Vibrações Excitada Harmonicamente.

Prof. Jean Rodrigo Bocca

Maringá, 05/2013

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• O sistema sofre vibração forçada sempre que é fornecida energia externa for fornecida ao sistema durante a vibração.

• A natureza da força ou excitação aplicada no sistema pode ser:– Harmônica.– Não Harmônica, mas periódica– Não Periódica, Aleatória

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• Seja o Sistema:

A equação do movimento pode ser obtida:

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– Por se tratar de uma equação não homogênea, a solução geral será dado pela soma da solução homogênea, xh(x), com a solução particular, xp(x).

– Para um sistema amortecido, a vibração livre cessa após um determinado tempo, assim a componente da solução homogênea deixa de existir e somente a solução particular estará presente no regime permanente.

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• Resposta de um Sistema Não Amortecido a Força Harmônica.– Seja a força harmônica atuante no sistema :

– A equação do movimento é dada por:

– A solução Homogenia será:

– Solução Particular:

)cos()( 0 tFtF

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Sendo X é uma constante que denota a máxima amplitude de xp(t), derivando a solução particular e substituindo na eq. 3.3, conseguimos encontrar X:

Onde δst=Fo/k é a deflexão da massa sob uma força Fo, denominada também deflexão estática (vem da lei de Hooke)A solução geral fica:

Aplicando as condições iniciais:

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As constantes ficam:

Substituindo na equação:

A máxima amplitude X pode ser dada por:

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A razão X/δst representa a razão entre a amplitude dinamica e amplitude estatica,pode ser denominada por fator de ampliação, fator de amplificação ou coeficiente de amplitude.

Existe 3 tipos de resposta para o sistema:

1 – Caso: Quando 0<w/wn<1 , a resposta é dada pela eq. 3.5, e a resposta harmônica esta em fase com a força externa.

2 – Caso: Quando w/wn>1, o denominador da eq 3.10 é negativo, a resposta esta defasada 180º em relação a força, e a resposta é dada por:

E a amplitude é redefinida como:

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3 – Caso: Quando w/wn=1, temos que X tende para o infinito, esse fenomeno onde wn=w é conhecido como ressonancia e deve ser evitado.

A resposta do sistema é dado por:

Comportamento é observado pelo gráfico:

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Podemos reescrever a resposta total da seguinte forma:

A e ϕ pode ser determinado pela eq. 2.21

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• Fenomeno de Batimento:– Se forçante for proxima, mas não exatamente igual a frequencia natural

do sistema, pode ocorrer um fenomeno conhecido como Batimento.

– No Batimento a amplitude aumenta e diminui de acordo com um padrão regular.

– N equação 3.9, as as condições iniciais forem:

– Então:

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Supondo que a freqüência forçante w seja ligeiramente menor que a freqüência natural:

Onde Є é uma quantidade pequena positiva, então:

Multiplicando as duas equações:

Substituindo os resultados anteriores:

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A amplitude variável é dada por:

O tempo entre os pontos de amplitude zero ou entre amplitude máxima é denominado período de batimento e é dado por:

E freqüência de batimento é dado por:

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• Resposta de um Sistema Amortecido a Força Harmônica– Se a função forçante for dada por:

– A equação do movimento será:

– A solução particular será da forma:

– Sendo X e Φ, a amplitude e o ângulo de fase da resposta, podemos encontrar:

)cos()( 0 tFtF

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Utilizando as seguintes relações nas eq. 3.28 e 3.29, obtemos:

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– Resposta Total

A solução completa é dada por:

Assim:

Sendo Xo e Φo encontrados com as condições iniciais.

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– Resposta de um Sistema Amortecido a :

A equação do movimento fica:

A solução particular:

Determinando X:

Multiplicando o numerador e denumerador da eq 3.79 por:

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Obtêm:

Usando as seguintes relações:

Temos:

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Assim a solução a regime permanente:

Resposta em Freqüência:

A equação 3.49 pode ser reescrita como:

Onde H(iw) é conhecida como a resposta em freqüência complexa do sistema, o valor absoluto é dado por:

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Assim:

Podemos escrever a solução de outra maneira:

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Se a força externa for:

A solução será reescrita como:

Onde Re denota a parte real da função.

)cos()( 0 tFtF

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Se a força for do tipo:

A solução será:

Onde Im refere-se a parte imaginaria da função

)()( 0 tsenFtF

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• Resposta de um Sistema Amortecido a Movimento Harmonico de Base.Seja o sistema conforme figura:

Seja y(t) o deslocamento de base e x(t) o deslocamento da massa em relação a sua condição de equilibrio estático, então a elongação da mola liquida sera(x-y) e a velocidade entre as duas extremidades do amortecedor (x’ – y’). A equação do movimento será:

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Se

Então:

A solução fica

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Usando identidades trigonométricas:

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A razão entre a amplitude da resposta e do movimento da base,X/Y, é denominado transmissibilidade de deslocamento.

Se a excitação harmônica de base for expressa em forma complexa como:

Então:

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– Força Transmitida.

A força é transmitida para a base ou suporte devido as reações da mala ou amortecedor, essa força pode se determinada como:

Podendo ser escrita,

Sendo:

A razão FT/KY é conhecida como transmissibilidade de força

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– Movimento Relativo

Se z=x-y for o movimento da massa em relação a base, a equação do movimento fica:

A solução em regime permanente da eq 3.75:

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A amplitude de z(t) pode ser dada por:

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• Resposta de um Sistema Amortecimento ao Desbalanceamento Rotativo.

O desbalanceamento de maquinas rotativas é um dos principais causadores de vibrações. Um modelo esta apresentado na figura abaixo.

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A força de excitação tem como origem a força centriguga da massas excentricas (m), e é dado por:

A equação do movimento será:

Onde M é a massa da Maquina, a solução será:

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Podemos encontrar novamente:

Lembrando que:

Então:

• Vibração Forçada com Amortecimento Coulomb.– Podemos escrever a equação do movimento para o sistema

mostrado na figura como:

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– Se a força de atrito atuante no sistema for grande comparado com F0 a solução da equação se torna extremante trabalhosa.

– Mas se a força de atrito for pequena em relação a F0, podemos considerar que o sistema em regime permanente seja aproximadamente harmônico e então podemos encontrar um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente e determinar a solução da equação.

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– Para determinar o Ceq, primeiro encontramos a energia dissipada em um ciclo, é dada por:

– Sabendo que a energia dissipada em um ciclo completo com amortecimento viscoso é dado por:

– Igualando, encontramos o Ceq:

– A resposta em regime permanente será:

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– A amplitude :

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– A condição que deve ser satisfeita para poder utilizar esta aproximação é:

– Com isso o ângulo de fase pode ser determinado:

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