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AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA*

Resumen: El objetivo de este artculo es clarificar el sentido en el cual el proyecto semntico deFrege, Russell y Carnap puede llamarse correctamente de anlisis semntico. Para ello, delineobrevemente la historia del concepto de anlisis en la interseccin de la filosofa y las matemticasmodernas, teniendo como hiptesis que el anlisis semntico en la filosofa analtica tempranapertenece a una larga tradicin de adoptar metodologas geomtricas a la solucin de problemasfilosficos. En particular, este tipo de anlisis adapta la formalizacin cartesiana como mecanismode representacin analtica, a problemas de semntica.

Abstract: The goal of this article is to clarify the sense in which the semantic project of Frege, Russel andCarnap may be correctly described as a kind of semantic analysis. To this goal, I briefly trace the history of theterm analysis in modern philosophy and mathematics, under the guiding hypothesis that semantic analysis inearly analytic philosophy belongs to a long tradition of adopting geometrical methodologies to the solution ofphilosophical problems. In particular, it adapts Descartes development of formalization as a mechanismof analytic representation, for its application in semantics.

PALABRAS CLAVE: ANLISIS FILOSFICO, FILOSOFA ANALTICA, GEOMETRA, MATEMTICAS

Segn afirma Max Fernndez de Castro en su artculo Tres mtodos de anlisissemntico,1 a partir de On denoting de Bertrand Russell (1905), el proyecto de

SOBRE LA IDEA MISMA DE ANLISIS SEMNTICO (SOBRE TRES MTODOSDE ANLISIS SEMNTICO, DE MAX FERNNDEZ DE CASTRO)

* Profesor-investigador del Instituto de Investigaciones Filosficas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico,abarcelo@minerva.filosoficas.unam.mx

1 Fernndez de Castro, 2003: 133-154.

Signos Filosficos, vol. VI, nm. 12, julio-diciembre, 2004, pp. 9-32

RECEPCIN: 16/10/03 9 ACEPTACIN: 20/04/04

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anlisis semntico en filosofa qued definido por tres problemas bsicos que, segnel filsofo britnico, toda teora semntica debe poder resolver:

Estos son, a saber, la paradoja de la identidad (cmo la formulacin de una identidadpuede ser informativa?), la utilizacin de trminos singulares sin denotacin en frasessignificativas (cmo puede decirse algo verdadero de Pegaso si no existe?) y la excepcin alas leyes de la identidad que surge en la ocurrencia de trminos singulares en ciertos contex-tos (cmo es que puede decirse algo falso de Londres que es verdadero de la capital deInglaterra?). (Fernndez de Castro, 2003: 133)

El objetivo de este artculo es clarificar en qu sentido un proyecto como el defini-do por Russell requiere de un anlisis semntico. La tesis que intento fundamentar aqu esque el anlisis semntico que llevan a cabo Glottb Frege, Bertrand Russell y RudolfCarnap para el planteamiento y solucin de estos tres acertijos semnticos formaparte de una larga tradicin que busca adaptar desarrollos metodolgicos del anli-sis geomtrico a la solucin de problemas filosficos. En particular, el mtodo deanlisis de estos autores surge de la aplicacin de la formalizacin como mecanismode representacin a problemas semnticos.

Para ello, hago una reconstruccin histrica del concepto de anlisis en la filosofaoccidental moderna, culminando con la fundacin de lo que, de manera apropiada, hasido conocido como filosofa analtica.2 Esta reconstruccin est fuertemente basada enMichael Beaney y Axel Barcel.3 Sin embargo, a diferencia de Beaney, mi inters centrales la manera en cmo el concepto de anlisis sirvi de puente entre matemticas yfilosofa a finales del siglo XIX y principios del XX y, a diferencia de mi postura en2003, en vez del carcter formal de la lgica moderna, me interesa elucidar el carcteranaltico de la semntica filosfica de Frege, Russell y Carnap.

En la primera seccin introduzco la til distincin que ha hecho Beaney de los tresmodos del anlisis: el regresivo, el descomposicional y el transformacional. Pese a laclara importancia de cada uno de stos, me concentro en el ltimo, ya que es dentro de

2 Por razones de espacio, me concentro en dos procesos histricos claves: el surgimiento del lgebra modernaa principios del siglo XVII y el nacimiento de la filosofa analtica a finales del siglo XIX. En especial, meinteresa la interseccin e intercambio que se dio entre ambas disciplinas en los dos periodos mencionados.Por lo tanto, espero que mi trabajo tambin arroj nueva luz en el complejo dilogo entre matemticas yfilosofa que se ha dado a lo largo de la historia.

3 Cfr., Beaney, 2002 y Barcel, 2003.

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l donde la formalizacin de la geometra por parte de Ren Descartes (y, luego, de lasemntica filosfica por Frege, Russell y Carnap) cobra mayor sentido. Para refinarla caracterizacin de Beaney, me dedico en la siguiente seccin a precisar el carcterformal del anlisis transformacional moderno. El objetivo es distinguir la concepcinanaltica de forma de otras concepciones del mismo trmino y de otros modos derepresentacin geomtrica. En la tercera seccin ilustro la importancia de laformalizacin dentro del anlisis transformacional usando como ejemplo la solucincartesiana del problema de las tres o cuatro lneas.

En la cuarta seccin, repaso de manera breve la historia de la tradicin formal-analtica dentro de la matemtica moderna, antes de hacer lo mismo con la filosofa.Complemento esta historia con un estudio de la ntima relacin entre funcin, for-ma y sintaxis que surge de este proceso. Por ltimo, y una vez que el carcter formaldel anlisis ha quedado ms claro, me centro a detalle en la manera cmo los mto-dos de anlisis semntico de Frege, Russell y Carnap encajan dentro de la caracteri-zacin del anlisis formal transformacional desarrollada a lo largo del artculo.

I. MICHAEL BEANEY: EN QU SENTIDO ES ANALTICA LA FILOSOFA ANALTICA?

De acuerdo con Beaney (2002), la nocin de anlisis en la filosofa occidental modernaconsiste, en realidad, en un complejo de tres conceptos distintos: regresin, descomposicin,y transformacin.

El pensamiento moderno hered el concepto de anlisis como regresin, de la geo-metra euclidiana (en especial, de los comentarios de Pappus de Alejandra).4 En estesentido, analizar un problema consiste en buscar los principios, premisas, causas, etc.por medio de las cuales algo puede ser derivado o explicado.5 Este modo de anlisiscomnmente se complementa con un proceso inverso de sntesis, donde se parte delas bases encontradas en el anlisis para construir la derivacin o explicacin que sebusca.6

4 Einarson (1936: 36) seala que el origen matemtico del termino anlisis ha sido ya reconocido por lo menosdesde Blancanus (1615), los comentarios de Waitz a su traduccin del Organon aristotlico (cfr., Aristteles,1962) y Solmsen (1929).

5 Beaney, 2002: 55.6 Acerca del mtodo analtico clsico y su influencia en el pensamiento moderno temprano puede encontrarse

en Hintikka y Remes (1974).

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El segundo sentido de anlisis tiene un linaje y races ms profundas dentro de lafilosofa.7 Su origen puede rastrearse en el mtodo platnico de divisin o dihairesis.Este mtodo consista en descomponer los conceptos analizados en otros ms gene-rales. Aristteles le da su formulacin clsica como mtodo para producir definicio-nes esenciales en trminos de gnero y diferencia especfica.8 As, el concepto de serhumano, por ejemplo, se descompone en los de animal y racional. Si bien estos ltimosconceptos son extensionalmente ms generales que el original, tambin se puede decirque el primero de ellos los contiene desde el punto de vista intensional, pues su definicinlos presupone. Escribe Beaney:

[...] Understanding a classificatory hierarchy extensional, that is, in terms of the classes ofthings denoted, the classes higher up [the more general ones] are clearly the larger, containingthe classes lower down as sub-classes [...] Intensionally, however, the relationship ofcontainment has been seen as holding in the opposite direction. If someone understandsthe concept human being, at least in the strong sense of knowing its definition, then theymust understand the [more general] concepts rational and animal. Working back up thehierarchy in analysis (in the regressive sense) could then come to be identified withunpacking or resolving a concept into its constituent concepts (analysis in thedescompositional sense). (Beaney, 2002: 69)

Finalmente, Beaney llama transformacional al tercer sentido del anlisis, ya que contie-ne una parfrasis o cambio de representacin del problema.9 Este tercer elemento pasa deser configuracional a formal,10 gracias al trabajo del filsofo y matemtico Ren Descartes,quien, al tratar de reconstruir el mtodo euclideano de anlisis geomtrico, desarrollaun nuevo lenguaje algebraico y con l, el anlisis formal en su sentido moderno.

Este mtodo de anlisis trata de encontrar los principios o fundamentos en loscuales construir de manera sinttica todo el conocimiento, tanto geomtrico como

7 Vale la pena mencionar que los tres tienen sus races firmemente plantadas en la matemtica. Cfr., Einarson,1936: 36-39.

8 En Aristteles, el modo descomposicional tambin aparece en el anlisis de figuras. Cfr., Einarson, 1936: 39.9 Es muy importante distinguir entre el uso del termino representacin dentro de la filosofa de la ciencia

contempornea y el uso del mismo en la filosofa de la mente y del lenguaje. En este artculo restrinjo miuso al primer sentido.

10 Del anlisis configuracional dir poco ms que lo necesario para contrastarlo con el anlisis formal. Para unavisin ms detallada de este tipo de anlisis transformacional, cfr., Panza (en prensa).

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filosfico.11 Descartes toma como paradigma metodolgico al anlisis geomtricoclsico.12 Sin embargo, puesto que encuentra poca informacin explcita acerca de estemtodo en los textos clsicos disponibles,13 su reconstruccin es, en realidad, la crea-cin de un nuevo mtodo analtico.14 La analitizacin de la geometra que lleva a caboDescartes reside, precisamente, en la institucin de un mtodo de resolucin de pro-blemas que incluye tanto un cambio de representacin, como un mtodo de regresin15 ydescomposicin.16 En su Geometra, Descartes crea un nuevo marco y una nueva nota-cin para la representacin de los problemas geomtricos: el lenguaje formal-algebraico.Como se ver ms adelante y en mayor detalle, este cambio de notacin es en smismo una revolucin radical en las matemticas. Si bien, es slo la mitad del mtodocartesiano. El resto es el anlisis por descomposicin que este cambio de notacinpermite. El anlisis cartesiano, pues, sintetiza las tres concepciones de anlisis en unslo mtodo y concepto. A partir de entonces, la historia del concepto de anlisis seconvierte en un constante dilogo entre estas tres concepciones. De hecho, podemosver la historia posterior del concepto anlisis como una pugna entre las concepcionesdescomposicional y representacin-formal por capturar la funcin regresivo-fundacionista del mtodo analtico.

En varias ocasiones ha sido sealado que el anlisis cartesiano revolucion el rgi-men de representacin en ciencia, filosofa y matemticas. Martin Heidegger (1977),Ernst Cassirer (1951), Michel Foucault (1986) y, ms recientemente, Jonathan Crary(1990), entre otros, han encontrado en el anlisis cartesiano el origen del pensamientomoderno clsico. El estudio de Beaney va an ms all al distinguir, dentro de la

11 Es importante recordar que la Geometra fue publicada originalmente junto con el Discurso sobre el mtodo y quese ofreca como ejemplo de aplicacin del mtodo presentado en l.

12 Descartes seala las similitudes entre su mtodo y el anlisis de la geometra clsica en 1965: VII, 424, 444-445y 1992: I, 18-19, II, 5, 111. Cfr., Flage y Bonnen, 1999: 3. Franois Vite, el primer introductor de variables alanlisis geomtrico, era de la misma opinin, cfr., Van der Waerden, 1985: 63.

13 Descartes acusa a los gemetras clsicos de esconder su mtodo de anlisis en 1965: X, 336 y VII 157; 1992:I, 19 y II 111.

14 Aunque mantiene fuerte continuidad con el mtodo de Pappus. Basta comparar la definicin de Pappus conla de Descartes en su Geometra, 1965: VI, 372.

15 En el prefacio a la edicin francesa de los Principios, 1965: IXB, 5; 1992, I, 181, Descartes describe el mtododel anlisis como la bsqueda de las causas primeras. Cfr., Flage y Bonnen, 1999: 1, 14.

16 De manera ms obvia en la regla 13 de las Reglas, y la segunda regla de su Discurso del Mtodo. Cfr., Flage y Bonnen,1999: 32-43.

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nocin cartesiana de anlisis, el cambio de representacin propiamente dicho de loselementos de regresin y descomposicin. En otras palabras, mientras los autoresantes mencionados aciertan en sealar que el mtodo analtico cartesiano involucra unnovedoso y revolucionario cambio de representacin, no lo distinguen de los aspec-tos regresivo y descomposicional.17 Pero, como bien seala Beaney, la distincin esesencial para entender el verdadero aspecto innovador de este tipo de anlisis. Tanto laregresin como la descomposicin tenan ya una larga historia dentro de la metodo-loga matemtica y filosfica. La verdadera innovacin de Descartes fue la combina-cin de estos elementos con el nuevo mtodo de representacin formal.18

En la siguiente seccin, me interesa introducirme an ms en este ltimo aspecto: laformalizacin como cambio de representacin. Para ello, creo necesario distinguir larepresentacin formal de la meramente simblica y acentuar la ntima relacin entrefuncin y forma dentro de la tradicin analtica matemtica.

II. ANLISIS Y FORMA19

En primer lugar, es obvio notar que el cambio de representacin que se da en elanlisis formal es un cambio de rgimen simblico. Sin embargo, es importante recal-car que las herramientas simblicas que usa el anlisis formal ya sea en geometra,lgica o semntica no es meramente simblico. En este punto es importante apelar ala tradicional distincin histrica entre el uso sincopado (perteneciente al lgebraprecartesiana) y el uso formal o analtico de los smbolos matemticos (propio de las

17 Otra diferencia importante entre la interpretacin de estos autores y la de Beaney (y la ma) es el fuertenfasis que ellos hacen en el orden, dentro del anlisis cartesiano. Efectivamente, Descartes mismo acentala importancia del orden dentro de su mtodo en (1965) X 379, 451; VI 21, VII 155; (1992) I 64, 121; II 110.Cfr. Flage y Bonnen, 1999: 38-43. Sin embargo, la importancia metodolgica del orden en Descartes noproviene de su lugar dentro del mtodo analtico, sino dentro de la induccin matemtica. Descartesmismo lo reconoce en (1965) X 388-9, (1992) I 25-6.

18 Es por ello que, en este artculo, me concentro en clarificar este cambio de representacin. En este sentidomi estudio busca ir ms all que el de Beaney. Ya que si bien l s distingue y seala el cambio derepresentacin involucrado en la nocin moderna de anlisis, no lo caracteriza detalladamente como paradistinguirlo de otros cambios de representacin que se han dado en la historia de la ciencia moderna.

19 La siguiente seccin es una versin abreviada del desarrollo de la historia del concepto de anlisis formal enBarcel, 2003.

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matemticas modernas). En el lgebra antigua, el lgebra rabe y la cosstica occidental,no exista el concepto de variable tal y como lo entendemos hoy en da. Si bien es ciertoque se usaban letras adems de las constantes del propio clculo, stas no eran ms queabreviaturas de expresiones ms complejas o recursos mnemotcnicos. En conse-cuencia, el lgebra primitiva no contaba con mecanismos para expresar clculos gene-rales. Puesto que su sistema de smbolos slo contena constantes, no poda expresarms que clculos particulares. La generalidad se formulaba por medio de casos parti-culares que servan como ejemplos o paradigmas. A este uso de los smbolos se lellama sincopado, pues no forma un lenguaje simblico propiamente dicho. No fue sinohasta el trabajo de Franois Vite y su posterior refinacin por parte de Descartes,20que aparecieron en matemticas las variables dichas de forma propia y, con ellas, ellgebra moderna. La introduccin de variables en el lenguaje algebraico permiti dosavances importantes dentro de la historia de la matemtica: la posibilidad de expresarformas generales21 especies, en la terminologa de Vite y, an ms importante, laposibilidad de calcular con ellas. A este respecto, Morris Kline ha escrito:

Vite era completamente consciente de que cuando estudiaba la ecuacin cuadrtica generalax2 + bx + c = 0 (en nuestra notacin), estaba estudiando toda una clase de expresiones. Aldistinguir entre logstica numerosa y logstica speciosa en su Isagoge, Vite distingui tambin entrelgebra y aritmtica. lgebra, la logstica speciosa, dijo, era un mtodo de clculo con especies o formasde cosas. Aritmtica, la numerosa, trataba con nmeros. As, en un solo paso, el lgebra seconvirti en un estudio de tipos generales de formas y ecuaciones, dado que lo que se cumplepara el caso general cubre un infinito de casos especiales. (Kline, 1972: 261-262)22

La diferencia central entre el lgebra moderna y la antigua es que, mediante el usode variables, por fin se pudo abstraer la forma de diferentes clculos particulares yexpresarla en una frmula general. A diferencia de las frmulas con letras del lgebra

20 Tambin importantes fueron las aportaciones de Harriot, Girard, Oughtred y Hudde. Cfr., Kline, 1972: 259-263.21 En la matemtica moderna, cuando se habla de generalidad, sta no debe entenderse en el mismo sentido

inductivo que tiene esta expresin fuera de las matemticas. En su lugar, una expresin matemtica generaldebe entenderse como una expresin formal (en el sentido inaugurado por el lgebra moderna), es decir,como un esquema de expresiones o clculos de la misma forma. As pues, podemos decir que enmatemticas no se generaliza, sino se formaliza.

22 nfasis y traduccin mos. Para Kline, la introduccin de las variables por parte de Vite fue el cambio mssignificativo en el carcter del lgebra en los siglos XVI y XVII (Kline 1972: 261).

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antigua, que expresaban clculos particulares de manera abreviada, las frmulas convariables del lgebra moderna permitan por primera vez expresar formas generales declculo. Este nuevo lenguaje simblico permiti a los matemticos manipular formasgenerales de una manera que era casi imposible dentro del lenguaje anterior. Les abrilas puertas a un nuevo tipo de clculo, ms abstracto y general que el de la aritmticao la geometra. Es solo hasta entonces que debe hablarse de un lenguaje formal propia-mente dicho. En este sentido, un lenguaje formal no es slo aquel que usa smbolos,sino uno que los utiliza para calcular. As entonces, si bien es cierto que la introduccinde las variables trajo consigo la posibilidad de expresar cierta generalidad o forma enmatemticas, el mayor logro conseguido con ellas fue la posibilidad de crear un nuevotipo de clculos. Como ya he sealado,23 el lgebra moderna inaugura la posibilidad decalcular con formas.24 Es por ello que representa una revolucin significativa en el desa-rrollo de las matemticas, en particular, y del conocimiento cientfico en general.

III. EL ANLISIS GEOMTRICO COMO ANLISIS FORMAL: UN EJEMPLO

A diferencia de la comunidad filosfica, gran parte de la comunidad matemticareconoci pronto el valor del nuevo mtodo de Descartes. La resolucin del afama-do problema de las tres o cuatro lneas25 demostr, en la mente de muchos matemticosmodernos, la efectividad del anlisis cartesiano. Vale la pena, por tanto, detenerse unpoco ms en esta solucin para ver con claridad el importantsimo papel que juegael modo transformativo del anlisis en la solucin de este problema y entender as elcambio radical que representa la formalizacin en el desarrollo del anlisis geomtrico.

El problema se plantea de la siguiente manera.26 Sean AB, AD, EF y GH lneasrectas dadas como en la siguiente figura:

23 Cfr., Barcel, 2003.24 Vale la pena mencionar que la palabra forma no fue utilizada con este sentido y en asociacin al mtodo

analtico al que aqu aludo de manera regular hasta el influyente trabajo de George Peacock, quien en 1830propuso como carcter definitorio del lgebra simblica su principio de permanencia de las formas equivalentes:Whatever form is algebraically equivalent to another, when expressed in general symbols, must be true,whatever these symbols denote (Peacock, 1830: 104). A Peacock le debemos, pues, la convergencia entrelo analtico, lo algebraico y lo formal.

25 Segn Pappus, este problema haba sido discutido, pero no resuelto, por Euclides y Apolonio.26 Tomo la reconstruccin del problema de Van der Waerden, 1985: 74-75.

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Se buscan los puntos C tales que los segmentos de lnea CB, CD, CF y CH dibuja-dos a partir de C hacia las cuatro lneas dadas satisfaga la condicin de que el productode CB por CD est en una proporcin dada al producto de CF y CH. Tambin sequiere saber si tales puntos caen dentro de una seccin cnica, es decir, si forman uncrculo, parbola, hiprbola, elipse o similar.

En su anlisis del problema, Descartes empieza asumiendo que la condicin essatisfecha, es decir, que un punto C existe. Hasta aqu, el mtodo sigue de cerca elmodo regresivo presente en la definicin de Pappus, segn la cual el primer paso delanlisis es asumir aquello que se busca. Sin embargo, la manera en que Descartesrepresenta esta suposicin es la que distingue a su mtodo del anlisis regresivo clsico.Mientras que en el anlisis clsico, el punto C se representa por un punto en unaconfiguracin geomtrica (similar a la figura con la que he ilustrado este problema),Descartes representa a C por un par de coordenadas algebraicas. Puesto que C se encuen-tra de forma unvoca determinado por la longitud de los segmentos AB y BC, dadoel ngulo ABC, basta asignarle a tales distancias dos incgnitas, x y y, para representarde manera algebraica al punto C por el par ordenado (x, y).

Aunque corro el riesgo de sonar reiterativo, quiero volver a acentuar lo revolucio-nario del cambio de representacin que Descartes lleva a cabo aqu. Al representar sussupuestos dentro de una configuracin geomtrica, el anlisis configuracional clsicoslo poda trabajar, a lo ms, con ejemplares particulares de aquello que quera de-mostrar de manera general (lo mismo que suceda en el lgebra preformal). Esto traaconsigo el riesgo de basar alguna inferencia posterior en las particularidades de dichoejemplar, en lugar de las especificaciones generales del problema. La introduccin delas variables algebraicas resolvi tal problema. El uso de variables permiti a Descar-tes representar sus hiptesis de manera formal, es decir, algebraica y universal. En

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sentido estricto, el par de coordenadas cartesianas no representa a ningn punto enparticular, sino la forma general de un punto. En este caso, por ejemplo, la introduc-cin de variables algebraicas le permite a Descartes representar de un golpe todos lospuntos C que resuelven el problema, de tal manera que el anlisis adquiera el carcterformal y general necesario.

El siguiente paso es mostrar que todos los segmentos CB, CD, CF y CH sonfunciones lineales de x y y.27 De ah que la condicin original de proporcionalidad entreCBCD y CFCH pueda expresarse en una ecuacin cuadrtica de dos variables. Lospares de coordenadas (x, y) que resuelven la ecuacin representan los puntos C busca-dos.

La representacin del conjunto de los puntos C en forma de una ecuacin cuadrticano slo representa al concepto geomtrico original en forma algebraica, sino tambinformal, ya que gracias a ella, podemos saber el tipo de seccin cnica que dibujan talespuntos atendiendo slo a la forma de la ecuacin. Efectivamente, en palabras deWalter W. Rouse Ball (1960), Descartes descubri que:

[...] para investigar las propiedades de una curva, era suficiente seleccionar como definicincualquier propiedad geomtrica caracterstica y expresarla por medio de una ecuacin entrelas coordenadas [actuales] de cualquier punto de la curva, esto es, traducir la definicin allenguaje de la geometra analtica. (Rouse, 1960. Traduccin ma)

Espero que este ejemplo ilustre de manera clara cmo el aparato formal algebraico, entanto mecanismo de representacin, permite a Descartes renovar el mtodo de anlisisgeomtrico. Espero tambin quede claro, exactamente, qu papel juega la formalizacindentro del anlisis cartesiano. Slo as podremos ver si la formalizacin juega un papelanlogo en el anlisis semntico de los primeros filsofos analticos o no.

IV. LA TRADICIN ANALTICA EN MATEMTICAS

Por desventura, la importancia de esta nueva herramienta no fue reconocida de mane-ra universal por todos los matemticos europeos de su tiempo. Por el contrario, en los

27 Descartes logra esto por medio del clculo algebraico de las relaciones aritmticas entre AB, BC y lossegmentos antes mencionados. Es importante notar que este clculo no es slo geomtrico ni aritmtico,sino algebraico, ya que los segmentos estn representados en funcin de las coordenadas x y y.

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siguientes 200 aos, la matemtica occidental vivi una intensa lucha entre dos manerasde entender su quehacer propio: como el paradigma formal del anlisis algebraico (porello conocido como analtico), o como el paradigma constructivo de la geometra (cono-cido como sinttico). La extensin de este conflicto es tan obvia y tajante que es imposibleentender la historia de las matemticas de estos siglos sin dar a dicha controversia unlugar central. Por lo mismo, es fcil seguir el desarrollo de los ideales formales en lasmatemticas de Francia a Inglaterra, y ah, en el siglo XIX, con la gua de la Analytic Society,a la lgica, mediante el trabajo de Augustus De Morgan y George Boole.28

Es tentador pensar que el carcter formal que introdujeron estos primeros lgicosformales est relacionado con la vieja oposicin filosfica entre forma y materia. Sinembargo, esto no es as.29 Por el contrario, es claro que, al realizar su formalizacin dela lgica, algebristas como De Morgan no crean estar aislando una cierta formalgica, ausente de toda materia, sino estableciendo patrones de invariancia entre fr-mulas lgicas. Esto resulta an ms claro si se analiza la polmica entre De Morgan yHenry Longueville Mansel a mediados del siglo XIX.30 En su comentario a De Morgan(1847), Mansel (1851) lo acus de no manejar bien la distincin entre forma y materia.No obstante, es claro que ambos pensadores utilizaban la nocin de forma de maneradiferente: Mansel dentro de la tradicin lgico-aristotlica y De Morgan dentro de laanaltico-algebraica. En una primera reaccin a la crtica de Mansel, De Morgan tratde conciliar ambas nociones, pero pronto se dio cuenta de la radical diferencia entreellas. En 1847, De Morgan ya consideraba la nocin de forma opuesta a materiacomo una nocin metafsica31 irrelevante para su empresa de anlisis lgico.32

Es importante, pues, distinguir entre la nocin de forma opuesta a materia y la nocinde forma usada en el anlisis. El lenguaje formal de la lgica formal y el anlisis semnticose desarrolla dentro de la tradicin analtico-algebraica.33 En este sentido, el lenguaje

28 Cfr., Grattan-Guiness, 2000: 14-74.29 Para una visin distinta a la ma a este respecto, vase MacFarlane, 2000.30 Cfr., Grattan-Guiness, 2000: 28-29.31 De Morgan, 1847: 27.32 Desafortunadamente, ms de medio siglo despus de la discusin entre Mansel y De Morgan la distincin

entre lo formal y lo material regreso al vocabulario lgico con la distincin entre implicacin material e implicacinformal introducida por Russell. Grattan-Guiness (2000: 318) conjetura que Russell debi de haber sidoinfluenciado por el esfuerzo de De Morgan por conciliar ambas nociones de forma.

33 No es una casualidad que los primeros sistemas de lgica matemtica, como los de Boole y De Morgan,fueran algebraicos. Acerca de los orgenes algebraicos de la lgica moderna, vase Kramer, 1982.

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lgico-simblico nacido a finales del siglo XIX y principios del XX, no es meramentesincopado, sino formal. No slo usa frmulas con variables para expresar la formalgica de enunciados, sino que adems cuenta con un clculo que permite su mani-pulacin.34 Ambas propiedades son esenciales para que pueda servir su cometido den-tro del anlisis.35 La formalizacin y el clculo son los dos pilares en los cuales estconstruido el anlisis semntico. ste es analtico precisamente porque opera en lasdos dimensiones. Ambas distinguen al anlisis de otros cambios de representacin dela era moderna. Por un lado, la representacin simblica involucrada en el anlisissemntico esta inscrita en un clculo formal. Por el otro, sus frmulas expresaranformas generales.

V. FORMA, FUNCIN Y SINTAXIS

Finalmente, es necesario explicar cmo esta representacin formal posibilita un nuevotipo de explicacin cientfica en funcin de la relacin entre el todo y las partes. Paraello es necesario explicar tambin, por lo menos de manera somera, la evolucin de lanocin de funcin dentro del anlisis y su relacin con la nocin de forma.

El Diccionario de la Lengua Espaola de la Real Academia Espaola (22 edicin)define a la palabra funcin como la tarea que corresponde realizar a una institucino entidad, o a sus rganos o personas.36 Si bien sta no parece ser la manera en que seentiende la palabra funcin en las matemticas de hoy en da (ni en nuestra semntica ylgica formales, a decir verdad), ste era el sentido en el que la palabra fue introducidaen la disciplina cuando Leibniz la us por primera vez en su Methodus tangentiuminversa, seu de functionibus (1673). Ah Leibniz habla de la funcin de una magnitud como

34 Esta doble dimensin de la lgica como clculo y como lenguaje es por lo menos tan vieja como lacharacteristica universalis de Leibniz (1971), la cual, adems de un lenguaje universal, contena tambin un calculoratiocinator. Ah, Leibniz describe a sta como una tcnica general por medio de la cual todo razonamientopueda reducirse a mero clculo. Este mtodo debe servir, al mismo tiempo, como un tipo de lenguajeuniversal, cuyos smbolos y vocabulario propios puedan dirigir al razonamiento de tal manera que errores,excepto aquellos de hecho, sean como errores de computacin, meramente el resultado de no aplicar lasreglas de manera correcta.

35 Cfr., Barcel, 2003.36 El Shorter Oxford English Dictionary, a su vez, define la palabra inglesa function de manera ms general como The

special kind of activity proper to anything; the mode of action by which it fulfils its purpose.

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su tarea a realizar, y de la funcin de una lnea como el papel que sta juega en ciertafigura. De ah pasa, ms adelante (1692), a hablar de tangente, normal, entre otros, comolas funciones que una lnea puede tener respecto a una curva dada.37 Es Johann Bernoulliquien transforma la nocin leibnizeana en la concepcin ms familiar de funcin comocorrelacin entre cantidades. Su definicin de 1718 dice:

DEFINICIN. Uno llama aqu funcin de una variable a cualquier cantidad compuestade cualquier manera de esta variable y de constantes. (Bernoulli, 1968: 241)

La nocin analtica de funcin surge originalmente como un intento de capturar demanera matemtica el papel que juega un objeto dentro del todo del que formaparte.38 De esta manera, podemos ver a la nocin analtica de funcin como un anlogomatemtico de nuestra nocin cotidiana. Ambas estn ligadas de manera ntima a larelacin entre un todo y sus partes. Slo podemos hablar de la funcin de un objetocomo parte de otro. En este sentido, este tipo de anlisis va ms all del merodescomponer,39 para guiarse por la funcin que juega cada una de las partes dentro deltodo. En otras palabras, el analizar un todo es descomponerlo en funcin de la fun-cin que juega cada una de sus partes vlgase la redundancia.

Finalmente, el anlisis funcional matemtico tambin incorpora un cambio de re-presentacin; su objetivo es conseguir una nueva representacin acerca del objetoanalizado tal que el lugar que ocupe la representacin de las partes en la representacindel todo corresponda al papel que juegan stas dentro de l. De esta manera, la fun-cin que juega cada elemento queda reflejada en la forma de su representacin anal-tica. En otras palabras, la disposicin de las partes dentro de la representacin susintaxis debe reflejar sus diferentes funciones de manera tal que partes con la misma

37 Es interesante notar que en este mismo trabajo, Leibniz usa el trmino relatio para referirse a lo que ms tardellamaremos una funcin, es decir, una correlacin regular entre magnitudes. Cfr., Gonzalo Cabilln Functionen Miller, 2002.

38 Sin embargo, esta manera de ver la funcin matemtica fue fuertemente criticada desde mediados del sigloXIX, y para mediados del siglo pasado ya haba sido abandonada, gracias a los esfuerzos de Dirichlet,Riemann y Hausdorff, entre otros. Nuestra visin moderna de funcin matemtica, pese a mantener anlazos de parentesco con esta vieja visin, ya no le corresponde. En el resto del artculo usare la nocin defuncin en este primer sentido primitivo. Para un anlisis histrico del concepto de funcin en matemticas,cfr., Kramer, 1982 y Kleiner, 1989.

39 Analizar en el sentido platnico-aristotlico.

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funcin ocupen el mismo lugar y que la funcin de una parte pueda verse de formadirecta en la sintaxis de su representacin.

Gracias a este cambio de representacin, la nocin matemtica de funcin se con-virti en una nocin formal. Es por ello que dentro de una representacin formal oanaltica dentro de una frmula, por ejemplo, la funcin de un objeto puedeobtenerse de manera directa por un sencillo mtodo de descomposicin. No es desorprender, pues, que por lo menos durante el siglo XIX, y bien entrado el siglo pasa-do40 precisamente en los aos en los que pensadores como De Morgan, Boole yFrege empezaban a introducir a la filosofa nociones provenientes del lgebra y delanlisis como funcin y forma, el mtodo para identificar funciones est basado en laidentificacin de elementos (variables e invariables) en la representacin formal deobjetos matemticos. De ah que las funciones (y sus argumentos) sean vistas comopartes de un todo estructurado (el valor del argumento). Durante ese largo periodohistrico, la funcin era presentada en matemticas de una de dos maneras: (1)como el elemento invariante en un sistema de transformaciones, o (2) como unelemento insaturado en busca de complecin. En el primer caso, la distincin entrefuncin y argumento se convierte en la distincin entre un elemento variable (el argu-mento), y un elemento que permanece constante durante tal variacin (la funcin). Ladistincin se explica ms o menos de la siguiente manera: tmese una representacinformal compleja; una ecuacin, por ejemplo. Vare uno de sus elementos (no necesa-riamente simple), esto es, sustityase una de sus partes por otra del mismo tipo de talmanera que la nueva representacin est bien formada. La parte que permaneceinalterada en la variacin representa la funcin del elemento representado por la parteque vara (su argumento) dentro del todo analizado (su valor). En el segundo caso,otra vez se empieza con una representacin compleja. Pero, esta vez, se elimina uno desus elementos. La parte que queda representa la funcin del objeto representado porla parte que se elimina. De esta manera, la funcin no es invariante, sino incompleta.Ambos tratamientos son muy similares y basta ver a la sustitucin como el eliminar unelemento y poner otro en su lugar para que se vuelvan equivalentes.41

De esta manera, la nocin de funcin queda determinada completamente porpatrones de sustitutibilidad (dentro de una representacin formal, fruto del anlisis).

40 Cfr., Luzin, 2001: 66.41 En este punto, estoy en desacuerdo con Sandra Lapointe (2002), quien cree que los modos sustitucional y

composicional del anlisis son independientes por completo. Desafortunadamente, en su artculo del 2002,Lapointe no da un argumento en favor de esta tesis (excepto decir que no parece ser as, en la p. 109).

SOBRE LA IDEA MISMA... 23

Diferentes objetos tienen la misma funcin dentro de un todo, si sus representacionesson intersustituibles dentro de la representacin de ese todo. Si al sustituir una por laotra, el objeto representado cambia, se debe decir que su funcin es distinta. De estamanera, al poner a prueba la efectividad de un anlisis por medio de los patrones desustitutibilidad codificados en su representacin formal. Se sabe que un objeto noha sido analizado de forma correcta si al sustituir (la representacin de) objetos con lamisma funcin, obtenemos (la representacin de) objetos distintos o si al sustituir (larepresentacin de) objetos con distinta funcin, no alteramos (la representacin de) elobjeto analizado.42

Por ltimo, en este tipo de anlisis, se dice que las diferentes representaciones queresultan de asignar diferentes valores a la misma funcin tienen la misma forma. Enotras palabras, valores distintos de la misma funcin (con diferentes asignaciones deargumentos) tienen la misma forma. As, por ejemplo, uno puede hablar de maneraindistinta de una frmula como la disyuncin de otras dos, o como siendo de laforma AB. En anlisis, pues, las nociones de forma y funcin se encuentran ligadas demanera tan ntima que una se puede obtener fcilmente de la otra.43 En este sentido,la forma nos dice no slo cuales son las partes de un objeto (despus de todo, el anlisisformal no es una mera descomposicin), sino tambin la funcin que juega cada una deestas partes. La sintaxis de la representacin se convierte en forma en el momento en questa captura la funcin de cada parte dentro del objeto representado.

En conclusin, analizar en este sentido formal-transformacional es encontrarla verdadera forma de un objeto, es decir, representarlo de tal manera que la sintaxisde su representacin refleje de manera directa las diferentes funciones que juegan cadauna de sus partes.

42 Asimismo, cuando encontramos problemas de este tipo, nuestra reaccin puede ser una de dos: o buscamosuna nueva forma de representacin que evite el problema o asumimos que objetos que creamos tenan lamisma funcin, tienen distintas. Como presentar ms adelante, la respuesta de Russell a los problemas desubstitutividad semntica es del primer tipo, mientras que las de Frege y Carnap combinan los dos.

43 Entender de manera plena como forma y funcin llegaron a estar tan compenetradas en las matemticasmodernas, requerira mayor atencin a la analitizacin de estas nociones. Recurdese que uno de losmayores logros de la geometra analtica fue el descubrimiento de que objetos geomtricos de la mismaforma en el sentido de la misma figura podan caracterizarse por ecuaciones de la misma forma enel sentido analtico. Vase, por ejemplo, el caso del problema de las tres lneas arriba, donde la formageomtrica de las cnicas puede reconocerse directamente en la forma sintctica de la ecuacin desegundo grado.

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VI. LA TRADICIN ANALTICA EN FILOSOFA

Analizar es reformular, traducir en mejores palabras.(URMSON, 1967: 295)

Si bien el complejo mtodo de anlisis cartesiano inicia casi de inmediato una revolu-cin que transforma por completo el campo de las matemticas, el xito de su pro-puesta metodolgica en filosofa es ms accidentado. En contraste con lo sucedido enlas matemticas,44 la concepcin de anlisis conceptual como descomposicin conti-nu siendo el paradigma filosfico muchos aos despus de Descartes. Esta concep-cin de anlisis aparece de manera clara en el trabajo de John Locke y Leibniz, perono alcanza su cimentacin sino hasta el trabajo de Immanuel Kant, cuya distincinentre juicios analticos y sintticos est basada en una eminente visin del anlisis comodescomposicin.45 De esta manera, la discusin filosfica de los mtodos analtico ysinttico queda desplazada por la discusin alrededor de la dualidad analtico-sinttico.Segn Beaney, la mayora de los pensadores de la filosofa posterior a Kant puedenfcilmente dividirse en dos corrientes: aquellos quienes aceptaron la formulacin kantianade la analiticidad y, con ella, una visin muy debilitada del mtodo analtico; y aquellos,como Frege y Russell, quienes trataron de recuperar la compleja concepcin cartesianadel olvido filosfico.46 En el proceso, estos ltimos pensadores fundaron lo que hoyconocemos como la filosofa analtica.

Beaney no exagera al decir que: Lo que Descartes y Fermat hicieron por la geome-tra analtica, Frege y Russell lo hicieron por la filosofa analtica,47 ya que el mtodo deanlisis lgico y conceptual fundado por ellos no slo repercuti en una revolucinen filosofa comparable con la cartesiana en matemtica, sino que tambin volvi areunir los tres sentidos de anlisis en un slo mtodo filosfico: regresin, transforma-cin y descomposicin. Efectivamente, los primeros analticos conceban sus mtodos

44 Con las salvedades sealadas ms adelante, en la seccin Anlisis formal de este mismo texto.45 Cfr., Beaney, 2002 y 2003.46 En el primer campo, Beaney ubica a Hegel y los idealistas y romnticos alemanes, Bradley y los idealistas

britnicos y Bergson, mientras que del otro lado encuentra a pensadores como Bolzano, Frege y Russell,Moore, el primer Wittgenstein y los Positivistas Lgicos, reconociendo que corrientes como lafenomenologa y la hermenutica no pueden fcilmente clasificarse dentro de esta dicotoma (Beaney,2002: 66 y nota 24).

47 Beaney, 2002: 67.

SOBRE LA IDEA MISMA... 25

de anlisis como la bsqueda de ciertos fundamentos, que aparte de ser ms bsicos ygenerales, tambin se encontraban contenidos en aquello que fundamentaban.

Al igual que en el caso de Descartes y su geometra, la verdadera contribucin delos primeros analticos a la filosofa fue la introduccin de un cambio en la represen-tacin de sus problemas. Detrs de la formalizacin de la lgica por parte de Frege yla analitizacin de la filosofa por parte de Russell, descansa la idea de que una vezrepresentados en forma apropiada, los problemas de ambas disciplinas haran evi-dentes sus soluciones y fundamentos. No es de sorprender, entonces, que la transfor-macin involucrada en estas revoluciones metodolgicas, tanto en matemticas comoen filosofa, sea una formalizacin. Es por ello que la analitizacin de la filosofa y lalgica que se da en el principio del siglo pasado debe verse ante todo como unaformalizacin y algebrizacin de cada una de estas ciencias.

Como consecuencia, en la filosofa analtica, analizar un problema consiste en losmismos dos pasos que la visin cartesiana (correspondientes a los sentidos de anlisisque su concepcin sintetiza):1. La formalizacin del problema (anlisis como transformacin)2. La descomposicin o resolucin del problema formalizado (anlisis como

descomposicin), y3. La fundamentacin de la solucin al problema en los componentes ltimos que

arroja el anlisis (en el sentido regresivo).48

48 En unas cuantas lneas, al final de su comentario acerca del mtodo filosfico de Russell, Philip P. Weiner(1944: 274-275) dibuja una lnea continua del anlisis platnico al de Carnap y Ludwig Wittgenstein, pasandopor Plotino, Artistteles, los neo-platnicos, Descartes, Spinoza, Leibniz, Locke, Berkeley, Hume, el propioRussell, Wittgenstein y Carnap, sealando elementos tanto regresivos como descomposicionales en losmtodos de estos tan variados pensadores. Efectivamente, en la seccin Anlisis y sntesis de su manuscritoindito Theory of Knowledge, Russell define de manera explcita al anlisis, en trminos eminentementedescomposicionales, como el descubrimiento de los constituyentes y su manera de combinacin en uncomplejo dado. (Russell, 1984: 119) Adems, es claro que el atomismo lgico de Russell (y Wittgenstein)est ntimamente ligado a los modos descomposicional y regresivo del anlisis (cfr., Tomassini, 1994). Elhecho de que, antes de Russell y Wittgenstein, Moore tambin haya definido al anlisis en estos trminos,ha causado que autores como Alfred J. Ayer (1971) hayan interpretado al mtodo de anlisis filosfico deesta tradicin de manera regresiva y descomposicional antes que transformacional. Cuestiones de primacaentre modos de anlisis no me interesan. Lo nico que espero haber dejado claro en este artculo es que elmtodo de anlisis semntico aplicado por Frege, Russell y Carnap en la definicin y solucin de ciertosproblemas semnticos era formal-transformacional, adems de regresivo y descomposicional.

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VII. FREGE, CARNAP Y RUSSELL

Una vez que he clarificado el sentido de anlisis contenido en nuestra nocin de anlisissemntico puedo, por fin, responder la pregunta original. Si seguimos el diagnsticode Fernndez de Castro (2003), los problemas que definieron la agenda semntica deFrege, Russel, Carnap son problemas que surgen en el seno del anlisis semnticomismo.49 Como acertadamente lo seala, estos problemas semnticos son en esenciaproblemas de sustitutibilidad y funcin semntica. Tal y como lo hemos visto, la sustitutibilidady la asignacin de funciones a las partes de un todo son elementos esenciales quedefinen al anlisis formal. En el caso del anlisis semntico, los objetos de anlisisdeben ser entidades semnticas proposiciones, en este caso y han de ser anali-zadas por su funcin en la determinacin de esa unidad semntica. Los problemasempiezan cuando la forma gramtica del enunciado que expresa la proposicin nosirve como forma semntica, es decir, no representa de manera explcita la funcin de laspartes significativas dentro de la proposicin. Estos problemas surgen cuando ele-mentos significativos con la misma funcin semntica referencia, en este caso nopueden sustituirse dentro de lo que se haba credo que era la forma del enunciado, sinalterar el contenido semntico del enunciado en que se sustituyen. Es por ello que susolucin requiere revelar la verdadera forma semntica que subyace a esta forma gra-matical de tal manera que las verdaderas funciones semnticas de sus partes resultenevidentes. El objetivo es rescatar la sustitutibilidad de partes con la misma funcinsemntica, y el medio para alcanzarlo es el anlisis semntico.

De esta manera, es claro ver cmo los diferentes anlisis semnticos de Frege,Russell y Carnap corresponden a diferentes cambios de representacin. Frege propo-ne cambiar la representacin del lenguaje natural, por una primera representacinformal (sustituir la sintaxis gramtica del lenguaje natural por la sintaxis formal de unlenguaje simblico artificial). Al encontrar los patrones de sustitutibilidad antes men-cionados, Russell reconoce fallas dentro del previo anlisis de Frege y, con su teora delas descripciones, trata de proponer una nueva representacin formal que evite estosproblemas. Igualmente, al distinguir las funciones intensional y extensional de un tr-mino, Carnap apela a patrones de sustitutibilidad. Escribe Fernndez de Castro:

49 Es suficiente con darse cuenta del ttulo mismo del artculo de Fernndez de Castro.

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Denotemos por a:

= si y son constantes individuales, nombres o descripciones definidas

(x)(x=x) si y son predicados

( ) si y son enunciados*

Entonces diremos que y son equivalentes si es verdadero, y que y sonL-equivalentes si es L-verdadero. Como siempre, a partir de una relacin de equiva-lencia es posible definir un objeto por cada uno de los elementos de la particin correspon-diente. As diremos que dos designadores (es decir, constantes individuales, predicados oenunciados) tienen la misma extensin si son equivalentes y la misma intensin si son L-equivalentes. (Fernndez de Castro, 2003: 143)

En otras palabras, la intensin de un designador est determinada por patrones desustitucin en L-contextos, mientras que su extensin est determinada por patronesde sustitucin en otros contextos. As pues, la extensin y la intensin son diferen-tesfunciones posibles del designador dentro de diferentes enunciados.50

Ya haba dicho antes que es posible poner a prueba la efectividad de un anlisis pormedio de los patrones de sustitutibilidad codificados en su representacin. Sabemosque un objeto no ha sido analizado de manera correcta si al sustituir (la representacinde) objetos con la misma funcin, se obtienen (la representacin de) objetos distintos;o si al sustituir (la representacin de) objetos con distinta funcin, no se altera (larepresentacin de) el objeto analizado.51 Ahora bien, cuando encontramos problemasde este tipo, nuestra reaccin puede ser una de dos: o buscamos una nueva forma derepresentacin que evite el problema o asumimos que objetos que creamos tenan lamisma funcin, tienen distintas funciones. Como se puede observar ahora, la respues-ta de Russell a los problemas de sustitutividad semntica es del primer tipo, mientrasque las de Frege y Carnap combinan ambos: por un lado, cambian la manera de

* La fmula, como aqu se presenta, es como debi aparecer en el volmen citado (nota del editor).50 En este sentido, Carnap ilustra de manera ms clara el carcter formal de su anlisis semntico, pues resalta

el papel que juegan las reglas de clculo en la determinacin de la forma semntica de una proposicin.Gracias a ellas, Carnap puede distinguir entre L-verdades y verdades de otro tipo.

51 Ntese que estos patrones de sustitutibilidad son condicin necesaria, pero no suficiente, para un buenanlisis. Cuestiones de explicabilidad y productividad deben ser tambin tomadas en cuenta.

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formalizar los enunciados, y por el otro, introducen nuevas distinciones en las funcio-nes que pueden jugar los designadores: entre sentido y referencia en el caso de Frege, yentre extensin e intensin en el de Carnap. En cada caso se intenta salvaguardar lospatrones de sustitutibilidad determinados por la forma semntica, ya sea cambiandola representacin o incorporando los resultados del anlisis a la teora semntica. Encualquier caso, es claro que lo que tenemos son distintos mtodos de anlisis semntico.

VIII. FORMALIZACIN Y LENGUAJE IDEAL

Antes de terminar quisiera aclarar un par de asuntos acerca del papel de la formalizacindentro del mtodo filosfico de estos autores. Primero que nada, la importancia delmodo transformativo en el mtodo de anlisis de estos filsofos no debe confundirsecon el giro lingstico en filosofa, por lo menos no en el sentido que ha hecho famosoMichael Dummett (1993). Como Ray Monk (1996) ha dejado claro, Russell nunca dioal lenguaje el papel fundamental que supuestamente define a este giro lingstico. Es porigual dudoso que, como ha sostenido el mismo Dummett,52 el pleno de la filosofade Frege se funde en su filosofa del lenguaje. De cualquier manera, y como trat deenfatizar a lo largo de este artculo, el inters por la formalizacin por parte de estosfilsofos surge de su afn por encontrar un medio de representacin adecuado parahacer anlisis. Sin embargo, la formalizacin no es fin ni objeto del anlisis. As debeentenderse la putativa bsqueda de un lenguaje perfecto atribuida a estos autores. De lamisma manera como la formalizacin cartesiana no pretenda sustituir al lenguajegeomtrico, as tampoco los sistemas formales de Frege, Russell y Carnap pretendansustituir al lenguaje natural en su uso cotidiano. Simplemente queran hacerse de unaherramienta que les facilitase el anlisis filosfico.53

Por otro lado, de ninguna manera quiero sugerir que, para estos filsofos, laformalizacin era el nico modo apropiado de resolver problemas filosficos. Esclaro que el complejo pensamiento filosfico de estos tres pensadores seminales no sereduce ni siquiera en el rea restringida de la teora del significado a sus contribu-ciones formales. Es claro que el anlisis filosfico llevado a cabo por estos tres filso-fos mantiene elementos tanto regresivos como descomposicionales. Por otro lado,tampoco he dicho que su mtodo filosfico pueda reducirse al anlisis, formal o de

52 Cfr., Dummett, 1993.53 Cfr., Frege (1879), Russell (1959, 1985), Carnap (1934, 1951).

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otro tipo. En este respecto, quiero hacer mas las palabras de George Edward Moorequien, en respuesta a Josh Wisdom, exclam:

No es cierto que yo haya dicho, pensado o implicado que el anlisis sea el nico quehacerapropiado para la filosofa! [...] Pude haber implicado que es uno de los quehaceres propiosde la filosofa. Pero ciertamente no puedo haber implicado ms que eso. (Citado por Ayer,1971: 179-180)

Desde el principio he centrado mi atencin en los tres acertijos semnticos a los queapela Russell en la cita de Fernndez de Castro con la que abro mi artculo y las tresrespuestas que les dieron Frege, Russell y Carnap. Creo haber demostrado, por unlado, que el problema que subyace a los tres acertijos cmo es posible que elemen-tos lingsticos del mismo tipo gramatical difieran en su funcin semntica es unproblema especialmente adecuado para ser resuelto mediante la formalizacin. Porotro lado, creo tambin haber mostrado cmo tal problema y sus tres solucionespertenecen a la tradicin metodolgica analtica inaugurada por Descartes. Por su-puesto que pienso que mis conclusiones pueden extenderse ms all de estos tresproblemas y autores, pues considero que la formalizacin juega un papel ms impor-tante dentro del pensamiento de Frege, Russell y Carnap que el que aqu he expuesto.Me parece claro que, adems de las distinciones semnticas aqu tratadas, otras distin-ciones filosficas importantes surgen de problemas de sustitucin similares a los aquconsiderados y que otros filsofos han mostrado rasgos metodolgicos que losemparentan con esta tradicin analtica. Por ahora, no me queda ms que dejar estascuestiones abiertas y su respuesta para otra ocasin.54

54 Quiero agradecer, en primer lugar, a Max Fernndez y Michael Beaney por haber inspirado este trabajo y aSignos Filosficos y Slvio Pinto en especial, por haberme invitado a escribir al respecto. Tambin deboagradecer a Marco Panza sus valiossimos comentarios y entusiasmo por el presente proyecto. Igualmente,gracias a los rbitros annimos por sus recomendaciones y muestras de aquello que los angloparlantesllaman encouragement. Finalmente, agradezco a Martha Laura Trevio las revisiones de estilo y ortografa quetanto necesitaba mi manuscrito original. Diferentes versiones de este trabajo fueron presentados en el XXSimposio del Instituto de Investigaciones Filosficas de la UNAM y el Seminario sobre Razonamiento yHeurstica del mismo Instituto. La investigacin en la que est basado este artculo fue llevada a cabo conel apoyo del proyecto de instalacin DGAPA/UNAM Problemas Filosficos de la Forma Lgica.

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