Aula 1 CAII- Metodo do lugar das raizes- Compensacao por Avanco de Fase

ANÁLISE É PROJETO DE SISTEMAS PELO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES- COMPENSAÇÃO POR

AVANÇO DE FASE

Prof: Almir Kimura Junior

EST – Escola Superior de Tecnologia

UEA – Universidade do Estado do Amazonas

Manaus, Brasil

14/04/2011

LUGAR DAS RAÍZES

O Método do Lugar das Raízes (M.L.R.) é uma técnica gráfica que permite visualizar de que forma os pólos de um sistema em malha fechada variam quando se altera o valor de um parâmetro específico (o ganho, em geral).

O diagrama do LGR consiste em um conjunto de curvas no plano complexo s, onde estas curvas representam as posições admissíveis para os pólos de malha fechada de um dado sistema quando o seu ganho varia de zero a infinito.

Foi desenvolvido em 1948 por R. W. Evans.

CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES Uma metodologia simplificada para a determinação do

lugar das raízes de um sistema é descrita por Bolton (1995): 1. Determinar a F.T. em malha fechada;

2. Determinar os pólos e zeros em malha aberta;

3. Determinar o número de ramos;

4. Determinar os segmentos do eixo real que pertencem ao lugar das raízes;

5. Determinar o ângulo das assíntotas;

6. Determinar o ponto de encontro das assíntotas com o eixo real;

7. Determinar as intersecções do L. R. com o eixo imaginário;

8. Determinar os pontos de ramificação;

9. Determinar os ângulos de partida dos pólos complexos;

10.Determinar os ângulos de chegada dos zeros complexos;

11. Esboçar o lugar das raízes. A seguir, apresenta-se o método para a construção do lugar

das raízes.

CONSTRUÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES

10) Esboço do lugar das raízes: O lugar das raízes para o sistema adotado é mostrado na figura 10.

ANÁLISE DA RESPOSTA

TRANSITÓRIA

RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA ESTACIONÁRIA

Resposta temporal: respostas

transitória e estacionária.

Resposta transitória: estado

inicial até o estado final.

Resposta estacionária: t .

RESPOSTA AO DEGRAU DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Fig. 3.8 – Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem padrão.

E, a função de transferência dada pela equação pode ser escrita como,

2

nn

2

2

n

s ..2sR(s)

C(s)

Diagrama de blocos:

RESPOSTA AO DEGRAU DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Na análise da resposta transitória, é conveniente conhecer

ou determinar:

é a atenuação;

é freqüência natural não-amortecida; e

é o coeficiente de amortecimento.

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO

1. Caso Subamortecido (0 < < 1)

2. Caso de Amortecimento Crítico ( = 1)

3. Caso Sobreamortecimento ( > 1)

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO

Fig. 3.9 – Curva de resposta de sistema de segunda ordem.

ABORDAGEM DO LUGAR DAS RAÍZES NO PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE

Efeito de adição de polos A adição de um pólo à função de transferência a malha aberta tem

por efeito puxar o lugar das raízes para a direita, tendendo a diminuir a estabilidade relativa do sistema e tornando a acomodação da resposta seja lentado sistema e tornar mais lenta a acomodação .


Efeito de adição de zeros A adição de zeros tem por efeito puxar o lugar das raízes para a

esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida a acomodação da resposta.


Lugares com constantes e lugares com n constante. No plano complexo, o coeficiente de amortecimento de um par de

pólos complexo pode ser expresso em termos do ângulo φ, através de =cos φ.

Ou seja, são linhas radiais que passam pela origem. Os lugares de n constantes são círculos

O coeficiente de amortecimento

determina a localização angular dos polos,

enquanto a distância entre o polo e a origem é

determinada pela frequência natural não

amortecida n.


Três especificações são importantes no Projeto de Sistemas de Controle

Estabilidade Não há sistema instável que tenha utilidade prática

Erro estacionário “pequeno” ou nulo E desejável para sistemas que as saídas sigam referências ou

próximas dos valores desejados

Desempenho Bom Consiste em sobressinal “baixo” e tempo de resposta transitória

“pequeno”


Projeto pelo método de lugar das raízes : Baseia-se na modificação do lugar das raízes do sistema,

por meio do acréscimo de polos e zeros. A modificação na dinâmica da planta é uma maneira

simples de atender as especificações de desempenho. Porém devido a plantas normalmente serem fixas esse

procedimento se torna inviável. Nos iremos a seguir considerar a planta inalterável. Na prática o GLR pode indicar que o desempenho

desejado não pode ser atingido simplesmente com o ajuste de ganho K.

Torna-se então necessário remodelar os lugares das raízes para tender às especificações de desempenho

O projeto consiste na inclusão de um compensador para melhorar o desempenho do sistema.


Compensação em série e compensação em paralelo (ou por realimentação):

Tendem a ser mais simples

Menor quantidade de componentes requeridos na compensação em paralelo .


Compensadores comumente usados: Compensador de Avanço de Fase

Compensador de Atraso de Fase

Compensador por Atraso e Avanço de Fase

Podem ser dispositivos eletrônicos (como circuitos amplificadores operacionais)

Redes RC ( elétricas, mecânicas, pneumáticas, hidráulicas ou combinação desses tipos)

Exemplo controladores PID

CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES DE PROJETO

Estudaremos duas técnicas para a implementação de um compensador de avanço de fase. Baseados nos livros Ogata e Castrucci.

No final da Aula iremos demostrar como projetar um compensador de avanço de fase utilizando o Matlab na ferramenta rltool, o qual a sua vez se apóia na função rlocus.

Este método permite de uma maneira muito simples e prática determinar os parâmetros do controlador que satisfazem as exigências de desempenho dadas.

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE BASEADAS NO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES

Tem como principal propriedade melhorar a resposta temporal do sistema, reduzindo o sobressinal e o tempo de resposta transitória.

O ponto de interseção com o eixo real é deslocado para a esquerda do plano s.

Função de transferência de um compensador por avanço de fase

o Avanço de fase

∠𝐺𝑐 (𝑠)=∅−𝜃>0

𝐺𝑐 (𝑠)=𝑘𝑐 (𝑠+𝑧𝑐𝑠+𝑝𝑐 )


Metodologia do projeto (Método 1) Determinar as posições dos polos de malha fechada que satisfazem às

especificações de desempenho desejadas.

Alocar o zero e o polo do compensador de tal forma que o lugar das raízes passe pelos polos de malha fechada.

Após fixa a posição do zero do compensador determinar a posição de polo através da condição de fase.

Finalmente encontrar o ganho k por meio da condição de módulo


Exemplo (Método 1): Dado o sistema abaixo, onde são respectivamente posição angular do eixo,

tensão da armadura e posição angular desejada a deseja-se projetar um compensador , de modo que o coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada dominantes seja e o tempo de acomodação seja de .


A f.t.m.f do sistema é:

Temos: e Resposta ao degrau unitário:

Θ(𝑠)Θ𝑟(𝑠)

= 5𝑠2+𝑠+5

=𝜔𝑛

2

𝑠2+2𝜁 𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2

𝑀𝑝 (% )=𝑒− 𝜁 𝜋/√1−𝜁 2

100 %≅ 48,6 % 𝑡 𝑠 (2%)≅ 4𝜁 𝜔𝑛

≅ 8 𝑠


Especificação do projeto: e Então:

Os polos de malha fechada dominantes devem estar localizados em:

𝑡 𝑠 (2%)≅ 4𝜁 𝜔𝑛

=2⟹𝜔𝑛=4𝑟𝑎𝑑 /𝑠

𝑠=−𝜁 𝜔𝑛±𝜔𝑛√1−𝜁 2 𝑗=−2±2√3 𝑗


Analisando se

𝑠=−2±2√3 𝑗

Variando-se apenas o ganho k os polos de malha fechada nunca passam pelos polos calculados consequentemente não satisfazem às especificações do projeto


Para deslocar o lugar das raízes para esquerda usa-se o compensador por avanço de fase:

Adotando o zero do compensador na mesma posição que a parte real dos polos de malha fechada dominantes , o polo do compensador pode ser calculado pela condição de fase, ou seja:

𝑠=−2+2√3 𝑗

𝐺𝑐 (𝑠)=𝑘𝑐 (𝑠+𝑧 𝑐𝑠+𝑝𝑐 )

∠ (𝑠+𝑝𝑐 )=∠ (𝑠+2 )−∠𝑠−∠ (𝑠+1 )+180°

arctan ( 2√3𝑝𝑐−2 )=90°−120°−160,1°+180°=43.9°

𝒑 𝒄≅ 𝟓 ,𝟔


O valor de pode ser obtido por meio da condição de módulo, ou seja:

No polo de malha fechada obtém-se :

𝑠=−2+2√3 𝑗

|𝑘𝑐 (𝑠+2)(𝑠+5,6)

5𝑠 (𝑠+1)|=1

𝑘𝑐=|𝑠+5,6||𝑠||𝑠+1|

5|𝑠+2|

𝒌𝒄≅𝟒 ,𝟏𝟔


Tendo o a o compensador é:

𝑠=−2+2√3 𝑗

𝐺𝑐 (𝑠)=4,16 ( 𝑠+2𝑠+5,6 )

A função de transferência do sistema de malha fechada com o compensador é dado por:


=20,8(𝑠+2)

𝑠3+6,6 𝑠2+26,4 𝑠+41,6


=¿20,8(𝑠+2)

(𝑠+2,6)(𝑠+2−2√3 𝑗)(𝑠+2+2√3 𝑗)


Outra solução para o problema proposto:

𝑠=−2+2√3 𝑗


Temos então o sistema de malha aberta igual a:

O valor do ganho em qualquer polo de malha fechada desejado pode ser calculado por meio da condição de módulo, ou seja,

A função de transferência do compensador e da malha fechada é dada por:

𝑠=−2+2√3 𝑗

𝐺𝑚𝑎 (𝑠 )=𝑘𝑐(𝑠+1)(𝑠+4)

5𝑠(𝑠+1)

=5𝑘𝑐

𝑠(𝑠+4 )

| 5𝑘𝑐𝑠(𝑠+4)|𝑠=− 2+2√3 𝑗

=1⇒𝑘𝑐=3,2

𝐺𝑐 (𝑠)=3,2( 𝑠+1𝑠+4 )


= 16𝑠2+4 𝑠+16

= 16(𝑠+2−2√3 𝑗)(𝑠+2+2√3 𝑗)


Abaixo a resposta do sistema sem compensador e com os dois compensadores geradas considerando a entrada degrau.

𝑠=−2+2√3 𝑗


Metodologia do projeto (Método 2) Determinar as posições dos polos de malha fechada que satisfazem às

especificações de desempenho desejadas. Calcule a deficiência de ângulo , utilizado pelo novo lugar das raizes Fórmula do compensador, determinar a posição do polo e zero do

compensador :

Onde são determinas com base da deficiência angular, e é determinado a partir do requisito de ganho de malha aberta.

Tente projetar um valor alto de , pois o mesmo resulta em um valor elevado de , desejado para diminuir o erro estacionário.

𝐺𝑐 (𝑠)=𝐾 𝑐𝛼𝑇𝑠+1𝛼𝑇𝑠+1

=𝐾𝑐

𝑠+1𝑇

𝑠+ 1𝛼𝑇

,(0<𝛼<1)

𝐾 𝑣=lim𝑠→ 0

𝑠𝐺𝑐 (𝑠 )𝐺 (𝑠 )=𝐾𝑐𝛼 lim𝑠→0

𝑠𝐺𝑐 (𝑠)


Exemplo (Método 2): Considere o sistema mostrado na figura abaixo. Deseja-se projetar um

compensador de avanço de fase de forma que os polos de malha fechados dominantes tenham um coeficiente de amortecimento de e a frequência natural não amortecida de .

Localização desejadas dos polos:

Analisa-se o sistema inicialmente sem o compensador. A F.T.M.F é:𝐶 (𝑠)𝑅(𝑠)

= 10𝑠2+𝑠+10

= 10(𝑠+0,5+ 𝑗3,1225)(𝑠+0,5− 𝑗3,1225)

𝑠2+2𝜁 𝜔𝑛 𝑠+𝜔𝑛2=𝑠2+3𝑠+9

¿ (𝑠+1,5+ 𝑗 2,5981)(𝑠+1,5− 𝑗2,5981)𝑠=−1,5± 𝑗2,5981


Os polos de malha fechada são: O coeficiente de amortecimento: A frequência natural não amortecida:

O lugar das raízes desse sistema:

As especificações não são alcançadas,

Necessita-se implementar um Compensador.

𝑠=−0,5± 𝑗3,12225

𝜁=(12)/√10=0,1581

𝜔𝑛=√10=3,1623𝑟𝑎𝑑 /𝑠


Calculo da deficiência angular:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟=180°−120°−100,894°=−40,894°


Determinar a localização do zero e do polo do compensador. Primeiro buscando um alto valor de , melhora o erro estacionário


Para o nosso exemplo temos:

𝑧𝑒𝑟𝑜𝑒𝑚𝑠=−1,9432

𝑝𝑜𝑙𝑜𝑒𝑚𝑠=−4,6458

𝐺𝑐 (𝑠)=𝐾 𝑐

𝑠+1𝑇

𝑠+ 1𝛼𝑇

=𝐾 𝑐𝑠+1,9432𝑠+4,6458

𝛼=1,94324,6458

=0,418


O valor de pode ser determinado a partir da condição de módulo:

O compensador por avanço de fase projetado é dado por:

A F.T.M.A do sistema é dado por:

|𝐾 𝑐𝑠+1,9432𝑠+4,6458

10𝑠(𝑠+1)|𝑠=− 1,5+ 𝑗2,5981

=1

𝐾 𝑐=|(𝑠+4,6458 )𝑠(𝑠+1)10(𝑠+1,9432) |

𝑠=−1,5+ 𝑗 2,5981

=1,2287

𝐺𝑐 (𝑠 )=1,2287𝑠+1,9432𝑠+4,6458

𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠)=1,2287𝑠+1,9432𝑠+4,6458

10𝑠 (𝑠+1)


A F.T.M.F do sistema torna-se:𝐶 (𝑠)𝑅(𝑠)

=12,287 (𝑠+1,9432)

𝑠 (𝑠+1 ) (𝑠+4,6458 )+12,287(𝑠+1,9432)¿

12,287 𝑠+23,876

𝑠3+5646 𝑠2+16,933 𝑠+23,876

Gráfico do lugar das raízes do sistema projetado

O G.L.R passa no polo especificado pelo sistema


Calculo da constante do erro estático de velocidade:

Método alternativo para resolução do exercício:

𝐾 𝑣=lim𝑠→0

𝑠𝐺𝑐 (𝑠 )𝐺 (𝑠 ) 𝐾 𝑣=lim𝑠→ 0

𝑠 [1,2287𝑠+1,9432𝑠+4,6458

10𝑠(𝑠+1) ]=¿5,139¿

Zero do compensador de avanço de fase em , o polo do compensador deve estar localizado em De acordo com a figura ao lado.

O compensador de avanço torna-se:

𝐺𝑐 (𝑠 )=𝐾 𝑐𝑠+1𝑠+3


Método alternativo cont.: o valor de pode ser determinado por meio da condição de módulo.

Então a F.T. do compensador, a F.T.M.A e a F.T.M.F do sistema projetado é:

A constante de erro estático de velocidade é:

|𝐾 𝑐𝑠+1𝑠+3

10𝑠 (𝑠+1)|𝑠=−1,5+ 𝑗 2,5981

=1 𝐾 𝑐=|𝑠(𝑠+3)10 |

𝑠=−1,5+ 𝑗 2,5981

=0,9

𝐺𝑐 (𝑠)=0,9𝑠+1𝑠+3

𝐺𝑐 (𝑠)𝐺 (𝑠 )=0,9𝑠+1𝑠+3

10𝑠 (𝑠+1)

=9

𝑠 (𝑠+3)𝐶 (𝑠)𝑅(𝑠)

= 9𝑠2+3 𝑠+9

𝐾 𝑣=lim𝑠→ 0

𝑠 [ 9𝑠(𝑠+3) ]=3𝐾 𝑣=lim

𝑠→ 0𝑠𝐺𝑐 (𝑠 )𝐺 (𝑠 )

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE BASEADAS NO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES Comparação das respostas ao degrau dos sistemas compensados e não

compensados para entradas degrau.


Comparação das respostas ao degrau dos sistemas compensados e não compensados para entrada rampa.

TÉCNICAS DE COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE BASEADAS NO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES

O método do lugar das raízes para projetos é muito eficiente quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do tempo.

Tendo um problema de um projeto no qual o sistema original seja instável para todos os valores de ganho ou que seja estável, mas apresente características de resposta transitória indesejável.

Esse problema pode ser resolvido pela inserção de um compensador por avanço de fase apropriado em cascata, com a função de transferência de ramo direto .

TÉCNICAS DE COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE BASEADAS NO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES

Procedimento de projeto 1) Com base nas especificações de desempenho, determine a

localização desejada dos polos de malha fechada dominantes. 2) Desenhe o L.G.R do sistema não compensado ( sistema original ) e

verifique se é possível , apenas com o ajuste de ganho, obter os polos de malha fechada desejados. Caso não determine os polos e zeros do compensador

3) Suponha que o compensador por avanço de fase Gc(s) seja:

4) Para o calculo de T e Kc aplicaremos a ferramenta rltool de MATLAB

c c c

1s Ts 1TG (s) K K a (a 1)1 aTs 1saT

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE

Exemplo 1: Considere-se o sistema de controle mostrado na figura:

Trata-se de um sistema de controle com realimentação unitária de segunda ordem onde a função de transferência o processo é:

4G(s)

s(s 2)

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE A função de transferência de laço fechado do sistema sem compensação

se torna:

O coeficiente de amortecimento = 0.5 e a freqüência natural de oscilação n = 2 rad/seg.

Neste caso se precisa que o sistema compensado trabalhe com o mesmo coeficiente de amortecimento (0.5) e com uma n = 4 rad/seg.

2

4C(s) 4s(s 2)

4R(s) s 2s 41s(s 2)

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE Deve-se projetar o compensador para obter esse desempenho no sistema

compensado. O diagrama de blocos com o compensador incluído é mostrado na figura

abaixo:

A equação característica do sistema compensado se torna

+-

Gc(s) G(s)R(s) C(s)

2 2 2n ns 2 s s 4s 16 0

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE Portanto as raízes da equação característica do sistema compensado se

tornam:

Procedimento no Matlab: 1) Introduz G(s) em o workspace do MATLAB.>> num = 4;>> den = [1 2 0];>> G = tf(num,den); 2) Agora utiliza-se a ferramenta rltool.

1,2s 2 j 3

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE >> rltool(G); % abre a seguinte janela no MATLAB


3) Adiciona-se um pólo e um zero da função de transferência do

compensador em uma zona adequada do eixo real.

Clicar na barra de ferramenta na ícone X (Add real pole) e na icono 0 (Add real

zero) na parte superior da janela anterior.

Para teste, seja o pólo = -5 e zero = -0.2.

4) Para observarmos as linhas do coeficiente de amortecimento constante

= cte. Clique no botão direito do mouse e selecione grid.

Temos então a seguinte janela


5) Agora utilizando o botão esquerdo do mouse deslocamos o pólo e o

zero do compensador e se ajusta o ganho do sistema até as raízes do

sistema estarem situadas no ponto e sobre a linha

correspondente a = 0.5.

Temos então o seguinte diagrama do lugar das raízes :

1,2s 2 j 3

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE 6) Para checarmos se as raízes estão na posição desejada clicamos com o

botão esquerdo na view na barra de ferramenta superior . Temos então a seguinte janela:

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE Observa-se que as raízes se encontram situadas em : -2.13.5 -

22sqrt(3).

7) Agora obtemos os coeficientes do compensador através do rltool. Na aba superior clique em Designs e escolha Edit Compensator . Temos:


Temos então o seguinte compensador projetado:

8) Por fim temos que checar o desempenho do sistema. Para isso vamos

em Analysis e selecionamos Other loops response; temos então:

c

13,6573 1,31 1 s

s 1,31 1 0,76s1,31G (s) 3,6573 1,5

1s 3,2 1 0,31s3,2 1 s

3,2

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE Em Plot 1 escolhemos step response (função degrau) e em Plots

marcamos entre a entrada 1 e a saída. Depois clicamos em Show Analysis Plot. Temos então a resposta a degrau unitário do sistema compensado: O resultado se mostra na seguinte figura:


A função de transferência de malha aberta do sistema compensado e:

Agora podemos fazer um programa em MATLAB para projetar o gráficos do ambos sistemas: sem compensação e com compensação.Assim temos:

c p

s 1.31 4G(s) G (s)G (s) 3.6573

s 3.2 s s 2

14.6292 s 1.31

s s 3.2 s 2

COMPENSAÇÃO POR AVANÇO DE FASE% Programa para fazer o desenho da resposta a função degrau unitária do% sistema sem compensar e sistema compensado.% Função de transferência do sistema sem compensar: Gp(s) = 4/s/(s+2);% função de transferência de sistema compensado:% 14.6292(s+1.31)/s/(s+2)/(s+3.2)t=5;num = 4;den =[1 2 0];Gp = tf(num,den);% FT de laço aberto sem compensação.GpMF=feedback(Gp,1); %FT de malha fechada sem compensação.numc = 14.63*[1 +1.31];% Numerador de FT de laço aberto com compensação.denc = conv([conv([1 2],[1 3.2])],[1 0]); % denominador de FT de laço aberto com compensaçaõ.Gc = tf(numc, denc);% FT de malha aberta do sistema compensado.GcMF=feedback(Gc,1); %FT de malha fechada de sistema compensado.[c1,t]=step(GpMF,t);[c2,t]=step(GcMF,t);plot(t,c1,'r',t,c2,'b'),grid, title('Reposta a degrau unitário do sistema sem compensação e com compensação')xlabel('Tempo'), ylabel('Respsotas C1 e C2‘)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Reposta a degrau unitário do sistema sem compasaçao e com compensaçao

Tempo

Res

psot

as C

1 e

C2

Sistema semcompensar

Sistema comcompensaçao

MUITO OBRIGADO

BIBLIOGRAFIA

Aulas do Dr. Miguel A. Rodríguez Borroto

Bolton, W. ; “Engenharia de Controle” Makron Books,

1995.

Phillips, C. L.; Harbor, R. D.; “Feedback Control Systems”

Prentice Hall - 3rd edition – 1996.

Ogata, K; Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall

– 4rd edition – 2003.

Dorf, R. C.; Bishop, R. H.; “Sistemas de controle

modernos” LTC Editora – 8a edição – 1998.

Facchini; “Matemática: volume único” Editora Saraiva –

1a edição – 1996.

Apostila de sistemas de controle- Lugar das raízes- Prof.

Msc. Alexandre da Silva Simões- São Paulo – SP (2001)

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