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Sistemas linearesAula 1 - Sinais
Conceitos
Sinais e sistemas
Definições
Descrições
Representações matemáticas
Classificações
Sinais
Elementares (básicos)
Operações
Sinais
Definição:
Um sinal é a representação física de uma informação
Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre o
comportamento ou a natureza de uma natureza física
Função de uma variável independente f(t), em que geralmenta a variável t
representa o tempo
Exemplo
Circuito RC: o sinal pode ser a tensão no capacitor, vc(t), ou a corrente no
resistor, i(t)
Sinais
Exemplo
Batimentos cardíacos;
Flutuação diária dos preço das ações;
Sinais de fala;
Imagem;
Sistema
Entidade que processa sinais, modificando-os ou extraindo informações
Definição
Entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) resultando em um outro
conjunto de sinais (saída)
Implementação
Hardware: componentes físicos, elétricos, mecânicos ou hidráulicos
Software: algoritmo que calcula as saídas em funções das entradas
Exemplos:
Sistema automático de fala;
Circuito elétrico;
Classificação de sinais
Sinais de tempo contínuo:
O sinal x(t) é de tempo contínuo se a variável de tempo t for contínua, ou seja,
definida para todo valor de t.
Sinais de tempo discreto:
O sinal x[n] é de tempo discreto se a variável de tempo n for definida em
tempos discretos;
Classificação de sinais
Um sinal de tempo discreto frequentemente é derivado de um sinal de
tempo contínuo fazendo-se amostragem do mesmo a uma taxa uniforme.
Classificação de sinais
Sinais pares e ímpares:
Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal par se:
𝑥 −𝑡 = 𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡
Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se:
𝑥 −𝑡 = −𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡
Definições similares se aplicam a sinais de tempo discreto.
Classificação de sinais
Sinais pares e ímpares
Todo sinal pode ser expresso como a soma de de dois sinais: um sinal par 𝑥𝑝(𝑡) e
um sinal ímpar 𝑥𝑖 𝑡 :
𝑥 𝑡 = 𝑥𝑝 𝑡 + 𝑥𝑖(𝑡)
Como:
𝑥𝑝 𝑡 = 𝑥 −𝑡 𝑒 𝑥𝑖 𝑡 = −𝑥(−𝑡)
Então
𝑥𝑝 𝑡 =𝑥 𝑡 + 𝑥 −𝑡
2𝑥𝑖(𝑡) =
𝑥 𝑡 − 𝑥(−𝑡)
2
Componente PAR de x(t) Componente ÍMPAR de x(t)
Classificação de sinais
Sinais pares e ímpares
Classificação de sinais
Sinais pares e ímpares
Exemplo:
Decomponha 𝑥 𝑡 = 𝑒𝑗𝑡 em sinais pares e ímpares.
Propriedades:
O produto de dois sinais pares ou ímpares resulta em um sinal par;
O produto de um sinal par e um sinal ímpar resulta em um sinal ímpar;
Classificação de sinais
Sinais periódicos e não periódicos:
Um sinal 𝑥(𝑡) é períodico se satisfizer a condição:
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇 , ∀ 𝑡, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇 > 0
T é chamado de período do sinal;
O menor valor de T que satisfaz a equação acima é chamado de período fundamental e normalmente designado por T0;
Qualquer sinal que não satisfizer a equação acima é chamado de sinal não
periódico ou aperiódico;
Classificação de sinais
Sinal real:
Se um sinal x(t) puder assumir somente valores reais;
Sinal complexo:
Se um sinal x(t) puder assumir valores complexos, então ele é complexo do tipo 𝑥𝑅 𝑡 + 𝑗𝑥𝐼 𝑡 , onde xR(t) e xI(t);
Sinal determinístico:
Seus valores podem ser completamente determinados em qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função matemática conhecida;
Sinal aleatório:
Seus valores são aleatórios em qualquer instante do tempo, e são descritos estatisticamente;
Sinais elementares
São sinais que se destacam no estudo dos sinais e sistemas;
Servem como blocos para construção de sinais mais complexos;
São eles:
Exponencial;
Degrau;
Senoidal;
Impulso;
Rampa;
Sinais elementares
Sinal exponencial real:
De forma geral:
𝑥 𝑡 = 𝐵𝑒𝑎𝑡
Onde:
B é a amplitude no instante t = 0;
Se a > 0, exponencial crescente Se a < 0, exponencial decrescente
Sinais elementares
Sinal exponencialmente amortecido:
De forma:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 + ∅
Sinais elementares
Função Degrau ou de Heaviside:
Definição:
𝑢 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 00, 𝑡 < 0
Sinais elementares
Sinais senoidais:
Forma mais geral pode ser escrito como:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + ∅)
Onde:
A é a amplitude;
w é a frequência em radianos por segundo;
Ø é o ângulo de fase em radianos;
Sinais elementares
Função Impulso ou delta de Dirac:
Definição:
𝛿 𝑡 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≠ 0
E
−∞
∞
𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1
Sinais elementares
Sinal rampa:
Definição:
𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡 ≥ 00, 𝑡 < 0
Ou:
𝑟 𝑡 = 𝑡. 𝑢(𝑡)
Sinais de Energia e de Potência
Energia de um sinal
Sinais de Energia e de Potência
Potência de um sinal
Sinais de Energia e de Potência
Potência de um sinal
Sinais de Energia e de Potência
Operações básicas
Operações realizadas nas variáveis dependentes:
Mudança de escala de amplitude:𝑦 𝑡 = 𝑐. 𝑥(𝑡)
Adição:𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑧 𝑡
Multiplicação:𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 . 𝑧(𝑡)
Diferenciação:
𝑦 𝑡 =𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
Integração:
𝑦 𝑡 = −∞
𝑡
𝑥 𝑡 𝑑𝑡
Operações básicas
Operações realizadas nas variáveis dependentes:
Exemplos:
Mudança de escala de amplitude: Amplificadores e atenuadores.
Adição: Circuito somador/subtrator com amp-op
Multiplicação: Circuito modulador AM
Diferenciação: Circuito com indutor
𝑣 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
Integração: Circuito com capacitor
𝑣 𝑡 =1
𝐶 −∞
𝑡
𝑖 𝑡 𝑑𝑡
Operações básicas
Realizadas na variável independente:
Mudança de escala: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑎. 𝑡)
Se 0 < 𝑎 < 1, expansão;
Se 𝑎 > 1, compressão;
Operações básicas
Reflexão:𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡)
Operações básicas
Deslocamento:
𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0)
Operações básicas
Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de
escala no tempo:
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑎𝑡 − 𝑏
Esta relação deve satisfazer as seguintes equações:
𝑦 0 = 𝑥 −𝑏
𝑦𝑏
𝑎= 𝑥(0)
Primeiro fazemos os deslocamento temporal, 𝑥(𝑡 − 𝑏), posteriormente fazemos o
escalonamento temporal 𝑥(𝑎𝑡)
Operações básicas
Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de
escala no tempo:
Exemplo: 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 + 3)