Aula-3 Mat Calculo Exerc-1
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PAGE 2Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha
Email: [email protected] eletrnico: http://srbgadelha.wordpress.com
1 LISTA DE EXERCCIOS DE MATEMTICA PARA O EXAME DA ANPECCLCULO A UMA VARIVEL: FUNES, LIMITES E DERIVADAS
Braslia, DF
2007
CONTEDO PROGRAMTICO
Funo de uma varivel. Funes em R1. Funes lineares. Inclinao de funes no-lineares. Monotonicidade. Polinmios e funes especiais. Mximo e mnimo. Intervalo. Domnio, contradomnio e imagem. Operaes com funes. Limites. Definio. Limites laterais. Limites e continuidade de funes. Propriedades e operaes com limites. Limites de funes compostas. Limites e produtos notveis. Uso dos algoritmos de Briot-Rufini e de Euclides. Limites fundamentais. Limites trigonomtricos. Teorema do sanduche. Limites infinitos e limites no infinito.
Derivadas e diferenciais. Noo intuitiva, viso grfica, a diferena entre derivada e diferencial, formalizao matemtica. Regras de derivao. Uso de derivadas em limites: a regra de LHospital. Limites e mudana de base. Diferenciabilidade e continuidade. Derivadas de ordem superior.
Aplicaes do clculo de uma varivel. Mximos e Mnimos. Otimizao clssica. Condies de primeira e segunda ordens.
Regra da cadeia. Funes compostas e a regra da cadeia. Funes inversas e suas derivadas.
Exponenciais e logaritmos. Funes exponenciais. O nmero e. Logaritmos. Propriedades de exponenciais e logaritmos. Derivadas de exponenciais e logaritmos. Aplicaes.
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADAbraga, Mrcio Bobik; KANNEBLEY JNIOR, Srgio; ORELLANO, Vernica I.F. Matemtica para economistas. So Paulo: Atlas, 2003. Captulos 1 a 4.Chiang, A.C. Matemtica para Economistas. So Paulo: McGraw-Hill, 2006.
Simon, Carl & Blume, L. Matemtica para Economistas. Traduo: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004. Captulos 1 a 5.1) ANPEC (1990) - Se
examine as seguintes afirmaes:
(0)A funo ( crescente.
(1)A funo d(/dx crescente.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
2) ANPEC (1990) - Dado
determine dy/dt para t = 9.
3) ANPEC (1990) - Determine o permetro mximo de um retngulo inscrito no interior de um crculo de raio
.
4) ANPEC (1991) Determine o valor da funo ((x) = 10 + 5x + 3
-
quando ela passa pelo seu ponto de inflexo.
5) ANPEC (1992) - Determine o menor valor positivo para k de tal forma que a funo y = sen(x - k() tenha um ponto de mximo em
.
6) ANPEC (1992) - Dado que ((x) =
para x ( 0, quando deve valer ((0) para que ( seja contnua em R?
7) ANPEC (1992) - Dada a funo
, x ( R, assinale como falsa ou verdadeira cada afirmao:
(0)A funo possui dois pontos crticos.
(1)Um dos pontos crticos um ponto de inflexo.
(2)No intervalo (-2,2), de seu domnio, a funo sempre crescente.
(3)A funo cncava para valores negativos de x.
(4)Quando x = 2 a funo atinge o seu mximo valor em seu domnio.
8) ANPEC (1992) Determine a rea sob a curva
no intervalo onde x varia de 1 a 2.
9) ANPEC (1993) Indique quais das afirmaes abaixo so verdadeiras e quais so falsas:
(0)A funo
contnua no intervalo [0,2].
(1)
(2)
(3)Para que a funo
possa ser estendida continuamente a toda a reta R, necessrio atribuir-lhe o valor 2 no ponto x = 3.
(4)
10) (ANPEC 1993) Dada a funo
, assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:
(0)Quando x = 0, a funo tem um produto de inflexo.
(1)A funo tem valor mximo global igual a 4.
(2)No ponto x = -1, a funo possui um mnimo local.
(3)A funo decrescente no intervalo (0,1).
(4)No intervalo (-3,0) a funo convexa.
11) (ANPEC 1993) Assinale como verdadeira ou falsa, cada uma das afirmaes abaixo:
(0)A derivada de
.
(1)A forma geral das funes de elasticidade constante
(2)Se a > 0, a funo
tem um mnimo local em
e um mximo local estrito em
.
(3)
.
12) (ANPEC 1993) Calcule a rea compreendida entre o grfico da curva
, o eixo Ox e as retas x = 2 e x = 4.
13) (ANPEC 1994) Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:
(0)Seja (
.Logo ((1) = 2.
(1)Seja (
. Logo ((0) = 1.
(2)Seja (
Logo ((1) = 1.
14) (ANPEC 1994) Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:
(0)Se ( diferenvel em [a, b] ento ( sempre contnua em [a, b].
(1)Se ( contnua em [a, b], ento ( sempre diferenvel em [a, b].
(2)Se ((x) =
e g(x) = 2, ento a derivada do produto (.g o produto das derivadas de ( e g.
15) (ANPEC 1994) Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:
(0)
.
(1)
(2)
(3)
(4)
16) (ANPEC 1995) Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas.
(0)
.
(1)
(2)
(3)
17) (ANPEC 1996) - Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas:
(0) Uma funo duas vezes derivvel estritamente cncava se, e somente se, a sua derivada segunda estritamente negativa.
(1) A funo
para possui um nico ponto crtico que corresponde a um ponto de mximo global estrito, mas no cncava.
(2) Seja uma funo convexa e derivvel, exceto em um ponto, no qual possui derivada direita positiva e esquerda negativa. Ento este ponto um mnimo global para
.
(3) A funo
cncava no intervalo
EMBED Equation.2 .
18) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa verdadeira ou falsa:
(0) A expresso define uma funo de em .
(1) A expresso no define uma funo de
em
.
(2) A funo
, , possui assntota horizontal.
(3) A funo
, possui mnimo em .
(4) Considere
, onde . Uma condio necessria para a existncia da funo inversa
, que
seja uma bijeo.
19) (ANPEC 1996) - Indique se cada afirmativa verdadeira ou falsa.
Seja dada por
.
(0)
possui um mximo global.
(1)
no possui mnimo local.
(2)
estritamente crescente para .
(3)
possui um mnimo local e um mximo local.
(4)
possui um ponto de inflexo em .
20) (ANPEC 1996) - Indique se a afirmativa verdadeira ou falsa:
(0) Dado que
para x
, para que
seja contnua em
,
deve valer
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
(1)
contnua em todo o seu domnio.
(2)
contnua mas no diferencivel em [0, 1].
(3) Se
EMBED Equation.2 continua em
, existe
EMBED Equation.2 tal que
.
(Sugesto: desenhe um grfico).
21) (ANPEC 1997) - Seja ( o conjunto dos nmeros reais. Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir:
(0) A unio de dois intervalos abertos de ( sempre um intervalo aberto de (. (1) O conjunto dos nmeros irracionais entre 0 e 1 constitui um intervalo aberto de ((2) f : ( ( ( uma funo contnua em x=xo desde que f(xo) exista.
(3) O logaritmo de a na base b o recproco do logaritmo de b na base a , para
a,b nmeros reais positivos.
22) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir:
(0)
(1)
.
(2)
= 3.
23) (ANPEC 1997) - Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir
(0) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f(x) > 0 e g(x) > 0 , para todo x, ento a funo composta h(x) ( f(g(x)) crescente.
(1) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f convexa e g cncava, ento
convexa.
(2) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f, f, g e g so crescentes,ento a funo produto h(x) ( f(x).g(x) convexa.
24) (ANPEC 1997) - Suponha que f(x) seja uma funo real de varivel real, x,definida assim:
Classifique cada uma das afirmaes abaixo como verdadeira ou falsa.
(0) f(x) possui dois pontos crticos.
(1) Um ponto crtico ponto de inflexo.
(2) No intervalo (-2,2) do seu domnio, f(x) sempre crescente.
(3) f(x) cncava para valores negativos de x.
(4) Quando x = -2 , f(x) atinge o seu mximo valor em seu domnio.
25) (ANPEC 1998) - Identifique quais das afirmativas abaixo sobre a funo y: ( ( ( definida por y(x)= |x|e-2|x| so verdadeiras e quais so falsas;
(1) y possui um nico ponto de mnimo global;
(2) y possui um nico ponto de mximo global;
(3)
no existe26) (ANPEC 1998) - Responda V ou F;(0)
(1)
;
(2)
;
(3)
, onde a e b so nmeros reais no nulos;
27) (ANPEC 1998) - A quantidade demandada de certo produto, por unidade de tempo, segue padro linear (em termos do preo), reduz-se a zero quando o preo maior ou igual a 10 e decresce duas unidades para cada unidade monetria de aumento de preo. A quantidade ofertada por unidade de tempo reduz-se a zero quando o preo menor ou igual a 2 e proporcional ao quadrado do preo quando este assume valores maiores que 2. Determine o valor das compras do produto na situao de equilbrio.
28) (ANPEC 1998) - Certa empresa produz relgios ao custo unitrio de 8 e sabe que se fixar o preo em x, vender (100-2x) unidades por perodo de tempo(onde x ( 50). Qual deve ser o valor de x para que a lucro das vendas seja mximo?
29) (ANPEC 1998) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a funo
; x((:
(0) Apresenta ponto de inflexo para x=2,5(1) Apresenta ponto de mximo para x = 5(2) Apresenta ponto de mnimo local para x = 7(3) Apresenta descontinuidade em x=2,530) (ANPEC 1999) - Sejam f:R(R e g:R(R funes contnuas. Ponha h(x)=f(g(x)) e u(x)=g(f(x)). Classifique como V ou F as afirmaes abaixo.
(0) u(x) = h(x) para x=0.(1) Se f derivvel ento h tambm o .
(2) h contnua.
(3) Se h e u so derivveis ento h(x)=u(x) para todo x.
31) (ANPEC 1999) - Classifique como falsas ou verdadeiras as afirmaes:
(0)
(1)
32) (ANPEC 1999) - Se f(x) = 2x e g(x) = 2x 2, calcular
f(g(x)) g(g(x)) + g-1(f(x)) para x = -333) (ANPEC 1999) - Tem-se uma curva de demanda de elasticidade constante,
onde q e p so variveis no-negativas e tm os significados usuais. Se a oferta fixa em 100 unidades e a elasticidade da demanda 1,5, qual o preo de equilbrio de mercado?
34) (ANPEC 1999) - Dizemos que uma funo f:R(R satisfaz a propriedade C nos pontos a, b e c quando
Classifique como V ou F cada uma das afirmaes abaixo:
(0) Qualquer trinmio do segundo grau satisfaz a propriedade C para quaisquer a, b e c.
(1) Se f cncava ento satisfaz propriedade C para quaisquer a, b e c.
(2) Se f(x) = x3 ento f satisfaz propriedade C se a, b e c so nmeros reais positivos.
(3) Se f(x) = x3 ento f satisfaz propriedade C se a, b e c so nmeros reais negativos.
35) (ANPEC 1999) - Verdadeiro ou falso
(0) Em relao a modelos matemticos: parmetros so constantes genricas e variveis exgenas no so determinadas pelo modelo
(1) O logaritmo de a na base b o recproco do logaritmo de b na base a
(2) O regime de capitalizao contnua um caso limite do regime de capitalizao simples quando o perodo de capitalizao tende para zero.
(3) Se f:R(R derivvel em x=xo ento |f(x)| derivvel em x= x0 desde que f(xo) exista.
36) (ANPEC 1999) - Seja g:R(R, duas vezes diferencivel. Defina h(x)= g((x-1)3). Qual o valor de 10+h(1) ?
37) (ANPEC 1999) - Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a funo
; x(R:
(0) Apresenta ponto de inflexo para x=2,5(1) Apresenta ponto de mximo local para x = 5(2) Apresenta ponto de mnimo local para x = 9(3) Apresenta descontinuidade em x=2,538) (ANPEC 2000) - QUESTO 02 - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):
(0)A funo , se e , contnua em 0;
(1)Se derivvel em todo , ento
(2)Se tal que ento derivvel em x;
(3)
a reta tangente curva no ponto ;
(4)Se tal que e , ento .
39) (ANPEC 2000) - QUESTO 07 - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(0) Se estritamente crescente no intervalo ento estritamente convexa neste intervalo;
(1) Se e so funes cncavas na reta , derivveis at a ordem 2 e , para todo , ento uma funo cncava em ;
(2) Se estritamente cncava em , ento vale a desigualdade para todo ;
(3) Se cncava e derivvel no intervalo aberto , ento , para todo ;
(4) Os pontos de inflexo de no intervalo so .
40) (ANPEC 2000) - QUESTO 08 - A respeito dos limites abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(0)
(1)
(2)
(3)
41) (ANPEC 2000) - QUESTO 06 - Sendo a taxa de juros peridica (p.p.) que quintuplica o capital inicial Co, assinale V (verdadeiro) ou F (falso).
(0) Se o prazo de aplicao de 10 perodos e os juros so simples, ento = 40%;
(1) Se o prazo de aplicao de 10 perodos e os juros so compostos, ento =(5)(1/10) - 1;
(2) Se o prazo de aplicao de 10 perodos e a capitalizao contnua, com taxa instantnea de juros constante, ento = ln5;
(3) Se o prazo de aplicao de 10 anos, os juros so compostos e a capitalizao semestral ento, pode ser determinado mediante resoluo da equao 5 = ln(1 + )20
42) (ANPEC 2001) - A respeito da funo definida por , responda V (verdadeiro) ou F (falso):
A funo possui um ponto de mximo global;
A funo possui um ponto de mnimo global;
A funo possui quatro pontos de inflexo;
Para todo tem-se ;
A funo possui um ponto de mnimo local no ponto .
43) (ANPEC 2001) - A respeito dos limites abaixo, responda V (verdadeiro) ou F (falso).
;
;
;
.
44) (ANPEC 2002) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
45) (ANPEC 2003) - Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(0) .
(1) .
(2) .
(3) Se ento .
(4)
, para 0 < x < 1.
46) (ANPEC 2003) - Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso):
(0)Se derivvel e para todos pertencentes ao intervalo vale , ento para pertencentes ao intervalo .
(1) Se , 0 < x < 1 e i > 0, ento .
(2) Se derivvel e , ento para todo .
(3) Se , para todo , ento para .
(4) Se , para todo , ento , para .
47) (ANPEC 2004) - Considerando a funo , assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
a equao tem no mximo duas razes reais no intervalo ;
a equao tem no mnimo duas razes reais no intervalo ;
a equao tem no mximo uma raiz real no intervalo ;
crescente no intervalo ;
cncava no intervalo .
48) (ANPEC 2004) - Responda V (verdadeiro) ou F (falso):
Seja uma funo estritamente cncava e duas vezes continuamente diferencivel. Se af(b).
Seja uma funo duas vezes continuamente diferencivel tal que existem a