Bab II Peluang.doc

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1. / 1.4Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menggunakan aturan penjumlahan & perkalian Materi Pembelajaran : KAIDAH PENCACAHAN

Untuk menentukan banyak semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen dengan cepat dapat digunakan kaidah pencacahan, yang dapat merupakan kaidah penjumlahan atau kaidah perkalian atau gabungan dua kaidah tersebut.

Kaidah penjumlahan digunakan jika cara yang satu dari suatu eksperimen yang dihasilkan akan meniadakan cara yang lain dalam eksperimen itu.Contoh :(i) Seorang siswa mempunyai 5 kemeja lengan panjang dan mempunyai 3 kemeja lengan

pendek. Berapa cara siswa itu dapat mengenakan kemejanya ?Jawab : Siswa itu dapat mengenakan kemejanya dalam 5 + 3 = 8 cara karena jika telah mengenakan kemeja lengan panjang ia tidak mengenakan kemeja lengan pendek.

(ii) Dari kota A ke kota B tersedia dua jenis alat transportasi, yaitu tersedia 120 buah bus dan 20 kereta api. Dalam berapa cara seseorang dari kota A ke kota B dengan menggunakan alat transportasi yang ada.Jawab :Orang itu dari A ke B dalam 140 cara karena jika menggunakan suatu bus ia tidak dapat naik bus lain atau kereta api secara bersamaan.

Kaidah perkalian digunakan jika cara yang satu dari suatu eksperimen digunakan bersamaan dengan cara lain dalam eksperimen itu.

Contoh :(i). Seorang siswa mempunyai 5 kemeja dan 3 celana. Dalam berapa cara siswa itu dapat

mengenakan pakaiannya ? Jawab : Siswa itu dapat mengenakan pakainnya dalam (5 x 3) = 15 cara.

Misalkan kemeja adalah K1, K2, K3 ,K4, K5 dan macam celana adalah C1, C2, C3 Jika di buat tabel pasangan kemeja dan celana adalah :

K1 K2 K3 K4 K5

C1 (C1 , K1) (C1 , K2) (C1 , K3) (C1 , K4) (C1 , K5)C2 (C2 , K1) (C2 , K2) (C2 , K3) (C2 , K4) (C2 , K5)C3 (C3 , K1) (C3 , K2) (C3 , K3) (C3 , K4) (C3 , K5)

(ii). Dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur. Seorang anak yang memiliki 4 buah sepeda motor akan ke kota B dari kota A.

Berapa banyak cara yang dapat dilakukan oleh anak tersebut.Jawab : Banyak cara yang dapat dilakukan oleh anak tersebut untuk sampai di kota B adalah (3x4) cara = 12 cara.Misalkan Jalur yang ada dari A ke kota B adalah J1, J2, dan J3 dan motor yang dimiliki adalah M1, M2, M3, dan M4.

1

Jika di buat diagram pohon alternatif yang dapat dilakukan anak tersebut adalah : Alternatif

M1 J1M1

M2 J1M2

J1 M3 J1M3

M4 J1M4

M1 J2M1

M2 J2M2

J2 M3 J2M3

M4 J2M4

M1 J3M1

M2 J3M2

J3 M3 J3M3

M4 J3M4

(iii). Pasangan dimas-diajeng suatu sekolah akan ditentukan dari 8 perempuan dan 7 laki-laki terseleksi. Berapa banyak pasangan berlainan yang dapat dibentuk.Jawab : Banyak pasangan dimas diajeng yang dapat dibentuk adalah (8x7) =56 macam.

Kaidah perkalian lebih dikenal dengan aturan pengisian tempat yang tersedia yaitu :“ Jika suatu kegiatan dapat dilakukan dengan n1 cara yang berlainan, kegiatan yang kedua dengan n2 cara berlainan, kegiatan ketiga dengan n3 cara berlainan, ….., dan kegiatan ke-r dengan nr cara berlainan, maka banyaknya cara untuk melakukan r kegiatan secara bersama-sama adalah (n1 x n2 x n3 x…x nr ) cara.”

Contoh :Disediakan angka-angka 2, 3, 4, 5, dan 6. Akan dibentuk bilangan terdiri tiga angka. Tentukan banyak bilangan yang terbentuk jika :(i). setiap bilangan boleh memuat angka yang sama.(ii). setiap bilangan tidak boleh memuat angka yang sama.(iii). bilangan itu ganjil dan tidak memuat angka yang sama.

Jawab :(i). Karena bilangan boleh memuat angka sama maka :

2

Angka ratusan dapat diisi dengan 5 cara ( semua angka boleh mengisinya)Angka puluhan dapat diisi dengan 5 cara ( semua angka boleh mengisinya)Angka satuan dapat diisi dengan 5 cara ( semua angka boleh mengisinya)

Ratusan Puluhan SatuanBanyaknya cara 5 5 5

Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika boleh ada angka yang sama adalah (5x5x5) cara = 125 cara.

(ii). Karena bilangan tidak boleh memuat angka sama maka :Angka ratusan dapat diisi dengan 5 cara ( semua angka boleh mengisinya)Angka puluhan dapat diisi dengan 4 cara ( satu angka sudah mengisi ratusan, sehingga tinggal 4 angka boleh mengisi puluhan)Angka satuan dapat diisi dengan 3 cara (satu angka sudah mengisi ratusan, satu angka sudah mengisi puluhan, sehingga tinggal 3 angka boleh mengisi satuan).


Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika tidak boleh ada angka yang sama adalah (5x4x3) cara = 60 cara.

(iii). Bilangan ganjil ditentukan oleh satuan yang ganjil .Karena bilangan ganjil dan tidak boleh memuat angka sama sehingga :Angka satuan hanya dapat diisi dengan 2 cara yaitu angka 3 dan 5.Angka puluhan dapat diisi dengan 4 cara ( satu angka sudah mengisi satuan, sehingga tinggal 4 angka boleh mengisi puluhan)Angka ratusan dapat diisi dengan 3 cara (satu angka sudah mengisi satuan, satu angka sudah mengisi puluhan, sehingga tinggal 3 angka boleh mengisi ratusan).


Jadi banyaknya bilangan ganjil dan tidak boleh ada angka yang sama yang dapat dibentuk adalah (3x4x2) cara = 24 cara.

Contoh :Dari 6 orang calon akan dibentuk pengurus kelas yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa banyak pasangan pengurus berlainan yang dapat dibentuk jika tidak boleh ada jabatan rangkap?

Jawab :Jabatan ketua dapat diisi dengan 6 cara, jabatan sekretaris dapat diisi dengan 5 cara ( 1 orang sudah mengisi ketua), jabatan bendahara dapat diisi dengan 4 cara ( 1 orang sudah mengisi ketua dan 1 orang sudah mengisi sekretaris)

Ketua Sekretaris Bendahara Banyaknya

cara6 5 4

Banyak pasangan pengurus yang mungkin adalah ( 6x 5x 4) cara = 120 cara.

Kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian digunakan bersama-sama jika terdapat ciri seperti pada kaidah penjumlahan sekaligus terdapat ciri seperti pada kaidah perkalian.

Contoh :1. Dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui kota P atau kota Q. Dari kota A ke kota P

ada 3 jalur dan P ke C ada 2 jalur. Dari kota A ke Q ada 2 jalur dan dari kota Q ke C ada 4 jalur. Berapa banyak cara seorang dari kota A ke C.

3

Jawab:Jika orang itu dari kota A ke C melalui P maka banyaknya jalur adalah (3x2) = 6 jalur.Jika orang itu dari kota A ke C melalui Q maka banyaknya jalur adalah (2x4) = 8 jalur.Jika orang itu dari A ke C melalui P maka tidak melalui Q dan sebaliknya, sehingga banyak jalur dari kota A ke C yang dapat ditempuh adalah (6 + 8) = 14 jalur. Keadaan pada ketentuan ini dapat dibuat diagram panah sebagai berikut.

PA C

Q

2. Seorang anak mempunyai 5 kemeja lengan panjang, 6 kemeja lengan pendek dan 8 celana panjang. Dalam berapa cara anak itu dapat mengenakan pakaiannya.Jawab : Cara anak itu mengenakan setelan celana dan kemeja lengan panjang sebanyak (5x8)= 40 cara. Cara anak itu mengenakan setelan celana dan kemeja lengan panjang sebanyak (6x8)= 48 cara. Banyak cara anak itu mengenakan pakaian adalah (40+48)= 88 cara.

Latihan Uji Kompetensi 1

1. Seorang utusan akan dipilih dari 8 orang perempuan dan 12 orang laki-laki. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih utusan itu ?

Jawab :20 macam cara

2. Dari kota A ke kota B terdapat 3 jalur, dari kota A ke kota C terdapat 2 jalur sedangkan dari kota B ke kota D terdapat 4 jalur dan dari kota C ke kota D terdapat 3 jalur. Dalam berapa cara seorang dari A ke D melalui B atau C.

Jawab :Ada ( 3 x 4 ) + ( 2 x 3 ) = 18 macam cara jalur

3. Suatu pengurus organisasi yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris dan seorang bendahara akan dibentuk dari 10 calon terpilih. Berapa banyak susunan pengurus yang berlainan yang dapat dibentuk dari 10 orang itu.

Jawab :Ada : 10 x 9 x 8 = 720 macam susunan

4. Seorang anak mempunyai 3 celana biru , 2 celana hitam, 4 kemeja panjang, 5 kemeja pendek, 2 pasang sepatu dan 1 pasang sepatu sandal. Dalam berapa cara anak itu mengenakan pakaiannya.

Jawab :Ada : 5 x 9 x 3 = 135 macam cara

5. Lambang bilangan asli terdiri tiga angka akan dibentuk dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Berapakah banyak lambang bilangan yang dapat dibentuk , jika :a. ketiga angka itu berlainan.b. ketiga angka boleh samac. ketiga angka itu berlainan dan nilainya kurang dari 400.d. ketiga angka itu berlainan dan nilainya lebih dari 600e. ketiga angka itu berlainan dan bilangan itu genap

Jawab :a. 8 x 7 x 6 macam

4

b. 8 x 8 x 8 macamc. 2 x 7 x 6 macamd. 4 x 7 x 6 macame. 6 x 7 x 4 macam

6. Lambang bilangan asli terdiri empat angka akan dibentuk dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Berapakah banyak lambang bilangan yang dapat dibentuk , jika :a. empat angka itu berlainan.b. empat angka boleh samac. empat angka itu berlainan dan nilainya kurang dari 5000.d. empat angka itu berlainan dan nilainya lebih dari 8000e. empat angka itu berlainan dan bilangan itu ganjil.

Jawab :a. 8 x 7 x 6 x 5 macamb. 8 x 8 x 8 x 8 macamc. 3 x 7 x 6 x 5 macamd. 2 x 7 x 6 x 5 macame. 5 x 6 x 7 x 4 macam

7. Suatu pengurus organisasi yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris dan seorang bendahara akan dibentuk dari 8 perempuan terpilih dan 7 laki-laki terpilih. Berapa banyak susunan pengurus yang berlainan yang dapat dibentuk dari 15 orang itu, jika :a. semua pengurus perempuan.b. semua pengurus laki-laki.c. bendahara harus perempuan.d. ketua dan sekretaris harus laki-laki.

Jawab :a. 8 x 7 x 6 macam susunanb. 7 x 6 x 5 macam susunanc. 8 x 14 x 13 macam susunand. 7 x 6 x 13 macam susunan

8. Suatu kesebelasan mempunyai kaos putih, kaos merah, kaos kuning , kaos biru, celana putih, celana hitam, celana biru, kaos kaki merah,dan kaos kaki biru. Berapa banyak kombinasi warna seragam yang dapat digunakan.

Jawab :Ada : 4 x 3 x 2 macam

9. Tentukan banyaknya jalan berbeda yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C jika jalur perjalanan disajikan dalam diagram berikut :

a. b. c.

Jawab :a. Ada 2 x 3 b. (2 x 2 ) + ( 1 x 3 ) c. 2.1.2 + 1.2.2

5

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1 . / 1.4Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menentukan nilai hasil perhitungan yang

menggunakan notasi faktorial Materi Pembelajaran : DEFINISI DAN NOTASI FAKTORIAL

Notasi faktorial mempunyai peran penting untuk mempelajari bab ini selanjutnya.Definisi :n faktorial ditulis n! didefinisikan sebagai perkalian n bilangan asli yang pertama.

n ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ……………. x (n - 3) x (n – 2) x (n – 1) x n atau n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x (n – 4) x ………..x 3 x 2 x 1

dengan n bilangan asli dan n 2.

Untuk n= 0 dan n= 1 didefinisikan sebagai : 1 ! = 1 dan 0 ! = 1

Dari definisi :n ! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x (n – 4) x ………..x 3 x 2 x 1

sehingga Jadi, 10! = 10x 9! . = 10x9x8!

= 10x9x8x7! dan setersnya 15! = 15x 14!

= 15x 14x 13!= 15x 14x 13x 12! Dan seterusnya

Contoh :1. Hitunglan nilai dari 4! Dan 8!

Jawab :4! = 4.3.2.1 = 248! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320

2. Tentukan nilai dari :

(i). 3! x 5! (ii). (iii). Jawab :

6

(i). 3! x 5! = (3.2.1) x (5.4.3.2.1) = 6 x 120 = 720.

(ii). =

(iii). 3. Nyatakan kedalam notasi factorial :

(i). 9x8 (ii) 10x9x8x7 (iii) Jawab :

(i). 9x8=

(ii).

(iii). 4. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut :

(i). (ii). n! =6(n-2)! Untuk n 2.Jawab :

(i). n+3 = 10 n= 7.

Jadi nilai n yang memenuhi adalah 7.(ii). n! = 6 (n-2)! n(n-1)(n-2)! = 6(n-2)! n(n-1)= 6 n2n6 = 0 (n3)(n+2) = 0 n =3 atau n= 2

Karena n 2 maka nilai n yang memenuhi n! = 6(n-2)! adalah 3.


1. Carilah nilai : a. 4 ! b. 6 ! c. 7!

2. Carilah nilai :

a. c. e.

b. d. f.

3. Ubahlah ke dalam notasi faktorial a. 8 X 7 X 6 e. n(n-1)(n-2)

b. 12 X 11 X 10 X 9 f.

c. 50 X 51 X 52 X 53 X 54 g.

4. Tunjukkan apakah pernyataan berikut benar atau salah :

a. 6 ! – 2 ! = 4 ! e.

7

b. 8 ! + 2 ! = 10 ! f.

c. 5 ! X 3 ! = 15 ! g.

d. 10 ! : 5 ! = 2 ! h.

5. Sederhanakan bentuk berikut tanpa notasi factorial :

a. untuk n 2. c. utnuk n 1.

b. d.

6. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut :a. 5! (n+2)! = 2(n+3)!

b.

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1 . / 1.4Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menyelesaikan masalah yang menggunakan aturan Permutasi Materi Pembelajaran : PERMUTASI 1. PERMUTASI

a. Pengertian PermutasiPermutasi merupakan susunan unsur-unsur dari sebagian atau seluruh anggota suatu himpunan dengan memperhatikan urutannya, sehingga dengan unsur-unsur yang sama tetapi urutannya berbeda sudah merupakan permutasi yang berbeda pula.Contoh :1. Nama orang

DIAN berbeda dengan DINA, DAIN, ANDI, NIDA meskipun huruf-hurufnya sama.NIA berbeda dengan INA , IAN, ANI

2. Lambang bilangan3215 3251 3512 meskipun angka-angkanya sama.

3. AntrianAntrian Ali, Budi, Cika, Dedi berbeda dengan antrian Ali, Budi, Dedi, Cika

b. Mencari banyak permutasi k unsur yang diambil dari n unsur

Banyak permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia ditulis atau atau P(n,r).

Untuk menentukan banyak permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia perhatikanlah contoh-contoh berikut :1. Akan dicari banyak permutasi dua unsur dari 4 unsur A, B, C dan D.

Permutasi terdiri dua unsur : Unsur pertama (huruf pertama) dapat diisi dalam 4 cara dan huruf kedua dapat diisi dalam 3 cara. Sehingga banyak permutasi dua unsur dari 4 unsur sama

dengan (4x3) cara = cara = cara = caraPermutasi tersebut adalah AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA,CB, CD, DA, DB dan DC

2. Akan dicari banyak permutasi 3 unsur dari 3 unsur A, B dan C.

8

Unsur pertama dapat diisi dalam 3 cara, unsur kedua dapat diisi dalam 2 cara dan yang ketiga dapat diisi dalam 1 cara. Banyak seluruh permutasi 3 unsur dari 3

unsur = (3x2x1) cara = cara = cara = caraPermutasi tersebut adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

3. Akan dicari permutasi 3 unsur dari 4 unsur.Unsur pertama dapat diisi dalam 4 cara, unsur kedua dapat diisi dalam 3 cara dan unsur ketiga dapat diisi dalam 2 cara. Jadi banyak seluruh permutasi 3 unsur dari 4

unsur = (4x3x2) cara = cara = cara = caraDari 1, 2, dan 3 diatas tampak ada keteraturan banyak permutasi beberapa unsur dari unsure yang tersedia yaitu:

o Permutasi 2 unsur dari 4 unsur yang tersedia = cara



Sehingga kita menduga bahwa :

Banyak permutasi 4 unsur dari 10 unsur yang tersedia = cara.

Banyak permutasi 6 unsur dari 18 unsur yang tersedia = cara.

Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur = = untuk r n.

Dugaan diatas dapat kita tunjukkan kebenarannya sebagai berikut :Permutasi r unsur dari n unsur berarti ada r tempat yang tersedia dan jika dituliskan dalam tabel adalah :

Tempat ke-1 Tempat ke-2 Tempat ke-3 ………. Tempat ke-r

Banyaknya cara

N n1 n2 ….. nr+1

Menurut kaidah pencacahan terdahulu , banyaknya permutasi r unsur diambil dari n unsur yang berlainan dapat ditentukan sebagai berikut :

= nx (n1) x (n2) x ……..x (nr+1)

= nx (n1) x (n2) x ……..x (nr+1)x

=

= Jadi banyaknya permutasi r unsur diambil dari n unsur yang berlainan adalah

= untuk r n.Contoh :

1. Hitunglah nilai : a. b. c. Jawab :

9

a.

b.

b.

2. Dalam pemilihan pengurus kelas akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Calon yang tersedia 5 orang. Tentukan banyaknya susunan pengurus yang mengkin jika tidak terdapat jabatan rangkap.

Jawab :Susunan pengurus kelas merupakan permutasi 3 unsur (ketua, sekretaris, bendahara) dari 5 unsur (banyak calon).

Banyaknya susunan pengurus = .Jadi banyaknya susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk adalah 60 susunan.

3. Diketahui 3 orang laki-laki dan 2 orang perempuan duduk berdampingan pada sebuah kursi panjang. Berapakah banyak cara duduk dapat dilakukan jika :a. dua orang laki-laki harus ditepi ?.b. tidak ada aturan duduk?

Jawab :a. Ada 5 tempat duduk dan 2 orang laki-laki harus duduk ditepi berarti tinggal 3 tempat

duduk yang bebas diduduki, sehingga banyak cara duduk adalah

cara.b. Ada 5 tempat duduk dan tidak ada aturan duduk, sehingga banyak cara duduk adalah

cara.

c. Permutasi n unsur dengan beberapa unsur samaPermutasi yang dibicarakan di atas adalah permutasi yang unsurnya berlainan, tetapi bagaimana jika dari n unsur itu ada beberapa unsur yang sama ?Contoh :1. Permutasi dari unsur A, A dan N ada sebanyak 3 permutasi yaitu AAN, ANA dan

NAA. Tetapi jika dua unsur yang sebetulnya sama itu dianggap berbeda misal A1

dan A2 maka banyak permutasi ada 6 karena setiap permutasi itu dapat dibuat 2 permutasi yaitu A1A2N, A2A1N, A1NA2, A2NA1, NA1A2 dan NA2A1

2. Permutasi dari unsur-unsur ABAA adalah ABAA, BAAA, AABA, AAAB. Tetapi jika tiga unsur yang sama itu dianggap berbeda maka banyak permutasi adalah 24 = 4 ! karena setiap permutasi yang terdapat unsur sama itu dapat dibuat menjadi 3 ! permutasi jika dianggap semua unsurnya berbeda.

Bagaimana mencari permutasi 6 unsur dengan 4 diantaranya sama.Jika 4 unsur yang sama itu dianggap berbeda maka banyak permutasi = 6 !.Jika banyaknya permutasi sebenarnya adalah m , maka dengan mengandaikan unsurnya berbeda setiap permutasi dari m itu dapat dibuat menjadi 4! permutasi. Sehingga diperoleh hubungan

6 ! = m . 4 ! atau m = .Dengan cara yang sama diperoleh:Banyaknya permutasi 8 unsur dengan 5 diantaranya sama adalah y maka y . 5 ! = 8 !

10

atau y = sehingga :

Banyaknya permutasi n unsur dengan p diantaranya sama =

Banyak permutasi n unsur dengan p dan q diantaranya sama = Contoh :Dengan berapa cara kita dapat menyusun huruf-huruf pada kata :a. SAYA B. MAMAKU

Jawab :a. SAYA

Banyak unsur = 4 ; unsur yang sama adalah A sebanyak 2

Banyak permutasi berlainan adalah .b. MAMAKU

Banyak unsur = 6 ; unsur yang sama adalah A sebanyak 2 ; M sebanyak 2.

Banyak permutasi berlainan adalah .

d. Permutasi siklisBanyaknya permutasi tiga unsur A, B dan C ada 6 yaitu ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Tetapi jika tiga unsur itu disusun dalam kurva tertutup (permutasi siklis) hanya ada 2 permutasi saja.

ABC = BCA = CAB ACB = CBA = BAC

Permutasi siklis 4 unsur ( unsur dalam kurva tertutup) dengan unsur A,B,C dan D adalah : ABCD = BCDA= CDAB = DABC ADCB = DCBA=CBAD=BADCABDC = BDCA= DCAB = CABD ADBC = DBCA=BCAD=CADBACBD = CBDA= BDAC = DACB ACDB = CDBA= DBAC = BACD

Dari contoh di atas terlihat bahwa banyaknya permutasi siklis tiga unsur sama dengan 2 permutasi, dan setiap permutasi siklis terdapat 3 permutasi tak siklis serta jumlah semua permutasi tak siklis adalah 6 atau 3 !.

Banyaknya permutasi siklis 4 unsur sama dengan 6 permutasi dan setiap permutasi siklis itu dapat dibuat sebanyak 4 permutasi tak siklis serta jumlah semua permutasi tak siklisnya adalah 24 atau 4 !.

Hubungan antara banyaknya permutasi tak siklis n unsur dan permutasi siklis n unsur sebagai berikut :Banyaknya permutasi tak siklis n unsur = banyaknya permutasi siklis n unsur kali n atau Banyak permutasi siklis n unsur = banyak permutasi tak siklis n unsur dibagi n

11

B C A A

C B

= n !

Jadi, banyak permutasi siklis n unsur adalah

Contoh :Bendera 6 negara akan disusun melingkar dalam suatu pertemuan. Berapa banyak susunan bendera yang mungkin ?

Jawab :Susunan melingkar merupakan permutasi siklis. Banyaknya susunan bendera tersebut adalah

susunan.


1. Hitunglah permutasi :

a. = c. e.

b. d. f.

2. Hitunglah banyaknya :a. permutasi 3 unsur dari 12 unsur. d. permutasi 6 unsur dari 11 unsur.b. permutasi 2 unsur dari 12 unsur. e. permutasi 3 unsur dari 100 unsur.c. permutasi 4 unsur dari 10 unsur. f. permutasi 5 unsur dari 7 unsur.

3. Berapa banyaknya lambang bilangan asli terdiri tiga angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka :a. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7b. 5, 6, 8c. 4, 6, 7, 9d. 7, 8, 9, 1, 5

4. Berapa banyak permutasi yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata :a. TUTIK d. YOGYAKARTAb. KERBAU e. KELELAWARc. MATEMATIKA f. MISSISIPPI

5. Dari suatu kotak yang berisi 6 bola diambil satu demi satu bola sampai habis. Berapakah banyaknya kombinasi warna dari bola yang terambil jika :a. kotak berisi 4 bola merah dan 2 bola putihb. kotak berisi 3 bola merah 2 putih dan 1 kuningc. kotak berisi 2 bola merah 2 bola ptih dan 2 bola kuning

6. Suatu grup Kuda Lumping terdiri dari 8 orang akan dibentuk dari orang Temon, Wates dan Sentolo. Jika yang diperhatikan asal kecamatan peserta, berapakah banyaknya susunan grup Kuda Lumping yang mungkin dibentuk , kalau :a. 3 orang dari Temon, 3 orang dari Wates dan 2 orang dari Sentolob. 3 orang dari Temon, 1 orang dari Wates dan 4 orang dari Sentoloc. 2 orang dari Temon, 2 orang dari Wates dan 4 orang dari Sentolod. 5 orang dari Temon, 2 orang dari Wates dan 1 orang dari Sentolo

12

7. Hitunglah banyaknya permutasi siklis yang terdiri dari :a. 5 objek c. 3 objekb. 4 objek d. 7 objek

8. Sebuah gelang mempunyai 8 mata berlian yang bentuk dan ukurannya berbeda. Berapakah banyaknya susunan berlian itu jika berlian itu ditempatkan pada keliling gelang.

9. Suatu konferensi diikuti oleh 10 orang beserta dan duduk mengelilingi suatu meja bundar, Berapakah banyaknya cara duduk yang dapat ditentukan.

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1 . / 1.4Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menyelesaikan masalah yang menggunakan

aturan kombinasi Materi Pembelajaran :

2. KOMBINASIa. Pengertian Kombinasi

Kombinasi r unsur dari n unsur merupakan susunan sejumlah r unsur yang diambil dari n unsur dengan tanpa memperhatian urutannya, sehingga walaupun urutannya berbeda tetapi jika objeknya sama merupakan kombinasi yang sama pula.

Kombinasi r unsur dari n unsure ditulis dengan atau atau C(n,r).Contoh :1. Regu piket harian

Regu Amir, Budi, Candra sama dengan regu Candra, Amir, Budi sama dengan regu Budi, Candra , Amir

2. Orang salamanUmar dan Kasman salaman sama dengan Kasman dan Umar salaman.

3. Mengambil 3 bola sekaligus dari 5 bola yang tersedia yaitu b1, b2, b3, b4, b5

Hasil pengambilan b1, b3, b2 sama dengan b1, b2, b3 sama dengan b3, b2, b1.

b. Menentukan banyaknya kombinasi r unsur dari n unsur.

Perhatikan contoh-contoh berikut :Misalkan ada 5 unsur yaitu A, B, C, D, dan E.1. Jika diadakan kombinasi 3 unsur, beberapa kombinasinya antara lain ABC, ACD, BCE.

Jika setiap kombinasi dibuat permutasi maka banyak permutasi setiap kombinasi

adalah 3 x 2 x 1 = 3 ! dan banyak seluruh permutasi sebanyak 5P3 = Jika banyaknya kombinasi 3 unsur dari 5 unsur itu adalah k maka

k x 3 ! = 5P3 atau k =

Karena k = banyak kombinasi 3 unsur dari 5 unsur maka k = 5C3=

13

2. Jika diadakan kombinasi 4 unsur maka kombinasinya adalah ABCD, ABCE, ACDE, ABDE, BCDE.Jika setiap kombinasi dibuat permutasi maka banyak permutasi setiap kombinasi adalah 4x3 x 2 x 1 = 4 ! dan banyak seluruh permutasi sebanyak 5P4 =

Jika banyaknya kombinasi 4 unsur dari 5 unsur itu adalah m maka

m x 4 ! = 5P4 atau m =

Karena m = banyak kombinasi 4 unsur dari 5 unsur maka m = 5C4=Dengan pemikiran serupa dengan dua contoh diatas maka :

Banyak kombinasi r unsur dari n unsur adalah C dan setiap kombinasi yang terdiri dari r unsur itu dapat dibuat menjadi r ! permutasi, sedangkan banyak seluruh permutasi = nPr .

sehingga x r! = atau

Jadi banyak kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia adalah :

Contoh :Pada akhir sebuah pesta yang dihadiri 100 orang undangan diadakan jabatan tangan. Jika semua orang saling berjabat tangan, berapa banyak jabat tangan yang terjadi?

Jawab :Banyak unsur (orang) n= 100. r = 2

Banyak jabat tangan adalah .Jadi banayak jabat tangan yang terjadi adalah 4950 jabat tangan.

Contoh :Seorang pengusaha konveksi akan memproduksi taplak meja yang terbuat dari kombinasi 4 macam kain. Bahan yang tersedia adalah 5 macam kain batik dan 3 macam kain polos. Berapa banyak variasi yang dihasilkan jika taplak tersebut terbuat dari :a. 3 macam kain batik dan 1 macam kain polos.b. 4 macam kain batik.

Jawab :a. Taplak terbuat dari 3 macam kain batik dan 1 macam kain polos.

Banyak cara memilih 3 kain batik dari 5 macam kain batik adalah :

Banyak cara memilih 1 kain polos dari 3 macam kain polos adalah :

Banyak cara memilih 3 kain batik dan1 macam kain polos adalah :5C3. 3C1 = 10 x 3 = 30

Jadi, banyak variasi taplak meja yang terbuat dari 3 macam kain batik dan 1 macam kain polos adalah 30 macam.

14

b. Taplak terbuat dari 4 macam kain batik Banyak cara memilih 4 kain batik dari 5 macam kain batik adalah :

Jadi, banyak variasi taplak meja yang terbuat dari 4 macam kain batik adalah 5 macam.


1. Hitunglah banyak kombinasi berikut :

a. C c. C e. C

b. C d. C f. C

2. Dari 10 soal ulangan matematika yang disediakan, setiap siswa harus mengerjakan beberapa soal tersebut. Tentukan banyaknya cara memilih jika setiap siswa wajib mengerjakan soal sebanyak :a. 4 buah soal. c. 8 buah soalb. 6 buah soal. d. semua soal.

3. Dari sebuah kantong yang berisi 6 kelereng diambil beberapa kelereng sekaligus. Tentukan banyak cara pengambilan jika kelereng yang diambil sebanyak :a. 3 buah. c. 5 buahb. 4 buah. d. 6 buah

4. Dari 20 orang pengurus OSIS yang terdiri dari 12 siswa putra dan 8 siswa putri akan dipilih 5 orang utusan untuk mengikuti seminar tentang narkoba. Berapa banyaknya utusan yang terbentuk jika terdiri dari :a. 2 laki-laki dan 3 perempuan.b. 3 laki-laki dan 2 perempuan.c. 4 laki-laki dan 1 perempuan.d. semua laki-laki.e. semua perempuan.

5. Dari sebuah kotak yang berisi 8 bola merah dan 5 bola putih diambil 6 bola sekaligus.Berapakah banyaknya cara pengambilan bola itu jika bola yang terambil :a. 3 bola merah dan 3 bola putihb. 2 bola merah dan 4 bola putihc. 5 bola merah dan 1 bola putih..d. 1 bola merah dan 5 bola putih.

6. Dari 10 soal ulangan matematika yang disediakan, setiap siswa harus mengerjakan7 soal tersebut. Tentukan banyaknya cara memilih soal jika :

a. No. 4 dan no. 9 harus dikerjakanb. No. 1 s.d 4 harus dikerjakan

15

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1 . / 1.5Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menyelesiakan masalah yang berkaitan dengan binomium NewtonMateri Pembelajaran :

c. Binomium Newton

Jika a dan b adalah bilangan real maka (a+b)n adalah perpangkatan n dari suku dua atau binom.Untuk n= 1, 2, dan 3 bentuk (a+b)n masih mudah dijabarkan yaitu :

o untuk n= 1 maka (a+b)1 = a+b

o untuk n= 2 maka (a+b)2 = a2+ 2ab+ b2

o untuk n= 3 maka (a+b)3 = a3+ 3a2b+ 3ab2 + b3

Blaise Pascal telah merumuskan koefisien-koefisien penjabaran suku dua berpangkat n yang dikenal dengan Segitiga Pascal yaitu :

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

dan seterusnya.Untuk n cukup besar, kita akan menemui kesulitan untuk menentukan koefisien-koefisien tersebut. Untuk mengatasi hal tersebut Newton menemukan cara yang dapat digunakan untuk menentukan koefisien-koefisien penjabaran perpangkatan suku dua dengan pangkat yang tinggi yang dikenal dengan Binomium Newton.

o untuk n= 1 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)1 adalah 1C0 ; 1C1

o untuk n= 2 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)2 adalah 2C0 ; 2C1 ; 2C2

o untuk n= 3 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)3 adalah 3C0 ; 3C1 ; 3C2 ; 3C3.

dan seterusnya, sehingga :

16

o untuk n= 100 maka koefisien-koefisien penjabaran (a+b)100 adalah 100C0 ; 100C1 ;

100C2 ; 100C3; ……; 100C99 ; 100C100 .

Sesuai dengan binomium Newton maka :o (a+b)1

= 1C0. a1 + 1C1. b1

= 1C0. a1b0 + 1C1. a0.b1

= 1C0. a10 b0 + 1C1. a11.b1

o (a+b)2 = 2C0. a2 + 2C1. ab + 2C2.b2

= 2C0. a2b0+ 2C1. a1b1+ 2C2.a0.b2

= 2C0. a20 b0+ 2C1. a21 b1+ 2C2.a22 .b2

o (a+b)3 = 3C0. a3 + 3C1. a2b + 3C2.ab2 + 3C3.b3

= 3C0. a3b0 + 3C1. a2b1+ 3C2.a1 b2 + 3C3.a0.b3

= 3C0. a30 b0 + 3C1. a31 b1+ 3C2.a32 b2 + 3C3.a33 .b3

Dan seterusnya, sehingga :

(a+b)100 = 100C0. a1000 b0 + 100C1. a1001 b1 + 100C2.a1002 b2 + 100C3.a1003 .b3 + ………..

+ 100C99.a10099 b99 + 100C100.a100100 .b100

Sehingga (a+b)n dapat dirumuskan menjadi :

(a+b)n = nC0. an0 b0 + nC1. an1 b1 + nC2.an2 b2 + nC3.an3 .b3 + ……….. +

nCn1.an(n1) b n1 + nCn.ann .bn

=

Jadi rumus Binomium Newton dirumuskan dengan :

(a+b)n =

Contoh :1. Dengan menggunakan rumus binomium Newton, jabarkan bentuk berikut :

a. (x + y)4 b. (2xy)3

Jawab :

a. (x + y)4 = 4C0. x4 + 4C1. x3y + 4C2.x2 y2 + 4C3.xy3 +4C4.y4

Dengan rumus kombinasi kita dapat menentukana nilai :4C0 =1 ; 4C1 = 4 ; 4C2= 6 ; 4C3 = 4 ; 4C4 = 1 sehingga :

(x + y)4 = 1. x4 + 4. x3y + 6.x2 y2 + 4.xy3 +1.y4

= x4 + 4x3y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4

b. (2xy)3= 3C0. (2x)3 + 3C1. (2x)2 (y) + 3C2. (2x) (y)2 + 3C3. (y)3

Dengan rumus kombinasi kita dapat menentukana nilai :3C0 =1 ; 3C1 = 3 ; 3C2= 3 ; 3C3 = 1 sehingga :

(2xy)3= 1. (2x)3 + 3.(2x)2 (y) + 3.(2x) (y)2 + 1.(y)3

= 8x3 + 3.4x2 (y) + 3.(2x) (y)2 + (y)3

= 8x3 12x2y + 6xy2 y3

2. Dengan menggunakan rumus binomium Newton, tentukan suku dan koefisien suku yang memuat x7 pada penjabaran bentuk ( x + y)8.

Jawab :

(x+y)8 =

x7 = x8r 7 = 8 r r = 1Suku yang memuat x7 adalah suku ke-2 atau r= 1 yaitu 8C1. x7y = 8x7y

17

Jadi, suku yang memuat x7 adalah 8x7y ; koefisiennya adalah 8.

Contoh: Hitung koefisien X27

dari perpangkatan (X 2+ 2X)

15

Jawab: Perpangkatan (X2 + 2X)15 identik dengan (a + b )n , dengana = X2 b = 2Xn = 15

Suku ke –r = C(n, r-1) an-r+1 br-1

= C(15, r-1) (x2)15-r+1 (2X)r-1

= C(15, r-1) X30-2r+2 (2X) r-1

Yang dicari X27

Terdapat hubungan 30-2r +2 +( r-1 )= 27 30-2r +2 + r-1 = 27

-2r + r = 27-30-2+1-r = -4r = 4

Suku ke – 4 = C(15,4-1) X30-2.4+2 (2X)4-1

= C(15,3) X30-8+2 (2X)3

= 455X2423 X3

= 455X27 8 = 3.640X27

Jadi koefisien X27 dari perpangkatan (X

2+ 2X)

15 adalah 3.640

Soal1. Tentukan koefisien X10 dari perpangkatan (X3 – 2X)6

240 x10


1. Jabarkanlah :a. (x + y)5 c. (2x – 3y)5

b. (2x + y)6 d. (3x – 2y)6

2. Dari penjabaran bentuk (x + y)10 ,carilah suku dan koefisien suku yang memuat:a. x6 b. y3

3. Dari penjabaran bentuk bentuk (2x + y)10 , carilah suku dan koefisien yang memuat :a. x4 b. y8

4. Dari penjabaran bentuk bentuk (3x - 2y)11, carilah suku dan koefisien yang memuat :a. x2 b. y3

5. Dari penjabaran bentuk bentuk (2x - 3y)7, carilah suku dan koefisien yang memuat :a. x6 b. y4

6. Dari penjabaran bentuk bentuk (12x )10, carilah koefisien yang memuat x8.

7. Dari penjabaran bentuk bentuk , carilah koefisien yang memuat x4.

8. Dari penjabaran bentuk bentuk , carilah koefisien yang memuat x5.

Contoh: Hitung koefisien X27

dari perpangkatan (X 2

+ 2X)15

18

Jawab: Perpangkatan (X

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1 . / 1.5 dan 1.6Tujuan Pembelajaran : 1. Siswa dapat menentukan ruang sampel suatu eksperimen.

2. Siswa dapat menentukan banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen. 3. Siswa dapat menentukan suatu kejadian dari percobaan

4. Siswa dapat menentukan banyaknya anggota suatu kejadian

5. Siswa dapat menentukan peluang suatu kejadian.Materi Pembelajaran : RUANG SAMPEL , KEJADIAN DAN PELUANG KEJADIAN

1. RUANG SAMPELHimpunan semua hasil yang mungkin dalam suatu eksperimen disebut ruang sampel dan diberi lambang dengan S .Banyaknya semua anggota S ditulis dengan simbol n(S).Contoh1. Sebuah mata uang logam dilambungkan sekali. Hasil yang mungkin terjadi adalah

muncul sisi angka (A) atau muncul sisi gambar (G). Ruang sampelnya S = {A,G} dan n(S) = 2.

2. Melambungkan dua buah koin satu kali. Hasil yang mungkin terjadi adalah koin pertama muncul angka dan koin kedua mucul angka (AA) atau koin pertama muncul angka dan koin kedua muncul gambar (AG) dan seterusnya sehiningga ruang sampel S = { AA, AG, GA, GG}; dan n(S) = 4.

3. Sebuah kartu diambil dari 8 kartu bernomor mulai dari 2 sampai dengan 9. hasil yang mungkin terjadi adalah terambil kartu bernomor 2 atau terambil kartu bernomor 3 atau terambil kartu bernomor 4 dan seterusnya.Ruang sampelnya adalah S = {2,3,4,5,6,7,8,9} ; dan n(S) = 8.

4. Sebuah bola diambil dari 4 bola merah dan 2 bola putih. Hasil yang mungkin terjadi adalah terambil bola merah pertama (m1) atau terambil bola merah kedua (m2) atau terambila bola merah ketiga (m3) dan seterusnya.S = { m1, m2, m3, m4, p1, p2} ; dan n(S) = 6.

5. Dua buah bola diambil sekaligus dari 5 bola. Hasil yang mungkin terjadi adalah terambil bola kesatu dan kedua (b1b2) atau terambil bola kesatu dan ketiga (b1b3) dan seterusnya.

19

S = { b1b2, b1b3, b1b4, b1b5, b2b3, b2b4, b2b5, b3b4, b3b5, b4b5 }; dan n(S) = 10 = kombinasi 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia = 5C2.

6. Mengambil 4 bola sekaligus dari 5 bola .S ={ b1b2b3b4, b1b2b3b5, b1b2b4b5, b1b3b4b5, b2b3b4b5 } ; dan n(S) = 5 = kombinasi 4 unsur dari 5 unsur yang tersedia = 5C4

7. Mengambil dua kali sebuah bola dari sebuah kotak yang berisi 4 bola merah dan 3 bola putih tanpa pengembalian.Hasil yang mungkin terjadi adalah terambil bola merah pertama kemudian bola merah kedua (m1m2) , bola merah pertama kemudian bola merah ketiga (m1m3) dan seterusnya.Ruang sampel contoh ini dapat ditunjukkan dalam tabel berikut :

III m1 m2 M3 m4 p1 p2 p3

m1 (m1, m2 ) (m1, m3 ) (m1, m4 ) (m1, p1 ) (m1, p2 ) (m1, p3 )

m2 (m2,m1 ) (m2, m3 ) (m2, m4 ) (m2, p1 ) (m2, p2 ) (m2, p3 )

m3 (m2, m1 ) (m3, m2 ) (m3, m4 ) (m3, p1 ) (m3, p2 ) (m3, p3 )

m4 (m4, m1 ) (m4, m2 ) (m4, m3 ) (m4, p1) (m4, p2 ) (m4, p3)

p1 (p1, m1) (p1, m2 ) (p1, m3 ) (p1, m4 ) (p1, p2 ) (p1, p3 )

p2 (p2, m1 ) (p2, m2 ) (p2, m3 ) (p2, m4 ) (p2, p1 ) (p2, p3 )

p3 (p3, m1 ) (p3, m2 ) (p3, m3 ) (p3, m4 ) (p3, p1 ) (p3, p2 )

n(S)= 42.2. KEJADIAN

Sembarang himpunan bagian dari suatu ruang sampel S disebut kejadian. Kejadian yang memiliki tepat satu anggota disebut kejadian sederhana.Jika A suatu kejadian dalam ruang sampel S maka A S sehingga 0 n(A) n(S).Jika A’ = komplemen himpunan S maka n(A’) = n(S) – n(A).

Contoh1. Sebuah dadu bermata enam dilambungkan sekali.

a. Tuliskan ruang sampelnya.b. Jika A kejadian mucul mata prima, tuliskan A .c. Jika B kejadian mucul mata ganjil tuliskan Bd. Tuliskan n(S), n(A), n(B), n(A’)an n(B’)Jawab :a. S = { 1,2,3,4,5,6}b. A = { 2, 3, 5 }c. B = { 1, 3, 5 }d. n(S) = 6; n (A) = 3; n(B) = 3 , n(A’) = n(S)- n(A)= 6-3 = 3 ; dan

n(B’) = n(S)-n(B)= 6-3 = 3

2. Sebuah bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 10 bola berwarna merah ,5 bola berwarna kuning, dan 3 bola berwarna biru.A = kejadian terambil bola merah.B = kejadian terambil bola biru.C= kejadian terambil bola bukan merah.Tentukanlah n(S), n(A) , n(B), n(C)

Jawab :n(S) = banyak cara mengambil 1 bola dari 18 bola yang ada =18 ; n(A)= banyak cara mengambil 1 bola merah dari bola merah yang ada =10 n(B)= banyak cara mengambil 1 bola biru dari bola biru yang ada = 3 n(C) = banyak cara mengambil 1 bola yang bukan merah = 8 atau :C= kejadian terambil bola bukan merah C’ = Kejadian terambil bola merah ; n(C) = n(S) n(C’) = 1810 = 8.

3. Dari sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 4 bola putih diambil tiga buah bola sekaligus secara acak.

20

A = kejadian ketiga bola yang terambil berwarna merah.B = kejadian bola yang terambil dua buah berwarna merah dan satu bola berwarna putih.C = kejadian bola yang terambil ada yang putihTentukanlah n(S), n(A), n(B), n(C)

Jawab :n(S) = Banyak cara mengambil dua bola dari bola yang tersedia

= 10C3 = n(A) = Banyak cara mengambil dua bola merah dari bola merah yang tersedia

= 6C3 = n(B) = Banyak cara mengambil dua bola dari bola merah yang tersedia dan satu bola

putih dari bola putih yang tersedia.

= 6C2. 4C1 =

C = kejadian bola yang terambil ada yang putih maka :C’ = kejadian bola yang terambil ketiganya berwarna merah sehingga n(C’) = 6C3 = 20.n(C) = n(S) n(C’) = 120 20 = 100Latihan Uji Kompetensi 6

2. Pada percobaan melambungkan sebuah dadu sisi enam, tuliskan kejadian-kejadian berikut ini dengan notasi himpunan :a. Kejadian munculnya mata dadu kurang dari 4b. Kejadian munculnya mata dadu ganjilc. Kejadian munculnya mata dadu primad. Kejadian munculnya mata dadu kelipatan 2e. Kejadian munculnya mata dadu bukan 3

3. Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilambungkan bersama-sama satu kali. Tuliskan kejadian – kejadian berikut dengan notasi himpunan :a. Kejadian munculnya mata dadu ganjil dan angka pada mata uang logamb. Kejadian munculnya mata dadu prima dan gambar pada mata uang logamc. Kejadian munculnya mata dadu kurang dari 3 dan angka pada mata uang

logamd. Kejadian munculnya mata dadu lebih dari 3 dan gambar pada mata uang

logame. Kejadian munculnya mata dadu bukan prima dan angka pada mata uang

logam

4. Tiga buah mata uang logam dilambungkan bersama-sama satu kali. Tuliskan kejadian – kejadian berikut ini dengan notasi himpunan :a. Kejadian muncul tiga gambarb. Kejadian muncul tiga angkac. Kejadian muncul dua gambar dan satu angkad. Kejadian muncul dua angka dan satu gambare. Kejadian muncul paling sedikit satu gambar

5. Dua buah dadu dilambung satu kali . Tuliskan kejadian-kejadian berikut ini dengan notasi himpunan :a. Kejadian muncul dua dadu samab. Kejadian muncul jumlah mata dua dadu adalah 5c. Kejadian muncul jumlah mata dua dadu adalah 10d. Kejadian muncul jumlah mata dua dadu kurang dari 4e. Kejadian muncul selisih mata dua dadu adalah 2

21

3. PELUANG SUATU KEJADIAN.Definisi : Andaikan dari suatu eksperimen banyaknya semua hasil yang mungkin terjadi adalah m, dan dari m itu terdapat k buah memberikan hasil A maka peluang

terjadinya A ditulis dengan P(A) = atau Jika A sembarang kejadian dalam ruang sampel S maka peluang tejadinya A

adalah P(A) =

Karena A S maka 0 n(A) n(S). sehingga 0 P(A) 1

Tampak bahwa kisaran peluang kejadian A adalah antara 0 dan 1. Jika peluang kejadian A adalah 0 maka dikatakan A suatu kemustahilan ( A tidak mungkin terjadi) dan jika peluangnya 1 maka A dikatakan suatu kepastian.Komplemen kejadian A dilambangkan dengan A’ didefinisikan kejadian bukan A.Karena A S maka n(A) + n(A’) = n(S), sehingga :

P(A) + P(A’) = 1 P(A’) = 1 - P(A)Jadi peluang komplemen kejadian A yaitu P(A’) = 1 P(A).Contoh1. Sebuah dadu dilambungkan sekali.

a. Tuliskan ruang sampelnya.b. Jika A kejadian mucul mata prima , nyatakan A dengan himpunan.c. Jika B kejadian mucul mata kurang dari 3, nyatakan B dengan himpunan d. Tentukan P(A), P(B), P(A’), dan P(B’)

Jawab :a. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S)= 6b. A = {2,3,5 } n(A)= 3c. B = {1,2 } n(B)= 2

d. P(A) = ; P(B) = ;

P(A’) = 1- P(A) = ; dan P(B’) = 1- P(B) =

2. Dua buah mata uang logam dilambungkan sekali. Tentukan :a. Ruang sampelnya.b. Peluang kejadian muncul dua gambar.c. Peluang kejadian muncul satu angka.Jawab :a. Jika dinyatakan dengan tabel maka ruang sampelnya adalah :

III A G

A (A,A) (A,G)G (G,A) (G,G)

A= angka, G= gambar.n(S)= 4

b. B= Kejadian muncul dua gambar = { (G,G) } ; n(B)= 1Sehingga peluang kejadian muncul dua gambar adalah :

c. C= Kejadian muncul satu angka = { (A,G), (G,A) } ; n(C)= 2Sehingga peluang kejadian muncul satu angka adalah :

22

3. Dua buah dadu bermata dilambungkan sekali .a. Tuliskan ruang sampelnya.b. Tentukan peluang kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 10c. Tentukan peluang kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 7d. Tentukan peluang kejadian selisih kedua mata dadu yang muncul 4.Jawab :a. Jika dituliskan dalam tabel ruang sampelnya adalah sebagai berikut : III 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)n(S)= 36

b. Misalkan A = kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 10A= { (4,6), (5,5), (6,4)} ; n(A)= 3 Sehingga peluang kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 10 adalah :

c. Misalkan B = kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 7B= { (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} ; n(B)= 6 Sehingga peluang kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 7 adalah :

d. Misalkan C = kejadian selisih kedua mata dadu yang muncul 4C= { (1,5), (2,6), (5,1), (6,2)} ; n(C)= 4 Sehingga peluang kejadian selisih kedua mata dadu yang muncul 4 adalah :

4. Dari sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 4 bola putih diambil tiga buah bola sekaligus secara acak.A = kejadian ketiga bola yang terambil berwarna merah.B = kejadian bola yang terambil dua buah berwarna merah dan satu bola berwarna putih.C = kejadian bola yang terambil ada yang putihTentukanlah P(A), P(B), P(C)

Jawab :

n(S) = 10C3 =

n(A) = 6C3 =

n(B) = = 6C2. 4C1 = C = kejadian bola yang terambil ada yang putih maka :C’ = kejadian bola yang terambil ketiganya berwarna merah sehingga n(C’) = 6C3 = 20.n(C) = n(S) n(C’) = 120 20 = 100

P(A) = P(C) =

23

P(B) =

Latihan Uji Kompetensi

1. Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah , 3 bola hijau dan 2 bola kuning diambil sebuah bola secara acak.Berapakah peluang yang terambil bola berwarna :a. Merah b. hijau c. kuning

2. Dari 12 kartu bernomor 1 sampai dengan 12 diambil sebuah kartu secara acak.Berapakah peluang kartu yang terambil adalah :a. kartu yang bernomor genap d. kartu yang bernomor prima kurang dari 7b. kartu yang bernomor prima e. kartu yang bernomor kelipatan 3.c. kartu yang bernomor lebih dari 9

3. tiga uang logam dilambungkan satu kali. Berapakah peluang yang muncul :

a. selalu angkab. selalu gambarc. dua kali gambar dan sekali angka (2G1A)

4. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Berapakah peluang yang terambil adalah kartu :a. as d. bergambarb. bukan as e. Kingc bukan gambar f. Queen Merah.

5. Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu bermata 6 dilambungkan sekali. Berpakah peluang yang muncul :a. mata uang muncul gambar dan dadu mucul 3.b. mata uang muncul angka c. mata uang muncul gambar dan dadu muncul prima.d. Mata uang logam muncul angka dan dadu kurang dari 5.

6. Dari sebuah kotak yang berisi 4 bola merah, 7 bola putih diambil tiga bola sekaligus secara acak. Berapakah peluang ketiga bola yang terambil :a. semua merah d. berlainan warnab. semua putih e. ada yang merah. c. dua kuning dan satu putih f. sekurang-kurangnya satu putih.

7. Dari sebuah kotak yang berisi 4 bola merah, 5 bola putih dan 6 bola kuning diambil tiga bola sekaligus secara acak. Berapakah peluang ketiga bola yang terambil :a. semua merah d. berlainan warnab. semua putih e. paling sedikit satu merah.c. dua kuning dan satu putih

8. Dua kartu diambil sekaligus dari satu set kartu bridge. Berapakah peluang terambil :a. keduanya kartu as d. keduanya kartu bergambar.b. satu kartu king dan satu kartu Jack e. keduanya kartu bernomorc. satu kartu hati dan satu kartu berlian.

24

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1 . / 1.6Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menentukan peluang dua kejadian saling lepas Materi Pembelajaran : PELUANG DUA KEJADIAN SALING LEPAS

Dalam teori himpunan kita masih ingat bahwa jika A dan B dalam semesta pembicaraan S, maka A S , B S dan n(AB)= n(A)+n(B)n(AB). Oleh karenanya , jika terdapat dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S, peluang kejadian A atau B dapat ditentukan sebagai berikut :

n(AB)= n(A)+n(B)n(AB)

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)

Jadi, jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S maka peluang kejadian A atau B ditulis P(AB) adalah :

P(AB)= P(A) + P(B) P(AB)Rumus di atas dikenal dengan aturan penjumlahan untuk sembarang kejadian.Jika A dan B saling dua kejadian yang saling lepas /asing maka A B = ; n(A B) = 0 sehingga P(AB) = 0 yang berakibat rumus di atas menjadi :

P(AB)= P(A) + P(B)

Contoh :1. Dari seperangkat kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak.

a. Tentukan peluang terambil kartu hitam atau heart.b. Tentukan peluang terambil kartu heart atau As.

Jawab :Seperangkat kartu bridge berisi sebanyak 52 kartu sehingga n(S)= 52. Misalkan :

A= Kejadian terambil kartu hitam, maka n(A) = 26 ;

B= Kejadian terambil kartu heart, maka n(B)= 13 ;

25

C= Kejadian terambil kartu As , maka n(C) = 4 ; a. A dan B adalah dua kejadian saling lepas, karena kartu heart berwarna merah,

maka :

Jadi, peluang terambil kartu hitam atau heart adalah b. B dan C adalah dua kejadian yang tidak saling lepas karena BC= Kejadian

terambil kartu As heart , n(BC) = 1 ; sehingga :

Jadi, peluang terambil kartu heart atau As adalah

2. Dua buah dadu bermata dilambungkan sekali .Tentukan peluang kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 8 atau 5.Jawab : Jika dituliskan dalam tabel ruang sampelnya adalah sebagai berikut : III 1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

n(S)= 36Misalkan :A = kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 8

= { (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} ; n(A)= 5 ; .B = kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 5

= { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ; n(B)= 4 ; .AB= sehingga A dan B dua kejadian saling lepas.

.Jadi, peluang kejadian jumlah kedua mata dadu yang muncul 8 atau 5 adalah


1. Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang kejadian munculnya :a. mata dadu prima atau genap.b. Mata dadu angka kurang dari 5 atau lebih dari 3.c. Mata dadu kurang dari 2 atau genap.d. Mata dadu lebih dari 3 atau prima genap.e. Mata dadu keliptan 2 atau muncul mata dadu 5.

26

2. Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge. Tentukan peluang kejadian terambil :a. kartu bernomor 4 atau kartu berwarna merah.b. Kartu bernomor ganjil atau kartu heart.c. Kartu bernomor atau kartu king.d. Kartu as atau kartu Jack.e. Kartu As atau kartu bergambar.

3. Dua buah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang kejadian munculnya:a. jumlah kedua mata dadu adalah 3 atau 6b. jumlah kedua mata dadu adalah 5 atau 10c. jumlah kedua mata dadu adalah 10 atau 12.d. angka 5 pada dadu pertama atau angka 3 pada dadu kedua. e. angka ganjil pada dadu pertama atau angka genap pada dadu kedua.

4. Duapuluh kartu ditandai dengan nomor 1 sampai dengan 20. Dari keduapuluh kartu tersebut diambil sebuah kartu secara acak. Hirunglah peluang yang terambil adalah :a. Kartu bernomor bilangan ganjil atau bernomor bilangan prima.b. Kartu bernomor bilangan prima atau bernomor kelipatan 3.c. Kartu bernomor bilangan ganjil lebih dari 7 atau bernomor kelipatan 2d. Kartu bernomor lebih dari 10 atau bernomor bilangan prima genap.

5. Sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilambungkan bersama-sama satu kali. Tentukan peluang munculnya :a. mata dadu ganjil atau gambar pada uang logam.b. mata dadu kurang dari 3 atau angka pada uang logam.c. mata dadu prima atau angka pada uang logam.d. mata dadu kelipatan 2 atau gambar pada uang logam.

27

BAHAN AJARMata Pelajaran : MatematikaKlas / Semester : XI / 1SK./KD. : 1. / 1.6Tujuan Pembelajaran : 1. Siswa dapat menentukan peluang kejadian bersyarat .

2. Siswa dapat menentukan peluang kejadian saling bebas.Materi Pembelajaran :

5. PELUANG KEJADIAN BERSYARATKejadian merupakan sembarang himpunan bagian dari suatu ruang sampel, sedangkan kejadian bersyarat merupakan himpunan bagian dari suatu kejadian.Peluang kejadian bersyarat merupakan peluang tetapi ruang sampelnya merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.Contoh :1. Sebuah kartu diambil dari satu set kartu berisi 11 kartu bernomor 2 sampai dengan 12.

Jika yang terambil kartu bernomor ganjil, tentukan peluang yang terambil itu kartu bernomor prima kurang dari 10.Jawab :S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11,12 }Jika A adalah kejadian terambilnya kartu bernomor ganjil, maka A = {3, 5, 7, 9, 11}; n(A)= 5Jika B kejadian terambilnya kartu bernomor prima kurang dari 10, maka B = {2, 3, 5, 7}; n(B)= 4B A = { 3,5,7 }; n(BA) = 3B/A adalah kejadian terambilnya kartu bernomor prima kurang dari 10 di antara yang ganjil maka B/A={3,5,7 }, n(B/A)= 3.Peluang terambilnya kartu bernomor prima kurang dari 10 di antara yang ganjil adalah

2. Sebuah dadu bermata dilambungkan sekali. Jika yang muncul kurang dari 5, tentukan

peluang yang muncul itu ganjil.Jawab :S = { 1,2,3,4,5,6 }Jika A adalah kejadian yang muncul kurang dari 5, maka A = { 1,2,3,4}.Jika B adalah kejadian yang muncul ganjil, maka B = {1,3,5,}

28

BA= { 1,3 } ; n(BA) = 2B/A = kejadian munculnya mata ganjil diantara yang kurang dari 5

Sehingga P(B/A) =

3. Sebuah mata uang dan sebuah dadu bermata dilambungkan sekali bersamaan.Jika dadunya muncul mata lebih dari 2, berapakah peluang bahwa mata uangnya muncul gambar ?Jawab :Ruang sampelnya dapat ditunjukkan dengan tabel berikut : DaduUang 1 2 3 4 5 6

A (A,1) (A,2) (A,3) (A,4) (A,5) (A,6)

G (G,1) (G,2) (G,3) (G,4) (G,5) (G,6)

B= Kejadian muncul mata dadu lebih dari 2, n(B)= 8C= Kejadian muncul gambar pada mata uang logam , n(C) = 6.CB = Kejadian muncul gambar dan mata dadu lebih dari 2 ; n(CB) = 4C/B = Kejadian muncul gambar dengan syarat mata dadu lebih dari 2; n(C/B) = 4.Peluang munculnya gambar diantara dadunya yang muncul mata lebih dari 2 adalah

4. Dari sebuah kotak yang berisi 3 bola merah dan 4 bola putih diambil dua kali sebuah bola tanpa pengembalian.Jika bola pertama terambil merah berapakah peluang yang kedua juga merah.

Jawab:Ruang sampelnya dapat ditunjukkan dengan tabel berikut :

III m1 m2 m3 p1 p2 p3 p4

m1 (m1, m2 ) (m1, m3 ) (m1, p1 ) (m1, p2 ) (m1, p3 ) (m1, p4 )

m2 (m2,m1 ) (m2, m3 ) (m2, p1 ) (m2, p2 ) (m2, p3 ) (m2, p4 )

m3 (m2, m1 ) (m3, m2 ) (m3, p1 ) (m3, p2 ) (m3, p3 ) (m3, p4 )

p1 (p1, m1 ) (p1, m2 ) (p1, m3 ) (p1, p2 ) (p1, p3 ) (p1, p4 )

p2 (p2, m1) (p2, m2 ) (p2, m3 ) (p2, p1 ) (p2, p3 ) (p2, p4 )

p3 (p3, m1 ) (p3, m2 ) (p3, m3 ) (p3, p1 ) (p3, p2 ) (p3, p4 )

p4 (p4, m1 ) (p4, m2 ) (p4, m3 ) (p4, p1 ) (p4, p2 ) (p4, p3 )

Peluang terambilnya bola kedua merah jika yang pertama terambil merah adalah :

P(B/A)= ( Perhatikan tabel yang diberi tanda arsiran dan kotak tebal).

Dari contoh-contoh diatas dapat kita definisikan peluang dua kejadian bersyarat yaitu : Kejadian bersyarat B dengan syarat A ditulis B/ A adalah kejadian munculnya B yang

ditentukan oleh persyaratan kejadian A telah muncul. Kejadian bersyarat A dengan syarat B ditulis A/ B adalah kejadian munculnya A yang

ditentukan oleh persyaratan kejadian B telah muncul.Adapun peluang kejadian bersayarat dirumuskan sebagai berikut :

Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah :

29

Jadi, Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah :

Jadi, 6. PELUANG KEJADIAN SALING BEBAS

Perhatikan eksperimen berikut :Dari satu set kartu yang terdiri dari 5 kartu yakni bernomor 2, 3, 4, 4,dan 5 diambil dua kali sebuah kartu secara acak dengan pengembalian ( kartu pertama dikembalikan sebelum pengambilan kartu kedua).

Kejadian A adalah terambilnya kartu pertama bernomor genap, dan B adalah kejadian terambilnya kartu kedua bernomor ganjil.Kejadian B/A adalah kejadian terambilnya kartu kedua ganjil jika yang pertama genap.Ruang sampel eksperimen itu ditunjukkan dengan tabel berikut :

Dengan memperhatikan table maka dapat ditentukan bahwa :n(S) = 25 ;A= Kejadian terambilnya kartu pertama bernomor genap ; n(A) = 15 ,B= Kejadian kartu kedua bernomor ganjil ; n(B) = 10AB= Kejadian terambil kartu pertama bernomor genap dan kartu kedua bernomor ganjil.n(A B) = 6 B/A = Kejadian terambil kartu kedua bernomor ganjil jika kartu pertama yang terambil

bernomor genap. n(B/A) = 6 Sehingga :

II I 2 3 4 4 5

2 (2,2) (2,3) (2,4) (2,4) (2,5)3 (3,2) (3,3) (3,4) (3,4) (3,5)

4 (4,2) (4,3) (4,4) (4,4) (4,5)

4 (4,2) (4,3) (4,4) (4,4) (4,5)

5 (5,2) (5,3) (5,4) (5,4) (5,5)

30

Dari eksperimen ini ternyata , sehingga terjadinya A tidak ada pengaruhnya terhadap peluang terjadinya B. Dalam hal ini dikatakan A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas.

Definisi :Jika terjadinya A tidak mempengaruhi peluang terjadinya B maka kejadian A dan B disebut dua kejadian saling bebas

Jika A dan B saling bebas maka :

P(A B) = P(A) x P(B)Jadi, Jika A dan B saling bebas maka P(A B) = P(A) x P(B)

Jika A dan B tidak saling bebas maka P(A B) = P(B/A) x P(A)

Rumus diatas dikenal dengan aturan perkalian untuk dua kejadian saling bebas dan dua kejadian bersyarat.

Contoh :Pada percobaan melambungkan dua buah dadu bersama-sama, A adalah kejadian dadu pertama muncul angka 2 dan B adalah kejadian dadu kedua muncul angka 3. Tentukan :a. Peluang kejadian A b. Peluang kejadian B.c. Peluang kejadian A dan B.Jawab :

Jika dituliskan dalam tabel ruang sampelnya adalah sebagai berikut : III 1 2 3 4 5 6

1(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)n(S)= 36

Dari tabel terlihat bahwa n(S)= 36, n(A)= 6, n(B)= 6.

a.

b. c. A dan B saling bebas (karena terjadinya A tidak mempengaruhi peluang terjadinya B).

Contoh2 :Dari sebuah kantong yang berisi 6 bola merah dan 4 bola putih diambil dua kali sebuah bola secara acak. Tentukan :

31

A

B

a. Peluang kedua bola yang terambil berwarna merah jika pengambilan dilakukan dengan pengembalian.

b. Peluang kedua bola yang terambil berwarna merah jika pengambilan dilakukan tanpa pengembalian.

Jawab :Misalkan :A= kejadian pengambilan pertama diperoleh bola berwarna merah, B= kejadian pengambilan kedua diperoleh bola berwarna merah , maka :AB = kejadian diperoleh dua bola yang terambil berwarna merah.a. Pengambilan bola dilakukan dengan pengembalian artinya sebelum mengambil bola

yang kedua, bola pertama yang diambil pada pengambilan pertama dikembalikan ke dalam kantong, sehingga hasil pada pengambilan pertama tidak mempengaruhi peluang pada pengambilan kedua, berarti A dan B dua kejadian yang saling bebas.

; dan

Jadi, peluang kedua bola yang terambil berwarna merah jika pengambilan dilakukan

dengan pengembalian adalah .

b. Pengambilan bola dilakukan tanpa pengembalian artinya bola pertama yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan ke dalam kantong, sehingga hasil pada pengambilan pertama akan mempengaruhi peluang pada pengambilan kedua karena jumlah bola berkurang, berarti A dan B dua kejadian yang tidak saling bebas.

; dan

Jadi, peluang kedua bola yang terambil berwarna merah jika pengambilan dilakukan

dengan tanpa pengembalian adalah .

Latihan .Dari sebuah kantong yang berisi 6 bola merah dan 4 bola putih diambil dua kali sebuah bola secara acak. Tentukan :a. Dengan pengembalian

1) P( merah, putih)=

2) P(putih, merah)=

3) P(putih,putih)=

b. Dengan tanpa pengembalian


2) P(putih, merah)=

3) P(putih,putih)=

1. Dari sebuah kantong yang berisi 6 bola merah dan 4 bola putih diambil dua kali sebuah bola secara acak. Tentukan :

a. Dengan pengembalian1) P(merah, putih)2) P(putih, merah)3) P(putih, putih)4) P(merah, merah)

b. Dengan tanpa pengembalian 5) P(merah, putih)6) P(putih, merah)7) P(putih, putih)8) P(merah, merah)

32

2. Sebuah mata uang dan sebuah dadu bermata dilambungkan sekali bersamaan.Jika dadunya muncul mata lebih dari 2, berapakah peluang bahwa mata uangnya muncul gambar ?


2) P(putih, merah)=

3) P(putih,putih)=


1. Sebuah kartu diambil dari satu set kartu bridge.a. Jika yang terambil kartu club, berapakah peluang yang terambil itu kartu queenb. Jika yang terambil itu kartu queen, berapakah peluang yang terambil itu kartu heartc. Jika yang terambil itu kartu spade, berapakah peluang yang terambil itu bernomor

genap.d. Jika yang terambil bernomor ganjil, berapakah peluang yang terambil itu diamond.Jawab :a. P =1/13b. P = ¼c. P = 5/13d. P = ¼

2. Dua buah dadu dilambungkan sekali.a. Jika yang muncul berjumlah 8, berapakah peluang yang muncul itu keduanya ganjil.b. Jika yang muncul keduanya ganjil, berapakah peluang yang muncul berjumlah 10.c. Jika yang muncul berjumlah lebih dari 5, berapakah peluang yang muncul keduanya genap.

Jawab :a. P = 2/5b. P = 1/9c. P = 8/26

3. Sebuah koin dilambungkan tiga kali.a. Jika muncul muka pada lambungan pertama, berapakah peluang muncul muka pada

lambungan kedua.b. Jika muncul gambar pada lambungan kedua, berapakah peluang muncul gambar pada

lambungan ketiga.c. Jika muncul angka pada lambungan pertama dan ketiga, berapakah peluang muncul

gambar pada lambungan kedua.Jawab :Mmm,mmb,mbm,bmm,mbb,bmb,bbm,bbb

a. P = 2/4b. P =2/4

33

c. P = ½

4. Dari satu set kartu bridge diambil dua kali sebuah kartu dengan pengembalian.a. Jika yang pertama terambil kartu king, berapakah peluang yang kedua terambil king.b. Jika yang pertama terambil kartu king, berapakah peluang yang kedua terambil bukan

king.c. Jika yang pertama terambil kartu diamon, berapakah peluang yang kedua terambil king.d. Berapakah peluang yang pertama terambil king dan yang kedua terambil king.

Jawab :a. P = 16/208b. P = 192/208c. P = 4/13d. P = 16/52x52

5. Dari satu set kartu berisi 9 kartu bernomor 2 sampai dengan 10, diambil dua kali sebuah kartu dengan pengembalian.a. Berapakah peluang dua kartu yang terambil semua bernomor genap.b. Berapakah peluang dua kartu yang terambil semua bernomor ganjil

. c. Berapakah peluang kartu yang terambil pertama ganjil dan kedua genapd. Berapakah peluang kartu kedua adalah kartu bernomor ganjil.

Jawab :a. P = 25/81b. P = 16/81c. P = 20/81d. P = 4/9

6. Dari satu set kartu berisi 9 kartu bernomor 2 sampai dengan 10, diambil dua kali sebuah kartu tanpa pengembalian.a. Berapakah peluang dua kartu yang terambil semua bernomor genap.b. Berapakah peluang dua kartu yang terambil semua bernomor ganjil

. c. Berapakah peluang kartu yang terambil pertama ganjil dan kedua genapd. Berapakah peluang kartu kedua adalah kartu bernomor ganjil

Jawab :a. P = 20/72b. P = 12/72c. P = 20/72d. P = 36/72= 9/9 X 4/8

7. Dari satu set kartu bridge diambil dua kali sebuah kartu dengan pengembalian.a. Berapakah peluang yang terambil keduanya king.b. Berapakah peluang yang terambil keduanya bukan king.c. Berapakah peluang yang terambil pertama king dan kedua bukan terambil king.d. Berapakah peluang yang terambil kedua bukan terambil king.Jawab :

a. P = 4x4/52x52b. P = 48x48 /52x52c. P = 4x48 / 52x52d. P = 52x48/52x52

8. Dari satu set kartu bridge diambil dua kali sebuah kartu tanpa pengembalian.a. Berapakah peluang yang terambil keduanya as.b. Berapakah peluang yang terambil keduanya bukan as.c. Berapakah peluang yang terambil pertama diamon dan kedua bukan diamon.d. Berapakah peluang yang kedua bukan diamon.Jawab :a. P = 12/ 52x51b. P = 48x47/52x51c. P = 13x39/52x51

34

d. P = 39/51

9. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 7 bola putih, sedangkan kotak yang lain berisi 8 bola merah dan 2 bola putih. Sembarang bola dimbil dari salah satu kotak secara acak.a. Berapakah peluang yang terambil itu bola putihb. Berapakah peluang yang terambil itu bola merah.c. Jika yang terambil bola merah, berapakah peluang yang terambil itu dari kotak pertama.d. Jika yang terambil bola putih, berapakah peluang yang terambil itu dari kotak kedua.

Jawab : a. P = b. P = ½ x 5/12 + ½ x 8/10c. P = ½ d. P = ½

10. Kotak pertama berisi 4 lampu mati dan 5 lampu baik, kotak kedua berisi 5 lampu mati dan 4 lampu baik dan kotak ketiga berisi 3 lampu mati dan 2 lampu baik. Sebuah lampu diambil dari sembarang kotak.a. Jika yang terambil lampu mati, berapakah peluang yang terambil itu dari kotak

pertama.b. Jika yang terambil lampu baik ,berapakah peluang yang terambil dari dari kotak ketiga.c. Jika yang terambil dari kotak kedua, berapakah peluang yang terambil lampu mati.d. Jika yang terambil dari kotak pertama, berapakah peluang yang terambil lampu baik.

Jawab :a. P = 1/3b. P = 1/3c. 5/9d. 5/9

35

ULANGAN HARIANMateri : PELUANG

Waktu : 90 menit

1. Seorang ibu memiliki 5 kain batik, 10 kebaya dan 3 buah selendang. Berapakah banyaknya setelan berlaian yang dapat dilakukan oleh ibu tersebut ?

2. Seorang anak mempunyai 5 baju batik, 4 baju kotak-kotak dan 3 baju polos. Berapakah banyak cara anak itu mengenakan pakaiannya ?

3. Lambang bilangan asli terdiri 4 angka akan disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Jika angka-angka tidak boleh muncul berulang dan nilainya lebih dari 4000, berapakah banyaknya lambang bilangan yang dapat disusun ?


Waktu : 90 menit

1. Seorang ibu memiliki 5 kain batik, 10 kebaya dan 3 buah selendang. Berapakah banyaknya setelan berlaian yang dapat dilakukan oleh ibu tersebut ?

Jawab :Banyaknya setelan yang berlainan ada = 5 x 10 x 3 cara = 150 cara

2. Seorang anak mempunyai 5 baju batik, 4 baju kotak-kotak dan 3 baju polos. Berapakah banyak cara anak itu mengenakan pakaiannya ?

Jawab :Banyaknya cara mengenakan pakaian ada = 5 + 4 + 3 cara = 12 cara

3. Lambang bilangan asli terdiri 4 angka akan disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Jika angka-angka tidak boleh muncul berulang dan nilainya lebih dari 4000, berapakah banyaknya lambang bilangan yang dapat disusun ?

Jawab :Banyaknya lambang bilangan yang terdiri dari 4 angka yang nilainya > 4000 ada = 5 x 6 x 5x4 cara

36

= 600 cara

4. Seorang peternak akan menjual habis 4 ekor lembunya. Jika terdapat dua pembeli yang tidak mau membeli dengan cara bathon (satu lembu dibeli dua orang), berapakah banyaknya cara orang itu menjual lembu-lembunya ?

Jawab :Banyaknya cara ada = P(4,2) = 12 cara.

5. Carilah nilai n jika 4! (n + 2)! = 3(n + 3)!Jawab :

4! (n + 2)! = 3 (n+3)! ↔ 24(n+2)! = 3(n+3)(n+2)! ↔ 24 = 3n + 9 ↔ 3n = 15 ↔ n = 5

6. Berapakah banyaknya nomor kendaraan yang terdiri 4 angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 2,3,4,5,6,7,8 dan 9.

Jawab :P(8,4) = 8!/4! = 8 x 7 x 6 x 5 = 56 x 30 = 1680 macam

7. Berapakah banyaknya permutasi dari huruf-huruf pada “ K A N D A N G “.Jawab :

7 ! / (2! X 2!) = 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 210 x 6 = 1260

8. Berapakah banyak susunan melingkar dari 6 anggota pengurus suatu organisasi ?Jawab :

5 ! = 120 macam

9. Calon pengibar bendera suatu upacara ada 12 orang dan 5 diantaranya putri .Berapakah banyak susunan pengibar bendera berlainan yang dapat dibentuk jika pembawa benderanya putri ?

Jawab : C(7,2) x C(5,1) = 21 x 5 = 105

10. Tentukanlah koefisien x5y3 pada perpangkatan (x – 3y)8 ?Jawab :

C(8,5).15.(-3)3 = 56 x 1 x (-27) = - 1512

11. Sebuah koin dilambungkan 4 kali. Berapakah banyak seluruh hasil yang mungkin dan berapakah banyaknya hasil yang memberikan dua kali muncul muka dan dua kali muncul belakang ?

Jawab :S = {mmmm, mmmb, mmbm, mbmm, bmmm, mmbb, mbmb, mbbm, bmbm, bmmb, bbmm,

mbbb, bmbb, bbmb, bbbm, bbbb } n(S) = 16 ↔ Muncul 2 muka dan 2 belakang ada = 6 kali.

12. Dalam suatu undian berhadiah terdapat 5000 kupon. Dalam undian ini disediakan 101 hadiah keempat, 50 hadiah ketiga, 41 hadiah kedua, 10 hadiah utama dan cara penarikannya dimulai dari hadiah keempat, hadiah ketiga , hadiah kedua dan utama. Berapakah peluang seorang akan mendapatkan hadiah utama dengan undian terakhir ?

Jawab :

Peluang dapat hadiah utama =

13. Dari sebuah kotak yang berisi 6 bila merah, 5 bola putih dan 4 bola biru, diambil tiga bola sekaligus secara acak. Berapakah peluang bola yang terambil terdapat tepat satu bola biru ?

Jawab :P = C(11,2) x C(4,1) / C(15,3) = 11 x 4 / ( 7 x 13 ) = 44 / 91

37

14. Dari satu set kartu bridge diambil dua kali sebuah kartu secara acak dengan pengembalian.A adalah kejadian kartu pertama terambil kartu heart.B adalah kejadian kartu kedua terambil kartu queen.Carilah : a. n(A), n(B), n(A B)

b. P(A B)c. P(B/A)d. P(A B)

Jawab : a. n(A) = 13 , n(B) = 4 , n(A∩B) = 1b. P(A∩B) = 1/52c. P(B/A) = 1/13d. P(AUB) = 16/52

15. Dari 10 buah kartu bernomor 1 sampai dengan 10 diambil dua kali sebuah kartu secara acak tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang yang terambil kedua adalah kartu dengan nomor prima ?

Jawab :P = 6/10 x 4/9 + 4/10 x 3/9 = 36 / 90 = 6/15

---oo0oo---

38


Waktu : 60 menit1. Dua keping uang logam dilambungkan bersama, tentukan

a. Ruang sampelnyab. Banyaknya ruang sampelc. Peluang muncul paling sedikit satu gambar

2. Dua dadu dilambungkan bersama, tentukana. Peluang muncul jumlah mata dadu 8 atau 11b. Peluang muncul jumlah kurang dari 5c. Peluang muncul jumlah lebih dari 5

3. Tiga keping uang logam dilambungkan sebanyak 400 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya paling banyak dua gambar.

4. Dalam sebuah kantong terdapat 3 bola merah, 4 bola kuning dan 2 bola hijau. Diambil 3 bola sekaligus, tentukan peluang dari:a. Terambilnya 1 bola merah 1 bola kuning dan 1 bola hijaub. Terambilnya 3 bola kuningc. Terambilnya 2 bola kuning dan 1 bola hijau

5. Dari sebuah kotak terdapat 5 kelereng biru dan 2 kelereng pink diambil 2 bola satu persatu tanpa pengembalian, tentukan peluang :a. (biru, biru)b. ( biru, pink )c. (pink, pink)SAMPAI PUKUL 11.30 WIB

40

Bab II Peluang.doc

Documents

Transcript of Bab II Peluang.doc