Apostilas - Senai - Matematica Basica - SEM EQUAÇÃO.pdf

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________ SENAI Departamento Regional do Esprito Santo 3

CPM - Programa de Certificao de Pessoal de Manuteno

Eltrica

Matemtica Bsica

+

1

% ab

xn

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____________________________________________________________________________________________________ CST 4 Companhia Siderrgica de Tubaro

Matemtica Bsica - Eltrica SENAI - ES, 1996 Trabalho realizado em parceria SENAI / CST (Companhia Siderrgica de Tubaro) SENAI - Servio Nacional de Aprendizagem Industrial DAE - Diviso de Assistncia s Empresas Departamento Regional do Esprito Santo Av. Nossa Senhora da Penha, 2053 - Vitria - ES. CEP 29045-401 - Caixa Postal 683 Telefone: (027) 325-0255 Telefax: (027) 227-9017 CST - Companhia Siderrgica de Tubaro AHD - Diviso de Desenvolvimento de Recursos Humanos AV. Brigadeiro Eduardo Gomes, s/n, Jardim Limoeiro - Serra - ES. CEP 29160-972 Telefone: (027) 348-1322 Telefax: (027) 348-1077

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Sumrio Nmeros Inteiros.................................................................... 03 Nmeros Naturais.............................................................. 03 Operaes Fundamentais com Nmeros Naturais .................................................................. 03 Exerccios .......................................................................... 05 Mnimo Mltiplo Comum......................................................... 09 Mltiplos e Divisores .......................................................... 09 Exerccios .......................................................................... 14 Fraes .................................................................................. 17 Nmeros Racionais ........................................................... 17 Nmeros Mistos................................................................. 21 Extrao de Inteiros........................................................... 21 Transformao de Nmeros Mistos em Fraes Imprprias .......................................................... 22 Simplificao de Fraes................................................... 23 Comparao de Fraes ................................................... 25 Exerccios .......................................................................... 29 Nmeros Decimais................................................................. 41 Conceito e Leitura.............................................................. 41 Operaes com Nmeros Decimais .................................. 43 Exerccios .......................................................................... 46 Medidas de Comprimento ...................................................... 51 Conceito de Medida........................................................... 51 Exerccios .......................................................................... 53 Proporcionalidade .................................................................. 57 Razo ................................................................................ 57 Proporo.......................................................................... 59 Grandezas proporcionais................................................... 61 Exerccios .......................................................................... 62 Regra de Trs ........................................................................ 65 Regra de Trs Simples ...................................................... 65

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Regra de Trs Composta ...................................................67 Exerccios...........................................................................70 Porcentagem...........................................................................73 Exerccios...........................................................................74 Nmeros Inteiros Relativos .....................................................77 Nmeros Opostos ou Simtricos ........................................77 Valor Absoluto ....................................................................78 Operaes com nmeros Inteiros Relativos.....................................................................78 Expresses com nmeros Inteiros Relativos.....................................................................79 Multiplicao com mais de dois

nmeros Relativos..............................................................81 Exerccios...........................................................................82 Potenciao e Radiao .........................................................83 Radiao ............................................................................85 Raiz Quadrada de Nmeros Racionais...............................86 Exerccios ...............................................................................86 Figuras Espaciais, Volume......................................................91 Introduo ..........................................................................91 Exerccios...........................................................................93 Exerccios...........................................................................101 Tpicos Especiais ...................................................................105 Teorema de Pitgoras ........................................................105 Exerccios...........................................................................106 Relaes Trigonomtricas no Tringulo Retngulo ............107 Exerccios...........................................................................114

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Nmeros Inteiros Nmeros Naturais Desde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto. Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a ltima ovelha devia corresponder ltima pedrinha. Tinham assim, a noo dos nmeros naturais, embora no lhes dessem nomes nem os representassem por smbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra IN e escreve-se:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Operaes Fundamentais Com Nmeros Naturais Adio a operao que permite determinar o nmero de elementos da unio de dois ou mais conjuntos:

1.004 577 parcelas 12

+ 4 1.597 total ou soma

Subtrao a operao que permite determinar a diferena entre dois nmeros naturais:

837 Minuendo

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- 158 Subtraendo

679 Resto ou diferena Multiplicao A multiplicao muitas vezes definida como uma adio de parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 2 (trs parcelas iguais a 2)

381 Multiplicando Fatores

x 23 Multiplicando 1143

+ 762_ 8763 Produto

Ateno: Qualquer nmero natural multiplicado por zero zero. Exemplo: 4 0 = 0

Diviso a operao que permite determinar o quociente entre dois nmeros. A diviso a operao inversa da multiplicao.

Exemplo: 18 4 = 72 72 4 = 18

Termos Da Diviso: Dividendo 4051 8 Divisor

- 40__ 506 Quociente 051 - 48 03 Resto

Ateno: Quando o dividendo mltiplo do divisor, dizemos que a diviso exata. Exemplo: 16 8 = 2 Quando o dividendo no mltiplo do divisor, dizemos que a diviso aproximada ou inexata. Exemplo: 16 5 = 3 (resto = 1)

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Numa diviso, em nmeros naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto , no existe diviso por zero no conjunto de nmeros naturais (IN).

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Nmeros Naturais - Exerccios 1) Complete as sucesses numricas seguintes:

Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35

a) 7, 14, 21, ......, ......, ......, ...... b) 9, 18, 27, ......, ......, ......, ...... c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ...... d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ...... e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ......

2) Resolva:

a) 4 + 577 + 12 + 1.004 = b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =

3) Escreva as denominaes dos termos e do resultado da

adio: 623 ................................... + 321 ................................... 944 ................................... 4) Complete as sucesses numricas seguintes:

Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22... a) 50, 45, ......, ......, ......, ......, ...... b) 50, 44, ......, ......, ......, ......, ...... c) 80, 72, ......, ......, ......, ......, ...... d) 108, 96, ......, ......, ......, ......, ......

5) Efetue as subtraes:

a) 196 - 74 = b) 937 - 89 = c) 4.800 - 2.934 = d) 100.302 - 97.574 = e) 1.301.002 - 875.037 =

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6) Em uma subtrao, o subtraendo 165 e o resto 428.

Qual o minuendo? 7) Qual o nmero que somado a 647 igual a 1.206? 8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova. 9) Efetue mentalmente:

a) 7 1 = b) 810 1 = c) 8 10 = d) 72 10 = e) 1.705 10 = f) 9 100 = g) 81 100 = h) 365 100 = i) 5 1000 = j) 12 1000 = k) 170 100 = l) 3.800 1000 =

10) Complete:

a) Um produto sempre uma adio de ........................... iguais.

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b) O produto de vrios fatores zero, quando pelo menos um de seus fatores for ...............................

11) Complete:

a) 4 5 0 = b) 6 0 9 = c) 0 5 8 = d) 1 ...... 8 = 0 e) 7 9 ...... = 0 f) ...... 4 8 = 0

12) Escreva os termos da diviso: ............................... 107 5 ............................

07 21 ............................ ...................... 2

13) Efetue:

a) 810 4 = b) 408 4 = c) 560 8 = d) 12.018 6 =

14) O nmero 9 est contido em 3.663 ............................ vezes. 15) Arme, efetue e verifique a exatido das operaes atravs

de uma prova.

a) 8.750 + 3 + 1.046 = b) 37.600 - 28.935 = c) 2.091 45 = d) 9.327 814 = e) 3.852 208 = f) 68.704 74 =

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g) 1.419 87 = h) 4.056 68 =

16) Resolva os problemas:

a) Um reservatrio contm 400 litros de gua e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operaes:

retiramos 70 litros colocamos 38 litros retiramos 193 litros colocamos 101 litros colocamos 18 litros Qual a quantidade de gua que ficou no reservatrio?

b) Em uma escola estudam 1.920 alunos distribudos igualmente em 3 perodos: manh, tarde e noite. Pergunta-se:

Quantos alunos estudam em cada perodo? Quantos alunos estudam em cada sala, por perodo,

se h 16 salas de aula?

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Mnimo Mltiplo Comum Mltiplos e Divisores Mltiplos de um Nmero Mltiplo de um nmero natural o produto desse nmero por um outro nmero natural qualquer. Exemplo:

M (2) { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} M (5) { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}

Ateno:

Zero mltiplo de todos os nmeros.

Qualquer nmero natural mltiplo de si mesmo.

O conjunto de mltiplos de um nmero infinito.

Divisores de um Nmero Um nmero divisor de outro quando est contido neste outro certo nmero de vezes. Um nmero pode ter mais de um divisor. Por Exemplo, os divisores do nmero 12 so: 1, 2, 3, 4, 6, e 12. O conjunto dos divisores de 12 representamos assim:

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Se um nmero mltiplo de outro, ele "divisvel" por este outro. Ateno:

Zero no divisor de nenhum nmero.

Um divisor de todos os nmeros.

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Critrios de Divisibilidade Sem efetuarmos a diviso podemos verificar se um nmero divisvel por outro. Basta saber alguns critrios de divisibilidade: a) Por 2:

Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Ou seja, quando ele par. Exemplo: 14, 356, ...

b) Por 3: Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 3. Exemplo: 252 divisvel por 3 porque 2 + 5 + 2 = 9 e 9 mltiplo de 3.

c) Por 4: Um nmero divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos forem 0 ou formarem um nmero divisvel por 4. Exemplo: 500, 732, 812

d) Por 5: Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplo: 780, 935

e) Por 6:

Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3. Exemplo: 312, 732

f) Por 9: Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 9. Exemplo: 2.538, 7.560

g) Por 10: Um nmero divisvel por 10 quando termina em zero. Exemplo: 1.870, 540, 6.000

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Mnimo Mltiplo Comum Chama-se Mnimo Mltiplo Comum de dois ou mais nmeros ao menor dos mltiplos comuns a esses nmeros e que seja diferente de zero. Exemplo: Consideremos os nmeros 3 e 4 e escrevamos alguns dos seus mltiplos. Teremos:

M (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...} M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...} Observamos que h elementos comuns entre esses dois conjuntos. Portanto a interseo entre eles ser:

M(3) M(4) = {0, 12, 24, 36, ...} m.m.c. (3, 4) = 12 12 o menor mltiplo comum de 3 e 4.

So processos prticos para o clculo do m.m.c. de dois ou mais nmeros:

Decomposio em Fatores Primos e

Decomposio Simultnea.

Antes, porm, de calcular o m.m.c. de algum nmero, vamos ver o que NMERO PRIMO. Nmero Primo todo nmero que possui somente dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo. Exemplo:

1

5

5 13

1

13

1

3

9

9

O nmero 5 primo, porque tem apenas dois divisores:

a unidade (1) e ele mesmo (5)

O nmero 13 primo, porque tem apenas dois divisores:

a unidade (1) e ele mesmo (13).

O nmero 9 no primo, porque tem mais de 2 divisores: 1, 3 e 9.

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Observe agora, os Exemplos:

8 152

4

8

1

3

5

15

1

1 o nico divisor comum a 8 e 15, por isso dizemos que 8 e 15 so primos entre si. Dois ou mais nmeros so primos entre si, quando s admitem como divisor comum a unidade. Agora, vamos recordar o que decompor um nmero em fatores primos. A decomposio em fatores primos feita atravs de divises sucessivas por divisores primos. Exemplo:

30 15 5 1

2 3 5

o menor divisor primo de 30 2: 30 : 2 = 15 o menor divisor primo de 15 3: 15 : 3 = 5 o menor divisor primo de 5 5: 5 : 5 = 1

Para decompor um nmero em seus fatores primos: 1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo; 2) Dividimos o quociente pelo seu menor divisor primo; 3) E assim sucessivamente, at encontrarmos o quociente 1. 1 Processo: Para determinar o m.m.c. atravs da decomposio em fatores primos ou fatorao, procedemos da seguinte forma: 1. Decompomos em fatores primos os nmeros apresentados.

Exemplo: 15 e 20 15 5 1

3 5

20 10 5

2 2 5

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1 2. Multiplicamos os fatores primos comuns e no comuns com

seus maiores expoentes. 15 = 3 x 5 - 20 = 22 x 5

3. O produto ser o m.m.c. procurado:

m.m.c. = (15, 20) = 22 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60 2 Processo: Podemos tambm determinar o m.m.c. atravs da decomposio simultnea (fatorao dos nmeros ao mesmo tempo). Exemplo: a) Calcular o m.m.c. (12, 18).

Soluo: decompondo os nmeros em fatores primos, teremos:

12 - 18 6 - 9 3 - 9 1 - 3 1 - 1

2 2 3 3

Portanto: m.m.c. = 22 x 32 ou

2 x 2 x 3 x 3 = 36 b) Determinar o m.m.c. (14, 45, 6)

14 - 45 - 6 7 - 45 - 3 7 - 15 - 1 7 - 5 - 1 7 - 1 - 1 1 - 1 - 1

2 3 3 5 7

Portanto: m.m.c. = 2 32 5 7 ou 2 3 3 5 7 = 630

Ateno:

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O m.m.c. de nmeros primos entre si igual ao produto desses nmeros.

Mnimo Mltiplo Comum - Exerccio 1) Escreva at 6 mltiplos dos nmeros:

a) M (3) = .............................................................. b) M (4) = .............................................................. c) M (5) = .............................................................. d) M (10) = .............................................................. e) M (12) = ..............................................................

2) Escreva os divisores dos nmeros dados:

a) D (8) = ............................................................... b) D (12) = ............................................................... c) D (36) = ............................................................... d) D (15) = ............................................................... e) D (24) = ...............................................................

3) Escreva um algarismo para que o nmero fique divisvel

por 3:

a) 134 .............. b) 73 .............

4) Risque os nmeros divisveis:

a) por dois: 7120 - 621 - 162 - 615 - 398 - 197 - 1009 - 74 b) por trs: 4414 - 173 - 315 - 222 - 302 - 706 - 207 c) por cinco: 217 - 345 - 1642 - 700 - 325 - 801 - 12434 - 97 d) por dez: 153 - 140 - 1000 - 315 - 304 - 12360 - 712

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5) Escreva, no quadrado, um algarismo conveniente para que o

nmero formado seja divisvel por:

a) dois e trs: 4 0 b) cinco: 5 7 c) cinco e dez: 8 4 d) dois e cinco: 1 5

6) Determine usando a fatorao:

a) m.m.c. (12, 15) = b) m.m.c. (6, 12, 15) = c) m.m.c. (36, 48, 60) =

7) Calcule:

a) m.m.c. (5, 15, 35) = b) m.m.c. (54, 72) = c) m.m.c. (8, 28, 36, 42) = d) m.m.c. (4, 32, 64) =

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Fraes Nmeros Racionais Consideremos a operao 4 : 5 = ? onde o dividendo no mltiplo do divisor. Vemos que no possvel determinar o quociente dessa diviso no conjunto dos nmeros porque no h nenhum nmero que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operao de diviso, quando o dividendo no fosse mltiplo do divisor. Criou-se, ento, o conjunto dos Nmeros Racionais.

Nmero racional todo aquele que escrito na forma ab

onde a

e b so nmeros inteiros e b diferente de zero. So exemplos de nmeros racionais:

35

12

43

105

1224

3618

, , , , ,

A seguir, estudaremos o conjunto dos nmeros racionais fracionrios, tambm chamados de fraes.

Conceito de Frao: Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operao por uma frao. Veja:

A figura foi dividida em trs partes iguais. Tomamos duas partes.

Representamos, ento, assim: 23

E lemos: dois teros.

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O nmero que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chama-se DENOMINADOR. O nmero que fica sobre o trao e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.

Leitura e Classificaes das Fraes Numa frao, l-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o denominador. a) Quando o denominador um nmero natural entre 2 e 9, a

sua leitura feita do seguinte modo:

12

- um meio 13

- um tero 14

- um quarto

15

- um quinto 16

- um sexto 17

- um stimo

18

- um oitavo 19

- um nono

b) Quando o denominador 10, 100 ou 1000, a sua leitura

feita usando-se as palavras dcimo(s), centsimo(s) ou milsimo(s).

110

- um dcimo 7100

- sete centsimos

20

1000 - vinte milsimos

c) Quando o denominador maior que 10 (e no potncia de

10), l-se o nmero acompanhado da palavra "avos".

115

- um quinze avos 329

- trs vinte e nove avos

1385

- treze oitenta e cinco avos

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Fraes Ordinrias e Fraes Decimais As fraes cujos denominadores so os nmeros 10, 100, 1000 (potncias de 10) so chamadas Fraes Decimais. As outras so chamadas Fraes Ordinrias. Exemplos:

310

5100

231000

, , so fraes decimais

15

817

1041

, , so fraes ordinrias

Fraes Prprias Observe as fraes abaixo:

1

2 2

3

Essas fraes so menores do que a unidade. So chamadas Fraes Prprias. Nas fraes prprias, o numerador menor do que o denominador.

Fraes Imprprias Observe as fraes abaixo:

7

4 4

3

Essas fraes so maiores que o inteiro, portanto so Fraes Imprprias. Nas fraes imprprias, o numerador maior que o denominador.

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Fraes Aparentes Observe:

12/6 ou 2 inteiros

3/3 ou 1 inteiro As fraes acima representam inteiros. Elas so chamadas Fraes Aparentes. Nas fraes aparentes, o numerador sempre mltiplo do denominador, isto , o numerador divisvel pelo denominador. Uma frao aparente tambm imprpria, mas nem toda frao imprpria aparente.

Fraes Equivalentes/Classe de Equivalncia. Observe as figuras:

2 3

4 6

6 9

As fraes 23

46

, e 69

representam o mesmo valor, porm

seus termos so nmeros diferentes. Estas fraes so denominadas Fraes Equivalentes. Para obtermos uma frao equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo nmero (diferente de zero).

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Exemplo:

25

1025

igual a , pois 2 55 5

1025

xx

=

1821

67

igual a , pois 18 321 3

67

=

O conjunto de fraes equivalentes a uma certa frao chama-se CLASSE DE EQUIVALNCIA. Exemplo: Classe de equivalncia de

12

12

24

36

48

510

612

=

, , , , ,

Nmeros Mistos Os nmeros mistos so formados por uma parte inteira e uma frao prpria.

1 inteiro 1

2

Representamos assim: 1 12

E lemos: um inteiro e um

meio

Extrao de Inteiros o processo de transformao de frao imprpria em nmero misto. Observe a figura:

Podemos representar essa frao de duas maneiras:

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1 14

54

ou

Para transformar 54

em nmero misto, ou seja, para verificar

quantas vezes 44

cabe em 54

, procede-se assim:

5 4 1 1 1 1 4

s dividir o numerador pelo denominador. O quociente ser a parte inteira. O resto ser o numerador e conserva-se o mesmo denominador.

Transformao de Nmeros Mistos em Fraes Imprprias. Observe o exemplo e a ilustrao:

Transformar 1 14

em frao imprpria.

Soluo: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto.

1 1 4 4 + 1 = 5 1 + 1 4 4 4 4 1 1 ou 5 4 4

Resumidamente, procede-se assim: Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.

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1 14

1 4 14

54

=

+=

( )

Simplificao de Fraes Simplificar uma frao significa transforma-la numa frao equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo nmero natural (diferente de 0 e de 1). Exemplo:

Simplificar 816

8 216 2

4 28 2

2 24 2

12

=

=

=

Quando uma frao no pode mais ser simplificada, diz-se que ela IRREDUTVEL ou que est na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador so primos entre si.

Reduo de Fraes ao mesmo Denominador Reduzir duas ou mais fraes ao mesmo denominador significa obter fraes equivalentes s apresentadas e que tenham todas o mesmo nmero para denominador. Exemplo:

As fraes 12

, 23

e 34

so equivalentes a 612

, 812

e 912

respectivamente. Para reduzirmos duas ou mais fraes ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos: 1 - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das fraes que

ser o menor denominador comum. 2 - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das

fraes dadas.

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3 - Multiplica-se o quociente encontrado em cada diviso pelo numerador da respectiva frao. O produto encontrado o novo numerador.

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Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as fraes:

12

, 34

, 76

Soluo: 1 - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 o denominador.

2, 4, 6

1, 2, 3

1, 1, 3

2

2

3

1, 1, 1 12 2 - 12 2 = 6

12 4 = 3 12 6 = 2

3 - 1 612

612

3 312

912

7 212

1412

=

=

=

Portanto: 612

912

1412

, , a resposta.

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Comparao de Fraes Comparar duas fraes significa estabelecer uma relao de igualdade ou desigualdade entre elas.

Fraes com o mesmo Denominador Observe:

5 8

3 8

1 8

Percebe-se que : 58

> 38

> 18

Ento:

Se duas ou mais fraes tem o mesmo denominador, a maior a que tem maior numerador.

Fraes com o Mesmo Numerador Observe:

3 16

3 8

3 4

Percebemos que: 316

< 38

< 34

Ento: Se duas ou mais fraes tem o mesmo numerador, a maior a que tem menor denominador.

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Fraes com os Numeradores e Denominadores Diferentes Observe:

2 3

1 2

3 4

Para fazer a comparao de fraes com numeradores e denominadores diferentes, reduzem-se as fraes ao mesmo denominador. Exemplo:

2 = 8 3, 2, 4 2 3 12 3, 1, 2 2 3, 1, 1 3 1 = 6 1, 1, 1 12 2 12 3 = 9 4 12

J aprendemos que comparando fraes com denominadores iguais a maior frao a que tem o maior numerador.

Da, 912

812

612

.

Ento: 34

> 23

> 12

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Adio e Subtrao de Fraes A soma ou diferena de duas fraes uma outra frao, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos": 1 As Fraes tem o mesmo Denominador.

Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. Exemplo:

25

15

+ = 2 15

35

+=

67

47

= 6 47

27

=

2 As Fraes tem Denominadores diferentes.

Reduzem-se as fraes ao mesmo denominador e procede-se como no 1 caso. Exemplo:

2 + 3 = 8 + 9 = 17 3, 4 2 3 4 12 12 12 3, 2 2 3, 1 3 1, 1 12

3 Nmeros Mistos.

Transformam-se os nmeros mistos em fraes imprprias e procede-se como nos 1 e 2 casos. Exemplo:

+ + 2 1 + 1 1 3 4 x x 7 + 5 = 28 + 15 = 43 = 3 7 3 4 12 12 12 12

Ateno:

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Nas operaes com fraes, conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possvel.

Multiplicao de Fraes A multiplicao de duas ou mais fraes igual a uma outra frao, obtida da seguinte forma: O numerador o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores. Numa multiplicao de fraes, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la. Exemplo:

23 5

21

15

251

13/

= =/

//

/ //

//

= = =65

103

69

21

21

23

83

2 23

2

1

2

1

2

3

Diviso de Fraes Ordinrias O quociente da diviso de duas fraes uma outra frao obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela frao inversa da segunda. Para isso, exige-se: 3 - Transformar os nmeros mistos em fraes imprprias. 4 - Transformar os nmeros inteiros em fraes aparentes. 5 - Simplificar. 6 - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores

entre si. 7 - Extrair os inteiros. Exemplo:

34

57

34

75

2120

1 120

= = =

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


8 14

3 334

31

334

13

114

2 34

11

1 = =

/ /

/= =

Ateno: Quando houver smbolo de polegada ou de outra unidade em ambos os termos da frao, esse smbolo deve ser cancelado. Exemplo:

34

43

34

34

916

" " ""

= =

Partes Fracionrias de um Nmero Observe:

23

15 23

151

101

5

de =/

/ /

=

Para determinar partes fracionrias de um nmero, devemos multiplicar a parte fracionria pelo nmero dado. Fraes - Exerccios 1) Observando o desenho, escreva o que se pede:

a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais. b) As partes sombreadas representam ................... partes

desse inteiro. c) A frao representada : ......................... d) O termo da frao que indica em quantas partes o inteiro

foi dividido o .................. e) O termo da frao que indica quantas dessas partes

foram tomadas o .................. 2) Escreva as fraes representadas pelos desenhos:

a) c)

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


b) d)

3) Represente com desenho as seguintes fraes:

78

23

19

54

12

4) Complete com a palavra correta:

a) Fraes prprias so fraes cujo numerador ....................... que o denominador.

b) Fraes prprias representam quantidades ...................... que a unidade.

c) Fraes imprprias so fraes cujo numerador ........................ que o denominador.

d) Fraes imprprias representam quantidades ......................... que a unidade.

5) Numa pizzaria, Lus comeu 12

de uma pizza e Camila comeu

24

da mesma pizza.

a) Quem comeu mais?......................................................... b) Quanto sobrou da pizza? ................................................

6) Assinale V (VERDADEIRO) ou F (FALSO):

a) ( ) Toda frao imprpria maior do que 1. b) ( ) Toda frao imprpria pode ser representada por

um nmero misto.

c) ( ) 13

uma frao.

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


d) ( ) 31

uma frao.

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


7) Faa a leitura de cada uma das fraes seguintes:

a) 34

....................................................................................

b) 58

....................................................................................

c) 12

....................................................................................

d) 5100

................................................................................

8) Classificar as fraes seguintes em prpria, imprpria ou

aparente:

a) 23

.....................................................................

b) 52

.....................................................................

c) 84

.....................................................................

d) 1215

....................................................................

e) 246

....................................................................

9) Circule as fraes equivalentes a:

a) 2 = 10 3 5 8 6 5 25 4 20 20 15

b) 6 = 2 18 7 30 1 7 5 21 9 35 7

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


10) Numere a 2a coluna de acordo com a 1a:

1. frao ordinria 2. frao decimal

( ) ( ) ( ) ( )12

710

3591000

635

11) Transforme os nmeros mistos em fraes imprprias:

a) 2 79= b) 3 1

2= c) 5 7

13=

d) 118= e) 12 3

4=

12) Extraia os inteiros das fraes:

a) 175=

b) 387

=

c) 874

=

d) 2513

=

e) 4219

=

13) Simplifique as fraes, tornando-as irredutveis:

a) 46=

b) 615

=

c) 814

=

d) 1428

=

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


e) 936

=

14) Reduza as fraes ao mesmo denominador:

a) 14

56

, =

b) 18

316

, =

c) 35

68

, =

d) 12

516

312

, , =

e) 34

616

35

, , =

15) Compare as fraes, escrevendo-as em ordem crescente:

a) 24

34

14

104

, , , ;

b) 36

310

32

31

312

, , , , ;

c) 110

38

25

18

315

, , , , ;

d) 1 516

118

56

115

, , , ;

Compare as fraes apresentadas em cada item, escrevendo, entre elas, os sinais < ou > ou = :

a) 15

45

b) 32

73

c) 52

43

d) 64

75

e) 39

19

f) 15

16

g) 34

54

h) 27

215

i) 711

35

j) 27

335

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


17) Circule a maior frao:

a) 35

23

ou b) 12

29

ou

c) 34

56

ou d) 610

36

ou

18) Circule as fraes menores do que um inteiro:

13

98

212

812

74

95

19) Observe as figuras e escreva as fraes representadas:

Complete: Essas fraes representam o mesmo valor, porm seus termos so nmeros diferentes. Essas fraes so denominadas ................................................. 20) Numere a 2a coluna de acordo com a frao equivalente na

1a:

( a ) 69

( ) 2832

( b ) 12

( ) 2540

( c ) 78

( ) 1664

( d ) 14

( ) 23

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


( e ) 58

( ) 816

21) Torne as fraes irredutveis:

a) 2432

=

b) 100128

=

c) 1215

=

d) 432

=

e) 4864

=

f) 25100

=

22) Circule as fraes irredutveis:

13

46

1215

1213

78

1824

18

, , , , , ,

23) Determine a soma:

a) 516

316

716

+ + b) 23

45

12

+ + c) 38

716

1532

+ +

24) Efetue as adies e simplifique o resultado quando possvel:

a) 2 12

134

+ + =

b) d 1316

1 5 18

+ + =

c) 253

114

1+ + =

d) 2 12

23

14

+ + =

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


25) Quanto falta a cada frao para completar a unidade?

Exemplo: 58

88

58

38

=

a ) 14

b) 1316

c ) 532

d) 1764

26) Efetue as subtraes indicadas:

a) 1510

310

=

b) 79

59

=

c) 85

27

=

d) 3 413

112

=

e) 5 23

18

=

27) Resolva:

a) 12

35

14

x x =

b) 25

97

1427

x x =

c) 521

310

715

x x =

d) 34

2 25

x x =

e) 3 12

516

35

x x =

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


28) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em

sentido longitudinal medindo cada uma 5 34 ?

29) Calcule:

a) 2 23

112

=

b) 3 12

2 35

=

c) 4 23

5 12

=

d) 6 13

5 12

=

e) 1516

5 =

f) 2 13

7 =

g) 310

15

=

h) 24

32de =

i) 57

350de =

j) 13

930de =

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


30) Leia com ateno os problemas e resolva:

a) Um carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina.

Quantos quilmetros percorrer com 10 12

litros?

b) Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu 35

deles.

Ele quer colocar o restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?

c) Coloquei 612

de minhas ferramentas em uma caixa, 24

em outra caixa e o restante deixei fora das caixas. Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas?

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


d) Joo encheu o tanque do seu carro. Gastou 25

da

gasolina para trabalhar e 15

para passear no final de

semana. Quanto sobrou de gasolina no tanque?

e) Numa oficina havia 420 veculos, 14

eram caminhes.

Quantos caminhes havia na oficina?

f) Em uma caixa, os lpis esto assim distribudos: 12

correspondem aos lpis vermelhos, 15

so lpis azuis e

14

so pretos. Que frao corresponde ao total de lpis

na caixa?

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Nmeros Decimais Conceito e Leitura J estudamos que uma frao decimal, quando o seu denominador o nmero 10 ou potncia de 10. Exemplos:

510

L-se cinco dcimos

451000

L-se quarenta e cinco milsimos

As fraes decimais podem ser representadas atravs de uma notao decimal que mais conhecida por "nmero decimal". Exemplos:

110

01= , L-se um dcimo

1100

0 01= , L-se um centsimo

11000

0 001= , L-se um milsimo

Essa representao decimal de um nmero fracionrio obedece ao princpio da numerao decimal que diz: "Um algarismo escrito direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro.

...Milhar Centena Dezena Unidade Simples

Dcimo Centsimo Milsimo...

... 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001... Em um nmero decimal:

Os algarismos escritos esquerda da vrgula constituem a parte inteira.

Os algarismos que ficam direita da vrgula constituem a parte decimal.

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Exemplo:

Parte inteira 12,63 Parte decimal L-se doze inteiros e sessenta e trs centsimos. Para fazer a leitura de um nmero decimal, procede-se da seguinte maneira: 1- Enuncia-se a parte inteira, quando existe. 2- Enuncia-se o nmero formado pelos algarismos da parte

decimal, acrescentando o nome da ordem do ltimo algarismo.

Exemplos: a) 0,438 - L-se: quatrocentos e trinta e oito milsimos. b) 3,25 - L-se: trs inteiros e vinte cinco centsimos. c) 47,3 - L-se: quarenta e sete inteiros e trs dcimos. Observaes: 1- O nmero decimal no muda de valor se acrescentarmos ou

suprimirmos zeros direita do ltimo algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 2- Todo nmero natural pode ser escrito na forma de nmero

decimal, colocando-se a vrgula aps o ltimo algarismo e zero (s) a sua direita.

Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00

Transformao de Frao Decimal em Nmero Decimal Para escrever qualquer nmero fracionrio decimal, na forma de "Nmero Decimal", escreve-se o numerador da frao com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos:

a) 2510

2 5= , b) 431000

0 043= ,

c) 1351000

0135= , e) 2343100

23 43= ,

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Transformao de Nmero Decimal em Frao Decimal Para se transformar um nmero decimal numa frao decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse nmero e no denominador a potncia de 10 correspondente quantidade de ordens (casas) decimais. Exemplos:

a) 0 34 34100

, = b) 5 01 501100

, =

c) 0 01 1100

, = d) 21057 210571000

, =

Operaes com Nmeros Decimais Adio e Subtrao Para adicionar ou subtrair dois nmeros decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vrgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem nmeros naturais. Observaes: Costuma-se completar as ordens decimais com zeros direita do ltimo algarismo. Exemplos: a) 3,97 + 47,502 = 51,472 3,970 + 47,502 51,472 b) 4,51 - 1,732 = 2,778 4,510 - 1,732 2,778

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


No caso de adio de trs ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas. Exemplos: 4,310 5,200 + 17,138 26,648

Multiplicao Para multiplicar nmeros decimais, procede-se da seguinte forma: 1 Multiplicam-se os nmeros decimais, como se fossem

naturais; 2 No produto, coloca-se a vrgula contando-se da direita para a

esquerda, um nmero de ordens decimais igual soma das ordens decimais dos fatores.

Exemplo: 0,012 x 1,2 = 0,012 3 ordens decimais x 1,2 + 1 ordem decimal 0024 + 0012 0,0144 4 ordens decimais Para multiplicar um nmero decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vrgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador. Exemplos:

a) 2,35 10 = 23,5 b) 43,1 100 = 4310 c) 0,3145 1000 = 314,5

Para multiplicar trs ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante at o ltimo fator. Exemplo: 0,2 0,51 0,12 = 0,01224

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Diviso Para efetuarmos a diviso entre nmeros decimais procedemos do seguinte modo: 1) igualamos o nmero de casas decimais do dividendo e do

divisor acrescentando zeros; 2) eliminamos as vrgulas; 3) efetuamos a diviso entre os nmeros naturais obtidos. Ateno: Se a diviso no for exata, para continua-la colocamos um zero direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vrgula no quociente. 1 Exemplo: 3,927 2,31 = 1,7 3,927 2,310 16170

0000 1,7

2 Exemplo: 47,76 24 = 1,99 47,76 24,00 23 7

2 16 00

1,99

Para dividir um nmero decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vrgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. Exemplos:

a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vrgula uma ordem para esquerda.

47,235 10 = 4,7235 b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vrgula duas

ordens para a esquerda. 58,4 100 = 0,584

Quando a diviso de dois nmeros decimais no exata, o resto da mesma ordem decimal do dividendo original. Exemplo: 39,276 0,7 = 56,108 resto 0,004

39,276 0,700 4 2 07

56,108

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


060 0,004 Nmeros Decimais - Exerccios 1) Escreva com algarismos, os seguintes nmeros decimais:

a) Um inteiro e trs dcimos.............................................. b) Oito milsimos............................................................... c) Quatrocentos e cinqenta e nove milsimos ................. d) Dezoito inteiros e cinco milsimos................................. e) Vinte cinco inteiros e trinta e sete milsimos .................

2) Represente em forma de nmeros decimais:

a) 97 centsimos = b) 8 inteiros e 5 milsimos = c) 2 inteiros e 31 centsimos = d) 475 milsimos =

3) Observe os nmeros decimais e complete com os sinais:

> < =

a) 1,789 ......................................................... 2,1 b) 3,78 ......................................................... 3,780 c) 4,317 ......................................................... 43,27 d) 42,05 ......................................................... 42,092 e) 8,7 ......................................................... 8,512

4) Escreva em forma de nmero decimal as seguintes fraes

decimais:

a) 36100

= ..........................................................

b) 51000

= ..........................................................

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


c) 3 810

= ..........................................................

5) Escreva na forma de frao decimal:

a) 0,5 = ................... f) 8,71 = ................ b) 0,072 = ................... g) 64,01 = ................ c) 0,08 = ................... h) 347,28 = ................ d) 0,481 = ................... i) 0,12 = ................ e) 1,3 = ................... j) 0,201 = ................

6) Arme e efetue as adies:

a) 0,8 + 6,24 = b) 2,9 + 4 + 5,432 = c) 6 + 0,68 + 1,53 = d) 19,2 + 2,68 + 3,062 =

7) Arme e efetue as subtraes:

a) 36,45 - 1,2 = b) 4,8 - 1,49 = c) 9 - 2,685 = d) 76,3 - 2,546 =

8) Arme, efetue e tire a prova:

a) 650,25 3,8 = b) 48 2,4 = c) 0,60 0,12 = d) 6,433 + 2 + 1,6 = e) 9 - 2,5 =

9) Resolva:

a) 36,4 + 16,83 + 2,308 =

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


b) 93,250 - 1,063 = c) 67403 6,9 = d) 204,35 48 =

10) Ateno! Efetue sempre antes o que estiver dentro dos parnteses:

a) (0,8 - 0,3) + 0,5 = b) (1,86 - 1) + 0,9 = c) (5 - 1,46) + 2,68 = d) (1,68 + 3,2) - 2,03 = e) (0,8 - 0,5) + (6,5 x 3) = f) 0,4 - (0,2 0,35) =

11) Arme e efetue as operaes:

a) 0,471 + 5,9 + 482,23 = b) 6,68 5,986 = c) 5,73 6,8 = d) 24,8 6,2 =

12) Calcule:

a) 0,0789 100 = b) 0,71 10 = c) 0,6 100 = d) 8,9741 1000 =

13) Torne:

a) 3,85 dez vezes maior = b) 42,6 dez vezes menor = c) 0,153 dez vezes maior = d) 149,2 cem vezes menor = e) 1,275 mil vezes maior =

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


14) Resolva o problema: Jorge pintou um carro em 2 dias. Sabendo-se que ele pintou 0,4 do carro no 1 dia, quanto ele pintou no 2 dia?

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


15) Relacione os elementos por igualdade:

a) 3 110

b) 0,3

31100

3,1

310

3,01

3 1100

0,31

Observe os elementos dos conjuntos acima e marque as sentenas que so verdadeiras:

a) Nenhum elemento do conjunto A maior do que 1. b) Todos os elementos de A so maiores que zero. c) Nenhum elemento de B menor que 1. d) Todos os elementos de B so menores que 10.

16)

a) 8 210

b) 0,82

8 2100

8,002

821000

82100

8,02 0,082

8 21000

8,2

a) Relacione os elementos dos conjuntos A e B e escreva verdadeiro ou falso.

( ) 1 - Nenhum elemento do conjunto A maior do que 1. ( ) 2 - Todos os elementos de B so maiores que zero. ( ) 3 - Nenhum elemento de B menor do que 1. ( ) 4 - Todos os elementos de A so maiores que 10.

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


17) Arme e efetue as operaes abaixo:

a) 3 0,05 = b) 6,52 38 = c) 26,38 + 2,953 + 15,08 = d) 7,308 - 4,629 = e) 63,50 4,9 =

18) Calcule os quocientes abaixo com duas casas decimais:

a) 2,4 0,12 = b) 5,85 0,003 = c) 0,3 0,008 = d) 48,6 0,16 =

Esprito Santo ____________________________________________________________________________________________________


Medidas de Comprimento Conceito de Medida Medir uma grandeza compar-la com outra da mesma espcie tomada como unidade.

Exemplo: Consideremos dois pontos quaisquer de uma reta r, aos quais daremos as letras A e B.

A B r

A parte de reta compreendida entre os pontos A e B chamada segmento de reta.

Para medir o segmento de reta AB , escolhemos um segmento unitrio u que ser a unidade de medida.

Exemplo:

A B 1 AB = 3u

u A B 2 AB = 5u

u Qualquer segmento pode ser escolhido para unidade de comprimento. Porm se cada pessoa pudesse escolher livremente uma unidade de comprimento para medir um

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segmento AB , este apresentaria diferentes medidas, dependendo da unidade usada. Assim, existe a necessidade de se escolher uma unidade padro de comprimento, isto , uma unidade de comprimento conhecida e aceita por todas as pessoas. Medidas de Comprimento A unidade padro de comprimento o metro. O metro o comprimento assinalado sobre uma barra metlica depositada no Museu Internacional de Pesos e Medidas, na cidade de Srvres (Frana).

O metro com seus mltiplos forma o Sistema Mtrico Decimal que apresentado no seguinte quadro: Unidade Quilmetro Hectmetro Decmetro Metro Decmetro Centmetro Milmetro

Smbolo km hm dam m dm cm mm Valor 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01 0,001m

Leitura de Comprimentos Cada unidade de comprimento igual a 10 vezes a unidade imediatamente inferior: 1km = 10hm 1hm = 10dam 1dam = 10m 1m = 10dm 1dm = 10cm 1cm = 10mm

Em conseqncia, cada unidade de comprimento igual a 0,1 da unidade imediatamente superior: 1hm = 0,1km 1dam = 0,1hm 1m = 0,1dam 1dm = 0,1m 1cm = 0,1dm 1mm = 0,1cm

A leitura e a escrita de um nmero que exprime uma medida de comprimento (nmero seguindo do nome da unidade) feita de modo idntico aos nmeros decimais. Veja como voc deve ler alguns comprimentos: 1 dcimo de metro ou 0,1m 1 decmetro vinte e cinco centsimos de metro ou 0,25m vinte e cinco centmetros

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seis inteiros e trinta e sete centsimos 6,37m de metro ou 63,7 decmetros Mudanas de Unidade Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, devemos fazer uma multiplicao por 10, ou seja, devemos deslocar a vrgula um algarismo para a direita. Exemplos:

3,72dam = (3,72 x 10)m = 37,2m 5,89dam = (5,89 x 10)m = 58,9m

Para passar de uma unidade imediatamente superior, devemos fazer uma diviso por 10, ou seja, devemos deslocar a vrgula de um algarismo para esquerda. Exemplos:

389,2cm = (389,2 : 10)dm = 38,92dm 8,75m = (8,75 : 10)dam = 0,875dam

Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivamente uma das regras anteriores: Exemplos:

a) 3,584km = 35,84hm = 358,4dam = 3584m

b) 87,5dm = 8,75m = 0,875dam = 0,0875hm

Exerccios - Medidas de Comprimento 1) Escreva a unidade mais adequada quando voc quer medir:

a) O comprimento da sala de aula: .................................... b) A distncia entre Vitria e Rio: ...................................... c) A largura de um livro: .................................................... d) A folga de virabrequim:..................................................

2) Escreva as medidas:

a) 8 hectmetros e 9 decmetros: ..................................... b) 3 metros e 5 milmetros: ................................................ c) 27 metros e 5 milmetros: ..............................................

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d) 1 metro e 17 centmetros:.............................................. e) 15 decmetros e 1 milmetro: .........................................

3) Transforme cada medida apresentada para a unidade

indicada:

a) 527m = ...................................................................cm b) 0,783m = ................................................................mm c) 34,5dam = ..............................................................cm d) 0,8m = ....................................................................mm e) 22,03m = ................................................................dm

4) Reduza para a unidade indicada:

a) 5m = .......................................................................dm b) 6m = .......................................................................cm c) 7m = .......................................................................mm d) 9dm = .....................................................................cm e) 12dm = ...................................................................mm f) 18cm = ...................................................................mm g) 0,872m = ................................................................mm

5) Como se lem as medidas:

a) 38,65m = ...................................................................... b) 1,50m = ........................................................................ c) 13,08km = .................................................................... d) 2,37hm = ...................................................................... e) 9,728m = ......................................................................

6) Marque as afirmativas com V ou F:

a) ( ) A unidade 100 vezes menor que o metro o centmetro.

b) ( ) O metro a medida usada para medir comprimento. c) ( ) A abreviatura de decmetro dm. d) ( ) 1m = 10cm.

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e) ( ) 1000mm corresponde a 1 metro. a) ( ) As unidades de comprimento variam de 10 em 10.

7) Com base na tabela , represente:

km hm dam m dm cm mm

a) oito hectmetros e cinco metros. b) doze decmetros e sete centmetros. c) cinqenta e um metros e nove milmetros. d) vinte e cinco hectmetros e dezenove decmetros. e) dois metros e cinco milmetros.

8) Descubra as medidas representadas no quadro e a seguir,

escreva por extenso:

km hm dam m dm cm mm 1 0, 0 3 4, 5 2, 1 6 3, 0 0 7 1 6, 0 5 a) ...................................................................................... b) ...................................................................................... c) ...................................................................................... d) ...................................................................................... e) ......................................................................................

9) Resolva os problemas com toda a ateno:

a) Jlio tem 1,72m de altura e Paulo tem 1,58m. Qual a diferena de altura dos dois meninos?

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b) Alice que colocar o rodap na sala. A sala tem forma retangular com medidas iguais 3,5m e 4,2m. Quantos metros de rodap sero colocados nesta sala?

c) Um vendedor tinha uma pea de tecido com 6,5m.

Ontem, vendeu 2,4m deste tecido a uma freguesa e hoje vendeu mais 1,3m da mesma fazenda. Quantos metros sobraram?

d) Uma barra de ferro com 8m ser repartida em 32

pedaos do mesmo tamanho. Quanto medir cada pedao? e) Um lote de forma quadrada ser cercado com 3 voltas

de arame. Quantos metros de arame sero gastos, se o lado do lote tem 22,5m?

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Proporcionalidade Razo Na linguagem do dia a dia, costuma-se usar o termo razo com o mesmo significado da matemtica, ou seja, da diviso indicada de dois nmeros. Assim, tem-se, por exemplo: a) A quantidade de litros de lcool adicionado gasolina est

na razo de 1 para 4 ou (1/4). Isso quer dizer que adiciona-se 1 litro de lcool a cada 4 litros de gasolina.

b) Em cada 10 carros de um estacionamento, 6 so de marca X ou 10/6

A partir da anlise desses 2 tipos de situaes, apresentamos a seguinte definio:

Razo entre dois nmeros o quociente do primeiro pelo segundo.

Representa-se uma razo entre dois nmeros a e b (b 0) por a/b ou a : b (l-se: "a est para b").

Exemplos: a) A razo entre os nmeros 3 e 5 3/5 ou 3 : 5 (l-se: "3

est para 5"). b) A razo entre os nmeros 1 e 10 1 : 10 (l-se: "1 est

para 10"). c) A razo entre os nmeros 7 e 100 7/100 ou 7 : 100 (l-

se: "7 est para 100"). Os termos da RAZO so: 12 antecedente ou 12 : 12 2 conseqente antecedente conseqente

Ateno: O conseqente (o divisor) deve ser sempre diferente de zero.

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Para determinar o valor de uma razo, basta dividir o antecedente pelo conseqente.

Inversa de uma razo A inversa de uma razo determinada trocando-se a posio dos termos da razo considerada.

Exemplo: a inversa da razo 23

32

Logo, duas razes so inversas, quando o antecedente de uma igual ao conseqente da outra.

Clculo de uma razo a) O valor da razo um nmero inteiro.

Exemplo:

3 : 1,5 = 2 3,0 1,5 0 2

b) O valor da razo uma frao.

Exemplo:

12

: 34

= 23

12

34

12

43

23

2

: =/

/=x

c) O valor da razo um nmero decimal.

Exemplo:

16 : 5 = 3,2 16 5 10

0 3,2

d) Para determinar a razo de duas medidas diferentes,

necessrio fazer a converso para uma mesma unidade. No caso, reduziremos a cm: Exemplo:

225

mcm

= 20025

cmcm

= 8

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Proporo Chama-se proporo igualdade entre duas razes. De um modo genrico, representa-se uma proporo por uma das formas:

ab

cd

= ou a : b :: c : d

L-se "a est para b, assim como c est para d". (b 0 e d 0)

Exemplos:

a) As razes 23

e 69

formam a proporo 23

= 69

b) As razes 3 : 2 e 9 : 6 formam a proporo 3 : 2 :: 9 : 6 Observao: Uma proporo representa uma equivalncia entre

duas fraes. Os nmeros que se escrevem numa proporo so

denominados termos, os quais recebem nomes especiais: o primeiro e o ltimo termo recebem o nome de extremos e os outros dois recebem o nome de meios

Exemplo:

extremo

meio

meios

912

68

9 : 12 : : 6 : 8

meio

extremo

extremos Propriedade fundamental das propores

Observe a proporo 68

= 912

e examine o que ocorre com os

produtos dos termos do mesmo nome. produto dos meios = 8 x 9 produto dos extremos = 6 x 12 Com isso, podemos concluir que: O produto dos meios igual ao produto dos extremos.

72

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Se numa proporo, trs termos forem conhecidos e um desconhecido pode-se determina-lo aplicando a propriedade fundamental das propores. Exemplos:

na proporo a2

36

= , determinar o valor de a.

a) a2

36

= , tem-se: 6.a = 2.3

6a = 6

a = 66

a = 1

b) Determinar o valor de x na proporo 23 9=

x

23 9=

x , tem-se: 2.9 = 3.x 3.x = 2.9

18 = 3x 3x = 18

183

= x x = 183

6 = x x = 6

Importante: Nas propores, costuma-se guardar o lugar do termo desconhecido pelas letras a, x, y, z ou qualquer outro smbolo.

Se forem desconhecidos os dois meios ou os dois extremos caso sejam iguais, dever multiplicar os termos conhecidos e extrair a raiz quadrada do produto obtido.

Exemplo:

Calcular o valor de y na proporo 94yy

=

y . y = 9 . 4 y2 = 36 y = 36 y = 6

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Grandezas proporcionais Na matemtica, entende-se por GRANDEZA tudo que suscetvel de aumento ou diminuio. Duas ou mais grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais Suponhamos que um parafuso custe Cr$ 10,00 e observamos que, aumentando-se a quantidade de parafusos, aumentar o custo da quantidade, ou seja: 1 parafuso custa R$ 10,00 2 parafusos custam R$ 20,00 3 parafusos custam R$ 30,00

Diz-se que essas grandezas "quantidade de um produto" e "custo" so diretamente proporcionais porque ao dobro de uma corresponde o dobro da outra, ao triplo de uma, corresponde o triplo da outra e assim sucessivamente. Desse modo afirma-se que:

Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma proporo. Grandezas inversamente proporcionais Suponhamos que a distncia entre duas cidades de 240 Km e que um automvel faz este percurso em 4 horas, a uma velocidade de 60 Km por hora (60 Km/h). Observemos que, aumentando-se a velocidade, diminuir o tempo gasto no percurso, ou diminuindo a velocidade, aumentar o tempo. Exemplo:

30 Km/h gastar 8 h 40 Km/h gastar 6 h 60 Km/h gastar 4 h

Pode-se observar que essas grandezas "velocidade" e "tempo de percurso" so inversamente proporcionais porque, quando a velocidade duplica, o tempo se reduz metade e assim por diante.

Desse modo afirma-se que: Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na mesma proporo.

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Para formar a proporo correspondente, deve-se considerar o inverso da razo relativa s grandezas inversamente proporcionais. Exemplo:

VELOCIDADE

TEMPO RAZES PROPORO CORRESPONDENTE

a) 30 Km/h

60 Km/h

8 h

4 h

3060

e 84

3060

=

1

8

4

ou 3060

48

=

b) 40 Km/h

60 Km/h

6 h

4 h

4060

e 64

4060

164

= ou 4060

46

=

Exerccios - Proporcionalidade 1) Escreva a razo entre cada um dos pares de nmeros

seguintes:

a) 3 e 5 b) 7 e 4 c) 1 e 8 d) 2 e 2 e) 6 e 9

2) Escreva a razo inversa de cada uma das razes seguintes:

a) 34

b) 52

c) 710

d) 4 : 7 e) 9 : 5

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3) Identifique quais so os extremos e quais so os meios nas propores:

a) 34

68

=

b) 5 : 3 : : 15 : 9 4) Determine a razo entre as medidas:

a) 5 cm e 25 cm b) 6 cm e 6 m c) 1 dm e 0,4 m

d) 34

e 58

e) 2 mm e 5 cm 5) Uma chapa retangular tem de comprimento 1,20 m e de

largura 80 cm. Calcular:

a) A razo entre a largura e o comprimento. b) A razo entre o comprimento e a largura.

6) Determine o valor das razes entre:

a) 0,35 e 0,7

b) 12

e 34

7) Coloque o nome dos termos da razo:

..........................5 ................................. ou 5 : 9 9 ................................. ..........................

8) Coloque o nome dos termos da proporo:

4 = 8 3 6

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9) Complete:

a) a) A igualdade entre duas razes chamada ......................................................................................... b) Numa proporo, o produto dos extremos igual ao

produto dos ..................................................................... c) Em toda proporo, a diferena entre os antecedentes

est para a diferena dos conseqentes, assim como qualquer antecedente est para seu............................... .........................................................................................

10) Determine o valor de x em cada uma das propores

seguinte

a) x2

84

=

b) 6 128x

=

c) 57 14=

x

d) 83

8=

x

e) x5

210

=

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Regra de Trs Uma regra de trs uma regra prtica que permite resolver problemas atravs de propores, envolvendo duas ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Uma regra de trs comumente classificada em simples ou composta. Regra de Trs Simples Uma regra de trs simples quando envolve apenas duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Para resolver uma regra de trs simples, segue-se a seguinte orientao:

escrever, numa mesma linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem;

escrever, numa mesma coluna, as grandezas de mesma espcie;

determinar quais so as grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais;

formar a proporo correspondente;

resolver a equao obtida. Observao: Ao formar a proporo, deve-se considerar o

inverso da razo correspondente s grandezas inversamente proporcionais.

Exemplos: a) Se trs limas custam R$ 144,00, quanto se pagar por 7

limas iguais s primeiras? Para resolver o problema, procede-se assim:

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1) Organizam-se as sucesses com elementos da mesma espcie. comum organizar as sucesses verticalmente para depois calcular:

limas R$ 3 144 7 x

2) Valendo-se do seguinte raciocnio: "se trs limas custam R$ 144,00, aumentando as limas, aumentaro os cruzeiros, logo, a regra simples.

3) A proporo correspondente ser:

37

144=

x

4) De acordo com a propriedade fundamental das

propores, tem-se: 3 144 7 = x

5) Resolvendo a equao formada, tem-se:

x

x

=

/=

144 73

336

48

1.

RESPOSTA: O preo das limas ser R$ 336,00

a) Um automvel, em velocidade constante de 80 Km/h,

percorre uma certa distncia em 6 horas. Em quantas horas far o mesmo percurso se diminuir a velocidade para 60 Km/h?

SOLUO: As grandezas so inversamente proporcionais, pois, diminuindo a velocidade, aumentar o tempo de percurso. Da escreve-se:

80km/h 6h 60km/h x

Logo, a proporo correspondente ser:

8060

16=

x

ou 8060 6

=

x

Pela propriedade fundamental das propores, tem-se:

60 . x = 6 . 80

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x =/ // /

=

6 8060

810

Resolvendo-se a equao formada: x = 8 RESPOSTA: O automvel far o percurso em 8

horas. Vimos que a sucesso que contm ( x ) serve de base para saber se qualquer uma outra direta ou inversa. Se direta, recebe as setas no mesmo sentido e se inversa, em sentidos opostos.

Regra de Trs Composta Uma regra de trs composta, quando envolve trs ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Para se resolver uma regra de trs composta, seguem-se os seguintes passos:

escrever, numa mesma linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem;

escrever, numa mesma coluna, as grandezas de mesma espcie;

determinar quais so as grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, considerando-se separadamente, duas a duas, as colunas das grandezas envolvidas, uma das quais deve ser, sempre a coluna que contm a incgnita;

formar a proporo correspondente;

resolver a equao formada. Observao: Ao formar a proporo, deve-se considerar o

inverso da razo correspondente s grandezas inversamente proporcionais.

Exemplo:

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a) Quatro operrios, em 6 dias, montam 48 bicicletas. Quantas bicicletas do mesmo tipo so montadas por 10 operrios em 9 dias?

SOLUO: escrevendo-se as linhas e as colunas:

OPERRIOS DIAS BICICLETAS 4 6 48

10 9 x

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Comparando cada grandeza com a que tem o termo desconhecido:

As grandezas "operrios" e "bicicletas" so diretamente proporcionais (aumentando uma, aumentar a outra), logo, as setas devem ter o mesmo sentido, ou seja:


10 6 x

As grandezas "dias" e "bicicletas" so diretamente proporcionais, logo, as setas devem ter o mesmo sentido, ou seja:


10 9 x

As razes correspondentes a essas grandezas so:

410

69

48x

Uma vez que as grandezas envolvidas so todas diretamente proporcionais, tem-se que:

48x proporcional a

69 e, ao mesmo tempo, proporcional a

410 , logo, ser proporcional ao produto

69

410

. Portanto, para escrever a proporo correspondente, deve-se

igualar a razo que tem o termo desconhecido, com o produto das razes relativas s outras grandezas. Escreve-se:

48 69

410x

= ou 48 2490x

=

Pela propriedade fundamental das propores, tem-se:

24 . x = 48 . 90

x =/ /

/ /48 90

24

2

1

Resolvendo-se essa equao, vem: x = 180

RESPOSTA: sero montadas 180 bicicletas.

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b) Se 8 operrios constroem, em 6 dias, um muro com 40 m de comprimento, quantos operrios sero necessrios para construir um outro muro com 70 m, trabalhando 14 dias?

SOLUO: Escrevendo-se as linhas e as colunas:

OPERRIOS DIAS BICICLETAS 8 6 40 x 14 70

Comparando-se cada grandeza com a que tem o termo desconhecido:

As grandezas "operrios" e "metros" so diretamente proporcionais (aumentando uma, aumentar a outra), logo, as setas devem ter o mesmo sentido, ou seja:

OPERRIOS DIAS BICICLETAS 8 6 70 x 14 40

As grandezas "operrios" e "dias" so inversamente proporcionais (aumentando uma, diminuir a outra), logo, as setas devem ter sentido

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