Sergio Yansen Núñez

1. Calcule el área de la región encerrada por uno de los cuatro pétalos de la rosa

r = cos2θ.

Solución:

Los límites de integración se obtienen de las soluciones de la ecuación:

cos2θ = 0 ⇒ θ =π

4 , en el primer cuadrante.

A = ∫−

π

4

π

4 12 r

2dθ =12 ∫− π

4

π

4 r2dθ =12 ∫− π

4

π

4 cos22θdθ

Por simetría:

A =12 ⋅ 2 ∫

0

π

4 cos22θdθ = ∫0

π

4 cos22θdθ = ∫0

π

4 1 + cos4θ2 dθ

A =12 ∫0

π

4 1 + cos4θdθ =π

8

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

2. Calcule el área de la región encerrada dentro de la circunferencia r = 3sinθ

y fuera de la cardioide r = 1 + sinθ.

Solución:

Puntos de intersección:

3 sinθ = 1 + sinθ ⇒ sinθ =12

⇒ θ =π

6 , θ = π −π

6 =5π6 (en cuadrantes I y II).

A =12 ∫ π

6

5π6 3sinθ2dθ − 12 ∫ π

6

5π6 1 + sinθ2dθ

Por simetría, se tiene:

A =12 ⋅ 2 ∫

π

6

π

2 9 sin2θdθ − 12 ⋅ 2 ∫π

6

π

2 1 + sinθ2dθ

A = ∫π

6

π

2 9 sin2θdθ − ∫π

6

π

2 1 + sinθ2dθ

A = ∫π

6

π

2 9 sin2θ − 1 + sinθ2 dθ

A = ∫π

6

π

2 8 sin2θ − 1 − 2sinθ dθ

Usando la identidad: sin2θ =1 − cos2θ

2 se tiene:

A = ∫π

6

π

2 8 ⋅ 1 − cos2θ2 − 1 − 2sinθ dθ

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

A = ∫π

6

π

2 4 − 4cos2θ − 1 − 2sinθdθ

A = ∫π

6

π

2 3 − 4cos2θ − 2sinθdθ = π

Área en coordenadas polares

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3. Calcule el área de la región encerrada por la lemniscata: r2 = 9cos2θ.

Solución:

Por simetría, se calculará 4 veces el área de la porción en el primer cuadrante.

cos2θ = 0 ⇒ θ =π

4 , en el primer cuadrante.

A = 4 ⋅ ∫0

π

4 12 r

2dθ = 2 ∫0

π

4 r2dθ = 2 ∫0

π

4 9 cos2θdθ

A = 18 ∫0

π

4 cos2θdθ = 9

Área en coordenadas polares

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4. Calcule el área de la región que es interior a la cardioide r = 31 + cosθ

y exterior a la circunferencia r = 3.

Solución:

Puntos de intersección:

31 + cosθ = 3 ⇒ cosθ = 0

⇒ θ =π

2 ∨ θ =3π2 (menores que 2π)

Por simetría, se calculará dos veces el área de la porción del primer cuadrante

A = 2 ⋅ ∫0

π

2 12 31 + cosθ

2dθ − ∫0

π

2 12 ⋅ 32dθ

A = ∫0

π

2 91 + cosθ2dθ − ∫0

π

2 9dθ

A = ∫0

π

2 91 + cosθ2 − 9 dθ

A = 9 ∫0

π

2 1 + cosθ2 − 1 dθ

A = 9 ∫0

π

2 2cosθ + cos2θdθ

A = 9 ∫0

π

2 2 cosθ + 1 + cos2θ2 dθ

A =92 ∫0

π

2 4cosθ + 1 + cos2θdθ = 18 + 9π4

Área en coordenadas polares

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5. Calcule el área de la región interior a r = 2 + cosθ.

Solución:

Por simetría:

A = 2 ⋅ ∫0

π 12 r

2dθ = ∫0

π

2 + cosθ2dθ

A = ∫0

π

4 + 4cosθ + cos2θdθ

A = ∫0

π 4 + 4cosθ + 1 + cos2θ2 dθ

A =12 ∫0

π

8 + 8cosθ + 1 + cos2θdθ

A =12 ∫0

π

9 + 8cosθ + cos2θdθ =9π2

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

6. Calcule el área de la región encerrada por r = 4sin2θ.

Solución:

Por simetría, el área será 4 veces el área del pétalo del primer cuadrante

sin2θ = 0 ⇒ θ = 0 ∨ θ =π

2 (considerando el pétalo del primer cuadrante)

A = 4 ⋅ ∫0

π

2 12 r

2dθ = 2 ∫0

π

2 r2dθ = 2 ∫0

π

2 4sin2θ2dθ

A = 32 ∫0

π

2 sin22θdθ = 32 ∫0

π

2 1 − cos4θ2 dθ

A = 16 ∫0

π

2 1 − cos4θdθ = 8π

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

7. Calcule el área de la región exterior a la cardioide r = 1 + cosθ

e interior a la circunferencia r = 3 sinθ.

Solución:

Puntos de intersección:

1 + cosθ = 3 sinθ

1 + cosθ2 = 3sin2θ

1 + 2cosθ + cos2θ = 31 − cos2θ

1 + 2cosθ + cos2θ − 31 − cos2θ = 0

−2 + 2cosθ + 4cos2θ = 0

2cos2θ + cosθ − 1 = 0

cosθ + 12cosθ − 1 = 0

cosθ + 1 = 0 ∨ 2cosθ − 1 = 0

θ =π

3 ∨ θ = π , (valores menores que 2π)

A =12 ∫ π

3

π 3 sinθ 2dθ − 12 ∫ π

3

π

1 + cosθ2dθ

A =12 ∫ π

3

π 3sin2θ − 1 + cosθ2 dθ

A =12 ∫ π

3

π 3sin2θ − cos2θ − 2cosθ − 1 dθ

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

A =12 ∫ π

3

π

31 − cos2θ − cos2θ − 2cosθ − 1dθ

A =12 ∫ π

3

π

2 − 4cos2θ − 2cosθdθ

A =12 ∫ π

3

π 2 − 4 1 + cos2θ2 − 2cosθ dθ

A =12 ∫ π

3

π

−2cos2θ − 2cosθdθ =3 34

Área en coordenadas polares

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8. Calcule el área de la región interior a r = 3cosθ y exterior a r = 1 + cosθ.

Solución:

Por simetría, se calculará 2 veces el área de la región del primer cuadrante

Puntos de intersección:

3cosθ = 1 + cosθ ⇒ cosθ =12

⇒ θ =π

3 (valor en primer cuadrante)

A = 2 ⋅ 12 ∫0

π

3 3cosθ2dθ − 12 ∫0π

3 1 + cosθ2dθ

A = ∫0

π

3 9 cos2θ − 1 + cosθ2 dθ

A = ∫0

π

3 8cos2θ − 1 − 2cosθdθ

A = ∫0

π

3 8 1 + cos2θ2 − 1 − 2cosθ dθ

A = ∫0

π

3 3 + 4cos2θ − 2cosθdθ = π

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

9. Calcule el área de la región interior a r2 = 2cos2θ y exterior a r = 1.

Solución:

Por simetría, se calculará 4 veces el área de la región en el primer cuadrante.

Puntos de intersección:

2cos2θ = 1 ⇒ cos2θ =12 ⇒ θ =

π

6 , valor en primer cuadrante.

A = 4 ⋅ 12 ∫0

π

6 2 cos2θdθ − 12 ∫0π

6 dθ = 2 ∫0

π

6 2cos2θ − 1dθ = 3 −π

3

Área en coordenadas polares

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10. Considere la ecuación polar r = 4sin3θ. Calcule el área de un pétalo.

Solución:

A =12 ∫0

π

3 4sin3θ2dθ =12 ∫0

π

3 16 sin23θdθ

A = 8 ∫0

π

3 sin23θdθ = 8 ∫0

π

3 1 − cos6θ2 dθ

A = 4 ∫0

π

3 1 − cos6θdθ =4π3

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

11. Calcule el área de la región interior a las curvas:

r = sinθ y r = cosθ.

Solución:

Puntos de intersección:

sinθ = cosθ ⇒ θ =π

4 , valor en el primer cuadrante.

Por simetría, el área interior a las curvas es 2 veces el área de la región

coloreada con el amarillo más fuerte.

A = 2 ⋅ 12 ∫0π

4 sin2θdθ = ∫0

π

4 sin2θdθ

A = ∫0

π

4 1 − cos2θ2 dθ =

12 ∫0

π

4 1 − cos2θdθ =π

8 −14

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

12. Calcule el área de la región interior a las curvas:

r = sin2θ y r = cos2θ.

Solución:

Puntos de intersección:

sin2θ = cos2θ ⇒ θ =π

8 , menor valor en el primer cuadrante.

Por simetría, el área interior a las curvas es 8 veces el área de la región

coloreada con el amarillo más fuerte. También corresponde a 16 veces el área

de la región sombreada (ver la siguiente figura).

Área en coordenadas polares

Sergio Yansen Núñez

A = 16 ⋅ 12 ∫0π

8 sin22θdθ = 8 ∫0

π

8 sin22θdθ

A = 8 ∫0

π

8 1 − cos4θ2 dθ = 4 ∫

0

π

8 1 − cos4θdθ =π

2 − 1

Área en coordenadas polares