Atraccion y Potencial

ATRACCION Y POTENCIAL

Dr. ARMANDO MINAYA LIZARRAGA2014

INTRODUCCION

• Un cuerpo rotando adherido a la Tierra se ve sometido a la fuerza gravitatoria de la Tierra y la del resto de los cuerpos celestes, y a una aceleración centrifuga provocada por el mismo movimiento de rotación de la Tierra.

• El resultado de ambas fuerzas se conoce como fuerza de la gravedad.

Gravitación, Potencial Gravitacional

De acuerdo con la ley de gravitación de Newton, dos puntos de masa m1 y m2, separados por una distancia l, se atraen uno a otro con una fuerza F.


• Siendo G la constante gravitacional y l la distancia entre los puntos de masa y m1 y m2 .

• Si ahora consideramos que m1 es igual a la unidad y m2 se halla sobre P’ podemos reescribir la ecuación (2.1) en la ecuación (2.2).

En esta el punto P experimenta una aceleración gravitacional debido al elemento de masa atrayente situado en P’, la fuerza según hemos visto tendría el sentido de P hacia P’, la distancia l se puede representar en el sistema cartesiano como


La fuerza de la gravedad F se puede resolver en sus diferentes componentes, Fx, Fy y Fz:

F = (Fx,Fy,Fz) (2.4)

Si consideramos que la masa P’ se halla en el origen del sistema de referencia según la figura las fórmulas (2.5), (2.6) y (2.7) se pueden simplificar convirtiéndose en las ecuaciones (2.8), (2.9) y (2.10).


• Siendo α ,β y γ los ángulos que forma r con los diferentes ejes del sistema cartesiano.

• La composición cuadrática de las tres componentes de la fuerza nos da el módulo del valor de la fuerza gravitatoria.


• Como la suma cuadrática de los cosenos directores (es un vector ortonormalizado) de un vector es 1, se puede resolver finalmente que el módulo de la fuerza gravitatoria (que es un valor escalar) se corresponde con la ecuación (2.11).

Siendo esta la expresión más conocida de la ley de la Gravitación Universal de Newton.

Función Potencial Gravitatoria

• Seguidamente introducimos el concepto de función potencial gravitatoria, siendo esta una función escalar (V es función de la posición del punto P).

• Las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza gravitatoria F se obtienen derivando V respecto la dirección considerada, esto es así debido a que V es un campo conservativo


esto puede verificarse fácilmente derivando (2.13), para el caso de la componente Fx obtenemos

Esta última propiedad se puede escribir formalmente como

es decir, el vector fuerza es el vector gradiente de la función escalar V


• Es una ventaja importante el hecho de poder remplazar las tres componentes de F por la función V ya que es mucho más sencillo manejar la función V que las tres componentes de F.

• En el caso de que nos encontremos ante una distribución de masas puntual en el espacio y pretendamos resolver la influencia generada por esta distribución, basta con resolver la contribución de cada elemento de masa, siendo la suma de todas las contribuciones el campo gravitatorio de la distribución de masas (2.17)

Función Potencial Gravitatoria• Cuando la masa no son puntuales

y si además estas no tienen una forma regular como se plantea en el estudio de la atracción gravitatoria de la Tierra, el cálculo de la aceleración y del potencial se vuelve más complejo.

• Para estos casos conviene abordar el problema calculando la suma de las contribuciones de los elementos diferenciales que componen la masa tal como se considera en la Figura

Función Potencial GravitatoriaPara ello ahora consideramos que los puntos materiales están distribuidos continuamente sobre un volumen v con densidad

Donde dv es un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Entonces la suma (2.17) se transforma en la integral

Donde r es la distancia entre el elemento de masa dm y el punto que sufre la atracción P.


Para resolver el potencial del punto P hay que calcular la contribución al potencial que ejerce cada elemento dm, lo cual se puede escribir como la expresión (2.21).

En esta se considera la triple integral extendida sobre v, ya que hay que considerar el potencial de toda la masa que se halla en el volumen v. El elemento de volumen considerado será


Para el caso de una distribución de masas las componentes de la fuerza gravitatoria se puede resolver según la expresión (2.16), que para el caso de la componente Fx es

En la cual sustituyendo finalmente obtenemos

La fuerza Centrifuga y su Potencial

• La fuerza de la gravedad influye sobre los objetos que se encuentran sobre la superficie de la tierra y no es debido únicamente a la fuerza gravitatoria provocada por la masa de la tierra, si no que la gravedad tiene una componente debido a la rotación de la Tierra que realiza respecto al eje conformado por los polos.

• Si le asignamos a la Tierra una velocidad de rotación constante alrededor del eje que en un principio consideraremos fijo, se puede establecer que el valor de la aceleración centrífuga es

z =ω 2p (2.24)


Siendo ω la velocidad angular de rotación de la Tierra, ω= 2π /86164.10s =7.292115 10-05 rad s-1 esta es conocida con gran precisión por astronomía.


• El parámetro p es la distancia desde el punto considerado al eje de rotación, si hacemos coincidir el eje z de nuestro sistema de referencia con el eje de rotación de la Tierra entonces p toma el valor

Ahora introduzcamos el potencial centrifugo de z,

z = gradΦ (2.26)


Siendo la expresión del potencial centrífugo

Si realizamos la diferencial al cuadrado respecto de x e y, y aplicamos el operador Laplaciano obtendríamos

ΔΦ = 2ω 2

En virtud de lo cual finalmente se resuelve que Φ no es armónica.En el caso de que calculemos el Potencial Centrífugo en el Ecuador donde este es máximo obtendremos un valor de Φ=1.1 E-05 m2 s-2 y una aceleración centrífuga es z = 0.03 m s-2 (0.3 % de la gravitacional) y en los polos Φ=0 m2 s-2 y z= 0 m s-2.

Aceleración de la Gravedad y Potencial de la Gravedad

• La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la composición de la aceleración gravitacional F y de la aceleración centrífuga z:

g =F + z (2.29)


• La dirección de g se conoce como la dirección de la línea de la plomada, la magnitud g=│g│ es llamada intensidad de la gravedad o aceleración de la gravedad aunque por lo general se suele utilizar el término de gravedad de forma más general.

• En la figura vemos una representación de la composición cuadrática de las dos aceleraciones F y z cuyo resultado es la aceleración de la gravedad g.

• Finalmente podemos resolver que la función potencial de la gravedad será igual a la suma de los potenciales de las componentes de la gravedad, para ello acudimos a las ecuaciones (2.27) y (2.19).


Para resolver el valor de la aceleración de la gravedad aplicamos el gradiente a la función potencial

El potencial de la gravedad W y sus primeras derivadas presentan valores finitos y continuos, esto es así por las propiedades heredadas de las funciones V y Φ, solo en el caso de que r o l tienda a infinito entonces grad W presentaría discontinuidades.


• Las segundas derivadas de la función potencial son las que presentan discontinuidades, ya que la función potencial de la gravedad hereda las discontinuidades de la función potencial gravitatoria, al igual que en esta las discontinuidades aparecen con las variaciones abruptas de la densidad.

• La variación más acusada de la densidad nos la encontramos en el cambio entre la atmósfera y la corteza superior, en la cual se pasa de un valor de densidad 0.0013 g cm-3 a 2.7 g cm-3.

• De ΔV = − 4πGρ y (2.28) obtenemos la ecuación diferencial generalizada de Poisson cumpliéndose esta en el interior de las masas.

ΔW = − 4π Gρ + 2ω 2 (2.31)


• En el espacio exterior (a partir de ahora consideraremos despreciable la densidad del aire), el potencial de la gravedad cumple la ecuación diferencial generalizada de Laplace.

ΔW = 2ω 2 (2.32)

El campo de la Gravedad en una Tierra Esférica

• Vamos a resolver la forma geométrica que presentaría un campo potencial en el caso que fuese generado por una Tierra completamente esférica.

• En un primer paso resolvemos el valor de la atracción gravitatoria para un punto P que se halla sobre la superficie de esta Tierra teórica.


• Como posteriormente vamos a sumar las aceleraciones gravitatoria y centrifuga, tenemos que descomponer las aceleraciones en unas direcciones determinadas comunes a ambas fuerzas para poderlas sumar.

• En este caso en vez de elegir una descomposición respecto de los 3 ejes cartesianos, optamos por una descomposición respecto a las coordenadas esféricas (r,θ,λ). Esta descomposición solo presenta la componente del radio (r) que es la dirección en la que actúa la fuerza de la gravedad.


• Siendo M la masa de la Tierra, r la distancia del centro al punto P.

Donde ω es la velocidad angular de rotación de la tierra y r es el radio de la Tierra.

Finalmente para resolver el valor de la aceleración de la gravedad realizamos la suma componente a componente de la aceleración gravitatoria y centrífuga.


Como ya hemos visto estas componentes pueden deducirse a través de las funciones potenciales de cada aceleración, el potencial gravitatorio de V y el de la fuerza centrífuga Φ.

La suma de estos dos potenciales nos da el potencial de la gravedad U (no confundir con W que sería el potencial real de la Tierra).


Podríamos resolver el valor de la aceleración a través del gradiente del potencial U.


Para el caso de las coordenadas esféricas nos encontramos que la aplicación del gradiente no es tan inmediata, ya que los elementos diferenciales que consideramos tienen diferentes unidades, con lo cual hay que realizar ciertas consideraciones para homogeneizarlos.

Para resolver elementos diferenciales homogéneos, se divide la diferencial respecto de θ por r y la diferencial respecto de λ por r.senθ. (fig.2.12) (2.47)


En vez de utilizar en las ecuaciones el argumento colatitud θ, lo sustituimos por Φ

Siendo a equivalente a r ya que es el radio de la Tierra esférica y m es


• En el segundo término de (2.49) se aprecia claramente que m es el cociente entre las fuerzas centrifuga y gravitacional sobre la tierra esférica en el ecuador, el cual lo utilizaremos más hacía adelante para resolver la forma real de la Tierra.

• Si resolvemos g a través del gradiente de su función potencial U llegamos a la misma solución resuelta en (2.45).

• Calculemos en un primer lugar la componente de g respecto r.


Para el caso de la componente g respecto de θ

Ahora veamos la forma que tiene o genera el potencial que hemos calculado a partir de una Tierra esférica, U en (2.47)


• Este análisis se puede realizar fijando un valor del potencial U y resolviendo a diferentes latitudes como ha variado la distancia de esa superficie equipotencial al origen del SR, en el caso de que fuese constante no encontraríamos que dicha superficie equipotencial sería una esfera (fig.2.13), como el que aparece en la figura y se deduciría finalmente que la forma de la tierra es una esfera ya que la superficie de los mares se ciñe a la forma de una superficie equipotencial-

• Sin embargo el caso del potencial generado por una Tierra esférica no coincide con el caso arriba planteado. En primer lugar establezcamos el valor de la superficie equipotencial, en este caso adoptamos el valor del potencial en el Polo φ=90º, el cual aplicándolo a (2.48) se obtiene


Si este valor lo establecemos como constante en (2.48) y despejamos el valor de r obtenemos que

Donde observamos que r conforme varíe la latitud ira variando también su valor, la ecuación (2.55) coincide con el valor del radio vector de una elipse lo cual establece que el potencial generado por la Tierra es el de un elipsoide de revolución de achatamiento m/2.


Si establecemos unos valores aproximados de los parámetros que configuran las ecuaciones (2.50) y (2.51) podemos resolver los valores de la gravedad a diferentes latitudes.


a=6371 km; G= 6.67259 E-11 m3 kg s-2; M=5.976 E24 kg; ω=2π/24 h= 7.2722E-5 rad s-1

obteniéndose los valores de:


En estos valores se observa que la componente en la dirección del radio es mucho mayor que la componente de la colatitud y para este caso en concreto se puede considerar prácticamente despreciable.

Por lo que se refiere a la componente radial vemos que el valor en los polos es mayor que en el Ecuador que en este caso se explica por la existencia de la fuerza centrífuga la cual es mayor en el Ecuador favoreciendo la disminución del valor de la gravedad ya que esta se opone a la gravitatoria.

Si comparamos los valores reales de la gravedad medidos sobre la superficie, con los teóricos que hemos obtenido:


• En este cuadro podemos apreciar como el valor de la gravedad real en el ecuador es menor que el teórico, ocurriendo lo contrario para el caso de los polos donde es mayor el real que el teórico, estas diferencias se explica si la figura real de la tierra respecto la teórica presentara un radio ecuatorial mayor que el teórico (ya que cuanto más nos alejamos del centro de masas menor valor de la gravedad se obtiene) y en el caso de los polos la distancia real sea menor que la establecida en el teórico (si nos acercamos aumenta el valor de la gravedad).


• Se llama potencial gravitatorio en un punto de un campo gravitatorio al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta dicho punto.

• También se puede definir el potencial gravitatorio en un punto como la energía potencial por unidad de masa colocada en ese punto del campo gravitatorio..

POTENCIAL GRAVITATORIO

• Se llama potencial gravitatorio en un punto de un campo gravitatorio al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar la unidad de masa desde el infinito hasta dicho punto.

• También se puede definir el potencial gravitatorio en un

punto como la energía potencial por unidad de masa colocada en ese punto del campo gravitatorio..

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