee :xe -. +t e-o Bi 9 MT PHNG TIP XCVI MT CONG I. KHI NIM_Tip tuyn ti mt im ca mt ng cong thuc mt cong cng l tip tuyn ca mt cong ti im _Nu ti mtim ca mt cong c v s tip tuyn thuc mt mt phng th mt phng ny gi l mt phng tip xc vi mt cong ti im -mp(Mt,Mk) ; (Hnh 9.1) Trong bi ny ta s trnh by cc loi bi ton tip xc sau: 1.Mt phng tip xc vi mt mt ti mt im cho trc thuc mt 2.Mt phng tip xc vi mt mt i qua mt im cho trc khng thuc mt 3.Mt phng tip xc vi mt mt song song vi mt ng thng cho trc II. MT PHNG TIP XC VI MT K Mt phng tip xc vi mt k s ti mt im thuc mt s cha cc ng sinh l ng thng ca mt k i qua im 1) Mt phng tip xc vi mt nn V d 1 Cho mt nnnh S v hnh chiu ng M2 ca im M thuc nn (Hnh 9.2). Qua im M hy dng mt phng tip xc vi mt nn Gii Vi v tr M2 cho th c hai im M v M, m M2 M2: +Gn M SA nn. T M2 C2A2 M1 S1A1

+Gn M SA nn. T M2 S2A2 M1 S1A1 MtphngtipxcvinntiimMthucnnphichangsinhSMvchamttip tuyn vi nn ti mt im tu trn ng sinh SM ; gi A l chn ng sinh SM trn ng chun (C) ; v At tip xc vi (C) Vy mp (SM, At) tip xc vi nn theo ng sinh SM Tng t, ta cng dng c mp (SM,At) tip xc vi nn theo ng sinh SM Mt phng ng chun (C) Hnh 9.1 Hnh 9.2 M2 M2tM1M1 A2A2t2t2M(Cx()ktMt ASA1A1 t1S1 S2 V d 2 Cho mt nnnh S v im M khng thuc nn (Hnh 9.3). Qua im M hy dng mt phng tip xc vi mt nn Gii Cc mt phng tip xc cn dng cha SM v s tip xc vi nn theo cc ng sinh SA,SB. Cc mt phng tip xc ny s ct mt phng ng chun (C) theo cc tip tuyn t v t vi ng chun (C). V vy ta c cch v nh sau: _VI = SM mp(C) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 60Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o t.ee :xe -. +t e-oV IA, IB tip xc vi (C) mp(SIA) v mp(SIB) l hai mt phng tip xc cn dng Mt phng ng chun (C) Hnh 9.3 2) Mt phng tip xc vi mt tr V d Chomttrngchun(C)nmtrongmtphngchiungvngthngd(Hnh9.4). Hy dng mt phng tip xc vi mt tr song song vi ng thng d Gii Mt phng tip xc cn dng song song vi ng thng d v tip xc vi tr theo mt ng sinh. Nh vy phng ca mt phng tip xc c xc nh; v vy ta c cch v nh sau: Mt phng ng chun (C) Hnh 9.4 SIABM2 S2 S1 I2 I1 M1 A2 A1 B1 x(C2) (C1) (C)Mt2t2 B2 tt1 t1 tt2t2 d d2 d1 a bttA B JI (c) I2 I1 J1 J2 MM2 a2 b2 a1 b1 M1 A1 B1 t1 t1 A2 B2 k1 k2 l1 l2 kl(c1)(c2)x Qua im M tu , v mp (a, b) vi a // d v b // ng sinh tr _VI = a mp(C) vJ = b mp(C) mp(a, b) mp(C)= IJ _V cc tip tuyn t, t tip xc vi (C) ln lt ti A, B v song song IJ _T cc tip im A, B v cc ng sinh k, lVy cc mt phng tip xc cn dng l: mp(t, k) v mp(t, l); (Hnh 9.5) III. MT PHNG TIP XC VI MT CU Mt phng tip xc vi mt cu ti mt im thuc cu th vung gc vi bn knh ca mt cu i qua im d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 61Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o t.ee :xe -. +t e-oV dChomtcu(O,R)vhnhchiungM2caimMthuccu;(Hnh9.6).Hydngmt phng tip xc vi mt cu ti M Gii -TvtrM2caimMcho,tagnMthuc ng trn v tuyn () thuc cu s xc nh c hnhchiubngcaimMlhaiimM1,M1 (1) -V mp (h, f) OM ti im M. vy mp (h, f) l mt phng tip xc vi mt cu ti im M -Tng t, ta v c mt phng tip xc vi mt cu ti im M Bi ton c hai nghim Hnh 9.6 xO2 f2 h2 h1 f1 M2 M1 M1 (2) (1)O1 IV.MT VI V D NG DNG GII SN V d 1 Cho ng thng d (d1, d2); (Hnh 9.7). Qua ng thng d hy v mt phng hp vi mt phng hnh chiu bng mt gc Gii Mt phng cn dng tip xc vi mt nn trn xoay c : +nh S d +Trc vung gc P 1 +Cc ng sinh hp vi P 1 gc _Ly im S d tu , v mt nn trn xoay ng S, v ccngsnhnnhpviP 1gcnnhaing sinh bin hnh chiu ng ca nn hp vi trc x gc . Hnh chiu bng (C1) ca ng chun (C); l ng trn _V I = d mp(C); _V IA, IB tip xc vi (C); (Hnh 9.7)_Vy cc mt phng cn dng l: mp(SIA) v mp(SIB).Hnh 9.7 (C1) xB2 A2 B1 (C2) A1 I2 I1 d1 d2 S2 S1 Bin lun:Gi l gc ca ng thng d vi mp P 1+Nu > :Bi ton c hai nghimS2 (2) t1 O1 (T 1) T1 Hnh 9.8T1 (T 1) O2 xt2 T2 T2 S1 +Nu = :Bi ton c mt nghim +Nu < :Bi ton v nghim V d 2 Chohaingsinhbaohnhchiungcanntrn xoaynhS,trctlngmt;(Hnh9.8).Hyvhai ng sinh bao hnh chiu bng ca nn. Gii Haingsinhbaohnhchiubngcannlhai ngthngsuybincahaimtphngchiubngtip xc vi nn. Hai mt phng tip xc ny cng tip xc vi mt cu ni tip nn. d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 62Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o t.ee :xe -. +t e-o-Vy ta v mt mt cu tm O t, tip xc mt nn theo mt ng trn () thuc mt phng vung gc trc t. V t // P2 nn (2) suy bin thnh on thng; [(1) khng v y] -Qua nh nn S, v hai mpT v mpT chiu bng tip xc cu ta nhn c hnh chiu bng l hai ng thng (T 1), (T 1) i qua S1 tip xc ng trn bao hnh chiu bng ca cu. Vy (T 1) v (T 1) l hai ng sinh bao hnh chiu bng ca nn. Nhn xt Hai tip im T1, T1 thuc ng sinh bao hnh chiu bng ca nn cng thuc ng trn bao hnhchiubngcacu.Dochngchnhlhnhchiubngcaccgiaoimcang trn ln nht nm ngang ca cu vi ng trn tip xc () do cu tip xc nn. V d 3 Chomtphng(n,m)vmttrcngchun(C1)thucmtphngchiung (Hnh 9.9). Hy v im cao nht, thp nht (i vi P 1) ca giao tuyn ca mp vi mt tr Gii -GiM,Nlnltlccimcaonht,thpnhtcntm.TiM,Ntiptuyncagiao tuyn phi l nhng ng bng ca mt phng ng thi chng thuc cc mt phng tip xc vi tr (Hnh 9.9a) - c cc tip tuyn ta phi v cc mt phng tip xc tr song song vi phng ng bng ca mt phng - l mp (k,t) v mp (l,t) // mp (KIJ) -Cc mt phng tip xc ny s tip xc vi tr theo cc ng sinh tip xc k v l. Cc giao im M, N ca hai ng sinh tip xc ny vi mp l cc im cao, thp nht cn tm M = k mp v N = l mp ; (Hnh 9.9b) Hnh 9.9b g'1 l1 g2 (2) k2k1 N1 (C1)(C2)M2 M1 N2 K2 K1 I1 I2 J2 J1 t1 t2t2 g1 T2 T2 T1 t1 T1 P 2 NMm (C)P 1 n mg'2 (2) l2 xHnh 9.9b n Tng t, trong v d ny ta c th tm cc im gn nht, xa nht (so vi P 2) ca giao tuyn, bng cch v mt phng tip xc tr song song vi phng ng mt ca mt phng . Giao im ca hai ng sinh tip xc vi mp cho cc im gn nht, xa nht cn tm Ch Tm cc im cao nht, thp nht, gn nht, xa nht ca giao tuyn ca mt phng vi mt nn cch gii ging nh trng hp trn d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 63Ca. o.ao Wv7W WO %+t e/+o t.ee :xe -. +t e-oV d 4 Cho im 0 v vt bng m ca mt phng (Hnh 9.10). Hy v vt ng n ca mp ; bit mp cch im 0 mt khong R P 1 sP 2 N1N2nm n O2O1 O2 N2 x Hnh 9.10 Gii _Mtphngcchim0mtkhongRnnmtphngtipxcvimtcutm0bn knh R _V mt cu tm O, bn knh R _Thay i mt phng hnh chiu ng mp tr thnh mt phng chiu ng trong h thng mi; chn trc s m Hnh chiu ng mi ca mp suy bin thnh ng thng (2) i qua giao im ca m vi trc s v tip xc vi ng trn bao hnh chiu ng mi ca mt cu _T (2), tr v hnh chiu ng ta c n (ch cao c bng cao mi); (Hnh 9.10) _Bi ton c hai nghim ( y ch v mt nghim) ============== d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 64Ca. o.ao Wv7W WO d.a- txe exa +t e/+o -. -t +t Bi 10GIAO TUYN CA MT PHNGVI MT MT I. KHI NIM_Giao tuyn ca mt phng vi mt mt l tp hp cc im chung ca mt phng vi mt _Giao tuyn ca mt phng vi mt a din thng l mt hoc nhiu a gic phng trong : +Cc cnh ca a gic ny l giao tuyn ca cc mt ca a din vi mt phng ct +Cc nh ca a gic ny l giao im ca cc cnh ca a din vi mt phng ct _Giao tuyn ca mt phng vi mt mt cong bc n thng l ng cong phng bc n 1) i vi mt nn bc hai ng chun l Elipse hoc ng trnGiao tuyn c th l: _Elipse (hoc ng Trn)Nu mt phng ct tt c cc ng sinh ca mt nn _ParabolNu mt phng song song vi mt ng sinh ca mt nn _HyperbolNu mt phng song song vi hai ng sinh ca mt nn(hai ng sinh ny l hai hng ca hai ng tim cn ca Hyperbol giao tuyn) Ch Nu mt phng i qua nh nn - giao tuyn c th l:_Mt im nh nn. Nu mt phng khng ct ng chun ca nn _Mt ng sinh ca nn. Nu mt phng ct ng chun ca nn ti 1 im (tip xc) _Hai ng sinh ca nn: Nu mt phng ct ng chun ca nn ti 2 im Nhn dng giao tuyn Tchtrntacthonnhndnggiaotuyncamtphngvinnbchaicng chun l Elipse hoc ng trn ta lm nh sau: Qua nh nn, v mt phng song song mt phng cho. Nu mt phng va v khng ct, ct mtim,cthaiimvingchuncannthgiaotuynlnltl:Elipse,Parabol, Hyperbol 2)i vi mt tr bc hai ng chun l Elipse hoc ng trnGiao tuyn c th l: _Elipse (ng Trn)Nu mt phng ct tt c cc ng sinh ca mt tr _Mt ng sinh (kp)Nu mt phng tip xc mt tr _Hai ng sinhNu mt phng song song ng sinh mt tr Ch Khi v giao tuyn ta cn ch n cc c trng sau: +Trc i xng ca giao tuyn+Cc im ranh gii gia phn thy, phn khut ca giao trn tng hnh chiu+Cc im cao nht, thp nht (so vi P1) cc im gn nht, xa nht (so vi P2) + v giao tuyn c chnh xc, i khi ta cn phi v thm mt vi im trung gian na. II. Trng hp bit mt hnh chiu ca giao tuyn1) Numtchollngtrchiuhoctrchiu(tccnhlngtrhocngsinhtr vung gc vi mt phng hnh chiu) cn mt phng bt k, th: d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 65Ca. o.ao Wv7W WO d.a- txe exa +t e/+o -. -t +t_Ta bit c mt hnh chiu ca giao tuyn trng vi hnh chiu suy bin ca lng tr hoc tr chiu _vhnhchiucnlicagiaotuyntapdngbitonim,ngthngthucmt phng. V d 1 Hy v giao tuyn ca mt phng vi lng tr (abc) chiu bng (Hnh 10.1) Gii -Gi A= a mp(); B= b mp(); C= c mp() mp lng tr (abc) = Tam gic ABC Va, b, c P1

A1 a1 , B1 b1 , C1 c1

-Ap dng bi ton c bn: im,ng thng thuc mt phng ; xc nh c hnh chiu ng A2, B2, C2 -Mt phng (a, c) khut trn hnh chiu ng nn A2, C2 khut ; (Hnh 10.1) C2 N2 b2 c2 n N1 I1 M2 m M1 A1 a1A2 C1 c1 B1 b1B2 Hnh 10.1 I2 a2 0Hnh 10.2N2mt1t2(1)(C2) (C1) (e1)T1T1B1A1M1xo1M2f1f2N1h2h1C1D1D2o2(e2) C2B2A2T2T2n V d 2 Hyvgiaotuyncamtphngvimt tr trn xoay chiu bng (Hnh 10.2) Gii_Ddngthyrngmtphngcttrcho giao tuyn l Elip: (e) = mp tr _Hnhchiubng(e1)trngvihnhchiu bng ca tr - ng trn (C1)Ta bit rng trc di AB ca Elip (e) thuc ng thng MN giao ca mt phng vi mt phng i xng chung ca tr v mp , trc ngn CD bng ng knh ca mt tr _VtrctP1nn()lmtphngchiu bngchnhchiubngsuybinthnh ngthng(1)iquat1;hnnamp() mp nn (1) i qua t1 v vung gc m. DoABchnhlngdcnhtca mp i vi i vi mpP1 v CD l ng bng ca mp VyA1B1 C1D1 ti O1 t1_Hnh chiu ng (e2) l elip nhn A2B2,C2D2 lm cp ng knh lin hip_VA,Blccimthuctrcixngngthithucgiaotuynnnchnglccim cao nht, thp nht ca giao tuyn (e) _T2, T2 l cc tip im ca elip (e2) vi hai ng sinh bao hnh chiu ng ca tr; n cng l cc imranhgii gia phn thy v phn khut ca elip (e2) - cch v chng bng cch gn vo ng mt f ; (Hnh 10.2) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 66Ca. o.ao Wv7W WO d.a- txe exa +t e/+o -. -t +t2)Nu mt phng cho l mt phng chiu cn mt bt k, th: _Ta bit c mt hnh chiu ca giao tuyn thuc hnh chiu suy binca mt phng chiu _ v hnh chiu cn li ca giao tuyn ta p dng bi ton im thuc mt V d 1 Hy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt chp (S.ABC) ; (Hnh 10.3) Gii Gi tam gic DEF = mp (S.ABC).V mp P2nn D2E2F2 (2) D1E1F1. Mt phng (SBC) khut hnh chiu bng nn on E1F1 khut ;(Hnh 10.2) A2B2D1C1C2 D2 O2 A1B1S1(C1)(C2) (2)S2O1(e2) (e1)m (1) B2S2F2 (2)D2E2A2C2D1E1F1S1A1B1C1 Hnh 10.3Hnh 10.4 V d 2 Hy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt nn trn xoay trc t P1(Hnh 10.4) Gii _Mt phng ct ton b ng sinh ca nn nn mp nn = Elip (e) _V mp P2nn hnh chiu ng (e2) ca giao tuyn suy bin thnh on thng A2B2 (2). V li mp , i xng chung ca tr trn xoay v mp, song song P2 nn AB mp v l trc di ca elip giao tuyn ; trc ngn CD P2 C2 D2 O2 [vi O l tm ca elip (e)] _Hnh chiu bng ca giao tuyn l elip (e1) nhn A1B1 lm trc di; C1D1 lm trc ngn(v AB CD v CD // P1 ). C1, D1 c v bng cch gn vo ng trn v tuyn nm ngang thuc nn Ch Ngi ta chng minh c rng mt phng ct nn trn xoay cho giao tuyn l elip chiu ln mtphngvunggcvitrccanntrnxoaylelipnhnhnhchiucanhnnlm mt tiu im V d 3 _Hy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt cu tm O bn knh R (Hnh 10.5) d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 67Ca. o.ao Wv7W WO d.a- txe exa +t e/+o -. -t +tA2 Gii (2)_Mt phng cu = ng trn () c tm I l chn ng vung gc v t O n mp C2 D2 I2 _V mp P2 nn hnh chiu ng (2) ca giao tuyn suy bin thnh on thng A2B2 (2) _Hnh chiu bng ca giao tuyn l elip c : +TrcdiC1D1=A2B2=AB[ABlngknhca ngtrn()],cthvC1,D1 bngcchgnC, D vo ng trn v tuyn nm ngang; (Hnh 10.5) +Trc ngn A1B1 _T1, T1 l cc tip im ca elip (1) vi ng trn bao hnh chiu bng ca cu; n cng l cc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (1) Hnh 10.5 III. Trng hp tng qut Gi s cn tm giao tuyn ca mp v mt (), ta tin hnh nh sau: a) Dng mt phng ph tr ct c mp v mt () [mp thng l mt phng chiu] sao cho giao tuyn l ng d v trn hnh chiub) V cc giao tuyn ph: c)V cc giao im : A, B = m n Cc im A, B thuc giao tuyn ca mp v mt () cn tm,Tng t, tm thm mt s im thuc giao tuyn na v cui cng ni giao li. Ch _u tin ta phi on dng ca giao tuyn, sau v cc im thuc giao tuyn _Ngoirangitacndngccphngphpbinihnhchiuhocphihpvicc phng php bit v giao tuyn ca mt phng vi mt mt . V d1 Hy v giao tuyn ca mt phng (m, n)vi mt tr trn xoay c trc t P1 ; (Hnh 10.6) Gii1.on dng giao tuyn-Qua nh nn S, v mp // mp, bng cch v ng mt f // f ; ri v vt bng F = f P1 m qua F1 v song song m -D thy rng m khng ct ng chun (C) ca nn nn mp ct nn cho giao tuyn l Elip (e) 2. v cc im ca giao, ta dng cc mt phng ph tr l cc mt phng chiu bng cha trc t ca nn ( ct nn theo cc ng sinh) v cc mt phng bng ( ct nn theo cc ng trn c hnh chiu bng cng l ng trn), c th nh sau: B2O2D1T1(1)(2)I1C1A1B1T1O1T2 T2 = mp mp = ) ( mp nmd1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 68Ca. o.a t +t o Wv7W WO d.a- txe exa +t e/+o -. -d1o."/5 7oxe - 7/-a 5x e/a 7 t/xt- WC7 69 Hnh 10.6 (1)(e2) f1f2xC2 D2 T2 T2 O2 A2 f2h2 (2)N2 S2 (C1) f1 (1)N1 F2 n m A1 B1 S1 O1 D1 C1 T1 T1 M1 h1(C2)M2 B2 (e1) m F1 + mp chiu bng i xng chung ca nn v mp cho hai im A,B l hai u mt ca trc di Elip giao tuyn - A l im cao nht; B l im thp nht; (Hnh 10.6) + mp // P1 i qua trung im O ca AB, cho hai im C, D l hai u mt ca trc ngn Elip giao tuyn + mp // P2 i qua trc t ca nn, cho hai im T, T thuc giao, c hnh chiu ng T2, T2 l cc tip im ca ca elip (e2) vi hai ng sinh bao hnh chiu ng ca nn, n cng l cc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (e2) _Hnh chiu bng ca giao tuyn l elip (e1) nhn A1B1v C1D1 lm cp trc; trong A1B1 l trc di _Hnh chiu ng ca giao tuyn l elip (e2) nhn A2B2 v C2D2 lm cp ng knh lin hip Ch Cthsdngphpthayimtphnghnhchiunga mptrthnhmtphng chiu ng trong h thng mi th vic gii bi ton ny c d dng hn V d 2 Hy v giao tuyn ca mt phng (m, n)vi mt cu tm O, bn knh R ; (Hnh 10.7) GiiMt phng cu = ng trn () _vccimcagiao,tadngccmtphngphtrlccmtphngbng,ccmt phngmt(ctcutheongtrnchnhchiubng,hnhchiungcnglng trn);c th nh sau: _Dng mp chiu bng i xng chung ca cu v mp, v cc giao tuyn ph: mp mp = MNmp cu = ng trn(v) bng ng trn ln ca cuCa. o.ao Wv7W WO d.a- txe exa +t e/+o -. -t +t_ v cc giao im A,B = MN (v); ta quay mp cha MN v (v) quanh trc chiu bng t i qua tm O cu, n v tr mi //P2 . Lc ny hnh chiu ng mi (v2) trng vi ng trn bao hnh chiu ng ca cu, MN c v tr mi MN . V A,B= MN (v) _TrvvtrbanubngcchquayngctrlitacA,Bthucgiao;trong:Al im cao nht; B l im thp nht; (Hnh 10.6). (v2)(v1)(v1) t1 t2 mn f2k1 f1 (1)xh2 (2) k2 (2) h1 E2 C2 B2 A2 A2 D2 F2 T 2 I2 B2 T2 (2)(1)E1 T 1 T1 N2 N2 N1 N1 D1 F1 C1 B1 M2 M1 (1)A1 O1 I1 O2 Hnh 10.6 +Gi CD l ng knh ca ng trn (), vung gc vi AB ti trung im I. mp // P1 i qua I, cho hai im C, D thuc giao, c hnh chiu bng C1D1 l trc di ca elip (1)+mp // P1 i qua tm cu O, cho hai im E, F thuc giao, c hnh chiu bng E1, F1 l cc tip im ca ca elip (1) vi ng trn bao hnh chiu bng ca cu, n cng l cc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (1) +mp // P2 i qua tm cu O, cho hai im T, T thuc giao, c hnh chiu ng T2, T 2 l cc tip im ca ca elip (2) vi ng trn b