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AULA 11: TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS A CARGAS APLICADAS NA SUERFÍCIE DO
TERRENO (SOBRECARGAS)
Prof. Augusto Montor | Mecânica dos Solos
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.1 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• Ao se aplicar uma carga na superfície do terreno,
numa área bem definida, os acréscimos de
tensões numa certa profundidade não se limitam a
projeção da área carregada.
• Nas proximidades da área carregada também
ocorrem aumentos de tensões.
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.1 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• Os acréscimos de tensões abaixo da área
carregada diminuem a medida que a profundidade
aumenta, porque a área atingida aumenta com a
profundidade.
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.1 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• BULBOS DE TENSÕES São as linhas que
unem pontos no interior do subsolo com acréscimo
de tensão de mesmo valor (um mesmo percentual
da tensão aplicada na superfície)
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.1 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• TEORIA ANTIGA Acreditava-se que a
distribuição de tensões era uniforme ao longo de
um mesmo plano
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.1 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• MÉTODO SIMPLIFICADO 2:1
Este método, embora utilizado por muito tempo, é
uma estimativa grosseira, pois as tensões a uma
certa profundidade, não são uniformemente
distribuídas, mas concentram-se na proximidade do
eixo de simestria.
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
Para aplicar a teoria da elasticidade aos solos, é
necessário fazer algumas considerações:
1. Hipótese da proporcionalidade tensão x
deformação;
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7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
2. Hipótese da homogeneidade;
3. Terreno homogêneo em extensa área e até em grandeprofundidade.
• Apesar destas considerações, a aplicação da teoria daelasticidade apresenta uma avaliação satisfatória dastensões atuantes no solo.
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
SOLUÇÕES BASEADAS NA TEORIA DA
ELASTICIDADE:
a) Solução de Boussinesq
b) Extensões da solução de Boussinesq
b.1) Carregamento uniformemente distribuído (áreas retangulares)
b.2) Carregamento uniformemente distribuído (áreas retangulares de
comprimento infinito)
b.3) Carregamento uniformemente distribuído (áreas circulares)
c) Carregamento uniformemente distribuído (para qualquer área)
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
a) Solução de Boussinesq
• Determina as tensões, as deformações e os deslocamentos no interior
de uma massa elástica, homogênea e isotrópica, num semiespaço
infinito de superfície horizontal, devido a uma carga pontual aplicada na
superfície deste espaço.
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7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
b) Extensão da Solução de Boussinesq
• Soluções para outros tipos de carregamentos frequentes na prática
b.1) CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO – ÁREAS
RETANGULARES (NEWMARK)
• Newmark desenvolveu uma integração da equação de Boussinesq.
• Determina as tensões num ponto abaixo da vertical passando pelo
vértice da área retangular
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
Onde:
z = tensão vertical
P = carga uniformemente distribuída;
I = Influência do carregamento, função de m e n, determinado graficamente
a = maior lado
b = menor lado
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7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
m = menor lado / profundidade
n = maior lado / profundidade
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7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
b.2) CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO – ÁREAS
RETANGULARES DE COMPRIMENTO INFINITO
(CAROTHERS/TERZAGHI)
• EXEMPLO: Sapata corrida
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7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
b.2) CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO – ÁREAS
RETANGULARES DE COMPRIMENTO INFINITO
(CAROTHERS/TERZAGHI)
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
b.3) CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO – ÁREAS
CIRCULARES (LOVE)
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
b.3) CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO – ÁREAS
CIRCULARES (LOVE)
Onde:
R = raio
X = posição dentro área circular
(centro x = 0; periferia x=R)
Z = profundidade
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7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
c) CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO – ÁREA
QUALQUER (NEWMARK)
Construção do gráfico de Newman
𝜎𝑧 = 0,005. 𝑝. 𝑁
Onde p é carga uniformemente distribuída e N o número de unidades de
influência dentro do contorno da área carregada.
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7.2 APLICAÇÃO DA TEORIA DA ELASTICIDADE
CONSIDERAÇÕES GERAIS
Em solos, a elasticidade linear é válida para pequenas deformações e nacondição de carregamento;
Área retangular de comprimento L>3B, tende a ser considerada decomprimento infinito;
Para profundidades Z>3B, as cargas distribuídas podem ser consideradascomo concentradas (pontuais)
A propagação de tensões em profundidades tem sido, em muitos casos,considerada com um espraiamento de 2:1;
Para ser espaço semi-infinito, a espessura da camada de ser no mínimo 5B,isto é, H>5B;
Para vários carregamentos, fazer a somatória dos efeitos isolados.
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.3 EXERCÍCIOS
1. Uma carga de 500 kN é aplicada na superfície do terreno. Determine as
tensões verticais devido a sobrecarga nos pontos A (no eixo da
aplicação da carga) e B (distanciado a 2,5 metros do eixo de aplicação
da carga), na profundidade de 5 metro.
2. Na superfície de um maciço de terra atuam cargas de 200 kN e 300
kN, espaçadas em 3,0 metros. Calcule as tensões resultantes nas
verticais das cargas, na profundidade de 2,0 metros.
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.3 EXERCÍCIOS
3. Uma carga de 50 kPa está uniformemente distribuída sobre uma placa
retangular de fundação, conforme esquematizado a seguir. Determinar
as tensões verticais nos pontos A,B,C,D e E, situados na profundidade
de 6,0 metros abaixo da placa.
A
BC
D
E
6m
6m
24m 24m
6m
6m
TENSÕES VERTICAIS DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS
7.3 EXERCÍCIOS
4. Para o exercício anterior, calcule o acréscimo de tensão pelo método
simplificado 2:1 (espraiamento das tensões), e compare os resultados.
5. Calcular a tensão vertical num ponto situado a 4,0 metros de
profundidade, na vertical que passa pelo centro de uma placa circular
de fundação de 3,0 metros de raio. Considerar a carga uniformemente
distribuída na fundação de 300 kPa. Utilizar os métodos de Love, de
Newmark e do Bulbo de tensões comparando os resultados.