Atrisinājuma jūtība pret sākuma vērtībām un vienādojumā

ieejošiem parametriem

1. Kā ietekmē atrisinājumu izvēlētā sākuma punkta maiņa?

2. Fiksētam sākuma punktam kā iespaido atrisinājumu vienādojuma labajā pusē ieejošo parametru maiņa?

Vienādojuma atrisinājums mainās līdz ar izvēlētā sākuma punkta maiņu. Šādā nozīmē atrisinājumu var uzlūkot par funkciju.

Ir daudzas situācijas, kad ir svarīgi zināt šīs maiņas raksturu: 1) vai pietiekoši tuviem sākuma punktiem arī atrisinājumi atšķirsies patvaļīgi maz (nepārtrauktība);

2) kā sākotnēji tuvi atrisinājumi izturēsies lielos (laika) intervālos?

Atbildes uz jautājumiem īpaši svarīgas gadījumos, kad sākuma nosacījumi tiek atrasti mērījumu rezultātā, līdz ar to noteikti parādās mērījumu kļūdas, kas var rezultātus izkropļot.

),( xtfx ),( 00 xt

),,( 00 xtt

with(DEtools):DEplot(D(x)(t)=4*sin(6*t+0.4*x(t)),x(t),t=-2..2,[[x(0)=-1],[x(0)=-0.4],[x(0)=-0.8],[x(0)=-0.2],[x(0)=-0.6],[x(0)=0],[x(0)=0.2],[x(0)=0.4],[x(0)=0.6],[x(0)=0.8],[x(0)=1]],

> stepsize=.2, arrows=NONE,linecolor=[blue,blue,blue,blue,blue,blue,blue,blue,blue,blue,blue]);

>

10)(

),(

xtx

xtfdt

dx

1 tuvinātais atrisinājums

20)(

),(

xtx

xtfdt

dx

tuvinātais atrisinājums 2

1

2

L

eexxtt

ttLttL 1

)()(0

0

212121

Nepārtraukta funkcija f, 0 ,

LLx

f

Lemma.

Ja abi atrisinājumi ir precīzi,

0

212121 )()(0 ttLexxtt

Tātad:

1) galīgā t maiņas intervālā atrisinājumi apmierina Lipšica nosacījumu pret x sākuma vērtību;

2) lieliem t sākotnēji patvaļīgi tuvu atrisinājumu vērtības var eksponenciāli attālināties.

xx xx

Piemēri.

1. Atrisinājuma izturēšanās mazā t maiņas intervālā

Vienādojuma diff(y(t),t)=y(t)*cos(t)+sin(t)integrāllīnijas un vektoru lauks t maiņas intervālā t=-10..-7

Tā paša vienādojuma integrāllīnijas un vektoru lauks intervālā t=-10..10

Katrā pietiekoši mazā t maiņas intevālā lauka vektori ir “praktiski paralēli”, sākotnēji tuvu atrisinājumi vērtības arī turpinājumā atšķiras maz.

Apskatot lielākā intervālā, atrisinājumu atšķirības kļūst ievērojamas.

2. Vienādojuma integrāllīnijas x=-3..3

0)1()1( 22 dyydxx

Visi sākuma punkti izvēlēti x=0.

Tā paša vienādojuma integrāllīnijas x=-0.6..0.6

3. Protams, gadās arī citādi...

Vienādojums > diff(y(t),t)=-y(t)+t*cos(t^2)> t=-5..10

Sākuma punkti izvēlēti t=-5 ar intervālu 2.

Teorēma. Ja vienādojuma

),( xtfx

labā puse apmierina atrisinājuma eksistences un unitātes teorēmas nosacījumus apgabalā G, tad šī vienādojuma atrisinājums ir nepārtraukta funkcija vaļējā telpas apgabalā.

Ja funkcijai f eksistē arī nepārtraukts atvasinājums pēc x, diferenciālvienādojuma atrisinājums ir nepārtraukti diferencējama funkcija.

Piezīme. Atrisinājuma nepārtrauktība un pat diferencējamība neizslēdz to apstākli, ka lielos t maiņas intervālos sākotnēji tuvi atrisinājumi var ievērojami atšķirties.

),,( 00 xtt ),,( 00 xtt

3R

Gadījumos, kad tiek aplūkoti un ar diferenciālvienādojumiem aprakstīti reāli procesi, nereti vienādojuma labajā pusē parādās parametri, kuri saistīti ar procesa fizikālo (vai cita veida) dabu.

Vienādojumā x”=-kx parametrs k ir atsperes elastības koeficients, ja x ir atsperes punkta atvirze no līdzsvara stāvokļa.

Svārstību vienādojumā, kur tiek ņemts vērā arī berzes spēks, ir divi parametri x”+kx’+bx=0. Parametrs b raksturo berzes spēku.

Ja y(t) ir kādas populācijas īpatņu skaits momentā t, lineāra vairošanās ātruma gadījumā populācijas augšanu (vai izmiršanu) apraksta vienādojums y’=ay, kur parametrs a raksturo augšanas (a>0) vai izmiršanas (a<0) ātrumu.

Vienādojuma atrisinājums, protams, ir atkarīgs no šiem vienādojumā ieejošiem parametriem, un ir svarīgs jautājums par šīs atkarības raksturu.

Teorēma. Ja funkcija );,( xtf

ir nepārtraukta un pēc x apmierina Lipšica nosacījumu, tad Košī problēmas

atrisinājums ir nepārtraukta funkcija.

Ja funkcijai f eksistē arī nepārtraukti atvasinājumi pēc x un pēc atrisinājums ir nepārtraukti diferencējama funkcija.

);( t00 )(

);,(

xtx

xtfx

);( t

[;] ,),( 21 Gxt

Atrisinājuma diferencējamība pēc parametra neizslēdz apstākli, ka atsevišķām parametra vērtībām atrisinājumi var krasi kvalitatīvi mainīties – notiek bifurkācija.

http://www.sosmath.com/diffeq/first/bifurcation/bifurcation.html

1 ;1

' 3

aa

xaxx

Piemērs.

Ar y(t) apzīmējam zivju skaitu ūdenskrātuvē, kur to resursi ir ierobežoti. Zivju skaita maiņas dinamiku vienkāršoti var aprakstīt ar logistisko vienādojumu , kur a/b ir optimālais zivju daudzums, ko ūdenstilpne var uzturēt. Atbilstoši zīmējumā integrāllīnijas parāda zivju skaita maiņu, laikam pieaugot, dažādām sākuma vērtībām.

2byayy

Zivis tiek ar konstantu ātrumu F zvejotas.

Fbyayy 2

b

aF

4

2

b

aF

4

2

Vēl ir līdzsvara vērtība, pie kuras populācija var eksistēt

b

aF

4

2

populācija izmirst.

Zivis tiek zvejotas ar kritisko ātrumu, taču ne visu laiku.

nezvejo

zvejo 1/3 daļu no laika

zvejo 2/3 no laika

zvejo visu laiku

Vispārinājums

Visas iepriekš minētās teorēmas: atrisinājuma eksistences (Peano), eksistences un unitātes (Pikāra), teorēmas par atrisinājuma turpināmību, tāpat teorēmas par atrisinājuma atkarību no sākuma vērtībām un parametriem, ir spēkā arī diferenciālvienādojumu sistēmām un līdz ar to arī augstāku kārtu vienādojumiem.

Piezīme: teorēmu formulējumos figurējošais Lipšica nosacījums vairākdimensionālā gadījumā aizstājams ar šādu:

xxxtfxtf ~~,(),(

kas praktiski izpildās, ja eksistē nepārtraukti atvasinājumi j

i

x

f

Piemērs (Lorenca sistēma, n=3)

> b:=8/3: s:=10: r:= : w1:=diff(x(t),t)=-s*x+s*y> w2:=diff(y(t),t)=-x*z+r*x-y:w3:=diff(z(t),t)=x*y-b*z:> with(DEtools): DEplot([w1,w2,w3],[x,y,z],t=0..100,[[x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1]],stepsize=0.05,scene=[x,y],thickness=0,linecolor=blue,arrows=none);

r=0.7; 2.7; 9.7; 15.7; 23.8; 28

1 ,1 ,1 ,1 ,1

cos03

bkcm

tFbxkxxcxm

Piemērs. Svārstību vienādojums (Duffinga)

tFbxcykxym

yx

cos03

120 140 160 180 200

0.4

0.6

0.8

1.2

120 140 160 180 200-0.25

0.25

0.5

0.75

1

1.25

120 140 160 180 200

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

120 140 160 180 200

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

0.6 0.79

0.8 0.9

0.4 0.6 0.8 1.2

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.6

-0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.79

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

0.80.9

Projekcija (x,y) plaknē

1010.5

1111.5

12 0.250.50.7511.25

-0.5

0

0.5

1010.5

1111.5

12

10

12.5

15

17.5

20-101-0.500.510

12.5

15

17.5

20

-0.500.5

(t,x,y) telpā

0.6 0.8

soln NDSolvedeq1, deq2, x0 1, y0 0,xt, yt,t, 0, 200, MaxSteps 2500m 1; c 1; k 1; b 1; w 1;

deq1 x't ytdeq2

my't cyt kxt bxt̂3 F0Cosw tParametricPlotEvaluatet, xt. soln,t, 100, 200In[38]:= ParametricPlot3DEvaluate0.1t, xt, yt.soln,t, 100, 200, PlotPoints 2000