Bag 7 Koordinat Kutub
-
Upload
rany-euracia-cieedira -
Category
Documents
-
view
129 -
download
1
description
Transcript of Bag 7 Koordinat Kutub
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
1/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 119
Bagian 7
Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda
pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yangberhubungan dengan koordinat kutub, yaitu sistem koordinat yang terdiri dari nilai x
dan nilai sudut. Pengetahuan teknik integrasi dan teknik differensial yang telahAnda pelajari pada bagian sebelumnya, sangat bermanfaat untuk digunakan pada
bagian tujuh ini. Untuk itu kuasai teknik integrasi dan differensial agar Anda tidakmempunyai masalah dalam penyelesaian soal koordinat kutub.
Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 7 Koordinat
Kutub adalah Anda akan mampu:
1. Membuat gambar grafik yang berasal dari persamaan kutub.2. Menentukan koordinat kartesius yang berasal dari koordinat kutub, dan
sebaliknya.3. Menentukan persamaan ellips untuk koordinat kutub.
4. Menentukan titik potong untuk dua grafik koordinat kutub.
5. Menghitung garis singgung dan menghitung luas grafik koordinat kutub.
7.1 Sistem Koordinat Kutub
Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telahmemperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan
system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk
menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulisdengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari duasumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 7.1). Sistem koordinat ini adalah dasar
dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensialdan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini.
Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satu-satumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain
adalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub.
KoordinatCartesius
Gambar 7.1Koordinat Kutub
Gambar 7.2
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
2/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 120
7.1.1 Koordinat Kutub
Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan
sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titikasal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan
oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuahsystem koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan
antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yangmemancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan 0 adalah salah satu sudut
antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, 0) dinamakan sepasang koordinat kutubdari titik P (Gambar 7.2).
Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita
menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaran-
lingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapatmelihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.
Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat
Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa
sudut-sudut 0 + 2nn, n = 0, 1, 2,...memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik
dengan koordinat kutub (4, n/2) juga memiliki koordinat (4, 5n/2), (4, 9n/2), (-4,
3n/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai
yang negatif. Dalam hal ini (r, 0) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan
sinar yang dibentuk oleh 0 dan yang terletak|r|satuan dari titik asal. Dengan
demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, n/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4,
sedangkan (-4, 3n/2) adalah koordinat lain untuk (4, n/2). Titik asal mempunyaikoordinat (0, 0), di mana 0 sudut sembarang.
7.1.2. Persamaan KutubContoh persamaan kutub adalah:
0 0 - , 2r = 8 sin 0 dan r =
1-cos#
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
3/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 121
Seperti halnya dengan system koordinat siku-siku, kita juga dapat menggambarkangrafik sebuah persamaan kutub. Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik
yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhipersamaan yang bersangkutan. Salah satu cara untuk menggambar grafik itu adalah
dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat, kemudian menggambar titik dengankoordinat-koordinat yang bersangkutan dan akhirnya menghubungkan titik itu
dengan sebuah kurva yang mulus.
Contoh 7.1. : Gambar grafik persamaan kutub r = 8 sin 0
Penyelesaian :
Kita ganti kelipatan n/6 untuk 0 dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila
0 naik dari 0 hingga 2n, grafik dilintasi dua kali (Gambar 4.5).
Contoh 7.22
Gambarlah grafik dari r =1-cos#
Penyelesaian :
Lihat Gambar 4.6. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan systemkoordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3n/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun
demikian titik P (-2, 3n/2) terletak pada grafik, sebab (2, n/2) merupakan koordinat P
dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwadalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak
memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yangbersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan
banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
4/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 122
7.1.3. Hubungan dengan Koordinat CartesiusAndaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius.Maka koordinat kutub (r, 0) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu
dihubungkan oleh persamaan :
x = r cos 0 r2= x
2+ y
2
yy = r sin 0 tan 0 =
xHubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran
pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar 4.7. mudah dibuktikan untuk titik-titik
dalam kuadran lain.
Contoh 7.3
Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, n/6).
Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah (-3,V3).
Penyelesaian :Jika (r, 0) = (4, n/6), maka
Gambar 7.6
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
5/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 123
AnA ^oR
x = 4 cos= 4 .= 2 V36 2
A n . 1y = 4 sin= 4 .= 2
6 2Jika, (x, y) = (-3,43), maka (lihat Gambar 8)
r2= (-3)
2+{43)2= 12
tan 0 =-3
Salah satu nilai (r, 0) adalah(243, 5n/6). Nilai lainnya adalah(-243, -n/6).Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannyadalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.
Contoh 7.4
Buktikan bahwa grafik persamaan r = 8 sin 0 (Contoh 1) adalah sebuah lingkarandan bahwa grafik persamaan r = 2 / (1- cos 0) (Contoh 2) adalah sebuah paraboldengan jalan menulis persamaan Cartesius kurva tersebut.
Penyelesaian :Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan r = 8 sin 0 dengan r, kita peroleh
r2= 8r sin 0
dalam bentuk Cartesius persamaan tersebut, menjadi :
x2+ y
2= 8y
dan persamaan ini dapat diubah sebagai berikut :
x2+ y
2- 8y = 0
x2+ y
2- 8y + 16 = 16
x2+ (y - 4)2= 16Persamaan terakhir ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 4) danberjari-jari 4.
PERHATIKANKarena r bisa bernilai 0, ada kesalahan yang mungkin terjadi dalam mengalikan
kedua sisi pada suatu persamaan kutub dengan r atau dalam membagi keduabagian tersebut dengan r. Pada kasus yang pertama, kita dapat menambahkan
kutub pada grafik; pada kasus kedua, kita dapat menghilangkan kutub dari grafik.Dalam Contoh di atas, kita kalikan kedua sisi dari r = 8 sin 0 dengan r tanpa
menimbulkan kesalahan karena kutubnya telah terdapat pada grafik sebagaimana
titik dengan koordinat-0 0.
Persamaan kedua kita ubah berturut-turut sebagai berikut :2
r =1 - cos9
r - r cos 0 = 2
r - x = 2r
r2
x2+ y
2
y2
= x + 2
= x2+ 4x + 4
= x2+ 4x + 4
= 4(x + 1)
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
6/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 124
Gambar 7.9
Kita lihat bahwa persamaan terakhir ini adalah persamaan parabol dengan puncak di
(-1, 0) dan dengan fokus di (0, 0)
7.1.4. Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan Konik
Jika sebuah garis melalui kutub, persamaannya adalah 0 = 00. Apabila garis tidak
melalui kutub, maka garistersebut berjarak misalnya d dari kutub (d>0). Andaikan 00
sudut antara sumbu kutub dan garis tegak lurus dari kutub pada garis itu (Gambar7.9). Apabila P (r, 0) sebuah titik pada garis, maka cos (0 - 00) = d/r, atau
dGaris : r = -
cos (0 - 0o)
Apabila sebuah lingkaran dengan jari-jari a berpusat di kutub, pesamaannya adalah
r = a. Apabila pusatnya di (r0, 00), persamaannya agak rumit, kecuali kalau kita pilih
r0 = a (Gambar 7.10). Maka menurut hukum kosinus, a2 = r2 + a2 - 2ra cos (0 - 0 0)
yang dapat disederhanakan menjadi :
Lingkaran : r = 2a cos (0 - 00)
Suatu hal yang menarik jika 00 = 0 dan 00 = n/2. Yang pertama menghasilkanpersamaan r = 2a cos 0 ; yang kedua menghasilkan r = 2a cos (0 - n/2) atau r = 2asin 0. Persamaan terakhir hendaknya dibandingkan dengan Contoh 1.
Akhirnya kalau sebuah konik (elips, parabol atau hiperbol) diletakkan sedemikian
hingga fokusnya berada di kutub, garis arahnya berjarak d satuan dari kutub
(Gambar 7.11), maka dengan menggunakan definisi konik, yaitu |PF| = e|PL| kita
akan memperoleh
r = e[d-r cos(0-0o)]
atau secara setara : Konik : r =1 + e cos(0-0o)
ed
Garis
Lingkaran
Gambar 7.10
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
7/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 125
Gambar 7.11
Ada lagi kasus yang menarik, yaitu untuk 0O= 0 dan 0O= n/2. Perhatikan bahwa
apabila e = 1 dan 00= 0 kita memperoleh persamaan dalam Contoh 7.2.
Hasil di atas kita ikhtisarkan dalam diagram berikut:
Konik
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
8/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 126
Contoh 7.5
Tentukan persamaan elips mendatar dengan keeksentrikan j-, berfokus di kutub
dan dengan garis arah tegak yang jaraknya 10 satuan disebelah kanan kutub.
Penyelesaian :1. 1 0 10
r =2 -
1 + -2 c o s # 2 + c o s #
Contoh 7.67
Tentukan jenis konik dan gambarlah grafik yang persamaannya r =2 + 4 sin #
Penyelesaian
Kita tulis persamaan itu dalam bentuk baku sebagai berikut.
r=7_ "2_ 2(7)
2 + 4 sin# 1 + 2 s i n # 1 + 2 s i n #
yang kita kenal sebagai koordinat kutub
menggambar sebuah hiperbol dengan e = 2,
berfokus di kutub dan dengan garis arah
yang mendatar, sejauh 7 satuan di
atas sumbu polar (Gambar 7.12).
7.1.5 Grafik Persamaan Kutub
Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkarandan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya,
yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun
persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan
dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapatmelihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang
persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannyasederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk
memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
9/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 127
Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada
beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya
dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.
1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan
perpanjangannya ke kiri) apabila 0 diganti dengan -0 menghasilkan persamaanyang sama (Gambar 7.13).
2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis 0 = n/2) apabila 0
diganti dengan n-0 menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.14).
3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti -r
menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.15).
Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan
adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.
7.2 Kardiod dan Limason
Kita perhatikan persamaan yang berbentuk
r = a b cos 0 r = a b sin 0
a, b konstanta yang positif. Grafiknya dinamakan limason, di mana dalam halkhusus yaitu untuk a = b disebut kardiod. Grafiknya untuk tiap-tiap kasus dapat
dilihat pada Gambar 7.16.
( r , 0 )
Gambar 7.13 Gambar 7.14 Gambar 7.15
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
10/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 128
Contoh 7.7
Selidiki persamaan r = 2 + 4 cos 0 mengenai kesimetrian dan gambarlah grafiknya.
Penyelesaian
Oleh karena kosinus adalah fungsi genap (artinya cos(-0) = cos 0, untuk semua 0),grafiknya simetrik terhadap sumbu x. Pengujian kesimetrian yang lain tidak berhasil.
Daftar nilai dan grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.17.
Gambar 7.17
7.2.1. Lemniskat
Grafik dari:
r2= a cos 20 r
2= a sin 20
dinamakan lemniskat, dan berbentuk angka delapan.
Contoh 7.8
Selidiki persamaan r2= 8 cos 20 tentang kesimetrian dan gambarlah grafiknya.
Penyelesaian
Oleh karena cos (-20) = cos 20 dan cos (2(n-0)) = cos (2n - 20) = cos (-20) = cos
20
a > b a = b a < b
Gambar 7.16
6 r
0 5
17/6 5,5ir/3 4
77/2 2
7 ir/12 !
277/3 0
3ir/4 0,8511/6 1,5
IT -2
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
11/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 129
Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y (garis 0 = n). Jadisimetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada Gambar
4.18.
r2 ~ 8 cos 2 0
Gambar 7.18
7.2.2. MawarGrafik persamaan kutub yang berbentuk
r = a cos n0 r = a sin n0
adalah kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun
mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.
Contoh 7.9
Selidiki r = 4 sin 20 mengenai kesimetrian dan kemudian gambarlah grafiknya.
PenyelesaianPersamaan tersebut tidak memenuhi pengujian kesimetrian yang pertama dan yang
ketiga. Sedangkan yang kedua menghasilkan :
sin 2(0 - n) = sin (2n - 20) = sin 20
Akan tetapi, grafiknya mempunyai ketiga jenis kesimetrian yang segera akan kitatemukan. Ingat bahwa pengujian kita di atas adalah cukup, bukannya perlu.
Untuk menggambar grafik yang benar, kita menyusun sebuah daftar nilai yang agaklengkap untuk 0 < 0 < n/2 dan yang agak ringkas untuk n/2 < 0 < 2n. Daftar ini dan
grafiknya dapat dilihat pada Gambar 7.19. Anak panah pada grafik menggambarkan
arah gerak titik P(r, 0) sepanjang grafik apabila 0 naik dari 0 hingga 2n.
8 r
0 2,8
ir/12 2,6
*/6 12JT/4 0
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
12/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 130
7.2.3. SpiralGrafik persamaan r = a0 disebut spiral Archimedes; grafik persamaan r = ae
be
dinamakan spiral logaritma.
Contoh 7.10Gambarlah grafik r = 0 untuk 0 > 0.
Penyelesaian
Kita hilangkan daftar nilai, tetapi perhatikan bahwa grafik memotong sumbu kutub di(0, 0), (2n, 2n), (4n, 4n),...dan memotong perpanjangannya yang ke kiri di (n, n),
(3n, 3n), (5n, 5n),...seperti dapat dilihat pada Gambar 4.20.
7.3 Perpotongan Kurva-kurva Dengan Koordinat KutubDalam koordinat Cartesius, semua titik potong dua kurva dapat dicari dengan jalan
menyelesaikan persamaan kurva bersama-sama. Hal ini tidak selalu mungkin jika
kita menggunakan koordinat kutub. Ini disebabkan sebuah titik P memiliki banyak
koordinat kutub, dan
Satu pasang dapat memenuhi persamaan polar dari kurva yang lain. Misalnya (lihat
Gambar 4.21), lingkaran r = 4 cosn memotong garis 0 = n/3 di dua titik, yaitu kutub
dan (2, n/3). Tetapi harga pasangan terakhir inilah yang memenuhi kedua
r = 4 sin 2 6
Gambar 7.19
Gambar 7.20
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
13/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 131
persamaan tersebut. Ini disebabkan koordinat kutub yang memenuhi persamaan
garis adalah (0, n/3) dan yang memenuhi persamaan lingkaran adalah (0, n/2).
Kesimpulan kita adalah sebagai berikut: Untuk dapat memperoleh semua
perpotongan dua kurva dengan koordinat kutub, selesaikanlah persamaan-
persamaan bersama-sama; kemudian gambarlah grafiknya secara seksama untukmemperoleh titik potong lain yang masih mungkin.
Contoh 7.11Tentukan titik potong kardioid r = 1 + cos 0 dan r = 1 - sin 0.
Penyelesaian
Apabila r dihilangkan dari dua persamaan tersebut, kita peroleh 1 + cos 0 = 1 - sin0. Jadi cos 0 = - sin 0, atau tan 0 = -1. Kita simpulkan bahwa 0 = | n dan 0 = 7 n,
yang menghasilkan dua titik potong (1-^72, f n) dan (1 +^72, f n). Grafik padaGambar 7.22, memperlihatkan, adanya titik potong yang ketiga, yaitu kutub. Ini
disebabkan r = 0 dalam persamaan r = 1 + cos 0 menghasilkan 0 = n, tetapi r = 0dalam persamaan r = 1- sin 0 kita peroleh 0 = n/2.
7.4 Kalkulus Dengan Koordinat Kutub
Dua persoalan paling mendasar dalam kalkulus adalah menentukan kemiringan
garis singgung kurva dan menentukan luas suatu daerah yang dibatasi oleh sebuah
kurva. Dalam sub bab ini, kita akan membahas kedua persoalan itu denganmenggunakan koordinat kutub. Dengan koordinat Cartesius, unsure luas dasar
adalah luas persegi panjang. Dengan koordinat kutub unsure luas dasar ini adalahluas suatu juring (sektor) lingkaran (Gambar 7.23). Oleh karena luas lingkaran
dengan jari-jari r adalah nr2 , kita dapat menarik kesimpulan bahwa luas sektor
lingkaran dengan sudut pusat 0 radian adalah (0/2n)nr2. Sehingga :
ft
Gambar 7.21
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
14/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 132
Luas sektor: A = - Or22
7.4.1. Luas dalam Koordinat Kutub
Andaikan r = f(0) menentukan sebuah kurva pada bidang dengan f kontinu dan tak
negatif untuk a < 0 < p dan p-a < 2TT. Maka kurva r = f(0), 0 = a' dan 0 = p
membatasi sebuah daerah R (Gambar 7.24 kiri); kita hendak menentukan luas
A(R).
Kita bagi selang [a, p\ menjadi n bagian selang oleh bilangan-bilangan 0 i, I = 0, 1,2, ...n dengan a = 0O < 01 < 02 < ...< 0n = p dengan demikian daerah R terbagi
menjadi daerah yang lebih kecil, yaitu R1, R2,..., Rn (Gambar 7.24 kanan). Maka
A(R) = A(Ri)+ A(R2)+ ... + A(Rn).
Kita aproksimasi luas A(R i) dengan dua jalan. Pada selang ke-I, [#, iA], fmencapai nilai minimum di ui dan mencapai nilai maksimumnya di vi (Gambar 4.25).
Jadi, apabila A0i= 0i- 0i-1, kita peroleh
[f(u,)]2A# < A(Ri)< ^\f(v,)]2dengan demikian
2-2[f(u.)]!A0,< ZA(R.)
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
15/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 133
Ruas pertama dan ruas ketiga pertidaksamaan tersebut adalah jumlah Riemannp
dan integral yang sama, yaitu,j[f(0)]2d0. Apabila norm partisi kita buat menujua
nol, kita peroleh (Prinsip Apit) rumus untuk luas, yaitu:
p
A =ji [f(0)]2d0a
Tentu saja rumus ini dapat dihafalkan. Akan tetapi yang lebih penting ialah
mengingat cara bagaimana rumus ini kita peroleh. Juga dalam koordinat kutub, tigakata kunci yang diperlukan ialah, potongan, aproksimasi, dan integralkan. Di bawah
ini diberikan contoh-contoh tentang apa yang kita maksud.
Contoh 7.12
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh limason r = 2 + cos 0.
PenyelesaianGambar grafik ada di Gambar 7.26; 0 bergerak dari 0 hingga 2n. Kita potong,
aproksimasi dan kemudian integralkan.
7.4.2. Titik-titik Ekikordial
Limason bersama dengan lingkaran memiliki suatu titik ekikordial (yaitu suatu titik
yang dilalui oleh talibusur-talibusur yang panjangnya sama). Untuk limason r = 2 +
cos 0 pada Contoh 7.12.
Gambar 7.25
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
16/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 134
n n
1 0 s i n
2 0+
2
9
n
2
4 0 0
s n0 ^
Semua talibusur yang melalui kutub memiliki panjang 4. Perhatikan bahwa limason
ini mempunyai luas 9n/2, sedangkan lingkaran berdiameter 4 yang bersesuaian
dengannya mempunyai luas 4n. Jadi, memiliki talibusur yang panjangnya samadalam semua arah melalui suatu titik belum cukup untuk menghitung luas.
Di sini diberikan satu soal terkenal yang tidak terpecahkan yang pertama kalidiajukan pada tahun 1916. Dapatkah sebuah daerah pada bidang memiliki dua titik
ekikordal ? Jawaban yang benar untuk pertanyaan ini (dengan buktinya) akanmembuat Anda menjadi terkenal. Tetapi kami sarankan agar Anda menjawab soal
ini pada bagian akhir pasal ini sebelum mencoba menjawab tantangan ini.
Karena kesimetrian, integral kita peroleh dengan batas antara 0 dan n dan
kemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,
n
=| ( 4 + 4 cos0 + cos2#) d00
n n ^ n
=14 d 0 + 4 | c o s 0 d0 +J ( 1 + c o s 2 0) d 00 0 2 0n n ^ n
=Jd0 + 4J c o s 0 d0 +J c o s 2 0. 2 d 00
Contoh 7.13Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat r = 4 sin 20.
Penyelesaian
Mawar lengkap telah digambar pada Contoh 7.13, subbab sebelumnya. Di sini kita
perlihatkan daun yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 7.27).
Gambar 7.26
A
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
17/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 135
AA 2f(0)]2A0
n/ 2
A =- J( 4 s i n2 0) 2 d 02 0 -in / 2 n/1-i a/*
A =- Jl 6 s i n 2 2 0d 0 = 8 J-1 - - - - - - - - d 02
0 0 2 n / 1 n il
A = 4 J d 0 - J c o s 4 0. 4 d 00 0
A = [40]n/2 - [sin 40]n/2 = 2n
Contoh 7.14
Tentukan luas daerah yang ada di luar kardioid r = 1 + cos 0 dan di dalam lingkaran
r =V3sin 0.
PenyelesaianGrafik kurva yang diketahui digambarkan pada Gambar 7.28. Kita perlukan
koordinat 0 titik-titik potong; nilai 0 kita tentukan dengan mencoba menyelesaikankedua persamaan secara serentak.
1 + cos 0 =ssin 01 + 2 cos 0 + cos
20 =
3 sin20
1 + 2 cos 0 + cos2 0 4 cos
20 + 2 cos 0 - 2
2 cos2 0 + cos 0 - 1 (2 cos 0 - 1)(cos 0 + 1)
AA~2[3sin20-(1+cos0)2]A0
Gambar 7.27
3(1 - cos20)
0
0
0
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
18/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 136
^ 0 =n, n
3cos 0 = , - 1
2
= -2 J[3sin2#- (1 + cos#)2]d#2
n/ 3
A =-2J[3 sin2#-1- 2 cos #- cos2#]d#
' n/ 3n
1n
= 1 J^ n/ 3
1 n
=J[-2cos9
- 2
cos 29]d#' n/ 3
= 2 [-2 sin9-sin 2#]
2^3 +V 3 '2 2
7.4.3. Garis Singgung dalam Koordinat KutubDengan koordinat Cartesius, kemiringan (slope) m dari garis singgung pada sebuah
kurva adalah m = dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/d0.Apabila r = f(0) menentukan persamaan kurva, kita tulis
y = r sin 0 = f(0)sin 0
x = r cos 0 = f(0)cos 0Jadi,dv ..AyAy/A#dy/d#=lim =lim ----- =----dx A x ^ o Ax A#^ Ax/A#dx/d#
Gambar 7.28
3 1 ^(1 - cos 2#) - 1 - 2 cos # - ^ (1 +cos2#)
d#
n /3
3V3 1.29
94
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
19/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 137
karena itulah,
_ f(0)cos0+ f(0)sin0
- f(0)sin0+ f(0)cos0
Rumus di atas menjadi sederhana apabila grafik r = f(0) melalui kutub. Andaikan,
sebagai contoh, untuk suatu sudut a, r = f(a) = 0 dan f'(a) + 0. Maka di kutubtersebut kita peroleh
f(a)sina m _ -------------- _ tana
f(a)cosa
Oleh karena garis 0 = a memiliki kemiringan tan a juga, maka kita dapat
mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva di kutub.Jadi dapat ditarik
kesimpulan bahwa garis singgung kurva di kutub dapat ditemukan dengan
menyelesaikan persamaan f(d) = 0.Kita beri contoh sebagai berikut.Contoh 7.15Perhatikan persamaan kutub r = 4 sin 30.
a. Tentukan kemiringan garis singgung di 0 = n/6 dan 0 = n/4.b. Tentukan garis singgung di kutub.
c. Gambar grafik.d. Tentukan luas satu daun kurva.
Penyelesaianf(0)cos0+ f(0)sin04 sin 30cos 0+ 12 cos 30sin 0
a.m _
- f(0)sin0+ f(0)cos0- 4 sin 30sin 0+ 12 cos 30cos0
Di 0 = n/6,
Si4 . 1. + 12 . 0 . -
2 2_ -V3
-4 . 1 . 1+ 12 . 0 . 22
Di 0 = n/4,
4 +12
m =4 . 2 . 2 + 1 2 . 2 . 2 _ _ 2 - 6 _ 1-4 - 12V2 V2 -2 - 6 2-
. 2 . 2-
. 2 . 2
b. Kita misalkan f(0) = 4 sin 30 = 0. Setelah iselesaikan diperoleh 0 = 0, 0 = n/3,
0 = 2n/3, 0 = n, 0 = 4n/3, dan 0 = 5n/3.
c. Berhubungsin 3(n-0) = sin (3n-30) = sin 3n cos 30 - cos 3n sin 30 = sin 30
Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik simetri terhadap sumbu y, kita susundaftar nilai fungsi dan kemudian kita gambar grafik fungsi. Grafik ini diperlihatkan
pada Gambar 7.29.
m =
-
5/19/2018 Bag 7 Koordinat Kutub
20/20
Matematika Teknik 1/Koordinat Kutub 138
e= f
\
\
" l
/
1 2 3 4
\L \
//
/
/ V
\\
\\/
ir3 3
Gambar 7.29
1 n / 3
n
d. A =^J ( 4 s i n 3 0)2d0 = 8 Js i n 2 3 0d00 n / 3
n
= 4 J ( 1 - c o s 6 0) d 0 = 4 J d 0- J c o s 6 0. 6 d 0
0
0 6 0
4 n
3
0
n
n / 3
4 0 - s i n6 03
a r
0 0
IT/1 2 2,8
rt/B 4 TT/ 4
2,8I
TT/ 3 1
5 TT/ 1 2 -2,8IT/2 -4 1