2013-PRO12-NOR-AN-GU-PO 1/6

SESSION 2013 Antilles - Guyane - Polynésie

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4

CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES

Toutes options

Durée : 2 heures

Matériel(s) et document(s) autorisé(s) : Calculatrice

Le sujet comporte 6 pages

Les annexes A/B et C/D sont à rendre avec la copie

SUJET

EXERCICE 1 (5 + 2 points) Le salaire annuel d’un technicien s’élevait pour l’année 2010 à 20 000 €. Son employeur décide de l’augmenter sur plusieurs années. Il lui propose deux choix possibles :

● Choix A : une augmentation annuelle de 420 € ;

● Choix B : une augmentation annuelle de 2 %.

Les résultats seront donnés à l’euro près.

Pour le choix A : on désigne par U0 le salaire du technicien pour l’année 2010. Pour tout entier naturel n, on désigne par Un son salaire pour l’année (2010 + n).

On admettra que la suite Un pourra être modélisé par : Un+1 = Un + 420 et U0 = 20 000.

Pour le choix B : on désigne par V0 le salaire du technicien pour l’année 2010. Pour tout entier naturel n, on désigne par Vn son salaire pour l’année (2010 + n).

On admettra que la suite Vn pourra être modélisé par : Vn+1 = 1,02Vn et V0 = 20 000.

1. Compléter le tableau de l’annexe A (à rendre avec la copie) en calculant pour les deux choix le salaire du technicien de 2011 à 2014.

2. Le choix A pouvant être modélisé par une suite Un quelle est la nature de cette suite ? Vous justifierez votre réponse.

3. Le choix B pouvant être modélisé par une autre suite Vn quelle est la nature de cette suite ? Vous justifierez votre réponse.

4. a. Déterminer dans les deux cas le salaire prévu pour l’année 2015.

b. Quel choix semble le plus intéressant ?

c. En est-il de même pour l’année 2016 ?

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Les questions 5) et 6) de l’exercice 1 sont facultatives (elles sont cependant notées sur 2 points)

5. a. Calculer la somme des salaires gagnée pendant 10 ans par le technicien entre 2010 et 2019 s’il

choisit le choix A.

b. Calculer la somme des salaires gagnée pendant 10 ans par le technicien entre 2010 et 2019 s’il choisit le choix B.

6. Quelle conclusion pouvez-vous faire ? Vous justifierez votre réponse.

EXERCICE 2 (7 points) Le but de l’exercice est de déterminer la surface d’une parcelle délimitée par une route et une rivière.

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-1 ; 4,5] par : f(x) = -x3 + 4x². La courbe C représentative de la fonction f et les tangentes horizontales aux points A(0 ; 0) et

B

27

256;38 sont données en annexe B (à rendre avec la copie).

Le repère est orthogonal et les unités sur chaque axe du repère représentent 100 mètres.

Partie A 1. Montrer que la fonction dérivée, dans l’intervalle [-1 ; 4,5], est définie par : f’(x) = x(8-3x).

2. Résoudre l’équation f ’(x) = 0 dans l’intervalle [-1 ; 4,5]. Les résultats seront arrondis à 10-2près.

3. Pourquoi les points A et B sont des extremums locaux de la fonction f ?

4. Compléter le tableau de variation de la fonction f sur l’annexe C (à rendre avec la copie).

Partie B La courbe C représente une rivière vue en plan et on considère une parcelle de terrain délimitée par la courbe C, l’axe des abscisses (représentant une route nationale) et les droites d’équation x = 0 et x = 4.

1. Hachurer sur le graphique de l’annexe B cette parcelle.

2. Soit F une fonction définie sur [-1 ; 4,5] par : F(x) = – x34x4

1 34 + .

Monter que la fonction F est une primitive de la fonction f sur [-1 ; 4,5].

3. Calculer par la méthode de votre choix l’aire de cette parcelle en hectare à 10-1 près.

EXERCICE 3 (8 points) Pour le boisement de la parcelle de l’exercice précédent, le service technique a opté pour du chêne, il s’est adressé à trois pépiniéristes locaux pour en sélectionner que deux. Les deux critères choisis pour la sélection de deux pépiniéristes sont l’homogénéité et la hauteur moyenne des arbustes. Pour cela, une étude statistique est menée. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous.

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Hauteur des arbustes (cm)

Centre de classe

Effectif Pépiniériste 1

Effectif Pépiniériste 2

Effectif Pépiniériste 3

[ 100 ; 110 [ 105 2 9 2

[ 110 ; 120 [ 115 4 7 2

[ 120 ; 130 [ 125 7 5 6

[ 130 ; 140 [ 135 15 14 16

[ 140 ; 150 [ 145 14 11 17

[ 150 ; 160 [ 155 18 14 17

Total 60 60 60

Partie A 1. Quel est le pourcentage d’arbuste inférieur à 130 cm pour chaque pépiniériste ? Arrondir à l’unité.

2. Pour le pépiniériste 1, calculer la hauteur moyenne h1 et l’écart type σ1 à 10-2 près. (Le détail du calcul n’est pas exigé et l’usage de la calculatrice est souhaité).

Pépiniériste 1 Pépiniériste 2 Pépiniériste 3

Hauteur moyenne h (cm) 139,…. 133,83 140,83

Écart-type σ (cm) 13,…. 17,33 12,69

3. En utilisant les valeurs du tableau ci-dessus, justifier le choix des pépiniéristes 1 et 3 pour la livraison des arbustes.

Partie B Pour le boisement de la parcelle il nous faut 100 chênes.

60 % des arbustes proviennent du pépiniériste 1 (P1), le reste provient du pépiniériste 3 (P3).

5 % des arbustes provenant du pépiniériste 1 sont abîmés (racines séchées)

10 % des arbustes provenant du pépiniériste 3 le sont aussi.

On choisit un arbuste au hasard dans cette population de chênes. Soient les évènements suivants :

Évènement P1 : « l’arbuste provient du pépiniériste 1 ».

Évènement P3 : « l’arbuste provient du pépiniériste 3 ».

Évènement A : « l’arbuste est abîmé ».

1. Définir par une phrase l’événement A .

2. Avec les informations de la partie B, compléter le tableau 3 de l’annexe D (à rendre avec la copie).

3. Compléter le QCM entourant la bonne réponse sur le tableau 4 de l’annexe D (à rendre avec la copie).

Pour chaque question du QCM, une seule réponse est exacte.

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FORMULES UTILISABLES POUR LA RÉALISATION DU SUJET

SUITE

Suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r:

un = u0 + n r et S = u0 + u1 + …. + un = (n+1) ×2

n0 uu +

Suite géométrique de premier terme u0 et de raison q:

un = u0×qn et S = u0 + u1 + …. + un = qqu-1

1 1n

0

+−×

ANALYSE

f (x) f ’(x)

x 1

xn nx(n-1)

Intégrale d’une fonction f entre a et b : ∫b

a

dxxf )( = F(b) – F(a) où F est une primitive de F sur [a ;b]

PROBABILITES

PA = possiblescasdeNombrefavorablescasdeNombre PB(A) =

( )BPBAP ∩

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MINISTÈRE DE L’AGRICULTURE

M. EX. EXAMEN : N° ne rien inscrire

Nom : Spécialité ou Option : (EN MAJUSCULES) Prénom(s) : ÉPREUVE :

Date de naissance : 19 Centre d’épreuve :

Date :

........................................................................................................................................................................................................... ANNEXE A/B (à compléter et à rendre avec la copie) N° ne rien inscrire

ANNEXE A

Année 2010 2011 2012 2013 2014

Rang 0 1 2 3 4

Salaire choix A 20 000 € 20 420 21 680

Salaire choix B 20 000 € 20 400 21 224

ANNEXE B

C

2 3 4 5 6-1-2

23456789

101112

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10-11-12

0 1

1

x

y

A

B

121110

y

987654321

01

34 5 67 8

–2 –

––––––

9101112

––––

2 – 1 – 1 2 3 4 5 6 x

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MINISTÈRE DE L’AGRICULTURE

M. EX. EXAMEN : N° ne rien inscrire

Nom : Spécialité ou Option : (EN MAJUSCULES) Prénom(s) : ÉPREUVE :

Date de naissance : 19 Centre d’épreuve :

Date :

........................................................................................................................................................................................................... ANNEXE C/D (à compléter et à rendre avec la copie) N° ne rien inscrire

ANNEXE C

x -1 4,5

Signe de f’(x)

Variation de f’

ANNEXE D Tableau n° 3

P1 P3 Total

A 7

A 57

Total 100

Tableau n° 4

Choix 1 Choix 2 Choix 3 Choix 4

Quelle est la probabilité de l’évènement A : « l’arbuste est abîmé »

0,07 0,93 1,07 0,03

Quelle est la probabilité de l’évènement P1 : « l’arbuste provient du pépiniériste 1 »

0,4 0,6 0,57 1

Sachant que l’arbuste provient du pépiniériste 1, quelle est la probabilité l’arbuste ne soit pas abîmé ?

0,05 1,1 0,9 0,95

Quelle est la probabilité que l’arbuste provienne du pépiniériste 1 et qu’il ne soit pas abîmé ?

0,57 0,43 0,95 0,07

SESSION 2013Antilles-Guyane-Polynésie

BACCALAURÉAT PROFESSIONNELÉPREUVE E4

CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES

Toutes options

EXERCICE 1

1)

2)

4) a)

5)

b)

Année 2010 2011 2012 2013 2014

Rang 0 1 2 3 4

Salaire choix A 20 000 € 20 420 20 840 21 260 21 680

Salaire choix B 20 000 € 20 400 20 808 21 224 21 649

Suite arithmétique de premier terme 20 000 et de raison r = + 420

3) Suite géométrique de premier terme 20 000 et de raison q = 1,02

Salaire prévu 2015 A : U5 = 20 000 + (5 × 420) = 22 100 B : u5 = 20 000 × 1,025 = 22 082 €

Pour 2015, le choix A est encore le meilleur mais la différence s’amenuise.

c) En 2016 : A = 22 520 € B = 22 523 € Cette fois, c’est le choix B qui devance de peu le choix A.

SA 9 = 10 × avec U9 = 20 000 + (9 × 420)

= 23 780 €

SA 9 = 10 × = 218 900 €

SB 9 = U0 × = 218 994 €

20 000 + U92

20 000 + 23 7802

1 - 1,0210

1 - 1,02

6) Sur une longue période, il vaudra mieux choisir la formule d’augmentation B car la somme des salaires est supérieure.

EXERCICE 2

Partie A

Partie B

1) f’(x) = - 3x² + 8x f’(x) = x (- 3x + 8)

2) f’(x) = 0 x = 0 ou -3x + 8 = 0 -3x = - 8 x=≈2,67

⇒

83

3) Parce que A et B représentent des valeurs qui ne sont, ni les plus petites, ni les plus grandes de f(x). Sur un intervalleprécis,AprésenteuneinflexionminimumetBprésenteuneinflexionmaximum.

x -1 0 2,67 4,5Signe de f’(x) - 0 + 0 -

Variation de f’

ANNEXE C

EXERCICE 3

2) F’(x) = - × 4x³ + × 3x² = - x³ + 4x²

14

44

443

13602160

1060

43

F(x) est donc primitive de f(x)

3) Aire = f(x) dx = F(4) - F(0) = - + × 4³

Aire = - 64 + 85,33 = 21,33 unités d’aire Soit 21,3 hectares à 10-1 près

∫4

0

Pépiniériste 1 : = 22 %

Pépiniériste 2 : = 35 %

Pépiniériste 3 : = 17 %

1)

2) hauteur moyenne h1 = 139, 83 cmσ1=13,72cm

3) Ce sont ceux qui ont les arbres de plus hautes tailles avec un minimum d’écart dans leurs séries.

h1 et h3 > à h2

σ1etσ3<àσ2

PARTIE A

PARTIE B

1) A : « l’arbuste est sain »

2) Tableau n°3

P1 P3 Total

A 3 4 7

A 57 36 93

Total 60 40 100

3) Tableau n°4