BAB 2DASAR-DASAR SIMULASI

Dasar Dasar Simulasi

Tipe Simulasi1

Perilaku Acak2

Simulating Random Behavior

3

Simulasi Sprehead Sederhana

4

Tipe Simulasi

Static or dynamicStochastic or deterministicDiscrete or continuous

A static simulation is one that is not based on time. It often involves drawing random samples to generate a statistical outcome, so it is sometimes called Monte Carlo simulation. - In finance, Monte Carlo simulation is used to select a portfolio of stocks and bonds.- In material handling system, a static simulation model to calculate the expected time to travel from one rack location in a storage system to any other rack location.

Dynamic simulation includes the passage of time. It looks at state changes as they occur over time. A clock mechanism moves forward in time and state variables are updated as time advances. Dynamic simulation is well suited for analyzing manufacturing and service systems since they operate over time.

Simulations in which one or more input variables are random are referred to as stochastic or probabilistic simulations. A stochastic simulation produced output that is itself random.

Simulation having no input components that are random are said to be deterministic. Deterministic simulation models are built the same ways as stochastic models except that they contain no randomness.

Simulasi Statik vs dinamik

Statik Simulasi tidak

berdasarkan waktu Mencakup sampel acak

yang diambil untuk membangkitkan hasil statik Simulasi montecarlo

Contoh : Dalam sistem material handling, utk menghitung waktu tunggu berjalan satu rack di sistem gudang ke lokasi rak lain

Dinamik Mencakup lintasan waktu Sebuah mekanisme

waktu, menggerak waktu sehingga variabel status berubah saat waktu berubah

Contoh sistem manufaktur & jasa

Simulasi Stokastik vs Determenistik

Stokastik/probabilistik Satu atau lebih variabel

input merupakan acak Menghasilkan output

yang acak dengan sendirinya

Memberikan hanya satu titik data utk mengetahui bagaimana sistem berperilaku

Determinsitik Tidak memiliki komponen

yang bersifat acak Tidak memiliki keacakan

(randomness) Seluruh status yang akan

datang hanya ditentukan sekali oleh data input & status awal (initial state) sudah ditentukan

Random

Simulation Simulation

7

3.4

5

12.3

106

Constantinputs

Constantoutputs

Randominputs outputs

(a) (b)

Simulasi Stokastik vs Determenistik

Simulasi StokastikSimulasi Determenistik

Distribusi Diskret vs Kontinyu

0

5

10

15

20

25

30

1stQtr

3rdQtr

Distribusi Diskret Distribusi Kontinyu

Perilaku Acak (Random Behavior )

Sistem stokastik selalu memiliki waktu atau kuantitas nilai yang bervariasi dalam sebuah rentangan dan berdasarkan densitas tertentu sebagimana terdefinsi pada distrubusi probabilitas.. Distribusi probabilitas digunakan untuk memprediksi waktu berikutnya, jarak, kuantitas,dan berikutnya jika nilai tsb adalah varaibel acak..

Distribusi probabilitas yang diharapkan dari variabel acak ini dapat berupa diskret atau kontinu. Distribusi diskret merepesentasikan suatu terhingga atau jumlah nilai yang mungkin.

Kontinu distribusi merepeentasikan nilai yang kontinu.

Simulasi Perilaku Acak

Bagaimana membangkitkan bilangan acak (random number generotors) ?

Perilaku acak ( random behavior ) ditiru oleh simulasi dengan menggunakan pembangkit bilangan acak (Generating Random Numbers)

Bilangan-bilangan yang dihasilkan oleh pembangkit bilangan acak “tidak acak” dalam arti sebenarnya. Contoh pembangkit bilangan acak prsudo, yang terus menerus menghasilkan bilangan yang sama

Linear Congruential Generators (LCG), Metoda : Urutan bilangan integer Z1, Z2, Z3, … Yang didefinisikan dengan rumus recursive sbb : Zi = (aZi-1 + c) mod(m)dimana, a= multiplier c=increment m= modulus

Simulasi Perilaku Acak

Maksimum panjang siklus pada suatu LCG dapat dicapai adalah m . Untuk menghasilkan maksimum panjang siklus, nilai dari a, c, dan m, nilai b harus dipilih secara tepat.

Suatu pedoman untuk menentukan pilihan adalah : 1. m = 2b, dimana b dihitung dalam angka bits per kata bila

menggunakan komputer. 2. c and m umpamanya faktor umum yang banyak digunakan

adalah 1. 3. a = 1 + 4k, dimana k bilangan integer

Contoh LCG : Ui = Zi / m , dimana = distribusi uniform(0,1) dari suatu random

number generator a=21, c=3, m=16 untuk menghasilkan angka acak presudo

(psedudo random numbers). Z1= (a Zi-1 + c) mod(m) Z1= {21 (Zi-1) + 3} mod(16) Z0=13 (pilih angka antara 0 dan 15 (m-1) seed value, starting

value

Linear Congruential Generators (LCG),

Simulasi Perilaku Acak

Z1=(21 Z0 + 3) mod(16) = (21(13) + 3) mod(16)= 276 mod(16) =4

U= Z1 /16 = 4/16=0,250

Kita melakukan 5 kali replikasi dari sebuah simulasi. Untuk menjalankan model simulasi, satu replikasi ememrlukan 1000 kali penggunaan pembnangkit bilangan acak selama simulasi dilakukan diperlukan sebuah pembangkit bilangan acak dengan panjang siklus (cycle length) sedkitnya 5000

Contoh Kejadian Acak

Simulasi ”kejadian acak” (random event) dalam sebuah restoran siap saji (drive through) :Waktu tiba mobil di jendela restoran siap sajiWaktu yang diperlukan pengemudi untuk memesanJumlah hamburger, minuman dan kentang yang dipesanWaktu yang diperlukan oleh restoran untuk menyiapkan pesanan

Table 1 : Contoh, LCG. Zi = (21Zi-1 + 3) mod(16)

i 21Zi-1+3 Zi Ui=Zi/16

0   13  

1 276 4 0,25

2 87 7 0,4375

3 150 6 0,375

4 129 1 0,0625

5 24 8 0,5

6 171 11 0,6875

7 234 10 0,625

8 213 5 0,3125

9 108 12 0,75

10 255 15 0,9375

11 318 14 0,875

12 297 9 0,5625

13 192 0 0

14 3 3 0,1875

15 66 2 0,125

16 45 13 0,8125

17 276 4 0,25

18 87 7 0,4375

19 150 6 0,375

20 129 1 0,0625

LCG (lanjut)

Stream :

Panjang rentetan bilangan acak dapat dibagi dalam segmen yang lebih kecil, yang disebut stream.

Contoh stream 1, adalah pola kedatangan mobil ke jendela restoran siap saji, stream 2 waktu yang diperlukan oleh pengemudi untuk memesan

Bagaimana penerapan :

Memutuskan berapa banyak bilangan acak yang ditempatkan dalam masing-masing stream

Bagilah urutan pembangkit dari bilangan acak dalam beberapa stream

Bangkitkan keseluruhan urutan bilangan acak (cycle length)

Catat nilai Zi yang menandai permulaan masing-masing strean.

Masing-masing stream memiliki nilai awal sendiri atau atau disebut sebagai seed value.

LCG (lanjut)

Dua tipe LCG :

1. Mixed congruential g3enerators , c>0

2. Multiplicative congruential generators c=0 (lebif efesien dari mided generators tidak memerlukan penambahan c

Promodel menggunakan mutltiplicative generators

Zi= (630,360,016 Zi-1) mod (231 – 1)

Hipotesis untuk testing independence property adalah

H0: nilai Ui values dari generator independentH1 : nilai Ui values dari generator tidak independent

Hipotesis untuk testing uniformly property adalah

H0 : nilai Ui values uniform(0,1)

H1 : nilai Ui values tidak uniform(0,1)

Angka-angka yang dihasilkan dengan random number generators harus :

(1) independent dan

(2) Terdistribusi uniform antara nol dan satu (uniform (0,1)).

Uji Random Number Generators

Generating Random Variates

Observasi (random variates) dari distribusi selain distribusi uniform (0,1)

Transformasikan observasi yang dihasilkan dari generating random number ke distribusi yang di-inginkan)

Niali yang ditransformasikan variate dari distribusi yang dimaksud

Tipe metoda untuk generating random variate dari distribusi yang di-inginkan :Inverse transformation methodThe accepatance/rejection methodThe composition methodThe convolution method Methods employong spescial properties

1. Given a probability density function f(x).2. Find the cumulative distribution function of X, that is F(x) = P(X ≤ x).3. Set U = F(x), where U is uniform(0,1).4. Solving for x = F-1(U)

Generating Random Variates

Distribusi Kontinu

Distribusi Kontinu

Contoh : waktu antara kedatangan mobil ke restoran siap saji terdistribusi eksponensial, waktu yang dibutuhlan oleh pengemudi untuk memesan makan mengikuti distribusi lognormal

Inverse transformation method

elsewherexfore

xF

elsewhere

xforexf

x

x

001

)(

0

01

)(

/

/

)1ln(

1 /

Ux

eU x

1.00

0.50

F(x)

U2

x2

U1

x1

U=1 - exp(-x/beta)

Suatu contoh dari distribusi ekpoensial dengan : mean Distribusi Kontinyu

3 observasi variabel acak yang terdisitribusi eksponensial adalah U1=0,27, U2=0,89, U3=13

Graphical explanation of inverse transformation method

for continuous variates

dimana :Xi = nilai ke-i dari exponential distribution dg mean ,Ui = random ke-I tergambar distribusi uniform(0,1) i = 1,2,…,25

Ui akan menghasilkan persamaan :

)11ln(0.31

31

25,...,2,1128/11

)128mod()3121(1

0

2

1

ii

i

ii

UX

Z

iZU

ZZ

--=

=

==

+=-

)21ln(4.22

1222

25,...,2,1128/22

)128mod()3221(2

0

2

1

ii

i

ii

UX

Z

iZU

ZZ

--=

=

==

+=-

Changing the seed values Z10 and Z20 causes the spreadsheet program to recompute all values in the spreadsheet.

When we change the seed values Z10 and Z20 appropriately, we produce another replication of the simulation.

The heart of simulation is the generation of the random variates that drive the stochastic events in the simulation.

24

Generating Random VariatesDistribusi Diskrit

♠ Aplikasi dari methoda inverse transformation untuk membangkitkan variates dari distribusi deskrit pada dasarnya sama dengan kasus kontinyu

♠Contoh : simulasi mewakili jumlah komponen yang rusak dari serbuah circuit board, jumlah minimum yang dipesan dari jendela drive through

P*x)= P (X=x)= 0,10 untuk x=1 0,30 untuk x=2 0,60 untuk x-3

x2=1 x1=2 x3=3

U2=0,89

U1=0,27

U3=0,05

F(x) 1,00

0,04

0,01

Simulasi Spreadsheet Sederhana (contoh)

Contoh : Nasabah tiba dengan menggunakan ATM pada waktu interval rata-rata (mean) 3.0 menit yang terdistribusi eksponensial. Jika nasabah mendatang, mereka ikut serta untuk antri untuk menunggu giliran menggunakan ATM Antrian memiliki kapasitas tak terbatas untuk menampung nasabah. Nasabah menggunakan rata-rata 2,4 menit terdistribusi eksponensial pada ATM untuk menyelesaikan transaksinya, yang disebut sebagai service time pada ATM. Simulasikan sistem kedatangan dan pemprosesan 25 nasabah dan estimasikan :

a) Waktu tunggu yang diharapkan untuk nasabah dalam antrian (rata-rata waktu tunggu oleh nasabah dalam giliran menggunakan ATM)

b) Waktu harapan dalam sistem (rata-rata waktu nasabah menunggu dalam antrian ditambah dengan waktu rata-rata yang diperlukan untuk menyelesaikan transaksinya di ATN_

Model Simulasi Dinamik, Stokastik

2 1345678

Interarrivaltime 4.8minutes

7th customerarrives at21.0 min.

6th customerarrives at16.2 min.

Entitas :Nasabah tiba

Antria ATM

(FIFO)

ATM server(resource)

Departingcustomers(entities)

Diskripasi gambar dari sistem ATM

Model Simulasi Dinamik, stokastik

Sistem : ATMEntitas : nasabah tiba di ATM untuk melakukan transaksiResource : ATM untuk melayani nasabah dengan kapasitas melayani satu nasabah pada satu waktuKontrol sistem, yang mengatur bagaimana, kapan, dan dimana aktivitas transaksi di ATM

Review Questions

1. What is the difference between a stochastic and a deterministic model in terms of the input variables and the way results are interpreted?

2. Give a statistical description of the numbers produced by a random number generator.

3. What are the two statistical properties that random numbers must satisfy?

4. Given a LCG: Zi = (12Zi-1 + 5) mod(32) Compute Z1 through Z5 from a seed of 29 (Z0 = 29).

5. What is a random variable, and how are random variates generated?

6. Reproduce the spreadsheet simulation of the ATM system presented in this week lecture. Set the random numbers seeds Z10=29 and Z20=92 to compute the average time customers spend in the queue and in the system

.47

0

5,4,3,2,15)()()(

0

1

)()(

andwhere

elsewhere

xforx

xXPxpb

elsewhere

xforxfa

7. Apply the inverse transformation method to generate three variatbles from the following distributions using U1 = 0.10, U2 = 0.53, and U3 = 0.15

Review Questions

7. Apply the inverse transformation method to generate three variates from the following distributions using U1 = 0.10, U2 = 0.53, and U3 = 0.15.

.47

0

5,4,3,2,15)()()(

0

1

)()(

andwhere

elsewhere

xforx

xXPxpb

elsewhere

xforxfa