BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI...

4

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real 𝑅 adalah himpunan bilangan real yang disertai

dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma

tertentu. Pada sistemnya diperlakukan tiga aksioma, yang dikenal sebagai

aksioma lapangan, urutan dan kelengkapan.

1. Aksioma Lapangan

Aksioma ini mengatur tentang ketertutupan terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian, sifat komutatif, assosiatif dan distributif,

terdapatnya unsur 0 dan 1, serta terdapatnya unsur invers terhadap

penjumlahan dan perkalian. Dari operasi dasar ini didefinisikan operasi

pengurangan dan pembagian.

Pada 𝑅 didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian (jumlah

dan hasil kali bilangan real a dan b ditulis a + b dan ab) yang memenuhi

sifat – sifat berikut :

a. Sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅

maka 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑅 dan 𝑎𝑏 ∈ 𝑅.

b. Sifat komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 dan 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.

4

Karakteristik Integral Khintchine..., Dwi Liyanti, FKIP UMP, 2013

5

c. Sifat assosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 maka 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) dan 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐).

d. Adanya unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan perkalian yaitu jika

terdapat 0 dan 1 ∈ 𝑅 dan 0 ≠ 1 sehingga 𝑎 + 0 = 𝑎 dan 𝑎. 1 = 𝑎

untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑅. Bilangan 0 dinamakan unsur kesatuan terhadap

penjumlahan dan 1 unsur kesatuan terhadap perkalian.

e. Adanya unsur negatif atau invers terhadap penjumlahan yaitu jika

∀𝑎 ∈ 𝑅 maka terdapat −𝑎 ∈ 𝑅 sehingga +(– 𝑎) = 0 . Bilangan real –

a dinamakan negatif atau lawan dari a.

f. Adanya unsur lawan atau invers terhadap perkalian, jika ∀𝑎 ∈ 𝑅 ,

𝑎 ≠ 0 maka terdapat 𝑎−1 ∈ 𝑅 sehingga 𝑎𝑎−1 = 1 . Bilangan real

𝑎−1 dinamakan kebalikan dari 𝑎.

g. Sifat distributif, yaitu jika ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 maka 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐.

(Martono, 1999)

Operasi pengurangan dan pembagian pada himpunan bilangan

real didefinisikan sebagai berikut

Definisi II.A.1

Diberikan 𝑎 dan 𝑏 bilangan real

a. Pengurangan dari 𝑎 dan 𝑏, hasilnya disebut selisih dari a dan b ditulis

𝑎 − 𝑏, didefinisikan sebagai bilangan real 𝑎 + (−𝑎)

b. Pembagian dari a dan b, hasilnya disebut hasil bagi dari a dan b,

𝑏 ≠ 0 ditulis 𝑎

𝑏 didefinisikan sebagai bilangan real 𝑎𝑏−1


6

2. Aksioma Urutan

Aksioma ini mengatur tentang pemunculan bilangan positif dan

negatif. Berdasarkan ini, setiap bilangan real dapat diurutkan dari kecil

sampai besar. Dari aksioma ini diturunkan berbagai sifat yang mendasari

penyelesaian suatu pertidaksamaan, kemudian dirancang konsep nilai

mutlak sebagai ukuran jarak dua bilangan real dan merupakan suatu alat

untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang berkaitan dengan limit.

(Martono, 1999)

Pada 𝑅 terdapat suatu himpunan bagian yang unsurnya

dinamakan bilangan positif yang memenuhi aksioma berikut:

a. Jika 𝑎 ∈ 𝑅 maka 𝑎 = 0 atau a bilangan positif jika 𝑎 > 0 atau –a

positif bila 𝑎 < 0

b. Jumlah dan hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif.

Definisi II.A.2

Diberikan a dan b bilangan real

a. Bilangan a dikatakan lebih besar dari b, ditulis 𝑎 > 𝑏, jika 𝑎 − 𝑏

bilangan positif.

b. Bilangan a dikatakan lebih kecil dari b, ditulis 𝑎 < 𝑏, jika 𝑏 − 𝑎

bilangan positif.

c. Lambang ≤ (lebih kecil atau sama dengan ) dan ≥ (lebih besar atau

sama dengan) menyatakan relasi 𝑎 ≤ 𝑏 jika 𝑎 < 𝑏 atau 𝑎 = 𝑏 dan

𝑎 ≥ 𝑏 jika 𝑎 > 𝑏 atau 𝑎 = 𝑏.


7

d. Pernyataan yang dihubungkan dengan tanda <, >, ≤, ≥ dinamakan

pertidaksamaan.

e. Bilangan real a dikatakan negatif jika –a adalah bilangan positif

3. Aksioma Kelengkapan

Aksioma kelengkapan pada Sistem bilangan Real menyatakan

bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari 𝑅 yang terbatas ke atas

selalu mempunyai batas atas terkecil. Aksioma ini mengakibatkan bahwa

setiap himpunan bagian tak kosong dari 𝑅 yang terbatas ke bawah selalu

mempunyai batas bawah terbesar.

(Martono, 1999)

Pada aksioma ini meliputi batas atas, batas bawah, batas atas

terkecil dan batas bawah terbesar.

a. Batas Atas dan Batas Bawah himpunan terurut

Sebelum mempelajari batas atas dan batas bawah himpunan

terurut, maka terlebih dahulu akan didefinisikan suatu himpunan

terurut sebagai berikut.

Definisi II.A.3.a.1).

Diberikan himpunan . Suatu urutan pada himpunan 𝑆 adalah suatu

relasi dua sifat berikut :

1) ∀𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑆 maka tepat satu pernyataan berikut benar : 𝑥 > 𝑦 atau

𝑥 = 𝑦 atau 𝑥 < 𝑦

2) ∀𝑥 , 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆, jika 𝑥 < 𝑦 dan 𝑦 < 𝑧 maka 𝑥 < 𝑧


8

Contoh II.A.3.a.1).:

𝑅 = himpunan semua bilangan real merupakan himpunan terurut.

Di bawah ini didefinisikan pengertian konsep batas suatu

himpunan terurut.

Definisi II.A.3.a.2).

Diberikan 𝑆 himpunan terurut, 𝑆 ≠ ∅ dan 𝐸 ⊂ 𝑆

1) Himpunan 𝐸 dikatakan terbatas ke atas jika terdapat 𝑝 ∈ 𝑆

sehingga 𝑥 ≤ 𝑝 untuk ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑝 dinamakan batas atas himpunan

𝐸.

2) Himpunan 𝐸 dikatakan terbatas ke bawah jika terdapat 𝑞 ∈ 𝑆

sehingga 𝑥 ≥ 𝑞 untuk ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑞 dinamakan batas bawah

himpunan 𝐸.

3) Himpunan 𝐸 dikatakan terbatas jika 𝐸 terbatas ke atas dan

terbatas ke bawah.

(Soemantri,1988 )

Contoh II.A.3.a.2).:

Diberikan himpunan 𝐸 ⊂ 𝑅 dengan 𝐸 = {−1, 0 , 1 , 2 , 3 }. Selidiki

apakah 𝐸 terbatas !

Jawab :

𝐸 terbatas ke atas karena ∃𝑝 = 3 ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥 ≤ 3 dan 𝐸

terbatas ke bawah karena ∃𝑞 = −1 ∈ 𝑅 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥 ≥ −1. Karena

𝐸 terbatas ke atas dan 𝐸 terbatas ke bawah maka 𝐸 merupakan

himpunan terbatas.


9

b. Batas atas terkecil dan batas bawah terbesar himpunan terurut

Suatu himpunan terurut yang terbatas ke atas memiliki batas

atas terkecil dan himpunan terurut yang terbatas ke bawah memiliki

suatu batas bawah terbesar. Adapun pengertian dari batas atas terkecil

dan batas bawah terbesar sebagai berikut.

Definisi II.A.3.b.1).

Diberikan 𝑆 suatu himpunan terurut dengan 𝑆 ≠ 0 , 𝐸 ⊂ 𝑆 dan 𝐸

terbatas ke atas. Jika ∃𝑏 ∈ 𝑆 yang memenuhi sifat berikut :

1) 𝑏 adalah suatu batas atas 𝐸

2) Jika 𝑟 ≥ 𝑏 maka 𝑟 batas atas 𝐸

maka 𝑏 dikatakan batas atas terkecil (Supremum) dari 𝐸 ditulis

𝑏 = sup 𝑆

Definisi II.A.3.b.2).

Diberikan 𝑆 suatu himpunan terurut dengan 𝑆 ≠ 0 , 𝐸 ⊂ 𝑆 dan 𝐸

terbatas ke bawah. Jika ∃𝑎 ∈ 𝑆 yang memenuhi sifat berikut :

1) 𝑎 adalah suatu batas bawah 𝐸

2) Jika 𝑟 ≤ 𝑎 maka 𝑟 batas bawah 𝐸

maka 𝑎 dikatakan batas bawah terbesar (infimum) dari 𝐸 ditulis

𝑎 = inf 𝑆

Contoh II.A.3.b.1).:

Berdasarkan Contoh II.A.3.a.2)., maka himpunan semua batas atas 𝐸

adalah{ 𝑝 ∈ 𝑅 dan 𝑝 ≥ 3}, sehingga 3 merupakan batas atas terkecil

atau Sup 𝐸 = 3. Sedangkan himpunan semua batas bawah 𝐸 adalah


10

{𝑞 ∈ 𝑅 dan 𝑝 ≤ −1} , sehingga −1 merupakan batas bawah terbesar

atau Inf 𝐸 = −1.

c. Sifat batas atas terkecil dan batas bawah terbesar himpunan

terurut

Adapun pengertian himpunan terurut dengan sifat batas atas

terkecil dan sifat batas bawah terbesar didefinisikan sebagai berikut.

Definisi II.A.3.c.1).

Himpunan terurut 𝑆 dikatakan mempunyai sifat batas atas terkecil

(s.b.a.t) jika setiap himpunan 𝐸 ⊂ 𝑆 yang tidak kosong dan terbatas ke

atas mempunyai Supremum.

Definisi II.A.3.c.1).

Himpunan terurut 𝑆 dikatakan mempunyai sifat batas bawah terbesar

(s.b.b.t) jika setiap himpunan 𝐸 ⊂ 𝑆 yang tidak kosong dan terbatas ke

bawah mempunyai Infimum.

(Soemantri,1988 )

Contoh II.A.3. :

Himpunan 𝑆 mempunyai s.b.a.t dan s.b.b.t, karena setiap 𝑆 ⊂ 𝑅

dengan 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} terbatas ke atas dan terbatas ke bawah

serta sup 𝑆 dan inf 𝑆 ada.


11

Ilustrasi gambar himpunan tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar II.A.3. Batas Bawah dan Batas Atas

(Bartle and Shelbert, 2000)

4. Interval

Himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertidaksamaan

tertentu disebut interval (selang) hingga atau interval tak hingga. Interval

hingga adalah himpunan bagian dari 𝑅 yang terbatas ke atas dan ke bawah,

sedangkan interval tak hingga tidak terbatas ke atas atau ke bawah.

Jika terdapat dua bilangan real 𝑎 dan 𝑏, dengan 𝑎 < 𝑏, maka

berturut– turut dapat ditulis sebagai berikut :

1. 𝑎, 𝑏 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

2. [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

3. (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

4. [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

5. 𝑎, ∞ = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 > 𝑎}

Batas Bawah dari 𝑆 Batas Atas dari 𝑆

Himpunan

bilangan real

Himpunan

bilangan real

Batas Bawah

terbesar dari 𝑆

Batas Atas

terkecil dari 𝑆

𝑏 𝑎

𝑆


12

6. [𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≥ 𝑎}

7. −∞, 𝑏 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 < 𝑏}

8. (−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑏}

9. −∞, ∞ = 𝑅

(Martono, 1999)

Interval 𝑎, 𝑏 dinamakan interval terbuka karena tidak memuat

kedua titik ujung. Sedangkan Interval [𝑎, 𝑏] dinamakan interval tertutup

karena memuat kedua titik ujung.

(Lipschutz, 1989)

Interval setengah terbuka atau setengah tertutup berbentuk [𝑎, 𝑏)

atau 𝑎, 𝑏 ditentukan oleh 𝑎 dan 𝑏, interval [𝑎, 𝑏) memuat titik ujung di 𝑎

sedangkan interval 𝑎, 𝑏 memuat titik ujung di 𝑏.

(Bartle and Shelbert, 2000)

B. Sistem bilangan real yang diperluas

Sistem bilangan real diperluas terdiri dari sistem bilangan real dan

dua lambang +∞ dan −∞. Urutan dalam 𝑅 tetap dipertahankan seperti

sebelum diperluas dan didefinisikan −∞ < 𝑥 < +∞ untuk ∀𝑥 ∈ 𝑅. Sistem

bilangan real diperluas diberi lambang 𝑅∗ 𝑅∗ = 𝑅 ∪ −∞, +∞ .

Dari definisi tersebut jelas bahwa +∞ merupakan suatu batas atas

setiap himpunan bagian dari sistem bilangan real diperluas 𝑅∗. Sehingga di

dalam 𝑅∗ setiap himpunan bagian pasti memiliki supremum. Himpunan

bilangan real yang tidak kosong dan tidak terbatas ke atas juga memiliki


13

supremum di dalam 𝑅∗ yaitu +∞. Demikian juga himpunan bilangan real

yang tidak kosong dan tidak terbatas ke bawah mempunyai infimum dalam

𝑅∗ yaitu −∞ .

(Soemantri, 1988)

C. Topologi Dalam Ruang Metrik

Sebelum dibahas mengenai topologi dalam ruang metrik yang

meliputi himpunan terbuka dan himpunan tertutup, terlebih dahulu diberikan

definisi ruang metrik.

1. Ruang Metrik

Definisi II.C.1.

Diberikan himpunan 𝑋 yang tidak kosong, yang elemen – elemennya

disebut titik. Didefinisikan fungsi bernilai real nonnegatif 𝑑 pada 𝑋 × 𝑋

(𝑑 fungsi dua variabel dengan variabel-variabel pada 𝑋) sebagai

berikut. Untuk ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 :

1) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0

2) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0, jika hanya jika 𝑥 = 𝑦

3) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥)

4) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧, 𝑦)

Fungsi 𝑑 yang memenuhi keempat fungsi di atas disebut fungsi jarak

atau metrik pada 𝑋. Nilai 𝑑(𝑥, 𝑦) dinamakan jarak dari 𝑥 ke 𝑦. (𝑋, 𝑑)

disebut ruang metrik karena dilengkapi 𝑋 dengan fungsi 𝑑.

Contoh II.C.1. :

Apakah (𝑅, 𝑑) ruang metrik jika 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 ?


14

Jawab :

Ambil sebarang , 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 , maka :

1) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 > 0 untuk 𝑥 ≠ 𝑦

2) (⇨)𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇨ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇨ 𝑥 = 𝑦

⇦ 𝑥 = 𝑦 ⇨ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇨ 𝑥 − 𝑦 = 0 = 0 ⇨ 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0

3) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦

= −(− 𝑥 − 𝑦 )

= −1(−𝑥 + 𝑦)

= −1 𝑦 − 𝑥

= −1 (𝑦 − 𝑥) = 1 𝑦 − 𝑥 = 𝑦 − 𝑥 = 𝑑 𝑦, 𝑥

4) 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦

= 𝑥 − 𝑧 + (𝑧 − 𝑦)

≤ 𝑥 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑦 = 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑(𝑧, 𝑦)

Jadi (𝑅, 𝑑) merupakan ruang metrik

2. Persekitaran, Titik Limit dan Titik Interior

Apabila 𝑋, 𝑑 ruang metrik, himpunan 𝐸 ⊂ 𝑋 dan titik 𝑝 ∈ 𝑋,

maka bagian berikut ini dibahas mengenai persekitaran, titik limit dan

titik interior. Adapun pengertian dari persekitaran, titik limit dan titik

interior berturut – turut sebagai berikut.

Definisi II.C.2.a.

Untuk 𝑟 > 0, persekitaran (Neighborhood) titik 𝑝 dengan radius 𝑟

didefinisikan dengan 𝑁𝑟 𝑝 = {𝑥 ∈ 𝑋, 𝑑 𝑥, 𝑝 < 𝑟}. Titik 𝑝 dinamakan

pusat persekitaran 𝑁𝑟 𝑝 .


15

Definisi II.C.2.b.

Persekitaran 𝑝 memuat titik 𝑞 ∈ 𝐸 dan 𝑞 ≠ 𝑝.

Dari definisi titik limit dapat disimpulkan bahwa

1) 𝑝 adalah titik limit himpunan 𝐸 jika dan hanya jika :

(∀𝑟 > 0, 𝑁𝑟(𝑝) ∩ 𝐸 − {𝑝} ≠ ∅

2) 𝑞 bukan titik limit himpunan 𝐸 jika dan hanya jika :

(∃𝑟 > 0, 𝑁𝑟 𝑞 ∩ 𝐸 − 𝑞 = ∅.

Himpunan semua titik limit 𝐸 dinotasikan 𝐸′ .

Contoh II.C.2.b.:

Diberikan himpunan 𝐸 = { 𝑥, 𝑦 −2 < 𝑥 ≤ 2 dan −2 < 𝑦 ≤ 2}

dengan 𝐸 ∈ 𝑅2 dilengkapi metrik usual

𝑑 𝑥, 𝑦 = (𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2. Apakah titik 𝐾(2,2) dan

𝐿 −5

2,

9

4 merupakan titik limit 𝐸 ?

Jawab :

𝐾 2,2 merupakan titik limit 𝐸, karena (∀𝑟 > 0, 𝑁𝑟(2,2) ∩ 𝐸 − {2,2} ≠ ∅

Gambar II.C.2.b.1). Persekitaran titik (𝟐, 𝟐) dengan radius r

𝑥

𝑦

−2

−2

2

2

𝑁𝑟(2,2)


16

Titik 𝐿 −5

2,

9

4 bukan merupakan titik limit 𝐸, karena

(∃𝑟 > 0, 𝑁𝑟 𝐿 ∩ 𝐸 − 𝐿 = ∅ yaitu 𝑟 =1

8, sehingga

𝑁18 −

5

2,9

4 ∩ 𝐸 − −

5

2,9

4 = ∅

Gambar II.C.2.b.2). Persekitaran titik −𝟓

𝟐,𝟗

𝟒 dengan radius

𝟏

𝟖

Definisi II.C.2.c.

Jika ∃𝑟 > 0 sehingga 𝑁𝑟 𝑃 ⊂ 𝐸 atau ada persekitaran titik 𝑝 yang

dimuat di dalam himpunan 𝐸. Himpunan semua titik interior 𝐸 diberi

notasi 𝐸𝑜

Contoh II.C.2.c.:

Diberikan himpunan 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅 2 ≤ 𝑥 < 5} . Apakah 2 merupakan

titik interior himpunan ?

Jawab :

Untuk 0 < 𝑟 < 3 → 𝑁𝑟 2 = (2 − 𝑟, 2 + 𝑟) ⊄ 𝐴

𝑥

𝑦

−2

−2

2

2

9

4

−5

2


17

Untuk 𝑟 > 3 → 𝑁𝑟 2 = (2 − 𝑟, 2 + 𝑟) ⊄ 𝐴

∀𝑟 > 0, 𝑁𝑟 2 ⊄ 𝐴 jadi 2 bukan titik interior himpunan 𝐴.

3. Himpunan Terbuka dan Himpunan Tertutup

Setelah mempelajari definisi dari titik interior dan titik limit

diberikan definisi dari himpunan terbuka dan himpunan tertutup sebagai

berikut.

Definisi II.C.3.a.

Dinamakan himpunan terbuka jika setiap anggota 𝐸 merupakan titik

Interior himpunan 𝐸. Jadi, 𝐸 terbuka jika 𝐸𝑜 = 𝐸.

Contoh II.C.3.a.

Jika pada 𝑅 didefinisikan metrik diskrit 𝑑 𝑥, 𝑦 = 1 , 𝑥 ≠ 𝑦 0 , 𝑥 = 𝑦

dan

himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅, dengan 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} . Buktikan bahwa

himpunan 𝐸 terbuka !

Jawab :

Ambil 𝑟 =1

2

Untuk 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑁1

2

𝑥 = 𝑥 ⊂ 𝐸

Untuk 𝑥 ∉ 𝐸, 𝑁1

2

𝑥 = 𝑥 ⊄ 𝐸

Jadi ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∃𝑟 =1

2> 0 dimana 𝑁𝑟 𝑥 ⊂ 𝐸, 𝑥 titik interior 𝐸.

Dengan kata lain 𝐸 himpunan terbuka ■.


18

Definisi II.C.3.b.

Dinamakan himpunan tertutup jika himpunan 𝐸 memuat semua titik

limitnya.

(Soemantri,1988)

Contoh II.C.3.b.:

Jika pada 𝑅 didefinisikan metrik diskrit 𝑑 𝑥, 𝑦 = 1 , 𝑥 ≠ 𝑦 0 , 𝑥 = 𝑦

dan

himpunan 𝐹 ⊆ 𝑅, dengan 𝐹 = {1, 3, 4}. Selidiki apakah himpunan 𝐹

tertutup!

Jawab :

Ambil 𝑟 = 1

𝑁1 1 ∩ 𝐹 − {1} = 1 ∩ 1, 3, 4 − 1 = 1 − 1 = ∅

𝑁1 3 ∩ 𝐹 − {3} = 3 ∩ 1, 3, 4 − 3 = 3 − 3 = ∅

𝑁1(4) ∩ 𝐹 − {4} = 4 ∩ 1, 3, 4 − 4 = 4 − 4 = ∅

Jadi ∀𝑥 ∈ 𝐹, ∃𝑟 = 1 → 𝑁1 𝑥 ∩ 𝐹 − {𝑥} = ∅

Untuk ∀𝑥 ∉ 𝐹, ambil 𝑟 = 1 → 𝑁1 𝑥 ∩ 𝐹 − 𝑥 = 𝑥 ∩ 𝐹 − 𝑥

= ∅ − 𝑥 = ∅

Jadi 𝐹′ = ∅

Karena ∅ merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan

berakibat 𝐹′ ⊂ 𝐹. Terbukti bahwa himpunan 𝐹 tertutup.

Teorema II.C.3.c.

Untuk sebarang ruang metrik, himpunan 𝐸 terbuka jika dan hanya jika

𝐸𝑐 tertutup.


19

Untuk sebarang ruang metrik, himpunan 𝐸 tertutup jika dan hanya jika

𝐸𝑐 terbuka.

Teorema II.C.3.d.

Diberikan sebarang himpunan 𝐴 (berhingga atau tidak berhingga)

1) Jika 𝐺𝑎 himpunan terbuka untuk ∀𝑎 ∈ 𝐴 maka 𝐺𝑎

𝑎∈𝐴

terbuka

2) Jika 𝐺𝑎 himpunan tertutup untuk ∀𝑎 ∈ 𝐴 maka 𝐺𝑎

𝑎∈𝐴

tertutup

Teorema II.C.3.e.

1) Jika 𝐺1, 𝐺2, 𝐺3 , … … . , 𝐺𝑛 (berhingga) himpunan terbuka maka

𝐺

𝑛

𝑖=1

terbuka

2) Jika 𝐺1, 𝐺2, 𝐺3 , … … . , 𝐺𝑛 (berhingga) himpunan tertutup maka

𝐺

𝑛

𝑖=1

tertutup

Definisi II.C.3.c.

Diberikan 𝑋, 𝑑 ruang metrik, 𝐾 ∈ 𝑋)

Keluarga himpunan terbuka 𝐺𝛼 𝛼 ∈ 𝐴 disebut suatu liput terbuka

𝑜𝑝𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟 untuk himpunan 𝐾 jika 𝐾 ⊂ 𝐺𝛼

𝛼∈𝐴

Contoh II.C.3.c.1.

Jika 𝐴 ⊂ 𝑅 dilengkapi metrik baku 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 apakah 𝒢 liput

terbuka 𝐴 jika = { 0,2 , 1,3 , 1,5 , 2,6 , 2,8 } ?


20

Jawab :

𝒢 = { 0,2 , 1,3 , 1,5 , 2,6 , 2,8 }

𝐺1 ∪ 𝐺2 ∪ 𝐺3 ∪ 𝐺4 ∪ 𝐺5 = (0,8)

Karena 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖

5

𝑖∈1

sehingga 𝒢 liput terbuka 𝐴

Contoh II.C.3.c.2.

Jika 𝐴 ⊂ 𝑅 dilengkapi metrik baku 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 apakah 𝒢 liput

terbuka 𝐴 jika = 0,3 , 1,5 , 2,7 ?

Jawab :

𝒢 = 0,3 , 1,5 , 2,7

𝐺1 = 0,3 → terbuka

𝐺2 = [1,5) → tidak terbuka

𝐺2 = 2,7 → tidak terbuka

Karena ada anggota 𝒢 yang tidak terbuka maka 𝒢 bukan merupakan

liput terbuka.

4. Ukuran Himpunan

Sebelum mempelajari definisi ukuran dari suatu himpunan,

terlebih dahulu diberikan definisi ukuran dari suatu interval.

𝐺1 𝐺2 𝐺3 𝐺4 𝐺5 → terbuka


21

Definisi II.C.4.a.

Ukuran interval terbuka (𝑎, 𝑏) dinyatakan dengan 𝜇 𝑎, 𝑏 dan

didefinisikan sebagai berikut 𝜇 𝑎, 𝑏 = 𝑏 − 𝑎.

Ukuran interval terbuka (𝑎,∞) atau (−∞, 𝑏) atau (−∞,∞) didefinisikan

sebagai berikut 𝜇 𝑎,∞ = 𝜇 −∞, 𝑏 = 𝜇 −∞,∞ = ∞.

Definisi II.C.4.b.

𝜇 ∅ = 0, 𝐸 = himpunan terbuka tak terbatas sehingga 𝜇(𝐸) = ∞.

Definisi II.C.4.c.

Panjang suatu interval I dengan lambang ℓ 𝐼 , didefinisikan sebagai

selisih antara titik ujung – ujungnya. Ukuran dari suatu himpunan E

diberi notasi 𝜇(E).

1) Jika I suatu interval maka 𝜇(𝐼) adalah ℓ 𝐼 , dengan ℓ 𝐼 ≥ 0 untuk

semua interval I.

2) Jika himpunan 𝐸1 ⊆ 𝐸2 maka 𝜇(𝐸1) ≤ 𝜇(𝐸2).

3) Diberikan 𝐸 ⊆ 𝑅 dan diambil 𝑥0 sebarang, 𝑥0 ∈ 𝑅, didefinisikan

𝐸 + 𝑥0 = {𝑥 + 𝑥0 𝑥 ∈ 𝐸} maka 𝜇(𝐸 + 𝑥0) adalah 𝜇 𝐸 .

(Gordon, 1994)

Definisi II.C.4.d.

Diambil 𝑂 himpunan terbuka di 𝑅 maka 𝑂 dapat ditulis sebagai

gabungan interval – interval terbuka yang saling asing {𝐼𝑖}, maka

panjang himpunan 𝑂 adalah jumlah dari panjang masing – masing

interval. Dengan kata lain :


22

ℓ 𝐼 = ℓ 𝐼𝑖

∞

𝑖=1

Terdapat dua ukuran di dalam suatu himpunan yaitu ukuran

luar dan ukuran dalam. Definisi dari kedua ukuran tersebut sebagai

berikut.

1) Ukuran Luar

Definisi II.C.4.1).

Diberikan himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅. Ukuran luar 𝐸 diberi notasi 𝜇∗(𝐸)

yang didefinisikan sebagai berikut: 𝜇∗ 𝐸 = Inf {𝜇 𝑂 : 𝐸 ⊆ 𝑂

dan 𝑂 himpunan terbuka}

2) Ukuran Dalam

Definisi II.C.4.2).

Diberikan himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅. Ukuran dalam 𝐸 diberikan notasi

𝜇∗(𝐸) didefinisikan sebagai berikut: 𝜇∗ 𝐸 = Sup{ 𝜇 𝐾 : 𝐸 ⊆ 𝐾

dan 𝐾 himpunan tertutup}

Dari definisi diatas jelas bahwa 𝜇∗ 𝐸 ≤ 𝜇∗ 𝐸 untuk himpunan 𝐸 dan

jika 𝐴 ⊆ 𝐵 maka 𝜇∗ 𝐴 ≤ 𝜇∗ 𝐵 .

5. Himpunan terukur

Di bawah ini akan diberikan definisi dari himpunan yang terukur.

Definisi II.C.5.

Suatu himpunan 𝐸 ⊆ 𝑅 dikatakan terukur jika ukuran luar sama dengan

ukuran dalam atau 𝜇∗ 𝐸 = 𝜇∗ 𝐸 .

(Royden,1968)


23

D. Fungsi

Diberikan himpunan 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝑅, fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 adalah suatu aturan

yang mengaitkan setiap unsur 𝑥 ∈ 𝐴 dengan tepat satu unsur 𝑦 ∈ 𝐵. Unsur 𝑦

yang berkaitan dengan unsur 𝑥 ini diberi lambang 𝑦 = 𝑓(𝑥), yang dinamakan

aturan fungsi. Lambang 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴 menyatakan sebuah fungsi dengan

aturan 𝑦 = 𝑓 𝑥 yang terdefinisi pada himpunan 𝐴. Selanjutnya 𝑥 dinamakan

peubah bebas, dan 𝑦 yang nilainya bergantung dari 𝑥 dinamakan peubah tak

bebas.

Apabila terdapat suatu fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴, maka daerah asal

fungsi 𝑓 adalah himpunan 𝐴, ditulis 𝐷𝑓 = 𝐴 dan daerah nilai fungsi 𝑓 adalah

himpunan 𝑅𝑓 = {𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ 𝐴 = 𝐷𝑓}. Unsur 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 dinamakan nilai fungsi

𝑓 di 𝑥. Jika yang diketahui hanya 𝑦 = 𝑓 𝑥 maka daerah asal dan daerah nilai

fungsi 𝑓 adalah 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅} dan 𝑅𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ 𝐷𝑓} dengan 𝐷𝑓

merupakan daerah asal alamiah (Natural Domain) dari fungsi 𝑓 dan 𝑅𝑓

merupakan daerah nilai dari fungsi 𝑓. Daerah asal dan daerah nilai fungsi di

atas merupakan himpunan bagian dari 𝑅. Fungsi tersebut dinamakan fungsi

dengan peubah real dan bernilai real, disingkat fungsi real.

Gambar II.D.1. Fungsi 𝒇 𝒙

𝐷𝑓 𝑅𝑓

𝑓

𝑥

𝑓(𝑥)

𝑓

𝑓

𝑥 𝑓(𝑥)

𝑅

𝐷𝑓 𝑅𝑓

𝑅


24

1. Fungsi Terbatas

Di bawah ini akan diberikan definisi dari fungsi yang terbatas

sebagai berikut.

Definisi II.D.1.

Fungsi 𝑓 dikatakan terbatas jika ∃ 𝑀 > 0 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 dengan

𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.

Dari ingkaran definisi tersebut dapat di simpulkan bahwa Fungsi

𝑓 dikatakan tidak terbatas jika ∀ 𝑀 > 0 , ∃𝑥𝑜 ∈ 𝐷𝑓 dengan

𝑓(𝑥) > 𝑀.

(Martono,1999 )

Contoh II.D.1 :

a. Fungsi 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 terbatas karena 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ≤ 1 untuk

∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 dan 𝐷𝑓 ⊆ 𝑅.

b. Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 tidak terbatas pada interval 0, ∞ karena

untuk 𝑀 > 0, terdapat 𝑥0 = 2𝑀 > 0 sehingga

𝑓 𝑥0 = 𝑓 2𝑀 = 2𝑀 + 1 > 𝑀.

2. Limit fungsi

Limit suatu fungsi merupakan konsep dasar diferensial dan

integral. Pada bagian ini dibahas mengenai pengertian limit fungsi.

Definisi II.D.2.a.

Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval terbuka 𝐼 yang memuat 𝑐,

kecuali mungkin di 𝑐 sendiri. Limit fungsi 𝑓 di 𝑐 adalah 𝐿 (ditulis


25

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿, atau 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐) jika

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀

Gambar II.D.2.a. Limit Fungsi 𝒇 di titik 𝒄

(Martono,1999 )

Contoh II.D.2.a. :

Buktikan lim𝑥→1

(2𝑥 + 3) = 5 !

Jawab :

Ambil sebarang 휀 > 0 , apakah ada 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥

dengan 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 berlaku (2𝑥 + 3) − 5 < 휀.

(2𝑥 + 3) − 5 = 2𝑥 − 2 = 2(𝑥 − 1) = 2 𝑥 − 1 < 2𝛿

Untuk 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 berakibat (2𝑥 + 3) − 5 < 2𝛿.

Untuk setiap 휀 > 0 , agar 2𝑥 + 3 − 5 < 휀 maka dipilih 2𝛿 = 휀 atau

𝛿 =1

2휀

Jadi untuk setiap 휀 > 0 ada > 0 , yaitu 𝛿 =1

2휀 sehingga untuk 0 <

𝑥 − 1 < 𝛿 ⇨ (2𝑥 + 3) − 5 < 휀 dan terbukti bahwa

𝑦

𝐼

0 𝑥 𝑥

𝐿

𝑐

𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑥

𝑓

↓

↑

𝑐 − 𝛿 𝑐 + 𝛿

𝐿 − 휀

𝐿 + 휀


26

lim𝑥→1

(2𝑥 + 3) = 5.

Definisi II.D.2.b.

Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval (𝑐, 𝑏). Limit kanan fungsi

𝑓 di c adalah L (ditulis lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝐿, atau 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐+)

jika ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀.

Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval 𝑎, 𝑐 . Limit kiri fungsi 𝑓

di 𝑐 adalah 𝐿 (ditulis lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝐿, atau 𝑓 𝑥 → 𝐿 bila 𝑥 → 𝑐−) jika

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 0 < 𝑐 − 𝑥 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 휀.

Contoh II.D.2.b.:

Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 =

𝑥−4

𝑥−2 , 𝑥 ≤ 4

𝑥2

4 , 𝑥 > 4

Tentukan (jika ada) :

1. lim𝑥→4+

𝑓(𝑥)

2. lim𝑥→4−

𝑓(𝑥)

3. lim𝑥→4

𝑓(𝑥)

Jawab :

1. lim𝑥→4+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→4

𝑥2

4= 4

2. lim𝑥→4−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→4

𝑥 − 4

𝑥 − 2= lim

𝑥→4

𝑥 + 2 𝑥 − 2

𝑥 − 2

= lim𝑥→4

𝑥 + 2 = 4

3. karena limit kanan sama dengan limit kiri maka limit fungsi ada


27

dan lim𝑥→4

𝑓(𝑥) = 4

3. Fungsi kontinu

a. Fungsi kontinu di suatu titik

Suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat

suatu titik dengan daerah asal fungsi himpunan sebarang yang

memuat suatu titik dimana limit fungsi tidak diketahui, maka

kekontinuan fungsinya didefinisikan sebagai berikut.

Definisi II.D.3.a.

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu di 𝑐 ∈ 𝐷𝑓 jika

∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∍ 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇨ 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀

(Martono,1999 )

Contoh II.D.3.a. :

Selidiki apakah 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 kontinu di 𝑥 = 3

Jawab :

Ambil sebarang 휀 > 0 diselidiki apakah ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 sedemikian

sehingga 𝑥 − 3 < 𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀.

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑐 = 2𝑥 + 5 − 2.3 + 5 = 2𝑥 − 6 = 2 𝑥 − 3 < 휀

Untuk 𝑥 − 3 < 𝛿 ⇨ 2 𝑥 − 3 < 2𝛿 sehingga

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) =2 𝑥 − 3 < 2𝛿 untuk ∀휀 > 0 agar

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀 , maka dapat dipilih 휀 = 2𝛿 atau 𝛿 =ε

2

Jadi untuk ∀휀 > 0 ∃ε

2> 0 sehingga untuk 𝑥 − 3 < 𝛿 berlaku

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐) < 휀. Dengan kata lain fungsi 𝑓 kontinu di 𝑥 = 3.


28

Suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat

suatu titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefinisikan

dengan limit fungsi. Berdasarkan Definisi II.D.3.a. dapat dikatakan

bahwa fungsi 𝑓 𝑥 kontinu di 𝑥 = 𝑐 jika :

1. 𝑓 𝑥 harus ada, yaitu didefinisikan di 𝑥 = 𝑐

2. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 ada

3. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐

b. Kontinu Kiri dan Kanan

Sejalan dengan konsep limit kiri dan limit kanan, maka

didefinisikan fungsi kontinu kiri dan kontinu kanan di satu titik

sebagai berikut.

Definisi II.D.3.b.

Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval 𝑎, 𝑐 . Fungsi 𝑓

dikatakan kontinu kiri di 𝑐 jika lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).

Diberikan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval [𝑐, 𝑏). Fungsi 𝑓

dikatakan kontinu kanan di 𝑐 jika lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐).

c. Fungsi kontinu pada suatu interval

Kekontinuan suatu fungsi dapat didefinisikan pada interval

terbuka dan interval tertutup. Terdapat sembilan interval yang

mungkin, yaitu 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, ∞ , 𝑎, ∞ , −∞, 𝑏 ,

−∞, 𝑏 dan (−∞, ∞). Berikut ini didefinisikan kekontinuan fungsi

pada dua selang sebagai berikut.


29

Definisi II.D.3.c.1).

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada interval terbuka 𝑎, 𝑏 jika fungsi 𝑓

kontinu di setiap titik (𝑎, 𝑏).

Definisi II.E.3.c.2).

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] jika fungsi 𝑓

kontinu pada interval terbuka (𝑎, 𝑏), kontinu kanan di 𝑎 dan kontinu

kiri di 𝑏.

(Martono,1999 )

Contoh II.D.3.c.

Selidiki apakah fungsi 𝑓 𝑥 =1

𝑥 kontinu pada [1, ∞)?

Jawab :

Akan dibuktikan bahwa 𝑓 kontinu pada interval (1, ∞), dan kontinu

kanan di 1. Berdasarkan Definisi II.D.3.b. dan Definisi

II.D.3.c. diperoleh: lim𝑥→1+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→1

1

𝑥=

1

1= 1 = 𝑓 1 = 𝑓(𝑥)

Jadi, 𝑓 kontinu pada 𝐷𝑓 = 1, ∞ .

4. Differensial atau Turunan

Di bawah ini akan diberikan definisi dari Differensial atau

Turunan sebagai berikut.

Definisi II.D.4.

Diberikan interval 𝐼 ⊆ 𝑅, Jika fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 dan 𝑐 ∈ 𝐼 maka L disebut

differensial atau turunan f di c jika ∀휀 > 0 ∃𝛿 > 0 sehingga untuk


30

∀𝑥 ∈ 𝐼 dengan 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑐)

𝑥−𝑐− 𝐿 < 휀 atau turunan

dari f di

𝑐 jika lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐= 𝑓 ′ 𝑐 dimana 𝑓 ′ 𝑐 = 𝐿

(Bartle anf Sherbert, 2000)

Fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan di 𝑐 jika 𝑓−′ 𝑐 = 𝑓+

′ (𝑐) serta

𝑓 ′ 𝑐 = 𝑓−′ 𝑐 = 𝑓+

′ (𝑐).

Dengan 𝑓−′ (𝑐) = lim

𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐

𝑥−𝑐 dan 𝑓+

′ (𝑐) = lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑐

𝑥−𝑐

Contoh II.D.4.

Selidiki apakah 𝑓 𝑥 = 7𝑥 − 2 , 𝑥 < 1

2𝑥2 + 3𝑥, 𝑥 ≥ 1 mempunyai turunan di 𝑥 = 1,

jika ya, tentukan 𝑓′ 1 !

Jawab :

𝑓−′ 1 = lim

𝑥→1−

𝑓 𝑥 − 𝑓 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

7𝑥 − 2 – (2. 12 + 3.1)

𝑥 − 1

= lim𝑥→1

7𝑥 − 2 – 5

𝑥 − 1

= lim𝑥→1

7𝑥 − 7

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

7 𝑥 − 1

𝑥 − 1= 7

𝑓+′ (1) = lim

𝑥→1+

𝑓 𝑥 − 𝑓 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

2𝑥2 + 3𝑥 − 2. 12 + 3.1

𝑥 − 1

= lim𝑥→1

2𝑥2 + 3𝑥 − 5

𝑥 − 1

= lim𝑥→1

2𝑥 + 5 𝑥 − 1

𝑥 − 1


31

= lim𝑥→1

2𝑥 + 5 = 2.1 + 5 = 7

Karena 𝑓−′ 1 = 𝑓+

′ (1) maka 𝑓 mempunyai turunan di 𝑥 = 1 dengan

𝑓 ′(1) = 7

5. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Pada bagian ini dibahas mengenai definisi dari fungsi naik, fungsi

turun, fungsi naik monoton dan fungsi turun monoton.

Definisi II.D.5.a.

Fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 dikatakan naik pada interval 𝐼 jika 𝑥1 < 𝑥2 maka

𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼

Fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 dikatakan turun pada interval 𝐼 jika 𝑥1 < 𝑥2 maka

𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼

Definisi II.D.5.b.

Fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 dikatakan naik monoton pada (𝑎, 𝑏) jika

𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑏 maka 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏)

Fungsi 𝑓: 𝐼 → 𝑅 turun monoton pada (𝑎, 𝑏) jika 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑏 maka

𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓 𝑥2 , ∀𝑥1, 𝑥2 ∈ (𝑎, 𝑏)

(Martono, 1999)

Contoh II.D.5.a.

Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3.

Selidiki apakah 𝑓 𝑥 fungsi naik atau fungsi turun!

Jawab :

Ambil 𝑥1 < 𝑥2

𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 2𝑥1 < 2𝑥2


32

⇒ 2𝑥1 + 3 < 2𝑥2 + 3

⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

Jadi, 𝑓(𝑥) merupakan fungsi naik

Contoh II.D.5.b.

Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3.

Selidiki apakah 𝑓 𝑥 fungsi naik atau fungsi turun!

Jawab :

Ambil 𝑥1 < 𝑥2

𝑥1 < 𝑥2 ⇒ −2𝑥1 > −2𝑥2

⇒ −2𝑥1 + 3 > −2𝑥2 + 3

⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

Jadi, 𝑓(𝑥) merupakan fungsi turun

6. Fungsi terukur

Di bawah ini akan diberikan definisi dari fungsi terukur sebagai

berikut.

Definisi II.D.6.a.

Suatu 𝑓: 𝐸 → 𝑅 adalah terukur jika 𝐸 adalah himpunan terukur dan untuk

setiap 𝑟 ∈ 𝑅, himpunan 𝑥 ∈ 𝐸 𝑓 𝑥 > 𝑟 adalah terukur.

Teorema II.D.6.b.

Diberikan 𝐸 himpunan terukur dan jika 𝑓: 𝐸 → 𝑅 kontinu hampir

dimana–mana pada 𝐸, maka 𝑓 terukur.

(Gordon,1994)


33

7. Pendekatan Derivatif (Approximate Derivative)

Di bawah ini akan diberikan definisi dari pendekatan derivatif

sebagai berikut.

Definisi II.D.7.

Suatu fungsi terukur 𝑓 dikatakan mempunyai pendekatan derivatif atas

𝐹𝑎𝑝 pada 𝑥0 jika 𝐹𝑎𝑝 𝑥0 = ap- lim𝑥→𝑥0

sup 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0

𝑥 − 𝑥0 ada

Dan juga untuk pendekatan derivatif bawah

𝐹𝑎𝑝 pada 𝑥0 jika 𝐹𝑎𝑝 𝑥0 = ap- lim𝑥→𝑥0

inf 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0

𝑥 − 𝑥0 ada

Definisi II.D.7.

Suatu fungsi terukur 𝑓 mempunyai suatu pendekatan derivatif di 𝑥0 atau

𝐹′𝑎𝑝 𝑥0 jika 𝐹𝑎𝑝 𝑥0 = 𝐹𝑎𝑝 𝑥0

Adapun sifat – sifat dari pendekatan derivatif adalah sebagai berikut.

a. 𝐹𝑎𝑝 (𝑓) ≤ 𝐹𝑎𝑝 (𝑓)

b. 𝐹𝑎𝑝 −𝑓 = −𝐹𝑎𝑝 (𝑓)

c. 𝐹𝑎𝑝 𝑓1 + 𝑓2 ≥ 𝐹𝑎𝑝 (𝑓1) + 𝐹𝑎𝑝 (𝑓2)

d. 𝐹𝑎𝑝 𝑓1 + 𝑓2 ≥ 𝐹𝑎𝑝 (𝑓1) + 𝐹𝑎𝑝 (𝑓2)

e. Jika 𝑓 hampir terdiferensialkan, maka 𝑓 terdekati secara kontinu.

(Wittaya,1979)


34

8. Fungsi kontinu mutlak

Di dalam definisi fungsi kontinu mutlak terdapat interval yang

tidak saling tumpang tindih. Adapun definisi dari interval yang tidak

saling tumpang tindih sebagai berikut.

Definisi II.D.8.a.

Dua interval 𝐼 dan 𝐽 di dalam 𝑅 dikatakan tidak saling tumpang tindih

jika irisan antara interior masing-masing interval kosong, 𝐼𝑜 𝐽𝑜 = ∅.

Jika tidak demikian 𝐼 dan 𝐽 dikatakan saling tumpang tindih.

Contoh II.D.8.a.:

Diketahui interval 𝐼 = 1,2 dan 𝐽 = [2,3]. Apakah interval 𝐼 dan 𝐽

merupakan interval tidak tumpang tindih?

Jawab :

Jika 𝐼 = 1,2 maka 𝐼𝑜 = (1,2) dan 𝐽 = [2,3] maka 𝐽𝑜 = (2,3). Sehingga

menurut Definisi II.D.8.a. maka 𝐼𝑜 𝐽𝑜 = 1,2 2,3 = ∅.

Berikut adalah definisi dari fungsi kontinu mutlak atau yang

lebih dikenal dengan AC (absolutely continuous) dan fungsi kontinu

mutlak teritlak (generalized absolutely continuous) atau ACG.

Definisi II.D.8.b.

Suatu fungsi F dikatakan kontinu mutlak (absolutely continuous) atau

AC pada [𝑎, 𝑏] jika untuk ∀휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga jika

𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 < 𝛿𝑘 berlaku 𝐹(𝑏𝑘) − 𝐹(𝑎𝑘) < 휀𝑘 untuk setiap

[𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} koleksi berhingga interval yang tidak saling

tumpang tindih 𝐼𝑘 di dalam [𝑎, 𝑏].


35

Definisi II.D.8.c.

Suatu fungsi F dikatakan kontinu mutlak teritlak (generalized absolutely

continuous) atau ACG pada [𝑎, 𝑏] jika [𝑎, 𝑏] merupakan gabungan

sejumlah himpunan terbatas 𝑋𝑘 , 𝑘 = 1,2, … …, pada setiap fungsi F

adalah AC.

(Gordon, 1994)

9. Sifat hampir dimana-mana

Di bawah ini akan diberikan definisi dari sifat hampir dimana –

mana sebagai berikut.

Definisi II.D.9.

Suatu fungsi dikatakan mempunyai sifat 𝑃 pada 𝐸 hampir dimana – mana

jika fungsi tersebut bersifat P pada 𝐸 kecuali untuk himpunan 𝐴 ⊆ 𝐸 dan

𝜇 𝐴 = 0.

Contoh II.D.9. :

Suatu 𝑓: 𝐸 → 𝑅 dan 𝑔: 𝐸 → 𝑅 adalah sama atau 𝑓 = 𝑔 hampir dimana –

mana pada 𝐸 jika dan hanya jika 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) untuk ∀𝑥 ∈ 𝐸 − 𝐴 dengan

𝜇 𝐴 = 0 dan 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑔) untuk 𝑓: 𝐸 → 𝑅 untuk ∀𝐴 ⊆ 𝐸 dengan

𝜇 𝐴 = 0.

E. Integral

Diberikan fungsi 𝑓 yang terdefinisi pada interval terbuka I, ditentukan suatu

fungsi 𝐹 yang memenuhi 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) pada I. Fungsi 𝐹 seperti ini


36

dinamakan anti turunan (integral) atau fungsi primitif dari fungsi f pada

interval I.

(Martono, 1999)

Integral terdiri dari integral tak tentu dan integral tentu. Integral

tersebut terletak pada batasnya, dimana Integral tentu memiliki batas atas dan

batas bawah.

Pada bagian ini dibahas mengenai sifat – sifat yang berlaku pada

integral tentu.

Jikal 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 adalah fungsi kontinu maka:

1. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

𝑎= 0

2. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎= − ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

𝑏

3. ∫ 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝑘 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎, dengan 𝑘 konstanta

4. ∫ [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥𝑏

𝑎= ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎± ∫ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

5. ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎= ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎+ ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑐

𝑏 , dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐

(Purcell,1984)

F. Integral Khintchine

Suatu fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 terintegral Khintchine pada [𝑎, 𝑏] jika

terdapat suatu fungsi kontinu 𝐹 sedemikian sehingga 𝐹 kontinu mutlak

teritlak atau ACG pada 𝑎, 𝑏 dan pendekatan derivatifnya 𝐹𝑎𝑝′ = 𝑓 hampir

dimana – mana pada 𝑎, 𝑏 .


BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI...

Documents

Transcript of BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Realrepository.ump.ac.id/6185/3/BAB II_DWI...