B3 Найдите радиус окружности, описанной около ... · b3...

B3 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольникаABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (−2; −2),(6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Решение.Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника.Диагональ равна диаметру окружности, описанной околотреугольника.

,

По теореме Пифагора находим, что . Поэтому .

О т ве т : 5.

О т ве т : 5

B3 Окружность с центром в начале координат проходит через точкуP(8; 6). Найдите ее радиус.

Решение.

, а это и есть радиус окружности.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите квадрат длины вектора .

Решение.Длина вектора определяется следующим выражением:

,

Поэтому

.

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0

B3 Точки O(0; 0), B(8; 2), C(2; 6) и A являются вершинамипараллелограмма. Найдите ординату точки A.

Решение.Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC. Координатыточки P вычисляются следующим образом:

, ,

но с другой стороны,

, .

Поэтому ,

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге сразмером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.

Решение.Площадь трапеции равна разности площадибольшого квадрата, маленького квадрата и трехпрямоугольных треугольников, гипотенузы которыхявляются сторонами исходного четырёхугольника.Поэтому

.

О т ве т : 2

B3 Найдите диагональ прямоугольника, две стороны которого равны и .

Решение.

по теореме Пифагора диагональ равна .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдитедиагональ квадрата, площадь которого равна разности площадейданных квадратов.

Решение.Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали.Поэтому площадь первого квадрата равна 50, а площадь второгоквадрата равна 18. Разность найденных площадей равна 32,значит, квадрат искомой диагонали равен 64, а сама она равна 8.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168.Найдите ее высоту.

Решение.

.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет игипотенуза равны соответственно 6 и 10.

Решение.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения

его катетов. По теореме Пифагора a2 = 100 − 36 = 64, a = 8, где a —второй катет. Поэтому

.

О т ве т : 24.

О т ве т : 2 4

B3 Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеюткоординаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).

Решение.Площадь четырехугольника равна разностиплощади прямоугольника и четырехпрямоугольных треугольников. Поэтому

см2.

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3 Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (2; 2), (8; 10), (8; 8).

Решение.Длина стороны, соединяющий вершины с координатами (8; 10) и (8; 8), равна 2. Высота,проведенная из вершины с координатами (2; 2) к продолжению этой стороны, равна 6. Поэтомуплощадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой онапроведена. Поэтому площадь равна 6.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите расстояние от точки A с координатами (6; 8) доначала координат.

Решение.

Расстояние от точки до начала координат определяется

соотношением: .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите площадь треугольника, изображённого наклетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответдайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь треугольника равна половине произведения высотына основание. Высота равна 3 см, основание равно 6 см,поэтому площадь изображённого треугольника равна 9квадратным сантиметрам.

О т ве т : 9.

О т ве т : 9


Решение.Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его

начала. Поэтому вектор имеет координаты , вектор имеет

координаты . Координаты разности векторов равны разности

соответствующих координат. Поэтому вектор имеет

координаты . Длина вектора .

Поэтому квадрат длины вектора равен .

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0

B3 Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6; 8)относительно начала координат.

Решение.Так как точка симметрична относительно (0; 0), то абсциссаравна −6, а ордината равна −8.

О т ве т : −6.

О т ве т : -6

B3 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, иодна сторона на 3 больше другой.

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть однаиз сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна a+3. Периметрбудет соответственно равен

P = 2 a + 2 (a + 3) = 18,

тогда одна из сторон будет равна 3, а другая 6. Поэтому

S = 3 6 = 18.

О т ве т : 18.

О т ве т : 1 8

B3 Найдите периметр четырехугольника , если стороны квадратных

клеток равны .

Решение.по теореме Пифагора найдем сторону четырехугольника:

,

тогда периметр равен .

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0

B3 Основания трапеции равны 1 и 3, высота — 1. Найдите площадьтрапеции.

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований навысоту. Поэтому

см2.

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Найдите абсциссу центра окружности, описанной околопрямоугольника ABCD, вершины которого имеют координатысоответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Решение.Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника.Диагональ равна диаметру окружности, описанной околотреугольника, следовательно, центр окружности лежит на серединедиагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координатыцентра окружности.

, .

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение.

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . . , значит,

треугольник — равнобедренный. Тогда .

О т ве т : 45.

О т ве т : 4 5

B3 Найдите квадрат длины вектора + .

Решение.

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор

имеет координаты , вектор имеет координаты . Координаты суммы векторов равны

сумме соответствующих координат. Тогда вектор имеет координаты . Длина

вектора . Поэтому квадрат длины

вектора равен .

О т ве т : 200.

О т ве т : 2 0 0

B3 Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Решение.Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению егоплощади к полупериметру. Пусть площадь равна S, периметр равен P,радиус окружности равен R. Тогда

.

О т ве т : 1.

О т ве т : 1

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображентреугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь треугольника равна разности площадипрямоугольника и трех прямоугольных треугольников,гипотенузы которых являются сторонами исходноготреугольника. Поэтому

см2.

О т ве т : 10,5.

О т ве т : 1 0 ,5

B3 Площадь параллелограмма равна 60. Точка — середина стороны . Найдите

площадь треугольника .

Решение.ПРОВЕСТИ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ Е ОТРЕЗОК TF, ПАРАЛЛЕЛНЬНЫЙAD. Площадь параллелограмма AFBE равна половинеплощади параллелограмма ABCD, а искомая площадьтреугольника AED равна половине площадипараллелограмма AFBE. Поэтому она равна однойчетвертой площади параллелограмма ABCD т. е. 15.

Приведем другое решение:

Площадь параллелограмма равна произведению егооснования на высоту:

Площадь треугольника равна половине высоты, умноженной на основание. Поскольку —

середина стороны высота треугольника равна половине высоты параллелограмма.

Выразим площадь треугольника через площадь параллелограмма:

.

Приведем еще одно решение: У треугольника ADE и параллелограмма ABCD высота, испущенная из вершины А -- общая, а длиныоснований DE и DC отличаются в два раза. Поскольку площадь треугольника равна половинепроизведения высоты на основание, она равна одной четвертой площади параллелограмма или15.

О т ве т :15.

О т ве т : 1 5

B3

Найдите площадь круга, длина окружности которого равна .

Решение.

Пусть радиус окружности равен , тогда площадь круга определяется

формулой , длина окружности определяется формулой .

Поэтому

,

Откуда

О т ве т : 100.

О т ве т : 1 0 0

B3 Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из егокатетов равен 4. Найдите другой катет.

Решение.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведенияего катетов. Пусть неизвестный катет равен a. Тогда

см2,

откуда a = 8 см.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Найдите центральный угол сектора круга радиуса , площадь

которого равна . Ответ дайте в градусах.

Решение.Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площадиокружности с радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полнойокружности, т. е. 360°. Поэтому

.

Поэтому n° = 22,5°.

О т ве т : 22,5.

О т ве т : 2 2 ,5

B3 Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите длину

разности векторов и .

Решение.

Разность векторов и равна вектору . Вектор образует

в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. Поэтому по

теореме Пифагора .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинамипараллелограмма. Найдите ординату точки .


, ,


, .

Поэтому , .

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Через точку А(6; 8) проведена прямая, параллельная осиабсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью Oy.

Решение.ордината пересечения прямой с осью Oy совпадает с ординатойданной точки, то есть x = 8.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Найдите площадь круга, считая стороны квадратных клеток

равными 1. В ответе укажите .

Решение.Площадь круга определяется

формулой . Радиус

окружности определяется изпрямоугольного треугольника скатетами 2 и 1, тогда

. Поэтому

.

О т ве т : 5.

О т ве т : 5

B3

Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной наклетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе

запишите .

Решение.Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которогоравен 3 см. Поэтому

см2.

Тогда

О т ве т : 6,75.

О т ве т : 6 ,7 5


вектора .

Решение.

Вектор образует в прямоугольнике два прямоугольных

треугольника. Поэтому по теореме Пифагора .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите длину

вектора .

Решение.

Длина вектора равна вектору . Длина вектора .

О т ве т : 3.

О т ве т : 3

B3 Две стороны параллелограмма относятся как , а периметр егоравен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.

Решение.противоположные стороны параллелограмма попарно равны, значит

.

Зная, что периметр параллелограмма равен 70, находим .

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3 Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (4;5), (4;7),(1;9).

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Поэтому

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатойбумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.

Решение.Площадь четырехугольника равна разностиплощади большого прямоугольника и двуходинаковых треугольников, площади которых равныполовине произведения основания на высоту,проведенную к этому основанию. Поэтому

.

Примечание. Отрезав от фигуры верхний правый прямоугольныйтреугольник с катетами 1 и 2, можно приложить егок левому нижнему прямоугольному треугольнику, достроив тем самым фигуру до прямоугольникасо сторонами 1 и 3, площадь которого равна 3.

О т ве т : 3

B3 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, аоснование равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.Площадь треугольника равна половине произведения его основанияна высоту, опущенную на это основание. Высота в равнобедренномтреугольнике, опущенная на основание, делит равнобедренныйтреугольник на два равных прямоугольных треугольника. По теореме

Пифагора высота будет определяться соотношением h2 = 25 − 9 = 16,откуда h = 4. Поэтому

.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображенпараллелограмм (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратныхсантиметрах.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту,проведенную к этому основанию или его продолжению. Поэтому

см2.

Примечание. Приведем другое решение. Площадь параллелограмма равна разности площади прямоугольникаи двух равных прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами

параллелограмма. Поэтому

см2.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.

Решение.Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется

формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR.Поэтому

, , значит,

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Найдите площадь треугольника, изображенного наклетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайтев квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь треугольника равна половине произведенияоснования на высоту, проведенную к этому основанию.Поэтому

см2.

О т ве т : 13,5.

О т ве т : 1 3 ,5

B3 Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник,периметр которого равен 20. Найдите его площадь.


.

Поэтому S = 30.

О т ве т : 30.

О т ве т : 3 0

B3 Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7,образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадьтрапеции.

Решение.

.

О т ве т : 42.

О т ве т : 4 2

B3 Прямая a проходит через точки с координатами (0; 4) и (6; 0).Прямая b проходит через точку с координатами (0; 8) ипараллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересеченияпрямой b с осью Ox

Решение.

Уравнение прямой имеет вид , где — угловой

коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к осиабсцисс. Угловой коэффициент прямой a отрицателен и равен

. Прямые а и b параллельны, поэтому их угловые

коэффициенты равны. Следовательно, уравнение прямой b имеет вид .

Точка лежит на прямой b, поэтому , откуда . Тогда прямая b задается

уравнением . Осталось найти абсциссу точки пересечения b с осью абсцисс:

.

Приведем другое решение. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Прямая b на осиординат отсекает отрезок вдвое больше, чем прямая a. Следовательно, на оси абсцисс она тожеотсекает отрезок вдвое большей длины. Поэтому искомая абсцисса равна 12.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумагес размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.

Решение.Площадь четырёхугольника равна разности площадибольшого квадрата и двух прямоугольных треугольников,гипотенузы которых являются сторонами исходноготреугольника. Поэтому

.

О т ве т : 2 ,5

B3 Найдите площадь круга, длина окружности которого равна .

Решение.

Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется формулой S = πR2, длина

окружности определяется формулой l = 2πR. Поэтому

, значит,

О т ве т : 0,25.

О т ве т : 0 ,2 5

B3 Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол

которого равен 90°.

Решение.

Площадь сектора круга, центральный угол которого равен n° равна

четверти площади круга. Поэтому

.

О т ве т : 0,25.

О т ве т : 0 ,2 5

B3 Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2) и C являются вершинамипараллелограмма. Найдите абсциссу точки C.

Решение.Пусть точка P является серединой отрезков OA и BC. Координаты точки P вычисляются следующим образом:

, ,


, .

Поэтому ,

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторонапараллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторонупараллелограмма.

Решение.противоположные стороны параллелограмма попарно равны,значит

.

Зная, что периметр параллелограмма равен 46, находим .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок).Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этомуоснованию или его продолжению. Выберем за основание вертикальную сторону, длиной 3 клетки.

Тогда проведенная к ней из левой нижней вершины труегольника высотаравна 5 клеткам (см. рис.). Поэтому

см2.

О т ве т : 7,5.

О т ве т : 7 ,5

B3 Найдите площадь четырехугольника, изображенногона клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см(см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь

четырёхугольника равна разности площади большого треугольника и маленького треугольника.Поэтому

.

О т ве т : 3

B3 Вектор с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2).

Найдите абсциссу точки .


начала. Так как вектор имеет координаты , то легко

вычислить координаты точки . Следовательно, точка имеет

координаты , . Поэтому

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28.Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Решение.

так как , то . Тогда

,

откуда, .

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите сумму координат вектора .

Решение.

Имеем: , , поэтому . Сумма

координат найденного вектора равна .

О т ве т : -4.

О т ве т : -4

B3 Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметрравен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение.трапеция равнобедренная, значит

и

,

тогда,

.

О т ве т : 160.

О т ве т : 1 6 0

B3 Высота трапеции равна 10, площадь равна 150.Найдите среднюю линию трапеции.

Решение.

.

О т ве т : 15.

О т ве т : 1 5

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 смизображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь вквадратных сантиметрах.

Решение.Площадь треугольника равна половине произведения основанияна высоту, проведенную к этому основанию. Поэтому

см2.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковаясторона составляет с основанием угол 45°.

Решение.

проведем высоту . Треугольник —

прямоугольный с , значит, он также

равнобедренный: .

.

О т ве т : 16.

О т ве т : 1 6

B3 Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеюткоординаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).

Решение.Площадь параллелограмма равна произведениюоснования на высоту. Поэтому

.

О т ве т : 14.

О т ве т : 1 4

B3 Найдите площадь треугольника, вершины которого имеюткоординаты (1;6), (9;6), (10;9).

Решение.Площадь треугольника равна половине произведения основания (егодлина равна 8) на высоту, проведенную к этому основанию или к егопродолжению (длина высоты, проведенной к продолжениюоснования, равна 3). Поэтому

см2.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2




координаты . Координаты разности векторов равны разности

соответствующих координат. Тогда вектор имеет координаты

, их сумма равна

О т ве т : −4.

О т ве т : -4

B3 Площадь остроугольного треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите уголмежду этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Решение.

По формуле площади треугольника . Поэтому

.

Поскольку угол острый, он равен

О т ве т : 30.

О т ве т : 3 0

B3 Вектор с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2).

Найдите ординату точки .


начала. Так как вектор имеет координаты , то легко

вычислить координаты точки . Следовательно, точка имеет

координаты , . Поэтому

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Площадь треугольника ABC равна 12. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдитеплощадь трапеции ABDE.

Решение.

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом 0,5.Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициентаподобия, поэтому

.

Следовательно,

О т ве т : 9.

О т ве т : 9

B3 Найдите площадь четырехугольника,изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.

Решение.

Площадь четырёхугольника равна разности площадибольшого треугольника и маленького треугольника.Поэтому

.

О т ве т : 3



четырехугольника равна разности площади большого прямоугольника, четырёх прямоугольныхтреугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника и площадималенького квадрата. Поэтому

.

Примечание. Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два треугольника с общим основанием,равным длине квадратной клетки. Высоты этих треугольников равны 1, поэтому их площади 0,5, асумма этих площадей равна 1.

О т ве т : 1

B3 Найдите ординату точки пересечения прямой, заданнойуравнением 3x + 2y = 6, с осью Oy.

Решение.Данная прямая проходит через точки (0; y) и (x; 0). Тогда подставляяэти точки в исходное уравнение прямой, получаем x = 2, y = 3

О т ве т : 3.

О т ве т : 3

B3 Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, аотношение соседних сторон равно 1:2.

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть однаиз сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Периметрбудет соответственно равен P = 2 a + 2 2a = 18, тогда одна изсторон равна 3, а другая 6. Поэтому S = 3 6 = 18.

О т ве т : 18.

О т ве т : 1 8

B3 Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеюткоординаты (4; 2), (8; 4), (6; 8), (2; 6).

Решение.Четырехугольник является квадратом. Площадь квадрата равнаквадрату его стороны. Сторона квадрата равна

, тогда площадь квадрата .

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3

Периметры двух подобных многоугольников относятся как .Площадь меньшего многоугольника равна 8. Найдите площадьбольшего многоугольника.

Решение.Отношение площадей подобных многоугольников равно квадратукоэффициента подобия. Пусть площадь большого многоугольника S.Тогда

,

откуда

,

Поэтому S = 162.

О т ве т : 162.

О т ве т : 1 6 2

B3 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площадипрямоугольника со сторонами 4 и 9.

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину

. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Поэтому сторона квадрата, площадь которого равна 36, равна 6.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите ординату центра окружности, описанной околопрямоугольника ABCD, вершины которого имеют координатысоответственно (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Решение.Диагональ прямоугольника образует два прямоугольных треугольника.Диагональ равна диаметру окружности, описанной околотреугольника, следовательно, центр окружности лежит на серединедиагонали прямоугольника. Тогда можно легко найти координатыцентра окружности.

, .

О т ве т : 1.

О т ве т : 1

B3 Найдите ординату точки, симметричной точке A(6; 8)относительно оси Ox.

Решение.Так как точка симметрична относительно оси Ox, то абсциссаравна 6, а ордината равна −8.

О т ве т : −8.

О т ве т : -8

B3 Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точкиO(0; 0) и A(6; 8), с осью абсцисс.

Решение.

Если опустить из точки перпендикуляр на ось абсцисс, то

получится прямоугольный треугольник. Длина

.

Тогда получается, что

.

О т ве т : 0,8.

О т ве т : 0 ,8

B3 Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, аотношение соседних сторон равно 1:2.

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть однаиз сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь

прямоугольника будет соответственно равна S = 2a2 = 18, тогда однаиз сторон равна 3, а другая 6. Поэтому P = 2 3 + 2 6 = 18.

О т ве т : 18.

О т ве т : 1 8

B3 Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2; 6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординатуточки B.

Решение.Точка P является серединой отрезков OA и BC. Координаты точки P вычисляются следующим образом:

, ,


, .

Поэтому , .

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из егосторон равно 7. Найдите периметр этого квадрата.

Решение.в квадрате расстояние от точки пересечения диагоналейдо одной из его сторон равно половине стороны квадрата,тогда

.

О т ве т : 56.

О т ве т : 5 6

B3 Точки O(0;, 0), A(6; 8), B(6; 2), C(0; 6) являются вершинамичетырехугольника. Найдите абсциссу точки P пересечения егодиагоналей.

Решение.

,

,

,

.

Противоположные стороны попарно равны, четырехугольник является параллелограммом, значит,точка P является серединой отрезка CB. Поэтому координаты точки P вычисляются следующимобразом:

, .

О т ве т : 3.

О т ве т : 3

B3 Найдите радиус окружности, описанной около треугольника,вершины которого имеют координаты (8; 0), (0; 6), (8; 6).

Решение.Построим треугольник, вершинами которого являются заданные точки(см. рис.) Треугольник прямоугольный, радиус описанной вокруг негоокружности равен половине его гипотенузы AB. Имеем:

О т ве т : 5.

О т ве т : 5

B3 Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке P (8;6), чтобы она касалась оси ординат?

Решение.Для того чтобы окружность касалась оси ординат, необходимо, чтобырасстояние от ее центра — точки Р до оси ординат было равнорадиусу этой окружности. Расстояние точки Р до оси ординат равноабсциссе точки Р, т. е. равно 8. Следовательно, радиус окружностидолжен быть равен 8.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Диагонали ромба равны 12 и 16. Найдите длину вектора

.

Решение.

Разность векторов и равна вектору . Длина вектора

равна .

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатойбумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте вквадратных сантиметрах.

Решение.Площадь четырёхугольника равна разностиплощади большого квадрата, двухмаленьких прямоугольников и четырёхпрямоугольных треугольников, гипотенузыкоторых являются сторонами исходногочетырёхугольника. Поэтому

.

Примечание. Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпенликулярны, равна половинепроизведения диагоналей. Поэтому искомая площадь равна 4.

О т ве т : 4

B3 Найдите ординату точки пересечения оси Oy и прямой, проходящей через точку B(6; 4) ипараллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A(6; 8).

Решение.

Уравнение прямой имеет вид: , где — угловой коэффициент. Тогда , подставляя

значения абсцисс и ординат точек и , решая уравнения одновременно, получаем:

.

Так как прямые параллельны, то

.

Теперь подставляя значения и точку с координатами ,

зная еще, что координата второй точки, принадлежащей прямой,

, находим .

О т ве т : −4.

О т ве т : -4


.

Решение.

Длина вектора равна вектору . Диагонали ромба

перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Вектор

является гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Поэтому .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.



координаты . Скалярное произведение векторов равно

.

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно

произведению их длин на косинус угла между ними. Длина вектора : ,

длина вектора : . Тогда получаем: , откуда

О т ве т : 45.

О т ве т : 4 5

B3 Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (8; 4), (8; 8), (2; 10).

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Основания трапецииравны соответственно:

и .

Боковые стороны равны соответственно:

и ,

значит, трапеция является равнобедренной. Две высоты, проведенные в равнобедреннойтрапеции, делят трапецию на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник. Один из

катетов такого прямоугольного треугольника равен , гипотенуза равна . Тогда по теореме

Пифагора второй катет будет равен:

,

а это и есть высота трапеции. Поэтому

.

О т ве т : 36.

О т ве т : 3 6

B3 Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точкиO(0, 0) и A(6, 8).

Решение.Координаты точки, делящей отрезок пополам , считаются поформуле:

, .

О т ве т : 3.

О т ве т : 3

B3 Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2), C(2; 6) являются вершинамичетырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения егодиагоналей.

Решение.

,

,

,

.


, .

О т ве т : 4.

О т ве т : 4

B3 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников и

трапеции (см. рис). Поэтому

.

О т ве т : 5


Решение.Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половинепроизведения диагоналей на синус угла между ними. Диагоналиизображенного на рисунке четырехугольника являются взаимноперпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 1. Поэтому

длины диагоналей равны , а синус угла между ними равен 1. Тем

самым, площадь четырехугольника равна 1.

О т ве т : 1

B3 Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными1.

Решение.Площадь квадрата равна разности площади прямоугольника ичетырех равных прямоугольных треугольников, гипотенузыкоторых являются сторонами исходного квадрата. Поэтому

см2.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите ординату точки, симметричной точке A(6; 8)относительно начала координат.

Решение.Так как точка симметрична относительно (0; 0), то абсциссаравна −6, а ордината равна −8.

О т ве т : −8.

О т ве т : -8

B3 Прямая a проходит через точки с координатами (0; 4) и (−6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; −6) ипараллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересеченияпрямой b с осью Ox.

Решение.Прямые параллельны, поэтому их угловые коэффициенты равны.

Тогда , откуда .

О т ве т : 9.

О т ве т : 9

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (см. рисунок).Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.Поэтому

см2.

О т ве т : 17,5.

О т ве т : 1 7 ,5

B3 Точки O(0; 0), A(6; 8), B(8; 2) являются вершинамитреугольника. Найдите длину его средней линии CD,параллельной OA.

Решение.Точки C и D являются серединами сторон треугольника, тогда

, , , .

Поэтому

О т ве т : 5.

Приведем другое решение.

Заметим, что длина OA равна . Длина средней линии вдвое меньше —

она равна 5.

О т ве т : 5

B3 Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадьравна 40. Найдите периметр трапеции.

Решение.

.

Трапеция равнобедренная, значит

,

Откуда .

О т ве т : 30.

О т ве т : 3 0

B3 Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этогопрямоугольника.

Решение.Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их

произведению. Обозначим длины сторон и . Тогда периметр и

площадь прямоугольника соответственно равны и

. Решим систему:

Тем самым, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.

Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она являетсягипотенузой. Пусть длина диагонали равна , тогда по теореме Пифагора

О т ве т : 13.

Примечание 1.

Можно заметить, что система уравнений является системой Виета. Поэтому

её решения — корни квадратного уравнения откуда и .

Примечание 2. Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,

откуда .

О т ве т : 1 3

B3 Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите

скалярное произведение векторов и .

Решение.Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длинна косинус угла между ними. Так как косинус прямого угла равен нулю,то и скалярное произведение тоже равно нулю.

О т ве т : 0.

О т ве т : 0



Решение.По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников, гипотенузыкоторых являются сторонами заданного четырехугольника, имеем:

тогда периметр равен .

О т ве т : 30.

О т ве т : 3 0


Решение.Площадь четырёхугольника равна разности площадибольшого квадрата четырех прямоугольных треугольников,гипотенузы которых являются сторонами исходноготреугольника. Поэтому

.

Примечание. Площадь четырёхугольника, диагонали которогоперпенликулярны, равна половине произведениядиагоналей. Поэтому искомая площадь равна 3.

О т ве т : 3

B3 Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренноготреугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдитеплощадь этого треугольника.

Решение.Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синусугла между ними. Поэтому

см2.

О т ве т : 25.

О т ве т : 2 5

B3 Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200.Найдите высоту ромба.

Решение.

Сторона равна 50. Пусть , тогда . По теореме

Пифагора , поэтому , то

есть , . Тогда

Откуда

.

О т ве т : 48.

О т ве т : 4 8

B3 Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка,соединяющего точки A(6; 8) и B(−6; 0).

Решение.Координаты точки, делящей отрезок пополам, считаются поформуле:

, .

Видно, что эта точка является искомой.

О т ве т : 4.

О т ве т : 4

B3 Две стороны прямоугольника равны 6 и 8. Диагонали

пересекаются в точке .Найдите длину разности векторов и .

Решение.

Разность векторов и равна вектору . Длина вектора

.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдитерадиус вписанной окружности.

Решение.Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиусвписанной окружности, поэтому

.

О т ве т : 3.

О т ве т : 3


Решение.Площадь четырёхугольника равна разностиплощади большого квадрата, маленькогоквадрата и четырёх прямоугольныхтреугольников, гипотенузы которыхявляются сторонами исходноготреугольника. Поэтому

.

О т ве т : 5

B3 Диагонали изображенного на рисунке ромба равны 12 и

16. Найдите длину вектора + .

Решение.

Длина вектора равна вектору . Длина вектора

равна .

О т ве т : 16.

О т ве т : 1 6

B3 Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение.Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

О т ве т : 0,5.

О т ве т : 0 ,5

B3 Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатойбумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте вквадратных сантиметрах.

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

см2.

О т ве т : 1 8


Решение.Площадь четырехугольника равнаразности площади прямоугольника,четырех равных прямоугольныхтреугольников и двух равных квадратов.Поэтому

см2.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8


Решение.

Имеем: , . Координаты разности векторов равны

разности соответствующих координат, поэтому .

Длина вектора . Поэтому квадрат длины

вектора равен .

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0

B3 Диагонали ромба пересекаются в точке и равны 12 и 16.

Найдите скалярное произведение векторов и .

Решение.Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длинна косинус угла между ними. Диагонали в ромбе перпендикулярны. Таккак косинус прямого угла равен нулю, то и скалярное произведениетоже равно нулю.

О т ве т : 0.

О т ве т : 0

B3 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырёхугольникаравна разности площадибольшого квадрата, маленькогоквадрата и двух одинаковыхпрямоугольных треугольников,гипотенузы которых являютсясторонами исходногочетырёхугольника. Поэтому

.

О т ве т : 1

B3 Точки O(0; 0), A(10; 8), C(2; 6) и B являются вершинамипараллелограмма. Найдите абсциссу точки B.

Решение.Точка P является серединой отрезков OAи BC. Координаты точки P вычисляются следующим образом:

, ,


, .

Поэтому , .

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге сразмером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.Достроим четырёхугольник до прямоугольника площади 2 какпоказано на рисунке. Площади белых и серых частейпрямоугольника равны, поэтому искомая площадь серого

четырёхугольника равна 1 см2.

О т ве т : 1

B3

Площадь треугольника ABC равна 136. DE — средняя линия. Найдитеплощадь треугольника CDE.

Решение.Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник скоэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадраткоэффициента подобия, поэтому площадь отсеченного треугольникавчетверо меньше площади исходного. Таким образом, площадьтреугольника CDE равна 34.

О т ве т : 34.

О т ве т : 3 4

B3 Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатойбумаге с размером клетки 1см 1см. Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведениюоснования на высоту, проведенную к этомуоснованию или его продолжению. Поэтому

см2.

О т ве т : 27.

О т ве т : 2 7


Решение.Площадь четырехугольника равна разностиплощади прямоугольника и четырехпрямоугольных треугольника. Поэтому

см2.

О т ве т : 68.

О т ве т : 6 8

B3 Найдите ординату центра окружности, описанной околотреугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (0; 6), (8;6).

Решение.Треугольник является прямоугольным. Центр окружности, описаннойоколо прямоугольного треугольника, совпадает с серединойгипотенузы. Координаты центра окружности:

, .

О т ве т : 3.

О т ве т : 3

B3 Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна .

Решение.

По теореме Пифагора , значит,

.

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге сразмером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

см2.

О т ве т : 3


Решение.Площадь параллелограмма равна произведениюоснования на высоту. Поэтому

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах.

Решение.Скалярное произведение векторов равно

.

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равнопроизведению их длин на косинус угла между ними. Найдем длины

векторов и :

,

.

Тогда справедливо равенство: , откуда и .

О т ве т : 45.

О т ве т : 4 5

B3 Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2), C(2; 6) являются вершинами четырехугольника. Найдитеабсциссу точки P пересечения его диагоналей.

Решение.

,

,

,

.


, .

О т ве т : 5.

О т ве т : 5

B3

Найдите площадь четырехугольника, изображенного наклетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответдайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырёхугольникасостоит из площадей двухтреугольников и площадитрапеции. Поэтому

см2.

О т ве т : 4 ,5

B3 Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6; 8) относительно оси Oy.

Решение.Так как точка симметрична относительно оси Oy, то ордината равна 8, а абсцисса равна −6.

О т ве т : −6.

О т ве т : -6

B3 Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8.Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции,прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h,тогда

,

отсюда h = 4. Высота в трапеции отсекает прямоугольный треугольник. Высота в прямоугольномтреугольнике является катетом и равна половине гипотенузы, соответственно угол напротиввысоты равен 30°.

О т ве т : 30.

Примечание. Внимательный читатель заметит, что описанной в условии трапеции не существует.Действительно, сумма длин меньшего основания и двух боковых сторон трапеции оказаласьменьше длины большего основания, а это невозможно. Мы уже связались с составителями заданийи сообщили им об этом.

О т ве т : 3 0

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображентреугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратныхсантиметрах.

Решение.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения егокатетов. Поэтому

см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1).

Найдите абсциссу точки .

Решение.Координаты вектора равны разности координат конца вектора и егоначала. Координаты точки A вычисляются следующим образом:5 − x = 3, 3 − y = 1. Откуда x = 2, y = 2.

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки .

Решение.Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки Aвычисляются следующим образом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. Откуда x = 2, y = 2.

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна12. Найдите другую диагональ.

Решение.Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей,следовательно,

,

где a — искомая диагональ. Поэтому a = 3.

О т ве т : 3.

О т ве т : 3

B3 Найдите скалярное произведение векторов и .



координаты . Скалярное произведение векторов равно:

.

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0

B3 Площадь параллелограмма равна 153. Найдите площадь параллелограмма ,

вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Решение.

Четырехугольник, вершинами которогоявляются середины сторон произвольногочетырехугольника, является параллелограммом,площадь которого равна половине площадиисходного четырехугольника(см. параллелограмм Вариньона).

Поэтому его площадь равна 76,5.

О т ве т :76,5.

О т ве т : 7 6 ,5

B3 Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 разабольше другой. Найдите меньшую диагональ.

Решение.Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.Пусть меньшая из диагоналей равна a, тогда большая равна 3a. Следовательно,

.

http://www.fmclass.ru/math.php?id=4850e30433b03

Поэтому .

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Найдите сумму координат вектора + .

Решение.Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат.

Тогда вектор имеет координаты . Поэтому сумма

координат вектора равна .

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3 Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты(1;1), (10;1), (10;6), (5;6).


см2.

О т ве т : 35.

О т ве т : 3 5


Найдите длину вектора .

Решение.

Разность векторов и равна вектору . Диагонали ромба

пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся

пополам. Тогда вектор является гипотенузой в прямоугольном

треугольнике. По теореме Пифагора получаем, что .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге сразмером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

По теореме Пифагора длины сторон треугольника равны и

Поскольку сумма квадратов меньших сторон равна квадрату большей стороны,треугольник прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника равна

половине произведения его катетов, поэтому, поэтому

см2.

О т ве т : 2 ,5

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок).Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольныхтреугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырехугольника. Поэтому

см2.

О т ве т : 12,5.

О т ве т : 1 2 ,5

B3 Найдите длину отрезка, соединяющего точки A(6; 8) и (−2;

2).

Решение.Длина отрезка определяется следующим выражением:

.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющеготочки A(6; 8) и B(-2; 2).

Решение.абсцисса середины отрезка определяется выражением:

.

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга,если площадь заштрихованного сектора равна 32?

Решение.Заметим, что

Тогда поэтому Поэтому площадь

сектора равна от площади круга. Следовательно, площадь круга равна

О т ве т :96.

О т ве т : 9 6

B3 Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точкиO(0; 0) и A(6; 8), с осью абсцисс.

Решение.

Если опустить из точки перпендикуляр на ось абсцисс, то

получится прямоугольный треугольник. Длина

.

Тогда получается, что

.

О т ве т : 0,6.

О т ве т : 0 ,6

B3 Угол при вершине, противолежащей основаниюравнобедренного треугольника, равен 150°.Найдите боковую сторону треугольника, если егоплощадь равна 100.

Решение.Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата его боковойстороны и синуса угла между боковыми сторонами, следовательно,

,

где a — искомая боковая сторона треугольника. Поэтому a = 20.

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3 Точки O(0; 0), B(6; 2), C(0; 6) и A являются вершинамипараллелограмма. Найдите ординату точки A.

Решение.Так как у параллелограмма противоположные стороны попарно

равны, то ,

. Известно, что имеет координаты , следовательно,

. Поэтому

. Это и есть искомая ордината.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение.Площадь сектора круга с дугой n° равна произведению площади окружностис радиусом R на отношение угла сектора n° к углу полной окружности, т.е.360°, следовательно,

.

Длина дуги сектора определяется формулой:

,тогда

.

Подставляя полученное выражение в формулу для площади сектора круга, получаем:

.

О т ве т : 1.

О т ве т : 1

B3 Найдите площадь четырехугольника,изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.


четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двухпрямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходногочетырёхугольника. Поэтому

.

Примечание. Четырёхугольник составлен из двух треугольников, имеющих общее основание, равное длинеквадратной клетки: прямоугольного с катетами 1 и 1, и тупоугольного с основанием длины 1 ивысотой, проведенной к этому основанию, также длины 1. Поэтому площадь четырехугольникаравна 0,5 + 0,5 = 1.

О т ве т : 1

B3 Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3x + 2y = 6 и y = x.

Решение.Решая совместно эти два уравнения, получаем, что y = x = 1,2.

О т ве т : 1,2.

О т ве т : 1 ,2

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображенатрапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратныхсантиметрах.


см2.

О т ве т : 14.

О т ве т : 1 4

B3 Найдите квадрат длины вектора + .

Решение.Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих

координат: Тогда для длины

вектора суммы имеем: . Квадрат длины

вектора равен 200.

О т ве т : 200.

О т ве т : 2 0 0

B3 Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.


см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите длину отрезка, соединяющего точки O(0; 0) и A(6; 8).

Решение.Длина отрезка определяется следующим выражением:

.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите скалярное произведение векторов и .

Решение.

Выпишем координаты векторов: Скалярное

произведение векторов равно

.

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0


Решение.Площадь параллелограмма равна разности площади прямоугольника и двухравных прямоугольных треугольников. Поэтому

см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатойбумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте вквадратных сантиметрах.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению основания навысоту, проведенную к этому основанию или его продолжению.Поэтому

см2.

О т ве т : 18.

О т ве т : 1 8

B3

Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.

Решение.Пусть радиус окружности равен R, тогда площадь круга определяется

формулой S = πR2, длина окружности определяется формулой l = 2πR.Поэтому

, , значит,

О т ве т : 42.

О т ве т : 4 2

B3 Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96.Найдите высоту трапеции.

Решение.

.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности,больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Решение.Пусть радиус окружности равен R. Тогда сторона описанного вокругнее квадрата равна 2R, а его площадь, равная квадрату стороны,

равна 4R2. Диагональ вписанного квадрата также равна 2R, поэтому

его площадь, равная половине произведения диагоналей, равна 2R2.Следовательно, отношение площади описанного квадрата к площадивписанного равно 2.

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратныхклеток равными 1.

Решение.Площадь прямоугольника равна разности площадипрямоугольника и четырех прямоугольныхтреугольников, гипотенузы которых являютсясторонами исходного прямоугольника. Поэтому

см2.

О т ве т : 10.

Примечание Для вычисления площади фигуры можно сложить площади треугольников BCD и BAD, имеющихобщую сторону BD, длина которой равна 5, и равные проведенные к ней высоты длины 2.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге сразмером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.

Решение.Площадь четырёхугольника равна разности площадибольшого квадрата, двух маленьких квадратов ичетырёх прямоугольных треугольников, гипотенузыкоторых являются сторонами исходного треугольника.Поэтому

.

Примечание. Наш четырёхугольник — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей. Поэтомуона равна 3.

О т ве т : 3

B3 Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10.Найдите площадь трапеции.

Решение.

,

.

О т ве т : 160.

О т ве т : 1 6 0

B3

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатойбумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте вквадратных сантиметрах.

Решение.Площадь четырехугольника равна суммеплощадей двух треугольников, на которые онразбивается диагональю. Поэтому

см2.

О т ве т : 7,5.

О т ве т : 7 ,5

B3 Стороны правильного треугольника равны 3. Найдите

скалярное произведение векторов и .

Решение.Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длинна косинус угла между ними. Углы в правильном треугольнике равны

. Поэтому скалярное произведение равно .

О т ве т : 4,5.

О т ве т : 4 ,5



начала. Вектор имеет координаты . Поэтому

сумма координат вектора равна 8.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшегомногоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Решение.Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их периметров.Пусть периметр и площадь меньшего многоугольника соответственно равны P1 и S1, периметр и

площадь большего многоугольника соответственно равны P2 и S2. Поэтому

,

откуда

,

Поэтому S2 = 50.

О т ве т : 50.

О т ве т : 5 0

B3 Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и12, а угол между ними равен 30°.

Решение.Площадь треугольника равна половине произведения его сторон насинус угла между ними. Поэтому

см2.

О т ве т : 24.

О т ве т : 2 4

B3 На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдитеплощадь заштрихованной фигуры.

Решение.Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6, радиусвнутреннего равен 3. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса наименьшегокруга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.

О т ве т : 3.

О т ве т : 3

B3 Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (10; 4), (10; 10), (2;6).

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Основания трапецииравны 4 и 6. Высота трапеции равна 10 − 2 = 8. Поэтому

.

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0


Решение.Площадь четырёхугольника равна разности площадибольшого квадрата и двух прямоугольных треугольников,гипотенузы которых являются сторонами исходноготреугольника. Поэтому

.

О т ве т : 2

B3 Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из егокатетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

Решение.Пусть x — меньший катет, тогда x + 2 — больший. Площадьпрямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь четырёхугольника равна сумме площадей маленького прямоугольника и двухпрямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходногочетырёхугольника. Поэтому

.

О т ве т : 2 ,5

B3

Вектор с началом в точке (3; 6) имеет координаты (9; 3).

Найдите сумму координат точки .

Решение.Пусть координаты точки B равны xB и yB. xB. Координаты вектора

равны разности соответствующих координат его конца и начала.Следовательно, xB − 3 = 9, yB − 6 = 3. Откуда xB = 12, yB = 9.

Поэтому сумма координат точки B равна 21.

О т ве т : 21.

О т ве т : 2 1

B3

Найдите площадь сектора круга радиуса , центральный угол

которого равен .

Решение.

Площадь сектора круга, центральный угол которого равен n° равна

четверти площади круга. Поэтому

.

О т ве т : 552,25.

О т ве т : 5 5 2 ,2 5


Решение.Площадь треугольника равна половине произведения основания навысоту, проведенную к этому основанию. Поэтому

см2.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Точки O(0; 0), A(6; 8), C(0; 6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординатуточки B.

Решение.Так как у параллелограмма противоположные стороны попарно равны, то

, . Известно,

что имеет координаты , следовательно,

. Поэтому .

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту,проведенную к этому основанию. Поэтому

см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге сразмером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь четырёхугольника равнаразности площади большогоквадрата, маленького квадрата идвух одинаковых прямоугольныхтреугольников, гипотенузы которыхявляются сторонами исходногочетырёхугольника. Поэтому

.

О т ве т : 1.

О т ве т : 1

B3 Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей черезточки с координатами (−2; 0) и (0; 2).

Решение.Уравнение прямой имеет вид: y = kx + b, где k — угловойкоэффициент. Тогда , подставляя значения абсцисс и ординатточек, решая уравнения одновременно, получаем: k = 1.

О т ве т : 1.

О т ве т : 1

B3 Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которогоимеют координаты (8; 0), (0; 6), (8; 6).

Решение.Треугольник является прямоугольным. Центр окружности, описанной около прямоугольного

треугольника, совпадает с серединой гипотенузы. Тогда координатыцентра окружности:

, .

О т ве т : 4.

О т ве т : 4

B3 Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катетыравны 5 и 8.

Решение.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведенияего катетов. Поэтому

см2.

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3 Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону,если она на 3 больше меньшей стороны.

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна

a + 3. Поэтому S = a (a + 3) = 18, получаем a2 + 3a − 18 = 0, решаяквадратное уравнение, получаем, что a = 3. Тогда большая сторонабудет равна 6.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6


суммы векторов и .

Решение.

Сумма векторов и равна вектору . Вектор образует в

прямоугольнике два прямоугольных треугольника. Поэтому по теореме

Пифагора .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этимсторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равнавысота, проведенная ко второй стороне?

Решение.

.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 38.Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

Треугольник ABC подобен треугольнику DEC с коэффициентом 2.Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициентаподобия, поэтому

.

О т ве т : 152.

О т ве т : 1 5 2

B3 Стороны правильного треугольника равны . Найдите

длину вектора .

Решение.Достраиваем треугольник до ромба.

Поскольку

необходимо найти длину большейдиагонали ромба, равную удвоеннойдлине медианы равностороннеготреугольника. Таким образом, имеем:

.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O(0; 0) и A (6; 8).

Решение.Координаты точки, делящей отрезок пополам , считаются поформуле:

,

О т ве т : 4.

О т ве т : 4

B3 Найдите сумму координат вектора + .



координаты . Координаты суммы векторов равны сумме

соответствующих координат. Тогда вектор имеет координаты

. Поэтому сумма координат вектора равна .

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3 Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружностиравен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Решение.Площадь треугольника равна произведению его полупериметра нарадиус вписанной окружности:

.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная напервую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторуюсторону параллелограмма.

Решение.Пусть x — искомая высота. Площадьпараллелограмма равна произведению егооснования на высоту, опущенную на этооснование. Вычислим площадьпараллелограмма двумя способами:

S = 9 10 = 15 x.

Из полученного уравнения находим x = 6.

О т ве т : 6.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что если впрямоугольном треугольнике DGC вычислить длинукатета CG, то окажется, что

Связано это с тем, что на самом деле основание высотыпараллелограмма падает на продолжение стороны CB заточку B. Однако это не влияет на корректность решения задачи.

О т ве т : 6


Найдите длину вектора + .

Решение.

Сумма векторов + равна вектору . — ромб, его

диагонали пересекаются под прямым углом, значит,

.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).

Решение.Площадь треугольника равна разности площади квадрата со стороной 10 и трех прямоугольныхтреугольников, гипотенузы которых являются сторонами заданного треугольника. Поэтому

см2.

О т ве т : 25,5.

О т ве т : 2 5 ,5



четырёхугольника равна разности площади большого прямоугольника, маленькогопрямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонамиисходного четырёхугольника. Поэтому

.

Примечание. Заданный четырёхугольник можно рассматривать как два прямоугольных треугольника скатетами 1 и 2, которые, приложив их гипотенузы друг к другу, можно сложить в прямоугольниксо сторонами 1 и 2, площадь которого равна 2.

О т ве т : 2

B3 Точки O(0; 0), A(6; 8), B(6; 2), C(0; 6) являются вершинамичетырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения егодиагоналей.

Решение.

,

,

,

.


, .

О т ве т : 4.

О т ве т : 4

B3 Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10.Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение.Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадьпрямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пустьодна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Периметрпрямоугольника будет соответственно равен P = 2 a + 2 b = 28.Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора

a2 + b2 = 100. Тогда имеем:

Тем самым, S = a b = 48.

О т ве т : 48.

О т ве т : 4 8

B3 Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точкиA(6, 8) и B(-2, 2).

Решение.Координаты точки, делящей отрезок пополам, считаются поформуле:

, .

О т ве т : 5.

О т ве т : 5

B3 Середины сторон прямоугольника, диагональ которогоравна 5, последовательно соединены отрезками. Найдитепериметр образовавшегося четырехугольника.

Решение.

Четырехугольник ромб, значит, его периметр равен

. Стороны искомого четырехугольника равны средним линиямтреугольников, образуемых диагоналями и сторонами данногочетырехугольника. Таким образом, стороны искомогочетырехугольника равны половинам диагоналей.Соответственно, имеем:

.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 3x + 4y = 6.

Решение.Общий вид уравнения прямой y = kx + b. Тогда выражая y из исходного уравнения, получаем, что

y = −0,75x + 1,5. Поэтому k = −0,75.

О т ве т : −0,75.

О т ве т : -0 ,7 5

B3 Две стороны изображенного на рисунке прямоугольника

равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке . Найдите длину суммы

векторов и .

Решение.

Сумма векторов и равна вектору . Его длина равна 6.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдитебольшую сторону прямоугольника.

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть однаиз сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Площадь ипериметр прямоугольника будут соответственно равны S = a b = 98,P = 2 a + 2 b = 42. Решая одновременно эти два уравнения, получаем, что a1 = 7, a2 = 14,

b1 = 14, b2 = 7. Поэтому большая сторона равна 14.

О т ве т : 14.

О т ве т : 1 4



четырёхугольника равна разности площади трапеции, маленького прямоугольника и двухпрямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходногочетырёхугольника. Поэтому

см2.

Примечание. Данный четырёхугольник можно разбить на прямоугольный треугольник, с катетами 1 и 3,прямоугольную трапеию с основаниями 3 и 1 и прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1.Поэтому его площадь равна 4.

О т ве т : 4

B3 Найдите площадь параллелограмма, если две его стороныравны 8 и 10, а угол между ними равен 30°.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению его сторон насинус угла между ними. Поэтому

см2.

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0

B3 Точки O(0; 0), A(6; 8), B(6; 2) и C являются вершинамипараллелограмма. Найдите ординату точки C.

Решение.Так как у параллелограмма противоположные стороны попарно

равны, то , .

Известно, что имеет координаты , следовательно,

.

Поэтому .

О т ве т : 6.

О т ве т : 6



см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

Решение.Площадь закрашенной фигуры равна разности площади большого и маленькогоромбов. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому

О т ве т : 24.

О т ве т : 2 4

B3 Площадь параллелограмма равна 176. Точка – середина стороны . Найдите

площадь треугольника .

Решение.

Пусть − перпендикуляр, опущенный из точки

на продолжение стороны Выразим площадь

треугольника через площадь параллелограмма

О т ве т : 44.

О т ве т : 4 4

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображенафигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.Поэтому

см2.

О т ве т : 28.

О т ве т : 2 8

B3 Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеюткоординаты (1;1), (10;1), (10;7), (1;7).

Решение.Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.Поэтому

см2.

О т ве т : 54.

О т ве т : 5 4

B3 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки,взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые,параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегосяпараллелограмма.

Решение.

так как прямые, проведенные из основания треугольника

параллельны его сторонам, то углы в треугольниках и равны

углам треугольника . Треугольники подобны, соответственно, они

равнобедренные. Противоположные стороны параллелограмма

попарно равны, значит

.

О т ве т : 20.

О т ве т : 2 0

B3 Угол при вершине, противолежащей основаниюравнобедренного треугольника, равен150°. Боковая сторона треугольника равна 20.Найдите площадь этого треугольника.

Решение.Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.Поэтому

см2.

О т ве т : 100.

О т ве т : 1 0 0

B3 На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдитеплощадь заштрихованной фигуры.

Решение.Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равенчетырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцатьдевятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигурыравна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.

О т ве т : 7.

О т ве т : 7

B3 Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координаты(4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

Решение.Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Поэтому

см2.

О т ве т : 36.

О т ве т : 3 6

B3 Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а одиниз углов равен 150°.

Решение.Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны исинуса его угла. Поэтому

см2.

О т ве т : 0,5.

О т ве т : 0 ,5

B3 Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдитеплощадь треугольника CDE.

Решение.Треугольник CDE подобен треугольнику CAB. Коэффициент подобияравен отношению подобных сторон. Отрезок DE — средняя линия, еедлина равна половине основания. Поэтому коэффициент подобияравен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадраткоэффициента подобия. Тогда

см2.

О т ве т : 1.

О т ве т : 1

B3 На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдитеплощадь заштрихованной фигуры.

Решение.Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвоебольше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего.Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадейкругов: 204 − 51 = 153.

О т ве т : 153.

О т ве т : 1 5 3

B3 Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренноготреугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если егоплощадь равна 25.

Решение.Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведенияквадрата его боковой стороны и синуса угла между боковыми сторонами,следовательно,

,

где a — искомая боковая сторона треугольника. Поэтому a = 10.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадьравна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение.

,

.

О т ве т : 5.

О т ве т : 5

B3 Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28, а периметр одного изтреугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 24.

Решение.

.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0



четырёхугольника равна разности площади большого прямоугольника, маленькогопрямоугольника и двух прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонамиисходного четырёхугольника. Поэтому

.

О т ве т : 1 ,5


Решение.Площадь треугольника равна разности площадибольшого квадрата, маленького квадрата и трехпрямоугольных треугольников, гипотенузыкоторых являются сторонами исходноготреугольника. Поэтому

см2.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Найдите (в см2) площадь фигуры, изображенной на

клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В

ответе запишите .

Решение.Площадь кольца равнаразности площади большого ималого кругов. Радиусбольшого круга равен 2, амалого — 1, откуда

.

Поэтому

.

О т ве т : 3

B3 Точки O(0; 0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) являются вершинамитрапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Решение.Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.Следовательно,

,

.

Поэтому средняя линия трапеции равна

.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10.Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению его основания навысоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равнысоответственно a и b. Тогда S = 5 a = 10 b = 40. Поэтому a = 8, b = 4.Большая высота равна 8.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8

B3 Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

см2.

О т ве т : 30.

О т ве т : 3 0

B3



см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображенафигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В

ответе запишите .

Решение.Площадь фигуры равна трем четвертым площади круга, радиус которогоравен см. Поэтому

см2.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Найдите расстояние от точки A с координатами (6; 8) до осиабсцисс.

Решение.Расстояние от точки до оси абсцисс равно ординате точки.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8



Решение.Стороны четырехугольника равны. По теореме Пифагора

.

Следовательно, периметр равен .

О т ве т : 40.

О т ве т : 4 0

B3 Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4:5, а другая сторона равна 6.Найдите площадь прямоугольника.

Решение.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.Пусть одна из сторон прямоугольника равна 4a, тогда диагональ равна5a. Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных

треугольника. По теореме Пифагора 16a2 + 36 = 25a2, тогда 9a2 = 36,откуда a = 2. Поэтому S = 8 6 = 48.

О т ве т : 48.

О т ве т : 4 8

B3 Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей черезточки с координатами (2; 0) и (0; 2).

Решение.Угловой коэфиициент прямой, проходящей через точки с

координатами и и непараллельной оси ординат,

вычисляется по формуле

Подставляя значения абсцисс и ординат точек (0; 2) и (2; 0),получаем: k = −1.

Приведем другое решение. Уравнение прямой имеет вид y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Подставляя значенияабсцисс и ординат точек, и решая систему полученых уравнений, получим k = −1.

О т ве т : −1.

О т ве т : -1



см2.

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Точки O(0; 0), B(8; 2), C(2; 6) и A являются вершинамипараллелограмма. Найдите абсциссу точки A.


, ,


, .

Поэтому , .

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок).Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех равныхпрямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного

четырехугольника. Поэтому

см2.

О т ве т : 12.

Примечание. Заданный четырехугольник — ромб. Его площадьравна половине произведения диагоналей иравна 12.

О т ве т : 1 2

B3 Основание трапеции равно 13, высота равна 5, а площадьравна 50. Найдите второе основание трапеции.

Решение.

.

О т ве т : 7.

О т ве т : 7

B3 Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими

окружностями, радиусы которых равны и .

Решение.

Площадь круга определяется формулой S = πR2. Площадь кольца равнаразности площадей первого и второго круга. Тогда

, .

Поэтому площадь кольца: S = S1 − S2 = 16 − 4 = 12

О т ве т : 12.

О т ве т : 1 2

B3 Найдите площадь четырехугольника,изображенного на клетчатой бумаге с размеромклетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратныхсантиметрах.

Решение.

Площадь четырехугольника равна разности площадибольшого прямоугольного треугольника, маленькогопрямоугольного треугольника, гипотенуза которогоявляется стороной исходного четырехугольника иплощади маленького квадрата. Поэтому

.

О т ве т : 1

B3 Найдите ординату точки пересечения прямых, заданныхуравнениями 3x + 2y = 6 и y = −x.

Решение.Решая совместно эти два уравнения, получаем, что x = 6, y = −6.

О т ве т : −6.

О т ве т : -6

B3 Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке P(8; 6),чтобы она касалась оси абсцисс?

Решение.Для того чтобы окружность касалась оси абсцисс, необходимо, чтобырадиус окружности был равен 6.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Площадь сектора круга радиуса 3 равна 6. Найдите длину его дуги.

Решение.Площадь кругового сектора равна половине произведения радиуса круга

на длину дуги сектора: . Поэтому , откуда

.

О т ве т : 4.

О т ве т : 4

B3 Из точки А(6; 8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс.Найдите абсциссу основания перпендикуляра.

Решение.абсцисса основания перпендикуляра совпадает с абсциссойданной точки, то есть x = 6.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый уголпараллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте вградусах.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадьпрямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и

прямоугольника равна , а вторая равна , а острый угол параллелограмма равен . Тогда

площадь параллелограмма равна , а площадь прямоугольника равна .

По условию площадь прямоугольника вдвое больше: . Следовательно,

.

О т ве т : 30.

О т ве т : 3 0

B3



см2.

О т ве т : 8.

О т ве т : 8


Решение.Площадь четырехугольника равна суммеплощадей двух прямоугольных треугольников иплощади трапеции. Поэтому

.

О т ве т : 5

B3 Найдите длину вектора (6; 8).

Решение.Длина вектора определяется следующим выражением:

.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите расстояние от точки A с координатами (6; 8) до осиординат.

Решение.Расстояние от точки до оси ординат равно модулю абсциссыточки, в нашем случае — 6.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Площадь параллелограмма равна 189. Точка — середина стороны . Найдите

площадь трапеции .

Решение.

Площадь параллелограмма равнапроизведению его основания на высоту:

Площадь трапеции равна полусумме оснований,умноженной на высоту. Выразим площадьтрапеции через площадь параллелограмма:

.

О т ве т :141,75.

О т ве т : 1 4 1 ,7 5

B3 Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

Решение.Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей.Поэтому произведение диагоналей равно 4, а каждая из них равна 2.

Другое решение.

Пусть сторона квадрата равна . Тогда его площадь равна , а

диагональ равна . Поэтому: , значит, . Отсюда

следует, что диагональ равна 2.

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинамикоторого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение.Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых

диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом,стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей.Соответственно,

.

О т ве т : 9.

О т ве т : 9

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 смизображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь вквадратных сантиметрах.

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы основанийна высоту. Поэтому

см2.

О т ве т : 32,5.

О т ве т : 3 2 ,5

B3 Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник,площадь которого равна 33. Найдите его периметр.


.

Поэтому P = 22.

О т ве т : 22.

О т ве т : 2 2

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображенатрапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.


см2.

О т ве т : 15.

О т ве т : 1 5


.

Решение.Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой

пересечения делятся пополам. Тогда вектор является гипотенузой

в прямоугольном треугольнике. По теореме Пифагора получаем, что

.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0

B3 Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданнойуравнением 3x + 2y = 6, с осью Ox.

Решение.Данная прямая проходит через точки (0; y) и (x; 0). Тогда подставляяэти точки в исходное уравнение прямой, получаем x = 2, y = 3

О т ве т : 2.

О т ве т : 2

B3 Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2.Найдите площадь трапеции.

Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований навысоту. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.Поэтому

см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдитеплощадь заштрихованного сектора.

Решение.Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всегокруга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24.

О т ве т :24.

О т ве т : 2 4

B3 Найдите диагональ прямоугольника , если стороны квадратных

клеток равны 1.

Решение.по теореме Пифагора находим диагональ:

.

О т ве т : 5.

О т ве т : 5


Решение.Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура(см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь фигуры равна разности площади прямоугольника и трехтреугольников. Поэтому

см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6


Решение.

Площадь четырехугольника равна разностиплощади большого прямоугольного треугольника ималенького прямоугольного треугольника,гипотенуза которого является стороной исходногочетырехугольника. Поэтому

.

О т ве т : 2 ,5

B3 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция(см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.


см2.

О т ве т : 10.

О т ве т : 1 0


Решение.Площадь треугольника равнаполовине произведения основанияна высоту, проведенную к этомуоснованию или его продолжению.Поэтому

см2.

О т ве т : 6.

О т ве т : 6

B3 Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение.Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.Поэтому

.

О т ве т : 24.

О т ве т : 2 4

B3

Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны47 и 2, а угол между ними равен 30°.

Решение.Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Поэтому

см2.

О т ве т : 47.

О т ве т : 4 7

B3 Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.


см2.

О т ве т : 9.

О т ве т : 9

B3 Вектор с концом в точке (5; 4) имеет координаты (3; 1).

Найдите сумму координат точки .

Решение.Координаты вектора равны разности координат конца вектора и егоначала. Координаты точки A вычисляются следующим образом:5 − x = 3, 4 − y = 1. Откуда x = 2, y = 3. Поэтому сумма координатточки A равна 5.

О т ве т : 5.

О т ве т : 5

B3 Найдите радиус окружности, описанной около ... · b3...

Documents

Transcript of B3 Найдите радиус окружности, описанной около ... · b3...