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Conceitos IniciaisConceitos Iniciais

PAR ORDENADO – conceito primitivoPAR ORDENADO – conceito primitivo

P(x,y) – ponto no plano cartesianoP(x,y) – ponto no plano cartesiano

Abscissa Ordenada

P(x,y)

P (x,0)

P (0,y)

x

y

Produto CartesianoProduto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, denomina-se produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto formado por pares ordenados (x;y) de A por B ao conjunto formado por pares ordenados (x;y) tais que x tais que x ∈∈ A e y A e y ∈∈ B.B.

NOTAÇÃO: A x B = {(x, y) | x NOTAÇÃO: A x B = {(x, y) | x ∈∈ A e y A e y ∈∈ B} B}

Considere o conjunto A = {2, 4} e B = {1, 3, 5}. Considere o conjunto A = {2, 4} e B = {1, 3, 5}. Represente:Represente:

a) A x B enumerando, um a um seus elementos e por um a) A x B enumerando, um a um seus elementos e por um gráfico cartesiano.gráfico cartesiano.

A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)} A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)}

2 4

5

3

1x

y

b) A relação binária h = {(x;y)| y < x}b) A relação binária h = {(x;y)| y < x}

xy <

A B2

4

1

3

5

h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}

c) A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}c) A relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}

3+= xy

2

4

1

3

5

g: {(2;5)}g: {(2;5)}

A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)} A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)}

A B

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO: Denomina-se Relação Binária de A em B : Denomina-se Relação Binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano de A x B.qualquer subconjunto do produto cartesiano de A x B.

OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO: Quando nesse subconjunto para : Quando nesse subconjunto para todotodo elemento de A existir elemento de A existir um únicoum único correspondente em B, correspondente em B, teremos uma função f de A em B.teremos uma função f de A em B.

c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}c) A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}

1+= xy

A B2

4

1

3

5

f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}

f é uma função de A em B, pois f é uma função de A em B, pois todotodo elemento de A está associado a elemento de A está associado a um únicoum único elemento em Belemento em B

ELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A ELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A →→ B B

DOMÍNIO: A = {2, 4}DOMÍNIO: A = {2, 4}CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}

Não é função

CONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃO CONTRA EXEMPLO DE FUNÇÃO

Considere a função f: A Considere a função f: A →→ B definida por y = 3x + 2, pode-se B definida por y = 3x + 2, pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é:afirmar que o conjunto imagem de f é:

23 += xy

A B 23 += xy521.3 =+=y

1

2

3

58

11

15

17

822.3 =+=y1123.3 =+=y

23)( += xxf

→→→

5)1( =f

8)2( =f

11)3( =f

}11,8,5{)Im( =∴ f

GRÁFICO DA FUNÇÃO f: A GRÁFICO DA FUNÇÃO f: A →→ B definida por y = 3x + 2 B definida por y = 3x + 2

Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}

1 2 3

11

8

5

x

y

1 2 3

11

8

5

x

y

GRÁFICO DA FUNÇÃO f: GRÁFICO DA FUNÇÃO f: ℜℜ →→ ℜℜ definida por y = 3x + 2 definida por y = 3x + 2

Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3} 02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio

VV

(3,3) ou f(3) = 3

(0,2) ou f(0) = 2

(-3,2) ou f(-3) = 2

VVFF

Resposta: 220000 == bea

Resposta: 12

( UFSC ) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).

f(-1) = 4

f(2) = 7

(-1, 4)

(2, 7)

y = ax + b

4 = a(-1) + b

7 = a(2) + b

=+=+

7 b 2a

4 b a -

a = 1 b = 5

f(x) = ax + b

f(x) = 1.x + 5

f(x) = x + 5

Logo:

f(8) = 8 + 5

f(8) = 13

A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.

C(reais)

x(quilogramas)0 20

80

180Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,80)

P2(20,180)

80 = a.0 + b

b = 80180 = a. 20 + 80

20a = 100

a = 5f(x) = a.x+ bf(x) = 5.x+ 80

f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85 f(1) = 85

R$ 85 ⇔ 100%

R$102 ⇔ x

x = 120%

LUCRO DE 20%

Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo, ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6 anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto afirmar:

x(anos)

y(reais)

0 6

500

860


f(x) = a.x+ b

A(0,860)

B(6,500)

860 = a.0 + b

b = 860500 = a. 6 + 860

-360 = 6a

a = -60f(x) = a.x+ bf(x) = -60.x+ 860

a) f(3) = -60.3+ 860 f(3) = 680

A

B

F

b) f(9) = -60.9+ 860 f(9) = 320

F

c) f(7) = -60.7+ 860 f(7) = 440

F

d) - 60x + 860 < 200 -60x < -660 x > 11anos

F

e) f(13) = -60.13+ 860 f(13) = 440 f(13) = 80

V

Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é

ml

temperatura0 100

20

270


f(x) = a.x+ b

P1(0,20)

P2(100,270)

20 = a.0 + b

b = 20

270 = a. 100 + 20

100a = 250

a = 2,5f(x) = a.x+ bf(x) = 2,5.x+ 20

y = 2,5x + 20112,5 = 2,5x + 20

92,5=2,5x

37°C = x


y = f(x) = a.x+ b

GRÁFICO PASSA PELA ORIGEM

y = a.x

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR

y = a.x

50 = a.40 → a = 5/4

xy

xay

.4

5

.

=

=

xg

x

=

=

24

.4

530

EXTRAS01)

02)

RESPOSTA:

RESPOSTA: 0,2

Em relação a função f(x) = 2x2 – 12x + 16 definida de ℜ→ ℜ, determine:

a) sua intersecção com o eixo y

b) sua intersecção com o eixo x

c) seu vértice

d) Imagem da função

e) A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros

As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas As dimensões de um retângulo são dadas em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor expressões: 2x e (10 – 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor máximo da área em cmmáximo da área em cm22 , que esse retângulo pode assumir. , que esse retângulo pode assumir.

Vértice

5/2

yV

0 5

2x

10 – 2x

A = base x altura

A = 2x . (10 – 2x)

A(x) = – 4x2 + 20x

a = - 4 b = 20 c = 0

RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO

0 = – 4x2 + 20xx2 - 5x = 0x1 = 0 x2 = 5

Área

Área Máxima é o yv

A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)

A(5/2) = 25cm2

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