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POR LLUVIA ATENUACIÓN
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POR LLUVIAATENUACIÓN
E r n e s t o S a b o g a l G ó m e z
POR LLUVIAATENUACIÓN
2a edición: septiembre de 2013
ISBN: 978–958–739–031-5
© Universidad El Bosque
© Editorial Universidad El Bosque
© Ernesto Sabogal Gómez (Autor)
Rector
Carlos Felipe Escobar Roa
Vicerrector Académico
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Vicerrector Administrativo
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División de Investigaciones
Editorial Universidad El Bosque
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entregada o transmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún
medio, sin el permiso previo del autor.
539.2
S11a
SABOGAL GÓMEZ, Ernesto
Atenuación por lluvia / Ernesto Sabogal Gómez. – Bogotá : Universidad El Bosque,
2013. – 112 p.
ISBN: 978-958-000-000-0 (Impreso)
1. Atenuación de ondas electromagnéticas 2. Dispersión de ondas electromagnéticas
3. Absorción de ondas electromagnéticas 4. Intensidad de Precipitación-modelos.
A todos los que me enseñaron que
allá afuera, en algún lugar, existe algo
maravilloso a ser descubierto
CAPÍTULO IINTRODUCCIÓN 17
1.1 Atenuación por lluvia ...................................................................... 19
1.1.1 Absorción ............................................................................ 19
1.1.2 Dispersión ............................................................................ 20
1.2 Disponibilidad ................................................................................. 20
1.3 Atenuación por lluvia y su relación con la disponibilidad ............ 21
1.4 Modelamiento ................................................................................ 22
1.4.1 Tipos de modelos ................................................................. 22
1.4.2 Funciones de distribución .................................................... 23
1.4.3 Función de distribución acumulativa ................................... 25
1.5 Tasa de lluvia y su relación con la atenuación ............................... 26
1.6 Tiempo de integración .................................................................... 27
CAPÍTULO IIMODELOS DE INTENSIDAD DE LLUVIA 29
2.1 Generalidades sobre lluvia .............................................................. 29
2.2 Modelo Rice-Holmberg (RH) .......................................................... 30
2.3 Modelo Rice-Holmberg modificado por Dutton-Dougherty .......... 32
2.4 Modelo UIT ..................................................................................... 33
2.4.1 Zonas hidrometeorológicas P.837-1 .................................... 33
2.4.2 Recomendaciones P.837-4 y P.837-5 .................................. 34
2.5 Modelo Salonen-Baptista ................................................................ 37
Tabla de contenido //
2.6 Modelo Crane - Doble Componente .............................................. 40
2.7 Modelo Chebil ................................................................................. 41
2.8 Modelo Ito ....................................................................................... 42
2.9 Modelo Moupfouma ....................................................................... 43
2.10 Modelo Capsoni et al ...................................................................... 45
2.11 Comparación de los modelos .......................................................... 46
2.12 Comparación de resultados de los modelos ................................... 48
CAPÍTULO IIIMODELOS ATENUACIÓN POR LLUVIA 51
3.1 Modelo UIT ..................................................................................... 51
3.2 Modelo Crane (modelo global) ....................................................... 54
3.3 Modificaciones al modelo UIT-R .................................................... 56
3.3.1 Reino Unido (modelo RAL 2003) ........................................ 56
3.3.2 China .................................................................................... 56
3.3.3 Australia ............................................................................... 58
3.3.4 Brasil ..................................................................................... 59
3.4 Comparación de los modelos .......................................................... 59
3.5 Uso de los modelos ......................................................................... 62
3.6 Caso Colombia ................................................................................ 62
CAPÍTULO IVESTUDIOS DE SENSIBILIDAD 65
4.1 Modelo Chebil ................................................................................. 65
4.2 Modelo RH - modificado Dutton .................................................... 69
4.2.1 Sensibilidad ß ....................................................................... 69
4.2.2 Sensibilidad modelo ............................................................. 72
4.3 Modelo Moupfouma ....................................................................... 74
CAPÍTULO VSIMULACIONES DE MONTE CARLO 77
5.1 Definición ........................................................................................ 77
5.2 Método ............................................................................................ 77
5.3 Bondad de ajuste de funciones de distribución .............................. 78
5.3.1 Kolmogorov-Smirnov........................................................... 79
5.3.2 Anderson-Darling ................................................................. 80
5.3.3 Chi-cuadrado (ji cuadrado) .................................................. 80
5.3.4 Distribución de M y DTH para los ejemplos de
las simulaciones ................................................................... 82
5.4 Ejemplo simulación modelo Chebil ................................................ 86
CAPÍTULO VIMEDICIÓN DE INTENSIDAD DE LLUVIA 91
6.1 Pluviómetro de balancín .................................................................. 91
6.1.1 Descripción del sistema ....................................................... 91
6.1.2 Análisis de datos de pluviómetros de balancín ................... 93
6.2 Sistema óptico ................................................................................. 95
6.3 Aproximaciones desde tiempos de integración diferentes
a 1 minuto ........................................................................................ 97
6.3.1 Método Karasawa et al ........................................................ 97
6.3.2 Modelo Lavergnat-Gole ....................................................... 98
6.3.3 Modelo Joo-Hwan et al. ....................................................... 99
6.3.4 Modelo Capsoni et al .........................................................100
BIBLIOGRAFÍA 103
Agradecimientos
Es importante nombrar la labor de la División de Investigaciones de
la Universidad El Bosque en impulsar a los grupos y líneas de investigación
de la Universidad “nacientes” o con baja producción mediante las convoca-
torias internas. Parte del trabajo que se presenta en este libro nace de un
sub-proyecto “Determinación de la tasa Rp para la ciudad de Bogotá”, proyec-
to seleccionado dentro de una de las convocatorias realizadas por la División.
Deseo agradecer al Ing. Fabio Téllez por su valiosa colaboración en la
elaboración de la metodología de investigación para el Programa de Ingenie-
ría Electrónica, metodología que ha facilitado la ejecución de los proyectos
de investigación mencionados en este libro.
Prefacio
Este libro nace del trabajo realizado por su autor y auxiliares de in-
vestigación durante la primera fase de ejecución del proyecto “Determina-
ción de un modelo de atenuación por lluvia para la banda de 5GHz a 30GHz
para Bogotá”. Aunque el alcance es limitado, la ciudad de Bogotá, se pre-
tende lograr obtener el conocimiento necesario para luego dar un paso más
ambicioso orientado a un modelo que cubra toda Colombia.
La necesidad del libro se origina del requerimiento de capacitar a
los auxiliares de investigación del proyecto sobre los conceptos básicos re-
queridos para su desempeño en el proyecto. Tarea que se fue convirtiendo
rutinaria y de alto consumo de tiempo para el director y sus auxiliares más
avanzados; por lo cual, se decide crear el actual libro como medio para una
rápida capacitación en los conceptos básicos y los modelos considerados
como más relevantes al proyecto. Por otro lado, la lectura y comprensión
de papers de alto contenido técnico no es una tarea fácil para los alumnos
que se enfrentan a éstos por primera vez; se pretende dar un resumen e
interpretación de las ideas fundamentales expuestas en éstos; de allí nace la
estructura utilizada en el libro.
Adicionalmente se espera que este libro sirva como un handbook
para aquellos interesados en modelos de atenuación por lluvia.
Introducción
El libro se divide en seis capítulos. El primer capítulo trata temas
generales, en ocasiones definiciones, necesarios y obligatorios para com-
prender la terminología que se presenta en los demás capítulos. Para los lec-
tores nuevos en el tema se sugiere una lectura secuencial de los capítulos;
posteriormente, los lectores con conocimientos del tema podrán utilizar el
presente textocomo una ayuda rápida y directa a los modelos: sus ecuacio-
nes y usos; esto lleva a que el libro se presente casi como un Handbook en el
tema de atenuación por lluvia.
El segundo capítulo describe los modelos para determinar la tasa
de lluvia, presenta las ecuaciones y en caso que éstas no sean fáciles de
entender en su uso se da una descripción paso a paso de cómo calcularla y
qué datos son requeridos.
El tercer capítulo presenta los modelos que se consideraron para el
estudio del proyecto, tratando de abarcar los clásicos y más pertinentes.
Los modelos se describen en detalle. Cabe notar que, para el cálculo de
la atenuación, se debe haber calculado previamente la tasa de lluvia; por
lo cual, es fundamental el comprender cómo se realiza este paso antes de
pasar a este capítulo.
El cuarto capítulo trata sobre cómo determinar la sensibilidad de los
modelos. Los modelos descritos, en especial los de tasa de lluvia, dependen
Capítulo I
AT E N U A C I Ó N P O R L L U V I AERNESTO SABOGAL GÓMEZ
18 /
de valores medidos. Como la medición introduce errores, el capítulo analiza
la variación de los resultados de los modelos ante posibles variaciones de
las variables de entrada.
El quinto capítulo trata sobre cómo realizar simulaciones utilizando
el método de Monte Carlo. La idea general es si se conoce la función de
distribución de las variables de entrada y las variables que las caracterizan
(media, desviación, otras) se podrá determinar la forma de describir la va-
riable de salida: función de distribución, otros. En caso que la variable siga
una distribución normal se podrá determinar la media de ésta y sus porcen-
tajes de confiabilidad.
El sexto y último capítulo presenta varios métodos para realizar
mediciones de lluvia, cómo realizar la interpretación de estos y el análisis
necesario para tratar de minimizar el error introducido por las limitaciones
de los equipos.
Es importante anotar que el estudio se orienta a enlaces de micro-
ondas terrestres y no a enlaces satelitales (tierra-espacio). Por lo cual, va-
rias de las ecuaciones que se presentan en este documento, en especial
aquellas del capítulo 3, se han reducido o simplificado para representar
este tipo de enlaces.
Normalmente el efecto de la lluvia en la propagación se observa en
la atmósfera baja (máximo 10 km) y para frecuencias superiores a 1GHz;
comenzando a ser crítica para frecuencias superiores a 5GHz.
A continuación se transcribe el planteamiento del problema a partir
del cual nace el proyecto.
El principal impedimento, a nivel de radio propagación, para las
frecuencias superiores a 10GHz es la lluvia; este impedimento se
ve reflejado en la disponibilidad de las redes. El diseño de estas
normalmente se hace utilizando modelos de atenuación no vali-
dados para el país o posiblemente con modelos correctos pero sin
los apropiados datos. Existen modelos de propagación “univer-
sales” como los de la UIT, pero la misma entidad ha detectado
“que en esta gama de frecuencias los métodos actuales se basan
en gran medida en datos y que hay una necesidad constante de
/ 19IN T RODUCCIÓNC APÍ T ULO I
mediciones de todas las regiones geográficas, especialmente de
los países en desarrollo, a fin de mejorar la precisión de las téc-
nicas de predicción.
Con el fin de determinar un modelo se requiere realizar medi-
ciones de la atenuación en función de la intensidad de la lluvia.
Se ha determinado que, con el fin que los resultados sean lo más
exactos posibles, los periodos de integración de la tasa de lluvia
deben ser lo más pequeños posibles siendo un valor ideal 1 mi-
nuto. Los equipos tradicionales de medición de lluvia realizan
integraciones en una hora o superior; lo cual no es adecuado para
poder adelantar un estudio de atenuación por lluvia. Adicional-
mente se requiere analizar series largas de intensidad de lluvia
(más de 5 años); la información del IDEAM está en acumulado
diario. Existen modelos para poder determinar el acumulado en
1 minuto (mm/min) a partir de la información del acumulado de
24 horas, días de tormenta y meses de mayor intensidad de lluvia.
Estos modelos, mayor parte empíricos, se deben ajustar a partir
de mediciones regionales.
Del anterior planteamiento del problema ya se presentan algunas
palabras claves que se deberán definir antes de proseguir al resto del libro.
1.1 Atenuación por lluviaLa atenuación por lluvia se debe básicamente a los fenómenos de ab-
sorción y dispersión de las ondas electromagnéticas por las gotas de lluvia.
1.1.1 Absorción
Cuando una onda electromagnética choca con una gota de agua los
electrones de ésta se ven forzados a oscilar. Los electrones de un átomo de
agua poseen frecuencias naturales de oscilación (la frecuencia es depen-
diente de la estructura molecular). En el caso que la frecuencia de la onda
electromagnética sea diferente a la frecuencia de oscilación de los electro-
nes del agua, éstos oscilan por unos nanosegundos y regresan a su estado
original; durante la fase de oscilación los electrones colisionan con otros
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20 /
átomos convirtiendo parte de la energía en calor. El anterior fenómeno se
denomina absorción.
En el caso que la frecuencia de la onda sea igual o muy cercana a la
de oscilación de los electrones se produce el fenómeno de resonancia, en
este caso el electrón perdura más tiempo en el estado de excitación lo cual
hace que se pierda más energía por las colisiones con los átomos vecinos.
1.1.2 Dispersión
Las gotas de lluvia en la atmósfera generan un medio de transmisión
no uniforme causando que las ondas electromagnéticas se dispersen de su
ruta original; la energía de las ondas que continúan por un camino diferente
al establecido se pierde. La dispersión se genera por los fenómenos de re-
fracción y difracción de las ondas.
En el caso de la refracción la gota de lluvia tiene un índice de re-
fracción diferente al del medio circundante haciendo que el rayo tome un
camino diferente. El ángulo de entrada y salida del rayo siguen la ley de Snell
(1.1); donde η1 y η2 son el índice de refracción de los dos medios (aire y
agua) y θ1 y θ2 los ángulos de entrada y salida del rayo.
Cuando la onda encuentra un obstáculo, la gota de lluvia, ésta se
dobla alrededor del obstáculo desviando su trayectoria; este fenómeno se
denomina difracción. El fenómeno toma más relevancia en la medida que
la longitud de onda sea comparable al tamaño del obstáculo (un orden de
magnitud). Los diámetros de las gotas de lluvia se encuentran entre 0.5 mm
y 5mm.Por lo anterior el fenómeno de difracción toma mayor relevancia
para frecuencias superiores a 6 GHz (longitud de onda de 50mm).
1.2 DisponibilidadLa disponibilidad de un enlace se define como el tiempo que éste se
encuentra operativo dentro de los parámetros preestablecidos. Esta dispo-
nibilidad se da en “nueves”, la tabla 1.1 presenta los valores más utilizados
para el diseño de enlaces y su equivalente en tiempo.
(1.1)
/ 21IN T RODUCCIÓNC APÍ T ULO I
Tabla 1.1. Valores más utilizados de disponibilidad.
La disponibilidad de los enlaces de microondas, tanto terrestres
como satelitales, se ve fuertemente asociada a los fenómenos de lluvia.
1.3 Atenuación por lluvia y su relación con la disponibilidad
Se ha determinado por mediciones que para las frecuencias supe-
riores a 1GHz el factor predominante en la disponibilidad es la lluvia. La
ecuación (1.2) relaciona la potencia transmitida con la potencia recibida, L
determina las pérdidas normales de propagación y las cuales son cuasi está-
ticas en el tiempo, en teoría dependen de la frecuencia, distancia y topogra-
fía del terreno; valores que se pueden estimar como invariantes. La variable
A indica la atenuación en exceso, es decir, atenuaciones adicionales al del
camino de propagación y la cuál es variante en el tiempo; esta atenuación
se relaciona primordialmente con los hidrometeoros.
DISPONIBILIDAD TIEMPO DÍAS/AÑO TIEMPO NO DISPONI-BLE PERMITIDO
99.9% 364.6 8.7 h/año
99.99% 364.96 52.5 min/año
99.999% 364.996 5.2 min/año
Los hidrometeoros son partículas sólidas o líquidas que caen a través
de la atmosfera, entre ellos se encuentra la lluvia, la nieve, el granizo y la
neblina. El presente libro se orienta solamente al fenómeno de la lluvia.
Con el fin de realizar un diseño que garantice una disponibilidad se
debe asegurar que el fenómeno de lluvia no aparezca con una probabili-
dad complementaria a la disponibilidad. Si la disponibilidad deseada es del
99.9% se debe diseñar el enlace de tal manera que se debe tener en cuenta
una atenuación en exceso que sobrepase el 0.1% del tiempo; este valor se
denominará Ap. En la ecuación (1.3) se da una definición matemática de Ap,
(1.2)
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22 /
la cual básicamente es: la probabilidad que la atenuación sea superior —ex-
ceda— a Ap es igual a p.
1.4 ModelamientoUn modelo es una abstracción de la realidad, abstracción que repre-
senta una realidad compleja de la manera más sencilla y adecuada para lo
que se desea modelar a través de los mínimos componentes que sean signi-
ficativos al problema.
El mejor modelo es aquel que represente el mayor realismo, es decir,
la menor diferencia entre su salida y los datos medidos del mundo real.
En el caso particular de atenuación por lluvia se evidencia que es
un caso complejo ya que está dependerá de factores como: tamaño de la
gota, densidad de gotas, velocidad de las gotas, entre otros.Así mismo la
situación es variable ya que las condiciones de lluvia no son siempre iguales.
1.4.1 Tipos de modelos
Existen varias maneras de clasificar los modelos, en este caso parti-
cular se diferenciarán entre modelos determinísticos y modelos estocásticos.
Un modelo determinístico es aquel en el cual la salida se puede de-
terminar de una manera precisa, a través de relaciones, sin la cabida de
variación aleatoria. La relación entre corriente y voltaje en una resistencia
se da por V=IR, para una corriente dada y un valor de resistencia siempre se
obtendrá el mismo valor de voltaje.
Un modelo estocástico es aquel en el cual se utilizan funciones de
distribución de probabilidadpara representar variables y/o procesos que tie-
nen un comportamiento aparente aleatorio.
El caso particular de la lluvia se puede definir como un proceso
aleatorio ya que es imposible determinar todas la variables por valores
determinísticosy así mismo se requiere de la medición de un gran número
de éstas. Por otro lado el número de mediciones (histórico) puede ser muy
limitado. Lo anterior hace que la mejor aproximación sea mediante un mo-
delo estocástico.
(1.3)
(1.5)
(1.6)
/ 23IN T RODUCCIÓNC APÍ T ULO I
1.4.2 Funciones de distribución
Si X es una variable aleatoria continua -como es la tasa de lluvia-, se
define la función de densidad de probabilidad como una que cumpla con las
condiciones de la ecuación (1.4).
(1.4)
Existen varias funciones de distribuciones continuas entre ellas las
de interés para los modelos de lluvia son: gamma, exponencial, normal y
log-normal.
La distribución gamma se define en la ecuación (1.5); donde la fun-
ción gamma se define en la ecuación (1.6), por los cual los parámetros de la
función de distribución son α y β.
La función de distribución exponencial se define en la ecuación (1.7);
el único parámetro de esta función es β.
La función de distribución normal está dada por la ecuación (1.8);
los parámetros de esta distribución es la media y la desviación estándar (µ
y σ respectivamente).
(1.7)
(1.8)
-1 -0.5 0 1 1.5 2 2.5 30.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 1 2 4 5 6 7 83
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2 4 5 6 7 83
0
0.6
0.4
0.2
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 1 2 4 5 6 7 83
0
0.3
0.2
0.1
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
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24 /
Por último, la distribución log-normal (1.9) se describe en la ecua-
ción y los parámetros de esta son los mismos de la distribución normal: la
media y la desviación estándar.
En las figuras 1.1 y 1.2 se presentan las formas generales de las
gráficas de las distribuciones antes descritas, para diferentes valores de σ
para la normal, σ y µ para la log-normal, β para la exponencial y, β y α para
la gamma.
(1.9)
Figura 1.1 Distribución normal y log-normal (izquierda y derecha respectivamente).
Figura 1.2 Distribución gamma y exponencial (izquierda y derecha respectivamente).
/ 25IN T RODUCCIÓNC APÍ T ULO I
1.4.3 Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria
—para nuestro caso la lluvia o tasa de lluvia— se define a partir de su
función de distribución, según la ecuación (1.10); donde f(x) es la función
de distribución.
(1.10)
(1.11)
La anterior ecuación se puede interpretar como: cuál es la proba-
bilidad que se dé un valor no superior a un x deseado. Para conservar la
notación ya descrita en la ecuación (1.17), la función cumulativa para lluvia
se daría por la ecuación (1.11) y se interpretaría: cuál es la probabilidad que
la lluvia no exceda un Rp.
La anterior interpretación es contraria a lo deseado y explicado en
la ecuación (1.3) y la ecuación (1.17); ya que se desea conocer es la proba-
bilidad de que exceda ese valor, por lo cual se ha de utilizar la función de
distribución acumulativa complementaria. Esta función se describe como
uno menos la función de distribución acumulativa (1.12); en inglés se cono-
ce como CCDF (Complementary Cumulative Distribution Function).
Por lo tanto la ecuación (1.17) se puede representar utilizando la
función de distribución acumulativa.
(1.12)
(1.13)
AT E N U A C I Ó N P O R L L U V I AERNESTO SABOGAL GÓMEZ
26 /
La ventaja es que actualmente MS Excel u otras hojas de cálculo
similares traen integradas estas funciones lo cual facilita su cálculo. Las
funciones son:
• distr.gamma(x; alfa; beta; acum)
• distr.exp(x; lambda; acum)
• distr.norm(x; media; desviación; acum)
• para el cálculo de la log-normal se debe realizar mediante
obsérvese que las funciones tienen una variable adicional —acum—; su uso
es: si su valor es 0 se calcula la función de distribución, si el valor es 1 se cal-
cula la función cumulativa. En algunos casos se desea calcular la operación
contraria, se tiene el valor de la probabilidad y los parámetros y se desea
conocer x, en este caso se tienen las funciones inversas.
1.5 Tasa de lluvia y su relación con la atenuaciónPor lo anterior el trabajo ahora recae en la forma de encontrar una
manera para calcular esta atenuación mediante un modelo matemático. A
partir de mediciones y de forma empírica se encontró que el Ap no depende
de la cantidad de lluvia (lluvia acumulada), sino de la tasa de lluvia: cantidad
de agua que cae por unidad de tiempo. A partir de los trabajos realizados
por Crane [12] y otros autores [17][25] se ha determinado que la atenuación
sigue una forma matemática descrita por la ecuación (1.15), donde A es la
atenuación, k y α son constantes y R es la tasa de lluvia dada en mm/h.
(1.14)
La ecuación (1.15) representa el modelo básico de atenuación espe-
cífica (dB/km), el capítulo 3 del presente libro ahonda en el tema y describe
y compara otros modelos de atenuación de interés en especial para el caso
colombiano.
(1.15)
/ 27IN T RODUCCIÓNC APÍ T ULO I
Como se indicó anteriormente, se desean realizar cálculos de Ap,
por lo cual la ecuación (1.15) se le adiciona la probabilidad y queda descrita
en la ecuación (1.16).
En la ecuación (1.16) Rp representa la tasa de lluvia que excede en
p%; el concepto es similar al del Ap y se representa de una manera matemá-
tica en la ecuación (1.17).
(1.16)
(1.17)
La interpretación es: la probabilidad que la tasa de lluvia R exceda a
Rp es p%.
1.6 Tiempo de integraciónEl método natural para determinar Rp, sería mediante mediciones.
La medición debería ser de la tasa de lluvia instantánea; la dificultad de
realizar dichas mediciones radica en el costo delos instrumentos necesarios
para poder realizarlas.Los equipos más económicos que permiten realizar
esta medición son los que utilizan el métodode centelleo óptico; aun así, el
costo de estos equipos está en el rango de US$10.000 a US$20.000. Valor
que normalmente se sale del presupuesto para estudios como los adelanta-
dos y descritos en este documento.
Descartados los sistemas ópticos la siguiente alternativa son los
equipos que realizan mediciones por acumulación; es frecuente que los
equipos se diseñen para tomar medidas del acumulado de 24 horas (un día);
este rango es excesivamente alto e introduce un error elevado en el estima-
do de la tasa de lluvia. Por lo anterior la UIT [3] decidió que el periodo de
medición debe ser de un minuto; de allí nace el concepto que Rp debe salir
de mediciones de mm/h a partir de integraciones de un minuto (es normal
verlo escrito 1-min).
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28 /
Actualmente existen algunas estaciones que realizan mediciones del
acumulado de lluvia cada hora o media hora. Existe literatura que indica el
procedimiento para obtener la tasa de lluvia mm/h 1-min a partir de inte-
graciones superiores: 1-hora, 30-min, 10-min y 5-min.
Lecturas recomendadas • [1] Modelo de la atenuación especifica debida a la lluvia para los
métodos de predicción,Recomendación UIT-R P.838-3, 2005.
• [2] Características de la precipitación para establecer modelos de
propagación,Recomendación UIT-R P.837-5, 2007.
• [3] Métodos de predicción de la propagación necesarios para los
servicios fijo (acceso de banda ancha), móvil y de radiodifusión
terrenal por encima de 30 MHz, Cuestión UIT-R 203-3/3, 2002.
• [4] S. Milton and J. Arnold, Probabilidad y estadística con aplica-
ciones para ingeniería y ciencias computacionales, Mc Graw Hill,
4a Edición, 2004.
Atenuación por lluvia fue editado y publicado
por la Editorial Universidad El Bosque.
Septiembre de 2013
Bogotá D. C., Colombia
