26

BAB II

BILANGAN CACAH

PENDAHULUAN

Di dalam pelajaran matematika dikenal berbagai macam jenis bilangan,

salah satu diantaranya adalah bilangan cacah. Apakah sebenarnya yang dimaksud

dengan bilangan cacah? Bilangan cacah di dalam matematika dapat kita

definisikan sebagai sebuah himpunan bilangan dimana didalamnya terdiri dari

bilangan bulat yang dimulai dari nol dan bukan merupakan bilangan negatif.

Tidak pernah ada bilangan cacah yang memiliki tanda negatif. Contoh bilangan

yang termasuk ke dalam himpunan bilangan cacah adalah

: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...}

Dari contoh bilangan cacah tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa

bilangan cacah terbentuk dari himpunan bilangan asli dengan menambahkan nol

di depannya. Bilangan cacah biasanya disimbolkan dengan huruf "C". sehingga

apabila ingin menuliskan himpunan bilangan cacah serta seluruh unsur bilangan

cacah, kalian bisa menuliskannya sebagai berikut: C =

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,11,12,...dst.}

A. Penjumlahan Bilangan Cacah

Himpunan bilangan cacah adalah (0,1,2,3, ...), himpunan yang diperoleh

dengan memasukkan bilangan nol ke himpunan bilangan asli. Untuk

mendefinisikan 5 + 2, digunakan himpunan benda-benda nyata yang terpisah.

Misalnya himpunan lima jari kiri dan himpunan dua jari kanan, jika kedua

himpunan ini digabungkan, didapat suatu himpunan jari tangan yang banyaknya 7,

sehingga 5 + 2 = 7.

Contoh 1 : Diberikan dua himpunan A = {a, b, c} dan B = {d, e, f, g} didapat

:

n(A) = 3 dan n(B) = 4.

A U B = {a, b, c, d, e, f, g), n(AUB) = 7, sehingga diperoleh

n(A) + n(B) = n(A U B) atau 3 + 4 = 7.

Contoh 2: Jika A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5, 6}

27

n(A) + n(B) = 3 + 4 = 7

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sehingga n(A U B) = 6

Pada contoh ini n(A) + n(B) ≠ n(AUB).

Apakah perbedaan antara kedua contoh tersebut? Pada contoh 1, kedua

himpunan terpisah, sedangkan pada contoh 2 tidak terpisah. Untuk

mendefinisikan penjumlahan pada bilangan cacah digunakan himpunan-himpunan

yang terpisah.

Definisi : Andaikan a dan b bilangan-bilangan cacah, A dan B adalah

himpunan-himpunan yang terpisah, sedangkan a = n(A) dan b =

n(B), maka a + b = n(AUB).

Jika A = {r, s, c, d, e} dan B = {x, y, z, w} maka n(A) = 5 dan n(B) = 4.

Karena A ∩ B = ɸ maka

A U B = {r, s, c, d, e, x, y, z, w} dan n(A U B) = 9. Sehingga

n(A U B) = n(A) + n(B). atau 9 = 5 + 4.

Bilangan 5 dan 4 disebut bilangan yang dijumlahkan dan 9 disebut

jumlah.

Untuk mencari basil penjumlahan dapat digunakan garis bilangan,

misalnya jumlah 3 + 2 dapat digambarkan pada garis bilangan sebagai berikut :

Gambar 2.1

Dan titik 0 bergerak 3 satuan ke kanan. Kemudian dilanjutkan bergerak 2

satuan ke kanan. Titik yang dicapai adalah 5, yang merupakan jumlah 3 dan 2.

Sifat-sifat Penjumlahan pada Bilangan Cacah

1. Sifat tertutup

Jumlah dari setiap pasang bilangan cacah selalu menghasilkan tepat satu

anggota dan himpunan bilangan cacah.

2. Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan cacah a dan b berlaku a ÷ b = b + a Buktinya

sebagai berikut:

28

Tentukan himpunan A dan B sedemikian hingga a n(A) dan b = n(B)

dengan A∩B = ɸ. Pada himpunan berlaku A U B = B U A (mengapa?), maka A U

B dan B U A adalah ekuivalen, atau n(A U B) = n(B U A). Jadi a + b = n(A U B)

= n(B U A) = b + a.

3. Sifat Asosiatif

Selanjutnya akan dijumlahkan tiga bilangan cacah 2, 3 dan 7.

Bagaimanakah cara menjumlahkannya, apakah 2 ditambah 3 kemudian

ditambah 7 ataukah jumlah 3 dan 7 ditambahkan kepada 2. Biasanya yang

dikerjakan lebih dulu diberi tanda kurung. Untuk (2 + 3) + 7 berarti. 2 dan

3 dijumlahkan kemudian ditambah dengan 7. Untuk 2+ (3+7) dapat

diartikah jumlah 3 dan 7 ditambahkan kepada 2. Apakah (2 + 3) + 7 dan 2

+ (3 + 7) menunjukkan hasil yang sama?

Danri contoh ini, nampak adanya sifat operasi penjumlahan yang disebut

sifat asosiatif.

Untuk setiap bilangan cacah a, b, dan c berlaku (a + b) + c = a + (b + c) (Bagi

yang berminat dapat membuktikannya).

Contoh 1 : 3 + 4 + 7 = (3 + 4) + 7 = 7 + 7 = 14

3 + 4 + 7 = 3 + (4 + 7) = 3 + 11 = 14

Contoh 2 : Untuk menjumlahkan 4 bilangan, dapat dilakukan

pengelompokan yang berbeda.

3+2+5+6 = (3+2)+(5+6) = 5+11 = 16, atau

3+2+5+6 = 3+((2+5)+6) = 3+(7+6) = 3+13 =16 atau

3+2+5+6 = [3+(2+5)]+6 = (3+7)+6 = 10+6 = 16

Contoh 3: Gunakan si.fat komutatif dan assosiatif penjumlahan untuk

menunjukkan

(2 + 3) + 5 = (5 + 2) + 3.

Penyelesaian :

(2 + 3) + 5 = 5+ (2 + 3) (sifat komutatif penjumlahan)

5 + (2 + 3) = (5 + 2) + 3 (sifat assosiati.f penjumlahan)

dapat disimpulkan

(2 + 3) + 5 = (5 + 2) + 3

29

(Untuk bukti secara umum, buktikan sendiri sebagai latihan).

4. Sifat penjumlahan dengan bilangan nol

Berapakah jumlah 4+0?

Tentukan himpunan yang banyak anggotanya 4 dan himpunan yang tidak

mempunyai. anggota misalkan himpunan A = (a, b, c, d} dan ɸ.

Pada gambar 2.1 A U ɸ = A dan A ∩ ɸ = ɸ

Gambar 2.2

Jadi n(A) + n(ɸ) = n(A U ɸ) = n(A) = 4 + 0 = 4

Sifat penjumlahan dengan bilangan nol.

0 disebut elemen identitas penjumlahan, karena untuk setiap bilangan cacah a

berlaku a + 0 = a dan 0 + a = a

Contoh : 4 + 0 = 4

0 + 3 = 3

0 + 0 = 0

(Bukti secara umum, dapat dibuktikan sendiri sebagai latihan).

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut ini!

1. Dan pasangan himpunan beiikut manakah yang memenuhi n(R) + n(S) = n(R

U S)

a) R = {3, 2, 7, 1}, S ={4, 6, 5} b) R {3, 2. 4, 7), S = {1,4, 6, 5}

c) R = {x | x bilangan cacah yang lebih 1 dan kurag dari 6}

S = {x | x bilangan cacah yang lebih 4 dan kurag dari 9}

30

d) R = {x | x bilangan cacah yang lebih 5 dan kuragdari 8}

S = {x | x bilangan cacah yang lebih 6 dan kuragdari 7}

e) R = ɸ, S = {0}

2. Sifat-sifat apakah yang digunakan pada kesamaan berikut :

a) 2 + 3 = 3 + 2 b) 4 + (2 + 3) = (4 + 2) + 3

c) 6 + 0 = 6 d) (a + c) + d = a + (c + d)

e) [(2 + (4 + 6)] + 8 = (2 + 4) + (6 + 8) f) 2 + (5 + 7) = 2 + (7 + 5)

g) 5 + 0 = 0 + 5 h) (8 + 2) + 3 = 3 + (8 + 2)

1) (4 + 2) + 3 = 3 + (4 + 2) j) (2 + 5) + 3 = (5 + 2) + 3.

3. Sifat asosiatif dapat digunakan untuk mempermudah penjumlahan.

Contoh : 27 + 46 = (27+ 3) + 43 = 30 + 43 = 73

Kerjakan seperti contoh.

a) 49 + 58 = (... + ...) + 57 = ………

b) 56 + 78 = ..... + ( .... + 78) = ………

c) 263 + 85 = 260 + ( . . . + …. ) = ………

4. Berapakah supaya didapat kalimat yang benar.

a) 3 + (5 + 7) = (5 + ) + 3 b) 5 + 0 =

c) 7 + = 9 + 7 d) 5 + ( + 6) = (6 + 5) + 9

5. Kerjakan dan sebelah kiri, untuk membuktikan pernyataan berikut. Tunjukkan

sifat-sifat yang digunakan pada setiap langkah.

a) (3 + 4) + 3 = 3 + 3 + 4 b) (2 + 0) + 1 = 1 + 0

c) 8 + (5 + 2) = 2 + (8 + 5) d) 6 + (9 + 1) = 9 + (6 + 1)

e) (a + b) + (c + d) = (b + d) + (a + c) f) (a + d) + (b + c) = (b + d) +

(a + c)

6. Sebutkan sifat-sifat yang digunakan pada soal sama dengan a + (b + c)

a) a + (c + b) b) (a + b) + c

c) (a + b) + c d) c + (a + b)

7. Tunjukkan manakah dari himpunan berikut yang tertutup terhadap

penjumlahan.

a) {1, 2, 3, 4, 5, . . . } b) {2, 4, 6, 8, 10, . . . }

c) {1, 3, 5, 7, . . . } d) {0, 1}

31

e) {x | x adalah bilangan cacah yang lebih dan 15}

f) (x | x adalah bilangan asli yang kurang dan 10]

g) {0, 3, 6, 9, 12, . . . } h) {0}

8. Manakah kalimat yang salah pada pernyataan berikut

a) (Ani, Yesi, Ita) + (Linda, Eva} = 5

b) 4 U 7 = 11

c) n{Edi, Dedi, Tomi} + n(Juli, Eni} = (Edi, Dedi, Tomi, Juli, Eni}

d) n(A) + n(B) = n(A + B)

e) n(A U B) = n(A) U n(B) f) 6 + ɸ = 6

g) 5 U 0 = 5 h) A U O = A

9. Sifat assosiatif dan komutatif dapat digunakan untuk mempermudah

pengerjaan.

Contoh : 26 + 37 + 13 = 26 + (37 + 13) = 26 + 50 = 76

14 + 39 + 46 = 14 + 46 + 39 = (14’+ 46) + 39

= 60 + 39 = 99

Kerjakan seperti contoh.

a) 11 + 27 + 49 = …… b) 28 + 35 + 15 = ……

c) 12 + 29 + 28 = …… d) 43 + 16 + 37 = ……

e) 17 + 38 + 13 + 12 = …… f) 36 + 21 + 19 + 14 = ……

10. Tunjukkan beberapa contoh dari buku-buku matematika SD yang

mengajarkan tentang sifat-sifat asosiatif, komutatif, sifat bilangan nol pada

penjumlahan bilangan cacah.

B. Perkalian Bilangan Cacah

Suatu perkumpulan bulu tangkis mempunyai 3 pemain putra yaitu Rudi,

Candra, dan Gunawan, serta 2 pemain putri. yaitu Nisa dan Rikha. Dalam suatu

pertandingan akan diturunkan pasangan pemain ganda campuran. Berapakah

banyaknya pasangan yang dapat dibentuk?

Jika A = {Rudi, Candra, Gunawan), n(A) = 3 dan B = {Nisa, Rikha}, n(B)

= 2 maka himpunan pasangan yang dapat dibentuk adalah ((Rudi, Nisa), (Rudi,

32

Rikha), (Candra, Nisa), (Candra, Rikha), (Gunawan, Nisa), (Gunawan, Rikha)).

Sedangkan himpunan mi dapat diperoleh dan A x B, dan n(A x B) = 6.

Kita dapat mendefinisikan perkalian pada bilangan cacah dengan

menggunakan perkalian silang antara dua himpunan.

Definisi : Jika a dan b bilangan cacah, A dan B adalah himpunan yang

terhingga sedemikian hingga n(A) = a dan n(B) = b, maka a x b =

n(A x B).

(a x b dapat ditulis dengan cara lain a.b)

Contoh 1: A = {a, b} mempunyai bilangan kardinal 2 dan B = {k, 1, m, n}

mempunyal bilangan kardinal 4.

Bilangan kardinal himpunan

A x B = {(a, k) (a, 1) (a, m) (a, n), (b, k) (b, 1) (b, m) (b, n)} adalah

8

Dapat dikatakan 2.4 = n(A) . n(B) = n(A x B) = 8

Dari bentuk perkalian 2 x 4 = 8, 2 dan 4 disebut faktor dan 8 disebut hasil kali.

Dalam a x b = c

a dan b disebut faktor

c disebut hasil kali.

Bentuk a x b dapat ditulis ab atau (a)(b) atau a(b) atau (a)b, atau a.b.

Contoh 2 : Jika di suatu kelas terdapat 4 baris bangku, tiap-tiap baris terdapat

5 bangku, ada berapa bangku dalam kelas tersebut?

Penyelesaian : Jika bans diberi nomor a, b, c, d, e dan unsur tiap-tiap baris

diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, maka himpunan nomor kursi pada tiap-

tiap baris sebagai berikut :

R1 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5)}

R2 = {(b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5)}

R3 = {(c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5)}

R4 = {(d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5)}

Himpunan bangku yang terdapat pada kelas tersebut merupakan gabungan

dari 4 himpunan R1 U R2 U R3 U R4. Tetapi jika dinyatakan R = {a, b, c, d} dan D

33

{l, 2, 3, 4, 5}, maka R x D sama dengan gabungan himpunan pasangan berurutan

dari R1,R2,R3,R4. Maka dapat dinyatakan :

R x D = R1 U R2 U R3 U R4

sehingga n(R x D) = n(R1 U R2 U R3 U R4)

Karena R1, R2, R3, R4 adalah himpunan terpisah, maka

n(R x D) = n(R1) + n(R2) + n(R3) + n(R4)

sehingga 4 . 5 = 5 + 5 + 5 + 5.

Jadi. banyaknya bangku dalam kelas tersebut adalah 4 . 5 = 20.

Dari contoh 2 di atas diperoleh 4 . 5 = 5 + 5 + 5 + 5, yang merupakan

penjumlahan 5 sebanyak 4 kali.

Perkalian dapat dinyatakan sebagai penjumlahan berulang:

3 . 4 = 4 + 4 + 4

4 . 3 = 3 + 3 + 3 + 3

Garis bilangan pada gambar L17(a) menunjukkan 3 . 4 = 4 + 4 + 4 =

12 gambar 1.17 (b) menunjukkan 4 . 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 1

Gambar 2.3

Definisi : Jika a dan b bilangan cacah, maka ab = b + b + b + ... + b atau ab

adalah penjumlahan berulang yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku adalah b.

Contoh : 4 . 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

2 . 5 = 5 + 5 = 10

7 . 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

34

Sitat-sifat Perkalian pada Bilangan Cacah

1. Sifat tertutup

Diketahui dua bilangan cacah 6 dan 2.

6 . 2 = 12, 12 adalah bilangan cacah.

Diperoleh sifat tertutup operasi perkalian pada bilangan cacah. Untuk dua

bilangan cacah a dan b sebarang, maka ada sebuah bilangan cacah yang

merupakan hash kali dari a dan b.

2. Sifat komutatif

Jika ada 3 anak, dan masing-masing anak membawa 4 buku, berapakah

banyaknya buku yang mereka bawa sebenarnya?

Jika ada 4 anak yang masing-masing membawa 3 buku, berapakah banyaknya

buku yang mereka bawa?

Untuk lebih jelasnya dapat digambarkan sebagai berikut:

Ada 3 anak masing-masing punya 4 buku, dan 4 anak masing-masing punya 3

buku.

Gambar 2.4

Sifat apakah yang nampak pada kedua perkalian di atas?

35

Diperoleh sifat komutatif untuk perkalian pada bilangan cacah.

3. Sifat komutatif

Untuk semua bilangan cacah a dan b berlaku a . b = b . a

Untuk bukti secara umum, dapat diambil himpunan A dan B sedemikian

hingga n(A) = a, n(B) = b. Karena A x B = B x A maka, n(A x B) = n(B x A)

atau a.b = n(A x B) = n(B x A) = b . a

4. Sifat asosiatif

Untuk menghasilkan 3 bilangan cacah, misalnya 2, 3, 5, dapat digunakan

pengelompokan yang berbeda.

2.3.5 = (2.3).5 = 6.5 = 30 atau,

2.3.5 = 2.(3.5) = 2.15 = 30

Dengan demikian didapat

(2.3).5 = 2.(3.5)

Dari contoh ini nampak adanya sifat asosiatif pada perkalian.

5. Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan cacah a, b, c berlaku (ab)c = a(bc).

(Bukti secara umuni, dapat dibuktikan sendiri sebagai latihan).

Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat komutatif dan asosiatif perkalian,

tunjukkan 6.(4.3) = 3.(4.6)

Penyelesaian :

6.(4.3) = (4.3).6 (mengapa?)

(4.3).6 = (3.4).6 (mengapa?)

(3.4).6 = 3.(4.6) (mengapa?)

Kesimpulan :

6.(4.3) = 3.(4.6) (mengapa?)

Contoh 2 : Hitunglah 3.5.2.4 dengan menggunakan cara yang berbeda!

Penyelesaian :

(3.5).(2.4) = 15.8 = 120

3[5(2.4)] = 3[5.8] = 3.40 = 120

[3(5.2)].4 = [3.10] .4 = 30.4 = 120

6. Elemen Identitas

36

Jika Q = (a, b, c) dan R = (a) didapat n(Q) = 3 dan n(R) = 1 Q x R = {(a,a),

(b,a), (c,a)} dapat dihitung bahwa banyaknya anggota Q x R = banyaknya

anggota Q. Atau n(Q x R) = n(Q) = 3. Sedang R x Q = {(a, a), (a,b), (a,c)}

dan n(R x Q) = n(R) = 3

Jadi 3.1 = 1.3 = 3

Dari ilustrasi ini Nampak adanya element identitas pada perkalian.

Element identitas bilangan 1 adalah elemen identitas perkalian, sehingga

untuk setiap bilangan cacah a berlaku 1.a = a dan a.1 = a

7. Sifat Perkalian dengan Bilangan Nol

Contoh : Diberikan himpunan A = {a, b} dan B = ɸ.

Tunjukkan bahwa 2.0 = 0

Penyelesaian :

Karena n(A) = 2 dan n(B) = 0, maka 2.0 = n(A x B).

Sedang A x B adalah himpunan pasangan berurutan, yng elemen

pertamanya adalah anggota A dan elemen yang kedua adalah

anggota B, tetapi B adalah himpunan kosong. Jadi A x B adalah

himpunan yang tidak mempunyai elemen, atau A x B = ɸ, maka 2.0

= n(A x B) = n(ɸ) = 0.

Pengerjaan di atas menggambarkan sifat khusus perkalian dengan nol.

8. Sifat perkalian dengan bilangan Nol

Jika a adalah bilangan cacah, maka 0.a = 0, dan a.0 = 0

9. Sifat distnibutif Perkalian terhadap Penjumlahan

Perhatikan gambar 1.19 berikut :

37

Gambar 2.5

Pada gambar 2.5 menunjukkan 3.8 = 24. Karena 8 = 6 + 2, maka 3.8 = (3.

6) + (3. 2) = 18 + 6 = 24, sebagaimana ditunjukkan gambar 1.19.b.

Dan hasil pengerjaan ini didapatkan 3.(6 + 2) = (3.6) + (3.2)

Sifat yang nampak pada hasil pengerjaan tersebut adalah sifat distributif

perkalian terhadap penjumlahan.

10. Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan

Untuk setiap bilangan cacah a, b, c herlaku a(b + c) = ab + ac dan (b + c)a =

ba + Ca.

Contoh 1 : 30 + 40 = 3.10 + 4.10

= (3 + 4). 10

= 7.10

= 70

Contch 2 : (34)(21) = (34)(20) + (34)(1)

= 680 + 34

= 714

Contoh 3 : 63.4 = (60+3).4

= (60.4) + (3.4)

= 240 + 12

= 252

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan merupakan bagian yang

penting dalam aijabar.

Contoh 4: 3(x + 2y) = 3x + 6y

2pq + 3q = (2p+3)q

38

Tugas

Kerjakan tugas berikut sebagai latihan!

1. Nyatakan pernyataan berikut benar atau salah.

a) 8.0 = 8 b) (16 + 1) + 0 = 17

c) 7 + 0 = 0 d) (ab) (0) = 0

e) (16 + 1) 0 = 17 f) (1+1)1 = 1

2. Hitunglah dengan menggunakan 2 cara yang berbeda.

a) 3(5 + 4) b) 11(6 + 3)

3. Isilah dengan bilangan cacah sehingga didapatkan pernyataan yang

benar.

a) 7 + = 1 b) ÷ 6 = 14

c) 5(2 + 7) = 5.2 + 5. d) 5.(6 . ) = 6(5 . 4)

e) 3.7 + 3.5 3 = 3(7 + ) f) (3 + ) 4 = 3.4 + 20

4. Sebutkan sifat yang digunakan pada pengerjaan berikut

a) (6 + 5).(4 + 8) = (5 + 6).(8 + 4) b) (5.4).7 = 5.(4.7)

c) (6 + 5).(4 + 8) = (4 + 8).(6 + 5) d) (5.4).7 = (4.5).7

e) (4 + 3) = (4 + 3) + 0 f) (7.3).2 = 7.(3.2)

g) 1.(4 + 2) = (2+4) h) (a)(c) + b = (c)(a) + b

i) c(a + b) = ca + cb j) (a + c)d + (a + c)e = (a + c)(d + e)

5. Buktikan ruas kiri sama dengan ruas kanan, tunjukkan sifat-sifat yang

digunakan pada tiap-tiap langkah pengerjaan.

a) (2.3)4 = (4.2) 3 b) (8 + 2)7 = 7(2 + 8)

c) (6 + 1)5 = (1)(5) + (5)(6) d) 3(4 + 7) = (4)(3) + (3)(7)

e) 2(3.1) = (1.2)3 f) (ab)c = (ca)b

6. Tentukan apakah himpunan berikut tertutup terhadap operasi perkalian.

Sebutkan elemen identitas perkalian (jika ada).

a) (1, 2, 3, 4, 5) b) (1)

c) Himpunan bilangan genap

7. Tunjukkan dan buku Matematika SD yang mengajarkan konsep perkalian,

sifat-sifat perkalian pada bilangan cacah.

39

C. Pengurangan dan Pembagian Bilangan Cacah

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai hal-hal yang berlawanan,

misal membuka pintu dan menutup pintu, berjalan maju dan berjalan mundur,

mengenakan baju dan melepas baju, masuk ruangan dan keluar ruangan, dan

sebagainya.

Dalam matematika dikenal hal-hal yang berlawanan yang disebut dengan

invers. Pada bagian ini akan dibahas invers operasi penjumlahan dan pekalian

yang disebut operasi pengurangan dan pembagian.

Operasi pengurangan dapat digambarkan sebagai operasi penjumlahan.

Dan penjumlahan 8 + 3 = 11 dapat diperoleh 11 – 3 = 8 dan 11 – 8 = 3.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut:

Definisi : Pengurangan bilangan cacah b dan bilangan cacah a ditulis a - b

menghasilkan suatu bilangan cacah c jika dan hanya jika c + b =

a.

Contoh : 16 - 5 = 11, sebab 11 + 5 = 16

8 - 2 = 6, sebab 6 + 2 = 8

20 - 0 = 20, sebab 20 + 0 = 20

Bentuk a - b dibaca selisih a dengan b, a dikurangi b atau pengurangan b

dari a. Untuk menggarnbarkan pengurargan dapat ditunjukkan dengan garis

bilangan. Misalnya untuk menggambdrkan 8 - 3.

Karena pengurangan merupakan inves penjumlahan, maka mulai dari titik

nol bergerak 8 satuan ke kanan kemudian dilanjutkan 3 satuan ke kin. Titik

akhirnya adalah 5 yang merupakan selisih 8 - 3.

Gambar 2.6

Pada pengurangan dua bilangan cacah, kita tidak selalu mendapatkan

basil. Misalnya pengurangan dan 3 atau (3 – 5 = ?), tidak ada bilangan cacah,

40

yang jika ditambah dengan 5 menghasilkan 3. Sehingga dapat dikatakan bahwa

pada bilangan cacah tidak terututup terhadap operasi pengurangan.

Contob 1: Isilab tempat yang kosong, sehingga didapat kalimat yang benar.

+ 4 = 9

6 + = 11

8 – 2 =

Penyelesaian :

5 + 4 = 9

6 + 5 = 11

8 - 2 = 6

Contbh 2 : Selesaikan x + 7 = 9

Penyelesaian : Dengan definisi pengurangan x = 9 - 7 atau x = 2

Contoh 3: Ibu mempunyai 10 potong kue, setelah dimakan tiga potong,

berapakah sisanya?

Penyelenian:

Kalimat pengurangannya adalah 10 - 3 = n, maka n = 7.

Jadi kuenya masib 7 potong.

Pada perkalian juga mempunyai invers yaitu pemnbagian. Sebagai contoh

2.8 = 16, maka 16 dibagi 8 menghasilkan 2, dan 16 dibagi 2 menghasilkan 8..

Definisi pembagian pada bilangan cacah sebagai berikut.

Definisi : Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama

dengan bilangan cacah z jika dan hanya jika z.y = x.

Lambang dari pembagian dapat ditulis sebagai berikut :

x : y = z, =z,

x bilangan yang dibagi, y pembagi dan z basil bagi.

Contoh 1: a) 12 : 3 = 4, sebab 4.3 = 12

b) 45 : 9 = 5, sebab 5.9 = 45

c) 16 : 6 = ?, sebab ?. 6 = 16

Pada nomor c tidak ada bilangan cacah jika dikalikan dengan 6

menghasilkan 16. Sehingga dapat dikatakan bahwa pada himpunan bilangan cacah

tidak tertutup untuk operasi pembagian.

41

Contoh 2: Ibu mempunyai 12 buah jeruk dibagikan kepada 3 orang anaknya,

masing-masing mendapat bagian yang sama banyak. Berapa buah

bagian masing-masing anak?

Penyelesaian :

Gambar 2.7

Dari himpunan dua belas jeruk dibentuk 3 himpunan yang anggotanya

sama banyak. Maka banyaknya anggota tiap-tiap himpunan adalah 4. Kalimat

pembagian yang menyatakan bagian dan tiap-tiap anak adalah 12 : 3 = 4.

Contoh 3 : Joni mempunyai 48 kelereng akan dimasukkan ke dalam kotak,

jika masing-masing kotak benisi 12 kelereng, berapa kotak yang

diperlukan untuk tempat kelereng tersebut?

Penyelesaian : Dan 48 kelereng, 12 kelereng dimasukkan pada kotak pertama,

sisa 36 kelereng. Dan sisa 36 kelereng, 12 kelereng dimasukkan

pada kotak kedua, sisa 24 kelereng. Dan 24 kelereng, 12 kelereng

dimasukkan pada kotak ketiga, sisa 12 kelereng, dan 12 kelereng

dimasukkan pada kotak keempat. Dengan menggunakan

pengurangan berulang proses tersebut dapat digambarkan sebagai

berikut :

48

12

— -

36

12

---- - Untuk mendapatkan sisa 0, dilakukan

24 pengurangan dengan 12 sebanyak 4 kali.

12

42

---- -

12

12

---- -

0

Jadi. banyaknya kotak yang diperlukan ada 4 buah.

Dan contoh tersebut ternyata bahwa pembagian dapat dinyatakan sebagai

pengurangan berulang hingga hasil pengurangan 0 (nol). Dengan menggunakan

garis bilangan, dapat dilihat penjumlahan berulang merupakan perkalian dan

pengurangan berulang merupakan pembagian, terlihat adanya kesesuaian.

Gambar 2.8

Bilangan nol mempunyai peranan yang penting di dalam pembagian. Dari

soal 0 : 9 = ?, akan dicari bilangan yang jika dikalikan 9 hasilnya 0. Karena 9.0 =

0, maka 0:9 = 0.

Bagaimana hasil 4:0? Ternyata tidak ada bilangan cacah yang jika

dikalikan 0 sama dengan 4. Sehingga 4:0 tidak ada bilangan yang memenuhi.

Soal yang lain yaitu 0 : 0 = ?. Bilangan cacah manakah yang dikalikan 0

hasilnya 0. Ternyata setiap bilangan cacah yang dikalikan 0 hasilnya 0, sehingga 0

: 0 tidak mempunyai hasil yang tunggal. Karena pembagian dengan 0 tidak

mendapatkan hasil atau tidak mempunyai hasil yang tunggal, maka pembagian

dengan nol tidak didefinisikan.

Sifat bilangan nol dalam pembagian

43

a. Jika a = 0, maka 0 : a = 0 karena a.0 = 0

b. Jika a = 0, maka a : 0 tidak didefinisikan karena a = 0.d, adalah salah

untuk setiap d.

c. 0 : 0 tidak didefinisikan karena hasilnya tidak tunggal, atau semua bilangan

memenuhi sebagai ,jawabnya.

LATIHAN

Kerjakan soal-soal latihan berikut ini!

1. Hitunglah hasilnya (jika ada) pada bilangan cacah.

a) 6 - 2 b) 7 - 9

c) 4 - (3 + 2) d) 8 + 4 - 4

e) 6 - (8 - 5) f) 6 - (12 - 3)

2. Dengan garis bilangan buatlah diagram yang menunjukkan pengerjaan berikut:

a) 14 – 6 = 8 b) 5 + 7 = 12

c) 4 . 5 = 20 d) 12 - 8 = 4

e) 8 – 2 = 6 f) 6 : 3 = 2

3. Hitunglah hasilnya (jika mungkin) pada bilangan cacah.

a) 12 : 9 b) 14 : 0

c) 0 : 16 d) 3(5 + 1) : 2

e) 8(3) : 4 f) (3.2) : 6

4. Untuk memperoleh hasil pembagian 36 : 9, tunjukkan berapa kali 9 harus

dikurangkan dan 36 sehingga mendapatkan 0. (nol).

5. Berilah contoh berlakunya sifat distributif perkalian terhadap

pengurangan a(b - c) = ab - ac

a) 6(8 - 5) b) 8(5 - 3)

c) 17(10 - 4)

6. Tentukan benar atau salah pernyataan berikut

a) (48 : 12) : 2 = 48 :(12 : 2) b) (12 + 6) : 3 = (12 : 3) + (6 : 3)

c) 18 : (3 + 3) = (18 : 3) + (18 : 3) d) 3 + (9.4) = 3.(9 + 4)

7. Selidikilah apakah untuk setiap bilangan cacah a, b, dan c berlaku :

a) a : b = b : a b) (a : b) : c = a : (b : c)

44

D. Urutan pada Bilangan Cacah

Jika kita menentukan banyaknya anggota suatu himpunan, maka kita

mengadakan korespondensi deñgan himpunan {1, 2, 3, . . . n}. Sebagai contoh jika

A = {1, 2}, maka bilangan yang bersesuaian dengan A adalah 2. Jika B = {1, 2,

3), maka bilangan yang bersesuaian dengan B adalah 3. Karena (1, 2) himpunan

bagian sejati. dari (1, 2, 3) dapat dikatakan 2 kurang dari 3. (ditulis 2 < 3).

Secara umum dapat dikatakan jika (1, 2, . .. d} himpunan bagian sejati

dari (1, 2, …, e} maka d kurang dari e. Jika A dan B himpunan yang terhingga

dan A dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bagian sejati dari B,

maka n(A) dikatakan kurang dan n(B) dilambangkan dengan n(A) < n(B).

Contoh : Dapat ditunjukkan bahwa 3 < 5 sebab (1,2,3) adalah himpunan

bagian sejati dan (1, 2, 3, 4, 5)

3 = n(1,2,3} dan 5 = n(1,2,3,4,5).

Perhatikan gambar 1.23 berikut.

Gambar 2.8

Relasi urutan pada bilangan cacah dengan cara lain dapat dijelaskan

sebagai berikut. Jika a dan b adalah bilangan cacah yang berbeda, maka ada

bilangan asli n sedemikian hingga terdapat salah satu hubungan a + n = b atau b +

n = a. Jika diberikan bilangan 2 dan 6, maka 2 kurang dari 6 karena 2 + 4 = 6,

tetapi 6 lebih dari 5 karena 6 = 5 + 1

Pengertian lebih dari dan kurang dari

1. Jika a dan b sembarang bilangan cacah, maka a dikatakan kurang dari b,

ditulis dengan a < b jika dan hanya jika ada bilangan yang bukan nol, yaltu

n sedemikian hingga a + n = b

45

2. Jika a dan b sembarang bilangan cacah, maka a dikatakan lebih dari b,

ditulis dengan a > b, jika dan hanya jika ada bilangan cacah yang bukan

nol, yaitu d sedemikian hingga a = b + d

Contoh 1 : 6 < 14, sebab ada bilangan cacah 8 sedemikian hingga 6 + 8=14

Contoh 2 : 10 > 4, sebab ada bilangan cacah 6 sedemikian hingga 10 = 4 + 6

Jika a lebih besar dan b, maka b kurang dari a dan jika a kurang darn

b, maka b lebih besar dari a sehingga pernyataan a < b dan b > a mempunyai

arti yang sama.

Hubungan lebih dari dan kurang dari dapat lebih mudah ditunjukkan

dengan menggunakan garis bilangan Bilangan yang terletak di sebelah kiri kurang

dari dibandingkan bilangan yang terletak di. sebelah kanan, bilangan yang

terhetak di sebelah kanan lebih dari dibandingkan bilangan yang terletak di

sebelah kiri.

Gambar 2.9

Pada gambar 2.9 dapat dilihat :

4 < 5 karena pada garis bilangan titik yang bersesuaian dengan 4 terletak

di sebelah kiri terhadap titik yang bersesuaian dengan 5.

6 > 5 karena pada garis bilangan titik yang bersesuaian dengan 6 terletak

di sebelah kanan terhadap titik yang bersesuaian dengan 5.

LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!

1. Gunakan definisi kurang dari atau lebih dari untuk menunjukkan salah atau

benar pernyataan berikut:

a) 6 < 9 b) 1 < 1

c) 8 < 8 d) 5 < 7

e) 8 + 9 > 13

2. Tentukan relasi urutan dan a, b, c sedemikian hingga bentuk berikut

terdefinisikan pada bilangan cacah.

46

a) a – b b) (a - b) - c

c) (a - c) – b

3. Jika a < b gunakan definisi “<“ untuk menunjukkan a + c < b + c.