УВОД

Тешко је са сигурношћу тврдити када је и шта је почетак математике. Највероватније је да је то бројање. Оно што са сигурношћу можемо тврдити, на основу археолошких ископавања, је да у Египту и Месопотамији имамо прве писане податке нечега што можемо подвести под математичке списе. У Египту (староегипатска математика) су то листови папируса (Рајндов папирус) а у Месопотамији глинене плочице.

Египћани и Стари Сумери су математику развијали за практичне потребе, највише за премеравање земље после изливања Нила, градњу канала, положај звезда, грађевинарство, итд. Треба напоменути да су Египћани знали за Питагорину теорему, али не у њеном облику c² = a² + b² већ као одређене једнакости. Примера ради ако су имали правоугли троугао са катетама 3 и 4 знали су да је хипотенуза 5, овај троугао се и данас назива египатски троугао.

Потом развој математике преузимају Стари Грци, који математици дају нову димензију односно почиње развој апстрактне математике, тј. математике која нема директну практичну примену. Они су први засновали аксиоматски приступ математици. Грци се највише баве геометријом, али и алгебром. За Грке је математика основа свега, па је тако на улазу у Академију стајао натпис: „Нека не улази онај који не зна геометрију“. Еуклидови „Елементи“ је књига која је представљала најбољи уџбеник из области геометрије све до краја 19. века и Хилберта. Геометрија је после Хеленистичког периода таворила све до Лобачевског.

Исто тако постојала је математика и у Кини и Индији. Бројеви којима данас пишемо су дошли до Европе из Индије захваљујући Арапима. У средњем веку долази до престанка бављења математиком у хришћанском свету, па тако Јустинијан I забрањује рад Академији. Истовремено долази до процвата арапске математике. Почетком ренесансе и математика оживљава у Европи.

Математика (грчки: μαθηματική што у преводу значи учење тј. учењу припадајуће; од старогрчког глагола μανθάνω – manthánō – што у преводу значи учим) је формална и егзактна наука која је настала изучавањем фигура и рачунањем с бројевима.

Не постоји општеприхваћена дефиниција математике. У данашње време би математика могла да се опише као наука која проучава структуре које сама ствара или које потичу из других наука (најчешће физике, али и из других природних и друштвених наука) и описује особине тих структура.

1

ИСТОРИЈСКИ РАЗВОЈ

Историјски, математика се развила из потребе да се обављају прорачуни у трговини, врше мерења земљишта и предвиђају астрономски догађаји, и ове три примене се могу довести у везу са грубом поделом математике у изучавање структуре, простора и измена.

Изучавање структуре почиње са бројевима, у почетку са природним бројевима и целим бројевима. Основна правила за аритметичке операције су дефинисана у основној алгебри а додатна својства целих бројева се изучавају у теорији бројева. Изучавање метода за решавање једначина је довело до развоја апстрактне алгебре која између осталог изучава прстенове и поља, структуре које генерализују особине које поседују бројеви. Важан физички концепт вектора изучава се у линеарној алгебри.

Изучавање простора је почело са геометријом, прво Еуклидовом геометријом и тригонометријом у појмљивом тродимензионалном простору, али се касније проширила на нееуклидске геометрије које имају централну улогу у општој релативности. Модерна поља геометрије су диференцијална геометрија и алгебарска геометрија. Теорија група изучава концепт симетрије. Топологија изучава структуре у простору и њихове измене при непрекидним пресликавањима.

Разумевање и описивање измена мерљивих варијабли је главна значајка природних наука, и диференцијални рачун је развијен у те сврхе. Централни концепт којим се описује промена варијабле је функција. Многи природни проблеми су водили успостављању везе између вредности и количине измене, и методи развијени при томе, се изучавају у диференцијалним једначинама. Бројеви који представљају континуалне величине су реални бројеви, и детаљно изучавање њихових својстава и функција је предмет анализе. Због математских разлога, уведен је концепт комплексних бројева који се изучавају у комплексној анализи. Функционална анализа је сконцетрисана на н-димензионалне просторе функција постављајући тиме основу за изучавање квантне механике.

Ради појашњавања и изучавања основа математике, развијене су области теорија скупова, математичка логика и теорија модела.

Важна област примењене математике је вероватноћа и статистика која се бави изучавањем и предвиђањем случајности и случајних појава. Нумеричка анализа изучава нумеричке методе израчунавања а дискретна математика је заједничко име за области математике које се користе у рачунарским наукама.

2

Све до краја 16. века главне гране математике биле су геометрија, и аритметика. У 16. веку почела се развијати алгебра, а у 17. веку стварање диференцијалног и интегралног рачуна означава почетак бурног развоја анализе, нарочито у 18. веку. Теорије диференцијалних једначина постају моћно средство у испитивању закона природе (у механици и небеској механици).

Појавом нееуклидске геометрије, математичке логике и теорије скупова у 19. веку започиње критичка ревизија до тада изграђених математичких теорија, што је битно утицало на карактер, методе и путеве развоја математике 20. века. Шире се и обогаћују постојеће области и развијају нове (теорија вероватноће, статистика, топологија, апстрактна алгебра...).

АРАПСКА (ИСЛАМСКА)МАТЕМАТИКА

Арапска математика или, исламска математика, је израз који се користи за математику која се развила, односно била карактеристична за исламски свијет у средњем вијеку или тзв. Златном добу ислама. Традиционално се под тиме подразумевају сви математички радови и достигнућа у периоду од 622. до 1600. на подручјима која су била под влашћу Калифата или разних муслиманских држава, односно чији су аутори користили арапски језик. Иако многа математичка дела из тог периода нису довољно позната, арапским и исламским учењацима се приписују бројна значајна достигнућа, пре свега везана уз увођење децималног система, односно арапских бројева, који је омогућио коришћење разломака, проналазак алгебре те почетак проучавања односа алгебре и геометрије. Исламски математичари су имали и важну улогу у чувању и поновном откривању дотле заборављених достигнућа грчке, односно довођењу на Запад достигнућа индијске математике.

У својој историји математике, Виктор Кац каже: Комплетна историја математике средњовековног ислама још увек не може да се пише, јер многи од ових арапских рукописа лежи непроучен ... Ипак, општи преглед ... је познат. Конкретно, исламски математичари потпуности развијен децимални место-вредност систем бројева да се укључе децималне разломке, систематизовани проучавање алгебре и почео да разматра однос између алгебре и геометрије, учили и учинио напредак на главним грчким геометријских расправама Еуклид, Архимед, и Аполоније, и направио значајан напредак у области сферне геометрије.

3

Страница из књиге Збирка завршених прорачуна и поређење Мухамед ел Хорезми

Алгебра

Најважнији допринос арапских математичара је развој алгебре. Обједињујући Индијски и Вавилонски материјал са Грчком геометријом за равој алгебре. У алгебри математичари замене симболе као што су x, y и z са бројевима да би решили математички проблем

Ирационални бројеви

Грци су открили ирационалне бројеве али нису били задовољни са њима и били су у стању само да направе разлику између величине и броја. Грчко мишљење је било да је величина варирала стално и да се може косристити за ентитете као што су дужина, а бројеви су били дискретни. Дакле ирационални број може се користити геометрисјки и заиста грчка математика је углавном геометријска.

4

Арапски математичари укључујући Абу Камил Схуја ибн Аслам полако уклањају разлику између величине и броја, омогућавајући ирационалним количинама дада се појаве као коефицијент у једначинама и да буде решење алгебарске једначине. Они слободно радили са ирационалним бројевима као објектима али нису блиско испитивали њихову природу.

Индукција

Најранији трагови математичке индукције се могу наћи у Еуклидовом доказу да постоји бесконачно пуно простих бројева, и Баскарином циклидном методу[1] Форма доказа математичком индукцијом се јавља у књизи коју је написао Ал-Караџи око 1000. године, који ју је између осталог користио да докаже биномну теорему и Паскалов троугао.

Главне личности и достигнућа

Омар Хајам (Omar Khayyám).(око 1038/48 у Ирану - 1123/24). био је највећи песник персијске лирике. Бавио се астрономијом и математиком и у своје време био веома цењен у тим областима. У то време Персијом су владали Турци Селџуци тј. династија Газневиде. Многи песници тог доба били су панегирици, тј. живели су лагодно на дворовима славећи у својим песмама владаре, али не и слободоумни Омар Хајам. Нема пуно поуздаих података о песниковом животу. Све што се зна углавном спада у домен мита и анегдота.

Целокупни песнички опус Омара Хајама су рубаије – лирске песме у четири полустиха тј. два стиха која се римују по систему: а а б а. Ова песничка форма потиче из арапске књижевности.

Омар Хајам је обогатио рубаије ширином идеја, смелошћу размишљања и критичким ставом према свету. Честа тематика његових песама је похвала вину, али у мистичком стилу. Превођен је на многе језике, па и српски:

Кажу: биће раја, биће рајских сека,биће тамо вина, биће меда, млека...Зато немој бити без вина и драге,кад на концу конца, то те исто чека.

5

Омар Хајам (Omar Khayyám). је написао трактат о доказивању проблема алгебре,који садрже систематско решење трећег степена једначина, која превазилази алгебру Хорезмија . Омар Хајам је добио решења ових једначина проналажењем пресека тачке две секције конусних. Овај метод је коришћен од стране Грка, али они нису генерализовали метод да покрије све једначине са позитивним коренима.

Решење једначине трећег степена x3 + a2x = b Хајам је конструисао (нацртао) параболу x2 = ay , круг са пречником b/a2,и вертзикалну линију која пресеца тачку

Решење је дато у дужини од хоризонталне линије, сегменту од почетка до раскрснице вертикалне линије и х-осе

Схараф ал-Дин ал-Туси (Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī)(рођен у гарду Туш Иран 1213/4?). - развио нов приступ истраживању кубних једначина-приступ који подразумева проналажење тачке на којој кубни полином добија своју максималну

6

вредност На пример, да реши једначину: са б позитивна он је

приметио да је максимална тачка криве се налази на , и да једначина нема решење, има једно решење или два решења, у зависности од тога да ли висина криве у том тренутку био мањи од, једнаке или веће од а. Његови псачувани радови не дају назнаке како је открио формулу за максимума ових криви.

Абу Абдулах Мухамед бин Муса ел Хорезми (око 800 — око 850) је био персијски математичар, астроном и географ из IX века. Хорезми, подручје где је он рођен, је данашња Хива, док се Хорезмија, земља на доњем току реке Аму-Дарја (стари Оксус) налази на подручју данашњег Узбекистана.[1]

Ел Хорезми је увео модерну нумеричку нотацију. Мало се зна о Ел Хорезмијевом животу; био је члан багдадске Академије наука и писао о математици, астрономији и географији. Његова књига „Алгебра“ увела је ово име, мада се велики део књиге бави рачунањем. Међутим, он даје општи метод (Ал Хорезмијево решење) за налажење два корена квадратне једначине

где је

Познат је по: Учење о свођењу и о двоструком одузимању

7

У својој књизи „Рачун са Хинду бројкама“ он је описао индијску нотацију (касније због утицаја ове књиге названу „арапским“ нумералима), у којој вредност нумерала зависи од њиховог положаја, и која укључује нулу.

Касније је ова књига преведена на латински, али је овога пута наслов „Algoritmi de numero indorum“ што је лош превод наслова „Ал Хорезми о индијским бројкама“. Убрзо се реч алгоритам (лат. Algorithmus) одомаћила за начин рачуна са овим новим бројкама (сада већ назване арапским, а не индијским).

Хорезми је своје надалеко познате астрономске таблице засновао на Ал Фазаријевом делу и објединио индијски и грчки астрономски систем и у исто време дао свој допринос. Те таблице је после два века ревидирао шпански астроном Масламах Ал Мајрити, који је умро око 1007. године, а њих је на латински превео 1126. године Абелард из Батха. Оне су постале основ за друга дела на Истоку и Западу.

Нотација (која је у Европу стигла у латинском преводу после 1240) од огромне је практичне вредности и њено прихватање је један од великих корака у математици.

Из сачуваних рукописа види се да је десет знакова (1-9 и 0) имало скоро свој садашњи облик средином 14. века.

Његов Китаб ал-хабр вал-мукабала (Hisâb al-Jabr w-al-Myqâbalah) (Књига израчунавања интеграла и једначина) представља компилацију правила за решавање линеараних квадратних једначина и проблема геометрије и сразмера, дато је нешто више од 800 примера, од којих су неке већ раније били употребили Неовавилонци. То је његово главно дело, али је, нажалост, у арапском оригиналу изгубљено. У дванаестом веку превео га је на латински Герард Кремонски. Ово Ал Хорезмијево дело употребљавало се све до шеснаестог века као главни математички уџбеник на европским универзитетима и, захваљујући њему, у Европи је уведена алгебарска наука, а заједно с њом и само њено име.

Превод овог дела у XII веку на латински језик омогућио је везу између великих хиндуистичких и арапских математичара и европских научника. Грешка у наслову донела је реч алгебра; грешка у писању имена аутора дала је термин алгоритам.

Међу каснијим математичарима на које је утицао Ел Хорезми били су Умар ел Кајам, Леонардо Фибоначи из Пизе (после 1240.) и магистер Јакоб из Фиренце, чија италијанска расправа о математици из 1307. год, садржи, као и Леонардова дела, пет типова квадратних једначина, које су се налазиле у делима муслиманских математичара. Ал Кајамова алгебра која означава значајан напредак од Ал

8

Хваризмијеве алгебре, садржи геометријска и алгебарска решења једначина другог степена и једну изврсну поделу једначина.

Табит ибн Кора абу' л'Хасан ибн Марван ал-Саби ал'Харани Ал-Ṣāби Тхāбит ибн Qурра ал-Ḥаррāнī ( Харан (Месопотамија, данашња Турска, 826 - Багдад , 18. фебруар 901 је био арапски математичар и астроном. Табит је на предлог Мохамеда ибн Мусе ибн Шакира дошао да студира у Багдад код Шакировог брата Бани Муса. Био је на челу групе преводилаца који су пореклом били пагански псеудо-Сабејци из Харана. Матерњи му је био сиријски језик, а течно је говорио грчки те истакао преводима античких текстова на арапски, посебно аутора као што су Аполоније, Архимед, Еуклид и Птоломеј.

Табит је прерадио Хунаyнов превод Еуклида и Птоломејевог Алмагеста, а самостално је превео Птолемејеву Географију.

Главни покровитељ му је био абасидски калиф ал-Му'тадиду (892 - 902), који је с временом постао и његов лични пријатељ те га позвао да као гост живи на његовом двору. Од његових самосталних дела је мало сачувано. Објавио је теорију о трепидацији и осцилацији еквинокцијских тачака, о којој се у средњем веку доста расправљало. Табит је такође објавио своја запажања Сунца.У математици је пронашао једначину за пријатељске бројеве (Тебитов број).Његово дело је наставио син Синан, као и унуци Тхабит и Ибрахим ибн Синан, од којих ће потоњи и сам постати велики учењак..

Абū Сахл Ваyјан ибн Рустам ал-Qūхī (ал-Кūхī; Абусахл Бијан-е Кухи) био је персијски математичар, физичар и астроном. Био је родом из Куха (или Qуха), подручја у Табаристану (Амол), а деловао у Багдаду у 10. вијеку. Сматра се једним од највећих муслиманских геометара те му се приписују бројни математички и астрономски текстови из тог доба. ио је вођа астроном који су 988. деловали и опсерваторији коју је у Багдаду подигао буијдски владар Схараф ал-Давла. Познат је као аутор трактата о астролабу.

9

Гравура његовог компаса

СТАРОЕГИПАТСКА (ЕГИПАТСКА) МАТЕМАТИКА

Прва права цивилизација човечанства појавила се на питомим и плодним обалама реке Нила у Египту. Око 3000. године пре нове ере спојила су се два народа речних пољопривредника и настало је Старо царство. Развила се до тада невиђено сложена администрација, под једним владаром, са једном армијом и једним системом такса.

Сматра се да су Египћани и пре периода Старог царства познавали хијероглифско писмо, важан узрок њиховог напретка. Ипак, велике пирамиде код Гизе направили су око 2650. п. н. е. Следећа два доказа величине и сјаја те цивилизација су Рајндов папирус и Московски папирус, писани миленијум након градње чувене Кеопсове пирамиде. Они нису једини, али су најзначајнији откривени и сачувани математички папируси.

10

Рајндов математички папирус је докуменат који се чува у Британском музеју у Лондону. Нашао га је шкотски археолог Хенри Рајнд (Henry Rhind) 1858. године у Луксору у области Тебе у рушевинама мање грађевине поред Рамесеума (Ramesseum), а написао га је Ахмес (Ahmose) током владавине 15. династије фараона Апепи Првога (Hyksos Pharaoh, Apepi I). око 1650. п. н. е. (в. Списак фараона). На папирусу дугом 5,4 метара и широком 32 центиметара он је користио једноставнију, тзв. хиератичку и курзивну форму хијероглифа да би описао близу 85 различитих математичких проблема. Ахмес наводи да преписује рукопис из периода Амен-ем-хет-а трећег (Amenemhet III, 1842 - 1797 п. н. е), што би требало да је 200 година старије, не спомињући име аутора.Ахмесов рукопис носи назив: "Упуте за познавање свих тајни које су садржане у стварима", што нам говори о практичном и тајанственом разумевању математике од стране египатских свештеника.

Разломци

Стари Египћани су у основи користили јединичне разломке, на пример половина, петина и десетина код нас су 1/2, 1/5 и 1/10, а за старе Египћане били би то /2, /5 и /10. Остале разломке добијали су сабирањем. Да би записали четири петине, прво су морали рачунати. Писали би: /2 /5 /10, што значи пола + петина + десетина, што је наших 8/10, односно 4/5. Не-јединичне разломке представљали су са две црте, нпр. 2/3 су //3.

Сабирање

Египћани су користили непозициони декадни бројни систем. Збир је добијан сакупљањем сличних симбола и претварањем сваких 10 таквих у 1 следећи већи.

Староегипатско сабирање

11

Одузимање

Одузимање је у суштини одстрањивање захтеваног броја појединих симбола. Међутим, настајале би компликације када треба одузети више симбола од датих.На пример: 63–38. Од 6 десетки могу се одузети три десетке, али први број има само 3 јединице. Преостаје још 5 јединица за одузимање. Једна од преосталих десетица би тада била уситњена да би дала потребних 5 јединица и остатак од још 5 јединица. Тачан поступак остаје помало нејасан док не размотрите илустрацију на слици.

Староегипатско одузимање

Множење

Стари египћани су познавали удвостручавање резултата и множење са 10. Њихов систем бројева је имао симболе за све степене броја 10 од 0 до 6. На пример, 345 пута 10 = 5 јединица постаја 5 десетица, 4 десетице постају 4 стотине, 3 стотине постају 3 хиљаде, тј. = 3 хиљаде, 4 стотине и 5 десетица (педесет) = 3450. Уопште, два броја су множена прогресивним удвостручавањем.

12

Дељење

Дељење је захтевало употребу множења и често разломака. На пример, на слици. Ток мисли иде на следећи начин:

125 дељено са 5 је исто као када ...5 помножено са ??? даје 125;множите 5 сукцесивно са степенима 2 док не достигнете 125;решење је збир бројева из прве колоне.

Овај метод се заснива на простој чињеници за античке египатске писаре, да је множење инверзно дељењу, тј. a х b = c је еквивалентно са c : b = a.

Староегипатско дељење

Зарубљена пирамида

Египћани су познавали посебан случај Питагорине теореме, правоугли троугао са страницама дужина 3, 4 и 5, тзв. египатски троугао. Користили су конопац са једнако размакнутих 12 чворова за прављење правог угла, без којег је незамисливо грађевинарство. А њихова вештина градње је за нас још увек загонетна. У Московском папирусу се налази прорачун запремине правилне зарубљене четворостране пирамиде, не на начин како смо ми навикли, него описно, али сасвим тачно

13

Геометрија

На једном зиду храма у Едфу остао је сачуван начин израчунавања површине трапезоида и то множењем полузбирова супротних страница. Формула није тачна, али грешка је мања од два посто.Египћани су познавали трансцедентни број: π, однос обима и пречника круга, тј.пи. Њихов начин рачунања користи спорну "квадратуру круга". Квадрат странице a=16, има исту површину као и круг полупречника r=9, што би према данашњим формулама могли написати овако:

одакле следи египатски "π" = (16/9)2, који приближно износи 3,16 а то је грешка мања од један посто!

Међутим, Египћани нас данас највише фасцинирају градњом Велике пирамиде и њеном геометријом, а затим храмовима за још неколико фараона. Савршено оријентисаних према странама света, два милиона камених блокова тешких до 54 тоне, чине Велику пирамиду у Гизи, с таквом прецизношћу да ни влас косе није могуће угурати између њих. Прави углови пирамиде су тачни до испод један посто, а странице дужине 230 метара у дужини се разликују за само 0,2 метра.

Московски папирус

За разлику од Рајндовог папируса, аутор Московског папируса је непознат. Мало старији од Рајндовог, текст датира око 1850. п. н. е, а назива се и папирус Голенишчева, према руском истраживачу који га је открио средином

19. века и продао Музеју финих уметности у Москви (С. Голешњиков је умро 1947.). Као и Риндов, Московски папирус је написан курзивом и садржи решења математичких задатака у облику инструкција, без доказа. Дужине је око пола метра и ширине мало мање од 8 центиметара. Садржи 25 задатака, међу којима су и највећа достигнућа египатске геометрије.

Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Абу Камил Схуја ибн Аслам)(рођен у Египту 850-930) . Египатски математичар у периоду Исламског златног доба. Он је први математичар који је системтски прихватио и користио ирационалне бројеве као резултате и коефицијенте за једначине. Његове математичке технике је касније усвојио Леонардо Фибоначи (1170?-1250).Абу Камил је доста допринео равоју алгебре и геометрије. Он је био први Исламски математичар који је лако радио са алгебарским једначинама већим од до и решио је велики број нелинеарних симултаних једначина са три непознате. Он је све проблеме писао реторички и многим књигама које је написао недостају математичке нотације осим целих.

14

На пример он је користио Арапски израз "māl māl shay" квадрат-квадрат-ствар за ( ).Он је радио на Употреба ирационалних бројева као решења и

коефицијената за једначина, његове Књиге:

Књига о Алгебри (Kitāb fī al-jabr wa al-muqābala)Књига ретких ствари у уметности рачуна (Kitāb al-ṭarā’if fi’l-ḥisāb)О Пентагону и Денкагону (Kitāb al-mukhammas wa’al-mu‘ashshar)Књига о птицама (Kitāb al-ṭair)О мерењу и геометрији (Kitāb al-misāḥa wa al-handasa)

Ibn al-Majdi (Ибн ал Мајди1359–1447) Египатски математичар и астроном. Његово најважније дело је Књига супстанце обиман коментар о делу Ибн ал Бана (Ibn al-Banna) Резиме операција и прорачуна

СТАРОГРЧКА (ГРЧКА) МАТЕМАТИКА

Грчка математика је израз којим се описује математика темељена на грчким текстовима и развијена о 7. века пне. до 4. века н.е. дуж источних обала Медитерана. Грчки математичари су живели у различитим градовима дуж целог Источног Медитерана, од Италије од Северне Африке, али их је уједињавала заједничка култура и језик. Грчка математика у периоду иза Александра Великог се понекад назива хеленистичка математика. Израз "математика" потиче од старогрчке ријечи μάθημα (матхема), што значи "предмет упура". Проучавање математике ради самог проучавања те кориштење уопштених математичких теорија и доказа је главна разлика између грчке математике и математика развијених у претходним цивилизацијама.

15

Илустрација Еуклидовог доказа Питагорине теореме

Корени Грчке математике

Почеци Грчке математике нису документовани. Најранији напредне цивилизације у Грчким земљама и Европио биле су Минојска и касније Микенска цивилизација, оба ове цивилизације су цветале (развијале се)током 2. миленијума пре нове ере. Обе цивилизације су поседовале могућности писања, напредне грађевине укључујући палате са четири спрата, дренажу и гробнице. Они нису иза себе оставили документе из математике. Иако нема директног доказа , опште прихваћено је да су Вавилонска и Египатска цивилизација имале утицај на рану Грчку цивилизацију. Између 800 п.н.е. до 600 п.н.е. Грчки математачири су заостајали за Грчком књижевношћу и веома је мало познато о математици из тог периода.

Класични период

Историчари традиционално стављају почетак грчке математике за Телеса из Милета 624-548 п.н.е.Мало је познато о животу и раду Талеса, веома мало се зна о датуму његовог рођења да се нагађа 585 п.н.е. упркос свему Талес се сматра првим од СЕДАМ МУДРАЦА (Седам Мудрих људи Грчке).Талесова теорема (добила име по Талесу из Милета) тврди да ако су A, B и C тачке на кругу где је AC пречник круга, тада је угао ABC прав угао.

16

Талесова теорема

Талес није био први који је познавао ову чињеницу, јер су је Египћани и Вавилонци познавали емпиријски. У сваком случају они нису знали да докажу ову теорему, нити су познавали појам доказивања нити их је то уопште занимало. Тако је теорема добила име по Талесу који ју је први доказао уопштено она гласи: Талесова теорема је специјални случај следеће теореме: ако се три тачке A, B и C налазе на кругу са центром O, угао AOC је два пута већи од угла ABC.

Користимо следеће претпоставке: збир углова у троуглу је једнак збиру два права угла и два угла једнакокраког троугла су једнака.

17

Нека је O центар круга. Нека су OA = OB = OC, OAB и OBC су једнакокраки троуглови, и по једнакости углова једнакокраког троугла, OBC = OCB и BAO = ABO. Нека γ = BAO и δ = OBC.

Још једна важна особа за развој Грчке математике је био Питагора са Самоса (580-500 п.н.е.).Као и Талес Питагора је путовао у Египат и Вавилон тад је владао Навукодоносор 2. Питагора је основао ред који се звао Питагорејци, који је чувао знање и материјална достигнућа чланова реда.У античко време је било нормално да сва открића тог реда се припишу вођи реда Питагори. Аристотел је је одбио да то учини. Једна од најважнијих карактеристика Питагорејаца је била да је остао при ставу да је стремљењека филозофском и математичком истраживању била морална основа за вођење живота. Заиста, речи "филозофија" (љубав мудрости) и "математика" (оно што је научио) су рекли да су сковали Питагора. Од ове љубави знања дошли су многи успеси. Питагорејци су открили већину материјала у прве две књиге Еуклидови елементи.

Питагорејци су сматрали нумерологију и геометрију као основу разумевања природе и универзума.,тј основу њихових филозофских и релиогијских идеја. Историчари им одају признање за равој Грчке математике нарочито Теорија бројева и Геометрија у један кохерентан логички систем који основу тражи у чистим дефиницијама и доказаним теоремама, Сматрало се да предмет достојан студирања у сопственом праву ,без обзира на практичним апликацијама које су биле главна брига Египћана и Вавилонаца

Хеленски период

Хеленски период почиње у 4 веку са Александровим освајањем источног Медитерана, Египта, Месопотамије, Иранске висоравни, Централне Азије и дела Индије, то је довело до ширења Грчког језика и културе на ове области. Грчка је постала језик за школство у целом Хеленском свету. Грчки математичари су се објединили са Египатским и Вавилонским математичарима и то је довело до великог успона Хеленских математичара. Најважнији центри учења у том периоду су били Александрија и Египат па је дошло до привлачења великог броја уених људи из целог Хеленског света: Грка , Египћана, Јевреја, Персијанаца , Феничана и чак и Индијских.

18

Архимед је успео да користи инфинитезималан или бесконачно мали број на начин који је сличан модерном коришћењу Интеграла.

Грчки математичари и астрономи достигли су велики развој током Хеленизма тај период развоја престављају : Хипарх са Родоса,Аполоније из Перге,Птоломеј и др. До напреткаа кад је направљен први аналогни комјутер: АНТИКИТЕРА МЕХАНИЗАМ.

Антикитера Механизам

Грчка математика заузима велико место у историји математике да ла је основу поштовања геометрије и идеји формалног доказа. Грчки математичари су допринели развоју идеја;теорија броја,математичка анлиза, примењена математика и временом је пришла интегралним прорачунима. Еуклид је 300 п.н.е. је скупио математичко знање његовог доба у књигу Елементи, вишевековна основа за геометрију и елементарну теорију бројева.

Најкарактеристичнији производ грчке математике може бити теорија конусних пресека. углавном развијен током хеленистичког периода.

Еудокс са Книдуса је развијо теорију реалних бројева која је слична модерној теорији Ричарда Дедекинда (1831-1916) који је и признао да је био инспирисан Еудоксом.

19

Један од најстарији сачуваних фрагмената Еуклидових Елемената пронађених у Оксиринхусу (Египат 100 н.е.)

Талес из Милета (рођен 624. п. н. е., умро око 547. п. н. е. или 546. п. н. е.]) био је активан као математичар и као државник, важио је у старом веку за првог јонског свестрано образованог природног филозофа кога су убрајали међу Седам мудраца. Он је први покушао да разноврсност појава сведе на једну једину праматерију - воду. Није сигурно да ли је ово учење изнео у неком спису будући да ниједан аутентичан спис није сачуван. Као математичар познат је по Талесовој теореми. Талесов ученик такође из Милета био је филозоф Анаксимандар, из прве половине VI века п. н. е.

Превазишао је све остале мудраце многостраношћу своје делатности: био је хидротехничар, наутички

20

инжењер, трговац, политичар, астроном, математичар и философ. Ако је и био генијалан практичар, он се једини од седморице мудраца у свом размишљању уздигао изнад сфере обичне користии тако постао не само непосредни оснивач јонске науке и философије него и посредни творац науке и философије уопште.

Oн је написао само две расправе: О солстицију и О еквиноцију - јер је мислио да се остало не може сазнати. Изгледа да је, према неким ауторима, први проучавао астрологију, да је први предсказао Сунчева помрачења и утврдио равнодневице.

Талес је познат по томе што се сматра првим Хеленом који је излагао и доказао теореме, те стога и оцем хеленске математике. Приписује му се следећих 5 теорема

1. Пречник полови круг2. Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки3. Наспрамни углови које формирају две праве које се секу су једнаки4. Угао уписан у полукруг је прав5. Троугао је одређен једном страницом и угловима налеглим на њу

Прва Талесова теорема: Наспрамни углови које формирају две праве које се секу су

једнаки

Талесове изреке „Ако заповедаш, управљај самим собом.“ „Ако је владар једном омражен, онда га његова било добра било лоша дела

терете.“ „Веће је поштовање из даљине.“ „Најбржи је ум, јер кроз све јури.“ Ходајући путем Талес је гледао у небо и пао у јаму. Звао је у помоћ и на то

му је рекла једна старица: „Е, Талесе, ти ниси у стању да видиш шта ти је пред ногама, а хтио би спознати што је на небу.“

Талес је говорио да се смрт не разликује од живота. Кад му је приговорено па зашто онда не умре, рекао је: „Баш зато што нема никакве разлике.“

Како ћемо живети најбоље и најправедније? „Ако не будемо радили оно што другима приговарамо.“

Човеку који га је питао шта је било пре: ноћ или дан, он је одговорио: „Ноћ је за један дан старија“.

21

Шта је тешко?

- Самога себе спознати.А што је лако?- Другоме савет давати.

**Поgаци о Талесу преузети са интернет странице википеgија 8 фебрура 2013.**

Питагора са Самоса (рођен око 570. п. н. е. — око 495. п. н. е. Метапонт) је био антички филозоф и математичар, оснивач питагорејске школе.Најпознатији је по својој теореми о односу хипотенузе (c) и катета (a, b) у правоуглом троглу (c²=a²+b²).

Питагора се сам бавио музиком и математиком, али се чини да није ништа написао. Учење које се везује за Питагору и његову школу развили су тек његови наследници. У Кротону основао је Питагора морално-религиозно братство, коме је био задатак морално васпитање чланова. Као какав калуђерски или витешки ред, оно је имало своја правила и неговало строг начин живота.

Питагора је основао тајно друштво познато као Питагорејско братство које је било посвећено неговању врлине и изучавању математике.

У математици, Питагорина теорема изражава везу која постоји између три странице правоуглог троугла у еуклидској геометрији. Ако су a и b катете, а c хипотенуза правоуглог троугла, важи једнакост

односно, исказано речима:

Површина квадрата конструисаног над хипотенузом правоуглог троугла једнак је збиру површина квадрата конструисаних над катетама тог троугла.

Теорема је добила име према старогрчком математичару Питагори, за кога се, традиционално, сматра да ју је открио и доказао, иако је данас извесно да је била позната много пре Питагоре.Питагорина теорема је једна од основних и најзначајнијих математичких теорема. Препознатљива слика правоуглог троугла са конструисаним квадратима над све три странице, коришћена за визуелни приказ

22

самог тврђења, послужила је као основа за генерисање фрактала који се назива Питагорино дрво.

Графички и визуелни приказ теореме

Питагорина теорема је вековима служила као инспирација за нове математичке доказе, које су проналазили и људи који нису били професионални математичари. У књизи Питагорино тврђење (енгл. The Pythagorean Proposition) Илише Скота Лумиса (енгл. Elisha Scott Loomis), изворно објављеној 1927. године, која је допуњена новим доказима 1940. године, могуће је наћи све познате доказе до њеног објављивања, укупно њих 371. Између осталих ту су наведени Питагорин и Еуклидов доказ, затим најкраћи и најдужи доказ који се приписују Лежандру, Птолемејев, Леонардов, Хајгенсов и Лајбницов доказ као и доказ Џејмса Гарфилда, из времена пре него што је постао председник САД.

23

Визуелни доказ Питагорине теореме за троугао чије су странице Питагорина тројка (3, 4, 5) из једног од најстаријих кинеских математичких текстова, 500–200 пне.

**Поgаци о Питаīори преузети са интернет странице википеgија 8 фебрура 2013

ЛИТЕРАТУРА

[1] Boyer, Carl B. (1968), A History of Mathematics,[2] Hogendijk, Jan P. (January 1999). "Bibliography of Mathematics in Medieval Islamic Civilization[3] O'Konor, Džon; Robertson, Edmund(November 1999) "Arabic mathematics: forgotten brilliance[4] http://sr.wikipedia.org/sr/Историја_ математике[5] http://sr.wikipedia.org/wiki/Математика[6] http://ebookbrowse.com/islamic-mathematics-pdf-d27487938[7] https://www2.bc.edu/christian-zorn/work_and_research/hist_algebra.pdf[8] http://mathforum.org/library/levels/college/?keyid=38538550&start_at=251&num

24

_to_see=50[9] http://sr.wikipedia.org/wiki/Талес_из_Милета[10] http://sr.wikipedia.org/wiki/Питагора

25