Apuntes Procesamiento Digital de Señales

Ana Gil González11 de mayo de 2011

ContenidoObjetivos........................................................................................................................................................................... 4

El procesamiento digital de señales................................................................................................................................. 5

Procesamiento.............................................................................................................................................................. 5

Digital............................................................................................................................................................................ 5

Tipos de señales............................................................................................................................................................... 6

Señales analógicas....................................................................................................................................................... 6

Señales de tiempo discreto........................................................................................................................................... 6

Señales digitales........................................................................................................................................................... 6

Etapas de un sistema de procesamiento digital de señales.............................................................................................7

Ventajas del procesado digital.......................................................................................................................................... 7

Filtrado digital frente a analógico..................................................................................................................................... 8

Inconvenientes:............................................................................................................................................................. 8

Aplicaciones.................................................................................................................................................................. 8

Clasificación de señales de acuerdo a su duración........................................................................................................10

Señales........................................................................................................................................................................... 11

Señales........................................................................................................................................................................... 12

Teorema de Fourier........................................................................................................................................................ 13

Forma compleja de las series de Fourier........................................................................................................................ 14

Teorema de Parseval..................................................................................................................................................... 14

Convolución.................................................................................................................................................................... 15

Muestrear....................................................................................................................................................................... 16

Conversión AD................................................................................................................................................................ 16

Teorema de muestreo................................................................................................................................................ 16

Imágenes........................................................................................................................................................................ 18

Binarización................................................................................................................................................................ 18

Transformada de Fourier................................................................................................................................................ 23

Transformada inversa de Fourier.................................................................................................................................... 23

Propiedades de la transformada de Fourier................................................................................................................23

Transformada de Fourier en tiempo discreto..................................................................................................................24

Transformada inversa de Fourier en tiempo discreto.....................................................................................................24

Propiedades................................................................................................................................................................ 24

Transformada discreta de Fourier................................................................................................................................... 25

Filtro................................................................................................................................................................................ 26

Convolución discreta en imágenes............................................................................................................................. 26

Transformada Z.............................................................................................................................................................. 27

Función de Transferencia de Filtros........................................................................................................................... 28

Filtros Digitales............................................................................................................................................................... 28

Filtro FIR..................................................................................................................................................................... 28

Filtro IIR...................................................................................................................................................................... 28

Transformación bilineal de Tustin................................................................................................................................... 29

Seguimiento.................................................................................................................................................................... 30

Coeficiente de Bhattacharyya..................................................................................................................................... 30

Algoritmo de seguimiento............................................................................................................................................... 31

Objetivos:

El alumno:

• Demostrará habilidades en el campo del procesamiento digital de señales, tanto en la teoría básica como también en el uso de herramientas actuales.

• Analizará los métodos y algoritmos de tratamiento digital de señales, en especial filtros digitales y la transformada discreta de Fourier.

• Valorará al procesamiento digital de señales como una herramienta básica para la formación del ingeniero y su desempeño en el campo laboral.

El procesamiento digital de señales

Estudia los fundamentos matemáticos y algorítmicos que describen como procesar, en un ambiente de cómputo digital, información asociada a señales provenientes del mundo real.

Procesamiento

La realización de operaciones en los datos mediante una secuencia de instrucciones programadas de acuerdo a un algoritmo que modifica dichos datos o extrae información de los mismos.

DigitalSistema electrónico que opera con datos discretos representados en binario.

Tipos de señales

Señales analógicas Señales continuas tanto en la variable dependiente como en la variable independiente. La mayoría de las señales físicas son continuas

Señales de tiempo discreto Señales continuas en la variable dependiente pero discretas en la variable independiente Se originan al muestrear una señal continua.

Señales digitales Señales discretas tanto en la variable dependiente como en la variable independiente. Se originan al muestrear y cuantizar una señal continua.

Etapas de un sistema de procesamiento digital de señales

La mayoría de los fenómenos naturales están asociados a señales analógicas.

Para procesar estas señales en una computadora, se debe:

1. Convertir la señal analógica en señal eléctrica. Por ejemplo, usando un transductor tal como un micrófono que convierte sonido en una señal eléctrica.

2. Digitalizar estas señales usando un convertidor analógico a digital (ADC).3. En formato digital las señales pueden ser manipuladas, codificadas, comprimidas, etc.4. La señal procesada puede convertirse de nuevo a un formato analógico para ser utilizada por un

actuador (por ejemplo, las bocinas). Para lo que se requiere un convertidor digital a analógico (DAC)

Ventajas del procesado digital Flexibilidad

La función de un sistema se puede actualizar o modificar reprogramando el software.

Repetitividad La operación de dos unidades distintas es idéntica. Los sistemas analógicos no tienen este comportamiento debido a la tolerancia de los componentes.

Elevada estabilidad térmicaLa operación de los sistemas no cambia con las condiciones ambientales.

Complejidad Permite realizar operaciones más sofisticadas (reconocimiento de voz, imágenes). Existen algoritmos de corrección de errores, transmisión y almacenamiento de datos, compresión de datos, etc.

Filtrado digital frente a analógico

Un filtro analógico se implementa por medio de amplificadores operacionales y componentes pasivos (resistencias, capacitores.)

Inconvenientes: La respuesta del filtro depende de los componentes pasivos. El filtro no es reproducible con total exactitud debido a la tolerancia de los componentes. La respuesta del filtro puede variar con las condiciones ambientales. Filtros de orden superior necesitan redes más complejas o conectar varios filtros en cascada. Cambiar la respuesta del filtro exige la sustitución de los componentes pasivos. La frecuencia de operación queda limitada por la respuesta del amplificador operacional.

Aplicaciones

Procesamiento de voz

Filtrado de ruido, codificación, reconocimiento de voz, alteración de la frecuencia de muestreo.

Procesamiento de imágenes

Realce, codificación, compresión, reconocimiento.

Sistemas multimedia

Transmisión de sonido, imágenes, video, televisión digital, videoconferencias.

Audio

Grabación, reproducción, ecualización, mezclado, efectos especiales.

Comunicaciones

Codificación / decodificación de señales digitales, cancelación de eco, teléfonos móviles.

Medicina

Análisis de señales biomédicas, diagnóstico y monitoreo de pacientes.

Señal: función de una o varias variables independientes que almacenan información de ina magnitud física.

Señal Analógica: Continuas tanto en la variable independiente como en la variable dependiente.

La mayoría de las señales físicas son continuas

Señales de tiempo discreto: Señales continúas en la variable dependiente pero discretas en la variable independiente. Se originan al muestrear una señal continua.

Señal digital: Señales discretas tanto en la variable dependiente como en la variable independiente. Se originan al muestrear y cuantizar una señal continua.

x (t )={t+1 ,∧−1≤t ≤01 ,∧0< t ≤2

−t+3 ,2<t ≤30enotrocaso

x (t )={2 (t+1 ) ,∧−2≤ t ≤0−2 ( t−1 ) ,∧0< t ≤2−2 , enotro caso

x (−t )=¿

x (2 t )=¿

X(t-2), corrimiento a la derecha

X(t+3), corrimiento a la izquierda

X(-t), reflejo

X(2t), compresión en el tiempo

X(t/2), dilatación en el tiempo

Clasificación de señales de acuerdo a su duración

Causales: Son 0 para t< 0. Se definen sólo para el eje positivo de t.

Anticausales: Son 0 para t> 0. Se definen sólo para el eje negativo de t.

No causales: Se definen para ambos ejes de t.

Continuas: Se definen para todo tiempo t .

Periódicas: x(t)=x( t ± nT), donde T es el periodo y n es un entero. Por lo tanto una señal periódica tiene la propiedad de no variar para un corrimiento del tiempo igual a T.

Simetría Par: x(t) = x(-t), una señal par aes aquella que es igual a la correspondiente señal invertida en el tiempo, es decir es igual a su reflejo con respecto a eje de origen.

Simetría Impar: x(t)= -x(-t). Si se define una señal impar necesariamente esta será igual a cero para el instante t.

Señales

Deterministas: se pueden definir mediante una forma matemática explicita, un conjunto de datos o una regla bien definida.

Es una señal acerca de la cual no existe incertidumbre con respecto a su valor en cualquier instante de tiempo.

Aleatorias: No pueden describirse con un grado de precisión razonable mediante fórmulas matemáticas explicitas. Ejemplos: voz, señales sísmicas.

Las señales sinusoidales son un ejemplo de señales periódicas y se representan matemáticamente como:

x (t )=A sen (ω0 t+ϕ)

Donde:

A= amplitud

ω0= frecuencia angular en rad/s = 2π/T = 2π/f

φ = ángulo de fase inicial

La suma de dos señales periódicas es periódica sólo si el cociente de sus respectivos periódos se puede expresar como un número racional.

T 1T 2

= 1K

En conclusión la suma de dos señales periódicas es periódica sólo si el cociente de sus respectivos períodos se puede expresar como un número racional.

Ejercicio:

Determina si las siguientes señales son periódicas

a) Sen( 2π5t)+Sen ( 4 π

3t)

ω1=2 π5

=2πT 1

T 1=5T 1T 2

= 53 /2

=103

es un número racional ∴ es una señal periódica

T 1T 2

= 1K

=103

T=3 (5 )=10 ( 23 )=15 => Periodo

ω2=4 π3

=2πT 2

T 2=32

b) cos ( t3 )+cos ( π3 t)ω1=1

3=2 πT 1

T 1=6πT 1T 2

=6π6

=π es un número irracional ∴ no es una señal periódica

ω2=π3=2πT 2

T 2=6

c) sent+sen t3+sen t

5

ω1=1=2πT 1

ω2=13=2 πT 2

ω3=15=2πT 2

T 1=2π

T 2=6πT 3=10π

mcm= 30

T=kT 1=¿2=mT 3

T=k (2π )=l (6π )=m (lπ )=30 π

k=15 ; l=5 ;m=3

La señal es periódica con T=30

SeñalesEscalón unitario: u(t)

Rampa: r( t)= t u( t)

Sinc=sinc (t )= sin (πt )πt

Impulso: También llamada función delta o función de Dirac:

Propiedad:

δ (t )={0 , t≠0∞ , t=0

∫−∞

∞

δ (t )dt=1

Teorema de Fourier

Cualquier función periódica de frecuencia f puede considerarse como la superposición de una serie de ondas sinodales de frecuencias f, 2f, 3f, 4f, etc.

Sirve para descomponer una señal periódica en sus armónicos.

Una señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos

Donde

Ejercicio:

Dada una señal cuadrada de período T, determina la serie de Fourier correspondiente

a0=2T∫0

T2

(1 )dt+ 2T∫T2

T

(−1 )dt= 2T [T2 −0+−T +T

2 ]=0

an=2T∫0

T2

(1 ) cos (nω0)dt+∫T2

T

(−1 )cos (nw0)dt

an=0

x (t )=12a0+∑

n=1

∞

(ancos (nωo t )+bnsen (nωo t ))

a0=2T ∫−T /2

T /2x ( t )dtω0=

2 πT,

an=2T ∫−T /2

T /2x ( t )cos (nω0 t )dt , n=0,1,2 , .. .

bn=2T ∫−T /2

T /2x ( t )sen (nω0 t )dt , n=1,2 , .. .

bn=[∫0

T 72

sen (nω0t )dt−∫T

T2

sen (nω0t )dt ]= 2nω0T [−cos (nω0

T2 )+cos (nω0T )]

¿ 2nω0T [−cos (n 2π

TT2 )+cos (0 )+cos (2nπ )−cos (nπ )]= 1

πn⌈−2 cos (nπ )+cos (2nπ )+1⌉

¿ 2nπ

[1−cos (nπ ) ]

Ejercicio en MatLab

Dada una señal triangular de periodo T, determinar la serie de Fourier correspondiente

Ejercicio Serie de Fourier

Forma compleja de las series de Fourier

Expresando el seno y el coseno en términos de exponenciales se obtiene la siguiente expresión:

Considerando que 1/j = -j,

Sean

Entonces

Por lo tanto,

Donde

x (t )=12a0+∑

n=1

∞

(an 12

(e jnω0 t+e− jnω0 t )+bn 1

2 j(e jnω0 t−e

− jnω0 t ))

x (t )=12a0+∑

n=1

∞

( 12 (an− jbn )e

jn ω0 t+ 12

(an+ jbn )e− jnω0 t)

cn¿=1

2 (an+ jbn)cn=12 (an− jbn ) ,c0=

12a0 ,

x (t )=c0+∑n=1

∞

(cne jnω0 t+cn¿ e

− jnω0 t )x (t )=c0+∑

n=1

∞

cn ejnω0 t+ ∑

n=−1

−∞

cnejn ω

0t

x (t )= ∑n=−∞

∞

cn ejnω0 t

cn=1T∫0

Tx (t ) e− jnω0 tdt

Ejercicio en MatLabEjercicio SerieCompleja.m

Teorema de Parseval

El contenido de potencia de una función real y periódica x(t) en el período T está definido como el valor cuadrático medio.

donde cn son los coeficientes complejos de Fourier de la función x(t).

Identidad de Parseval

Por tanto, la energía total es igual a la suma de las energías de todos los armónicos

Ejercicio en MatLab

1T∫−T /2

T /2[ x (t ) ]2dt= ∑

n=−∞

∞|cn|

2

1T∫−T /2

T /2[ x (t ) ]2dt=1

4a0

2+12 ∑n=1

∞

(an2+bn2)=|c0|2+2∑

n=1

∞|cn|

2

Convolución

La Convolución de 2 señales se define como:

y (t )=x ( t )∗h ( t )=∫−∞

∞

x ( τ )h (t−τ )dτ

Donde τ es una variable auxiliar

Para realizar la Convolución:

1. Hacer un cambio de variable2. Reflejar la señal3. Desplazar la función h(t)4. Realizar la integración

Ejercicio:

Calcular la Convolución de las siguientes señales

x (t )={ 1 ,−¿1≤ x≤1−12,∧enotrocaso

h (t )={ 2 ,0≤ x≤10 ,∧enotrocaso

El tamaño de el vector de Convolución de dos señales es igual al tamaño del vector x(t) mas el tamaño del vector h(t) menos 1

Ejercicio en MatLab

Muestrear

Es realizar la Convolución entra la señal y un tren de funciones delta (Matemáticamente)

Conversión AD

Consiste en hacer un muestreo a intervalos regulares de la misma, lo que permite expresar los distintos valores de la amplitud de la señal como una secuencia de números.

Parámetros básicos de la conversión AD

Resolución: el menor cambio en la magnitud de entrada que se puede detectar a la salida.

R=Vmax2n

Frecuencia de conversión.

Teorema de muestreo

Una señal x(t) con frecuencia máxima f max puede ser recuperada si la frecuencia de muestreo es fs>2 fmax

Frecuencia de Nyquist

fN= 2fmax

Ejemplo:

¿Cuál es la frecuencia fs para la siguiente señal?

x (t )=3 cos (50πt )+10 sen (300 πt )−cos (100 πt )

2 fmax=300

fmax=3002

=150

f N=2 fmax=2 (150 )=300

fs>300

Ejercicio:

Una señal de audio toma valores entre 0V y 1V, se utiliza un convertidor AD de 3 bits. Calcula la tabla de voltajes de salida

R=Vmax2n

=1v

23=1

8=0.125

000 0 - 0. 125001 0.125 –0. 250010 0.250 – 0.375011 0.375 - 0.500100 0.500 – 0.625101 0.626 – 0.750110 0.750 – 0.875111 0.875 – 1.000

Imágenes

Imagen: arreglo bidireccional de M filas x N columnas. ( Matriz compuesta por pixeles que tiene un valor de intensidad de gris)

Muestreo: Tamaño de la matriz

Cubanización: Niveles de grises

Operaciones Puntuales

Pixel de salida -> Pixel de entrada

Binarización

Transformación lineal en el que la imagen de salida tiene 2 valores: blanco y negro

O = negro

255 = blanco

Histograma de intensidades

Es una distribución de los niveles de intensidad presentes en una imagen

0 1 1 22 1 0 21 2 2 13 0 1 3

0 1 2 301234567

Niveles de grises

# de pixeles

Determina la resolución ce un convertidor de 3 bits con un voltaje de 3 V a ½ paso

R=Vmax2n

=3V

23=3

8=0.375

000

0 - 0.1875

001

0.5625

010

0.937

011

1.312

100

1.687

101

2.062

110

2.437

111

3

La mayoría de las señales no son periódicas, sino que varían en forma aleatoria.

El concepto de serie de Fourier se puede extender al caso de señales no periódicas.

Consideremos una onda no periódica x(t), de la cual seleccionamos una porción de duración T.

Ahora se extiende esa porción en forma periódica con período T

Dado que esta nueva onda es periódica, puede obtenerse su espectro...

El espectro obtenido representa solamente a la pequeña porción de señal que se ha seleccionado.

Se puede representar una porción más larga, es decir de duración T´ > T.

Se puede observar lo siguiente:

1. El espectro se volvió más detallado

2. La frecuencia fundamental se redujo (f ´ < f ).

3. La amplitud de las líneas espectrales en general se redujo

Si deseamos que el espectro represente a toda la señal, podríamos hacer tender T a infinito, pero nos encontraremos con el inconveniente de que tanto la frecuencia fundamental como los coeficientes de Fourier tienden a 0.

En otras palabras, los “armónicos” se vuelven infinitamente próximos e infinitamente pequeños. Se tiende, entonces, a un espectro continuo.

Transformada de Fourier

• La transformada de Fourier se define como:

Transformada inversa de Fourier

A partir de F(ω) se puede recuperar x (t) por medio de la Transformada Inversa de Fourier:

Propiedades de la transformada de Fourier

Linealidad

Escalamiento

Desplazamiento en el tiempo

Desplazamiento en la frecuencia

Inversión en el tiempo

Diferenciación en el tiempo

Dual de la diferenciación

Integración en el tiempo

Teorema de convolución

F (ω )=F [x (t ) ]=∫−∞

∞

x (t ) e− jωt dt

x (t )=F -1 [F (ω ) ]= 12 π ∫

−∞

∞

F (ω )e jωt dω

F [a1 f 1 (t )+a2 f 2 (t ) ]=a1F1 (ω)+a2F2 (ω)

F [ f (at ) ]= 1|a|F (ωa )F [ f (t−t0) ]=F (ω) e− jω t0

F [ f (t )e jω0 t ]=F (ω−ω0 )

F [ f (−t ) ]=F (−ω )

F [ f¿ (t ) ]= jωF (ω )= jωF (f (t ) )

F [ tf (t ) ]= j F¿

(ω)

F [∫−∞

tf ( x )dx ]= 1

jωF (ω )+πF (0 ) δ (ω )

F [ f 1 (t )∗f 2 (t ) ]=F1 (ω) F2 (ω)

Transformada de Fourier en tiempo discreto

La transformada de Fourier en tiempo discreto se define como:

Transformada inversa de Fourier en tiempo discreto

La transformada inversa de Fourier en tiempo discreto se define como:

Propiedades

Linealidad

Periodicidad

Desplazamiento en el tiempo

Desplazamiento en la frecuencia

Inversión en el tiempo

Diferenciación en el tiempo

Dual de la diferenciación

Integración en el tiempo

X (ω )=X [ x [n ] ]=∑−∞

∞

x [ n] e− jωn

x [n ]= 12 π∫0

2 πX (ω ) e jωndω

X [a1 x1 [ n]+a2 x2 [n ] ]=aX1 (ω)+a2X2 (ω )

X (ω+2π )=X (ω)

X [x (n−n0 )]=X (ω) e− jωn0

X [x [ n ]e jω0n ]=X (ω−ω0 )

X [ x [−n ] ]=X (−ω)

X [ x [ n ]−x [n−1 ] ]=(1+ω ) X (ω)

X [nx [ n ]]= j X¿

(ω )

X [ ∑m=−∞

n

x [m ]]= 1(1+ω )

X (ω )+πX (0 ) ∑k=−∞

+∞δ (ω−2 πk )

Escalamiento

Donde

Transformada discreta de Fourier

Al muestrear la transformada de Fourier en tiempo discreto DTFT se obtiene la expresion correspondiente a la trasformada discreta de Fourier DFT que en MATLAB se implementa mediante el algoritmo conocido como FFT (Fast Fourier Transform).

para k = 0,1,...,N-1. Para evitar problemas de muestreo insuficiente se debe elegir N tal que N>L. Siendo L el número de muestras de la secuencia de entrada.

X [ xk [n ] ]=X (kω )

xk [n ]={ x [ n/k ] , si n es múltiplo de k0 , si n no es múltiplo de k

X (ωk )=∑n=0

N−1

x [n ]e− j ( 2πk /N )n

Filtro

Dispositivo (hardware o software) que se aplica a un conjunto de datos ruidosos para poder extraer información sobre una cantidad de interés.

Atenúa o incrementa determinadas frecuencias presentes en la señal

Convolución discreta en imágenes

g ( x , y )=∑i=a

a

∑i=−b

b

f (i , j )h (x+i , y+ j )

Aplicar un filtro a una imagen consiste en hacer la convolución discreta entre la imagen y el filtro

Un filtro se puede representar mediante una máscara de filtrado o máscara de convolución

En imágenes las altas frecuencias corresponden a los cambios bruscos de intensidad (bordes y detalles de la imagen)

Transformada Z

Es una función analítica

Z es un número complejo con módulo 1

Si se tiene un desplazamiento en el tiempo discreto, su transformada Z se obtiene con la transformada Z de la señal por 2 -m

f ( k−m )=2−mF ( z )

Propiedad de Convolución

y (k )=∑i=0

∞

h (1 ) f (k−1 )

Y (Z )=H (Z )F (Z )

Función de transferencia: se define sólo para sistemas LTI con condiciones iniciales nulas.

Y (Z )=X (Z )H ( z )=¿H ( z )= Y ( z )X ( z )

Ejercicio:

Obtener la transformada Z

a)

y [n ]+A1 y [n−1 ]+A2 y [n−2 ]+. . .+An y [n−N ]=B0 x [n ]+B1 x [n−1 ]+…

Y (z )+A1Y (z) z−1+A2Y (z )z−2+…+AnY (z) z−N=B0 X (z )+B1X (z )z−1

H ( z )=Y ( z )X (z )

=B0+B1 z

−1+…+Bμ z−μ

1+A1 z−1+A2 z

−2+…+AN z−N

b)

x (n )={1 ,∧n≥00 ,∧n<0

z {x [n ] }=∑n=0

∞

(1 ) z−n=1+ z−1+z−2+…+z−n

ZX (Z )=z+1+z−1+…+z−n+1

x (Z ) (1−Z )= z−n−z1−Z

Pero n->∞

X [Z ]= 1

1−Z−1

Función de Transferencia de Filtros

a) Pasa bajas

H 1 (z )=0.2066+0.4131 z−1+0.2066 z−2

1−0.3695 z−1+0.1958 z−2

b) Pasa altas

H x ( z )=0.894−1.789 z−1+0.894 z−2

1−1.778 z−1+0.799 z−2

c) Pasa Banda

H 3 ( z )= 0.42−0.42 z−2

1−0.0443 z−1+0.159 z−2

d) Rechaza Banda

H 4 ( z )=0.5792+0.4425 z−1+0.5792 z−2

1−0.4425 z−1+0.1584 z−2

Escala en dB20 log x=1dB

20 log x=−3dB

x ¿− 320dB

x=10(−3

20 )= .7079

La frecuencia de corte es a la cual la amplitud de la señal disminuye -3dB o el 70%

Filtros Digitales

Filtro FIR(Finite Impulse Response)

La salida es una combinación lineal de los valores presentes y pasados de la señal de entrada es decir no son recursivos. Tienen memoria finita

y [n ]=∑k=0

N−1

bk x [n−k ]

Filtro IIRLa salida es una combinación ideal de los valores presente s y pasados de la entrada, así como los valores pasados de la salida. Se trata de un filtro recursivo. Tiene memoria infinita

y [n ]=∑k=0

M

bk x [n−k ]− y [n ]=∑k=1

N

ak y [n−k ]

Transformación bilineal de Tustin

S❑⇔ 2Tz−1z+1

= 2T

1−z−1

1+z−1

z=e jΩ

2Te jΩ−1e jΩ+1

= 2Te jΩ /2

e jΩ /2

(e¿¿ j Ω /2−e− jΩ /2)e j Ω/2+e− jΩ /2 ¿

¿

2Tj tan(Ω2 )<¿>s

2Tj tan(Ω2 )❑⇔ jωω❑

⇔ 2T

tan( Ω2 )ω❑

⇔ 2T

tan( πffs )

Seguimiento

Para calcular la distribución estadística se usa la función de Epanechnikov

k E ( x )={12Cd

−1 (d+2 ) (1−||x||2 )

Si||x||>1

Cd→volumende la esferaunitariad−dimensional

Fórmula general del estimador de densidad de núcleo:

f ( x )= 1nhd

∑i=1

n

K ( x−x 1h )

x i→conjuntodado den puntos

h→esel radio de la ventana

Rd→dimensión del espacio

La función de distribución del objeto de interés

qu=C∑i=1

n

k ¿¿

δ→ funcióndentade Kronecker

C→constante denormalización se derivaimponiendo lacondición∑u=1

m

qu

C= 1

∑i=1

n

k (||x i¿||2)

Coeficiente de Bhattacharyya

ρ ( y )=∑u=1

m

√ Pu ( y1 ) qu

y1=∑i=1

n

x iwig (‖ y0−x ih ‖

2

)∑i=1

n

g (‖ y0−xih ‖

2

)g ( x )→núcle iniforme

y0→centroinicial oanterior

w→ pesosdados por

w1=∑ δ [b (x i )−u ]√ quPu ( y0 )

Mientras más cercano a 1 sea el coeficiente más parecidos son los objetos.

Ejercicios en MatLab

Algoritmo de seguimiento

Definir Objeto de Interés

Obtener qu en la primera imagen de la

secuencia

Obtener pu en la siguiente imagen de

la secuencia

Calcular el coeficiente de Bhattacharyya

Obtener la posición probable del objeto

mediante el vector de desplazamiento

Calcular el coeficiente de Bhattacharyya de

qu y pu en el nuevo punto

Objeto de interés ≈ objeto

candidato

Siguiente imagen

SI

NO