Ardaneswari D.P.C., STP, MP.

Materi Bahasan

• Pengantar pemrograman linier

• Pemecahan pemrograman linier dengan metode grafis

PENGANTAR • Pemrograman (programming) secara umum berkaitan dengan

penggunaan atau pengalokasian sumberdaya yang langka – tenaga kerja, bahan, mesin dan modal – dalam cara yang “terbaik” sehingga diperoleh biaya yang minimum atau profit yang maksimum.

• Model LP mencoba untuk memaksimalkan atau meminimalkan tujuan / fungsi yang linier, berdasarkan sejumlah kendala

• Model LP terdiri dari :

a. Sejumlah variabel keputusan

b. Fungsi tujuan

c. Susunan kendala

• Persoalan LP (Linear Programming) bertujuan untuk memaksimalkan atau meminimalkan kuantitas (pada umumnya berupa laba atau biaya)

Fungsi tujuan (objective function)

• Sebagai contoh sebuah perusahaan bakery memproduksi aneka macam bakery dengan batasan kuantitas bahan baku, tenaga kerja, dan jam kerja.

Constraint (batasan) atau kendala, yang membatasi

sampai tingkat mana sasaran mampu dicapai.

• Contohnya, perusahaan membuat keputusan untuk menghasilkan tiga produk bakery yang berbeda dengan mengalokasikan sumber daya yang dimiliki.

Ada beberapa tindakan alternatif yang diambil

Syarat yg harus dipenuhi dalam LP

1. Variabel keputusan nilainya tidak negatif (positif atau nol) Disebut Kendala Non – Negativitas (Xj) Dapat berupa =, ≥, ≤

2. Kriteria untuk memilih nilai terbaik dari variabel keputusan dapat dideskripsikan dalam fungsi linier Disebut Fungsi Tujuan

3. Sumber Daya yg terbatas harus disusun dalam persamaan linier atau pertidaksamaan linier

Tahapan formulasi model PL adalah sebagai berikut:

Tahap I Identifikasi variabel yang tidak diketahui (variabel keputusan) dan dinyatakan dalam simbol aljabar (xj)

Tahap II Identifikasi semua pembatas atau kendala dalam permasalahan dan dinyatakan dalam susunan persamaan atau ketidaksaamaan sebagai fungsi linear dari variabel keputusan

Tahap III Identifikasi tujuan atau kriteria terbaik dan dinyatakan sebagai fungsi linear variable keputusan, berbentuk maksimasi atau minimasi.

Contoh 1:

• Ibu Ayu membuat tiga jenis parsel untuk lebaran yang terdiri dari sosis dan keju. Tipe A terdiri dari 3 pak sosis dan 6 pak keju, tipe B terdiri 5 pak sosis dan 4 pak keju, dan tipe C terdiri dari 6 pak sosis dan 5 pak keju. Ibu Ayu menyediakan 2.500 pak sosis dan 3.000 pak keju, dan perusahaan percaya bahwa semua parsel akan terjual sesuai dengan pengalaman lebaran tahun lalu. Keuntungan produk tipe A sebesar Rp20.000,-, Tipe B Rp28.000,- dan Tipe C Rp32.000,-. Formulasikan dalam model PL!

Model PL dari usaha ibu Ayu untuk mendapatkan keuntungan maksimum adalah sebagai berikut:

Maks. Z = 20000 x1 + 28000 x2 + 32000 x3

Dengan memperhatikan kendala:

3 x1 + 5 x2 + 6 x3 2500

6 x1 + 4 x2 + 5 x3 3000

dengan x1 0 ; x2 0; x3 0

Contoh 2:

Model PL dari penyusunan menu dr Betty adalah sebagai berikut:

Min. Z = 420 x1 + 680 x2 + 320 x3 + 170 x4

Dengan memperhatikan kendala:

160 x1 + 210 x2 + 120 x3. + 150 x4. 2.700

110 x1 + 130 x2 + 110 x3. + 120 x4. 300

90 x1 + 190 x2 + 90 x3. + 130 x4. 250

50 x1 + 50 x2 + 75 x3. + 70 x4. 60

dengan x1 0 ; x2 0; x3 0; x4 0

Solusi Grafis

• Metode grafis dikembangkan berdasarkan pada pendekatan dua dimensi Hanya berlaku untuk 2 variabel

• Grafik dibuat atas dasar absis dan ordinat yang menggambarkan kedua variabel keputusan dari permasalahan.

• PL Persamaan atau ketidaksamaan fungsi kendala digambarkan pada kuadran yang dibentuk oleh absis dan ordinat yang dibuat dari variabel keputusan.

• Adanya kendala non-negativitas, maka daerah yang disebut layak harus terdapat pada kuadran I, yaitu daerah dimana nilai absis dan ordinatnya nol atau positif.

Pemecahan masalah LP dengan metode grafis

• Keuntungan

Mudah

• Keterbatasan

Hanya cocok untuk masalah LP dengan dua variabel keputusan

Sensitif terhadap tingkat ketelitian

Langkah Solusi Grafik

• Gambarkan model batasan sebagai persamaan pada grafik

• Gambarkan fungsi tujuan

• Selesaikan persamaan-persamaan secara simultan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi optimal

• Contoh

Maks Z = 8X1 + 5X2 (keuntungan mingguan)

Dengan memperhatikan kendala:

2X1 + 1X2 ≤ 1000 (bahan)

3X1 + 4X2 ≤ 2400 (waktu produksi)

X1 - X2 ≤ 350 (kapasitas produksi)

dengan

Xj ≥ 0, j = 1,2 (kendala non negativitas)