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Departamento de Ciencias Básicas 2015
APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Docente: Roque Julio Vargas R. Departamento de Ciencias Básicas. Unidades Tecnológicas de Santander
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GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA A través de la historia de las matemáticas la distancia ha sido un concepto de gran trascendencia
por su utilidad, desde la antigüedad se buscaron formas de determinarla, fue EUCLIDES, el gran
matemático de la antigüedad y aún vigente por sus grandes aportes, quien dio una solución para
hallar la distancia entre dos puntos.
Con ayuda del teorema de Pitágoras definió la distancia entre dos puntos de la siguiente manera:
Como:
Por Pitágoras, donde:
Entonces:
Para señalar la distancia euclidiana se escribe ) la cual se halla por la fórmula anterior.
Es pertinente aclarar que:
LA RECTA Definición: una recta, es una línea de puntos colineales. Es decir, puntos ubicados uno tras de
otro de tal manera que uno esconde al anterior al mirar la fila de frente.
También el concepto de colineal, se puede explicar diciendo que cada punto de la línea recta no se
sale de la fila.
Características: toda recta tiene una grafica, una ecuación que la distingue, además, de los
parámetros de la recta.
Los parámetros de la recta se conocen como:
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Pendiente: se simboliza con la letra m, está relacionada con la inclinación que la recta presenta,
respecto al eje x. (abscisa).
Intercepto: se simboliza por la letra b, está relacionada con el punto donde la recta corta al eje y.
(ordenada).
El trabajo con la recta se centra en que a partir de la grafica, se obtenga su ecuación o viceversa.
Ecuación de la recta: vamos a estudiar las formas de expresar matemáticamente una recta, la
primera es la ecuación canónica o llamada también analítica y la ecuación general.
Ecuación canónica:
Ecuación general:
PENDIENTE La teoría Euclidiana nos dice que para graficar o determinar una recta, basta solo con dos puntos,
este hecho nos permite determinar la pendiente de la recta.
Como una recta presenta desplazamiento en X y desplazamiento en Y, entonces la pendiente está
definida, determinando dichos desplazamientos.
Pero: y
Para hallar la pendiente se puede obtener conociendo dos puntos de la recta:
Para y
Según el valor de la pendiente, la recta puede presentar cuatro comportamientos.
1. m˃0: la recta presenta inclinación a la derecha: es decir, el ángulo es agudo:
.
2. m˂0: la recta presenta inclinación hacia la izquierda, es decir, el ángulo es obtuso:
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.
3. m꞊0: la recta es horizontal, luego el ángulo .
4. m ꞊ indeterminado: la recta es vertical, luego el ángulo .
RECTAS PARALELAS Teorema: dos rectas no verticales son paralelas, si solo sí, estas tienen la misma pendiente: es
decir:
Para:
Demostración
Sean y , dos rectas con pendientes y respectivamente, con interceptos y . Las
rectas tendrán como ecuación:
:
:
Las rectas se cortan en algún punto (x, y), sí y sólo sí: los valores de y para y serán iguales
para algún x, luego
La última ecuación se puede resolver solo sí: . Por consiguiente, dos rectas se cortan, sí
y sólo sí: , luego cuando , las rectas no se cortan.
:
:
Rectas paralelas:
RECTA PERPENDICULAR Teorema: dos rectas y , cuyas pendientes son y respectivamente, son
perpendiculares, sí y sólo sí: .
Para demostrar este teorema, vamos a tomar como hipótesis el famoso teorema de Pitágoras; si
un triangulo es rectángulo, entonces:
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Como:
Entonces:
Las rectas y son perpendiculares, sí y sólo sí, el ángulo .es un ángulo recto, es decir,
que el triángulo OAB es rectángulo, entonces:
Por el teorema de Pitágoras:
Donde:
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el perímetro del círculo, ésta no tiene área, sólo longitud y los parámetros que
la caracterizan.
Definición: La circunferencia es un conjunto de puntos en el plano cartesiano que equidistan a un
punto llamado centro.
La distancia fija es llamada radio.
En el orden de ideas de la definición, la circunferencia queda descrita por medio de su radio y su
centro, además, del conjunto de puntos que la conforman.
C=centro
R=radio
Diámetro: D = 2R
Longitud: L=2πR
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Conociendo las características básicas de la circunferencia, ahora busquemos una ecuación
matemática que la identifique.
Para obtener la ecuación, hacemos que el centro de la circunferencia este en (0,0). Ubicamos
cualquier punto (x, y) que satisfaga la ecuación.
Por el teorema de Pitágoras:
Ecuación canónica
Cuando el centro es: (h, k)
LA ELIPSE Definición: la elipse se identifica un centro, es un conjunto de puntos en el plano, tal que la suma
de sus distancias a dos puntos fijos, es constante. Los puntos fijos son llamados focos.
En la elipse se identifican un centro, para nuestro caso tomamos el origen de coordenadas (0,0).
Cuatro vértices y dos focos.
Las coordenadas de cada punto son:
Los puntos de la elipse.
Se llaman vértices mayores y a se le llaman los vértices menores. De estos se
originan los ejes mayor y menor de la elipse.
Eje mayor = 2a y Eje menor = 2b
Según la grafica 2a ˃ 2b, primer aspecto importante de la elipse.
Por definición:
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Teorema: la ecuación canónica de la elipse con centro (0, 0), eje mayor sobre el eje x, es de la
forma:
De la misma manera para cuando el eje mayor esta sobre la ordenada, la ecuación canónica es de
la forma.
Para este caso los focos están en el eje y, los vértices mayores en el eje y y los vértices menores
en el eje x.
LA ELIPSE
Eje focal =x
centro (0,0)
Vértices
Extremos del eje menor )
Focos
De donde
Lado recto
Excentricidad
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
Eje focal =y
centro (0,0)
Vértices
Extremos del eje menor )
Focos
De donde
Lado recto
Excentricidad
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
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Eje focal =h
centro (h,k)
Focos
De donde
Lado recto
Excentricidad
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b
Eje focal =k
centro (h,k)
Focos
De donde
Lado recto
Excentricidad
Eje mayor = 2ª
Eje menor = 2b
Ecuación General .
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LA PARABOLA Definición: Una parábola es un conjunto de puntos en el plano p(x, y) que se encuentran a la
misma distancia de un punto fijo F, llamado foco y una recta D llamada directriz.
Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola = y
Lado recto
Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola = y
Lado recto
=4py =-4py
Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola = x
Lado recto
Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola = x
Lado recto
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Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola
Lado recto
Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola
Lado recto
Ecuación General Vertical
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Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola
Lado recto
Foco
Vértice
Directriz
Eje de la parábola
Lado recto
Ecuación General Horizontal
LA HIPÉRBOLA Con el análisis hecho para la circunferencia, elipse y parábola, podemos inferir como será el
comportamiento de una hipérbola, con centro en (h, k) y eje transverso paralelo al eje x y de la
forma:
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Solución de a, b, c.
Ecuación general: +B +D +Ey+F=0
Centro
Eje Focal = x
Vértices
Focos
De donde:
Asíntotas
Lado recto
Excentricidad
Centro
Eje Focal = y
Vértices
Focos
De donde:
Asíntotas
Lado recto
Excentricidad
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Centro
Eje Focal = h
Vértices
Focos
De donde:
Asíntotas
Lado recto
Excentricidad
Centro
Eje Focal = k
Vértices
Focos
De donde:
Asíntotas
Lado recto
Excentricidad
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BIBLIOGRAFIA
Algebra Décima Edición Rees, Sparks, Rees
Trigonometría Segunda Edición Frank Ayres Jr. y Robert E. Moyer
Algebra y Trigonometría Segunda Edición Dennis G. Zill y Jacqueline M. Dewar
Algebra de Baldor
Algebra Superior de Murray
Algebra y Geometría Analítica UTN
Matemáticas aplicadas a la Administración y a la economía, Lardner Robín W. editorial
Prentice Hall.
Calculo con Geometría Analítica, Leithold Louis. Cuarta Edición Editorial Harla
Algebra Intermedia ,Gustafson David. Séptima Edición. Editorial Thompson.
Instituto Profesional Virginio Gómez Algebra y Trigonometría, Universidad de Concepción.
INTERNET:
www.vitutor.com
http://matebrunca.com/
http://matematicasrcpbachillerato.blogspot.com/
http://www.matematicasbachiller.com/
http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/
http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim
www.lafacu.com
www.mitarea.com
www.cienciamatematica.com
GRAFICAS:
Geometría analítica, Calculadora TI nspire cx cas
